2025年大學(xué)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填入括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$等于（）A.$f^\prime(x_0)$B.$2f^\prime(x_0)$C.$0$D.$f^\prime(2x_0)$2.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$3.曲線$y=x^3-3x^2+1$在點(diǎn)$(1,-1)$處的切線方程為（）A.$y=-3x+2$B.$y=3x-4$C.$y=-x$D.$y=x-2$4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}2^n$5.設(shè)$A$是$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$的列向量組線性無關(guān)B.$A$的行向量組線性無關(guān)C.方程組$Ax=0$有非零解D.$A$可逆6.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\\ax+b,&x\gt1\end{cases}$在$x=1$處可導(dǎo)，則$a$，$b$的值分別為（）A.$a=2$，$b=-1$B.$a=-2$，$b=1$C.$a=1$，$b=-2$D.$a=-1$，$b=2$7.設(shè)$D$是由$x=0$，$x=1$，$y=0$，$y=1$所圍成的區(qū)域，則$\iint\limits_Dxydxdy$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{8}$D.$\frac{1}{16}$8.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的伴隨矩陣$A^$為（）A.$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}-4&-2\\3&1\end{pmatrix}$9.函數(shù)$y=\ln(1+x^2)$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值為（）A.$0$B.$\ln2$C.$2\ln2$D.$4\ln2$10.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$\int_0^1f(x)dx=1$，$\int_0^2f(x)dx=3$，則$\int_1^2f(x)dx$等于（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$二、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)將答案填在橫線上）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定義域?yàn)開_____。2.已知向量$\vec{a}=(2,-3,1)$，$\vec=(1,-2,3)$，則$|\vec{a}-\vec|=$______。3.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的曲率為______。4.冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂半徑為______。5.設(shè)$A$是$3$階方陣，且$|A|=2$，則$|2A^{-1}|=$______。三、簡答題（總共3題，每題10分）1.簡述羅爾定理的內(nèi)容，并舉例說明其應(yīng)用。2.已知向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(2,-1,1)$，求向量$\vec{a}$與$\vec$夾角的余弦值，并判斷兩向量是否垂直。3.求函數(shù)$y=x^3-3x^2-9x+5$的單調(diào)區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間。四、計(jì)算題（總共2題，每題15分）1.計(jì)算二重積分$\iint\limits_D(x^2+y^2)dxdy$，其中$D$是由圓$x^2+y^2=4$所圍成的區(qū)域。2.已知線性方程組$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=3\\2x_1+3x_2+x_3=5\\3x_1+5x_2=8\end{cases}$，求其通解。五、證明題（總共1題，每題10分）證明：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一點(diǎn)$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=0$。答案：一、選擇題1.B2.B3.A4.B5.C6.A7.C8.A9.B10.B二、填空題1.$(1,+\infty)$2.$\sqrt{14}$3.$\frac{1}{2}$4.$+\infty$5.$4$三、簡答題1.羅爾定理：如果函數(shù)$f(x)$滿足：（1）在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)；（2）在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即$f(a)=f(b)$，那么在$(a,b)$內(nèi)至少有一點(diǎn)$\xi(a\lt\xi\ltb)$，使得$f^\prime(\xi)=0$。例如：$f(x)=x^2-1$在$[-1,1]$上滿足羅爾定理，$f^\prime(x)=2x$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0\in(-1,1)$。2.解：$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)+(-1)\times1=-1$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6}$，$|\vec|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$，則$\cos\langle\vec{a},\vec\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-1}{6}\neq0$，兩向量不垂直。3.解：$y^\prime=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$，令$y^\prime=0$，得$x=-1$或$x=3$。當(dāng)$x\lt-1$或$x\gt3$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$-1\ltx\lt3$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減。所以極大值為$f(-1)=10$，極小值為$f(3)=-22$。$y^{\prime\prime}=6x-6$，令$y^{\prime\prime}=0$，得$x=1$。當(dāng)$x\lt1$時(shí)，$y^{\prime\prime}\lt0$，函數(shù)凸；當(dāng)$x\gt1$時(shí)，$y^{\prime\prime}\gt0$，函數(shù)凹。四、計(jì)算題1.解：利用極坐標(biāo)變換$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$D$：$0\leqr\leq2$，$0\leq\theta\leq2\pi$。則$\iint\limits_D(x^2+y^2)dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2r^2\cdotrdr=\f