東北三省四市2026屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．運(yùn)行如圖所示程序后，輸出的結(jié)果為（）A.15 B.17C.19 D.212．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.3．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.4．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.25．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.46．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.37．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則直線到原點(diǎn)的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.8．已知經(jīng)過兩點(diǎn)（5，m）和（m，8）的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.5 B.8C. D.79．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.10．正數(shù)a,b滿足,若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.11．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.12．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與雙曲線有共同漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程是______14．若直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)___________.15．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為____________.16．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）證明：AB⊥CF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值18．（12分）已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值20．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請說明理由.21．（12分）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當(dāng)λ＝3時，求|AB|的值；（2）當(dāng)λ∈[]時，求|+|的最大值22．（10分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長軸長是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D2、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D3、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B4、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D5、D【解析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.即所求最小值.故選：D6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C7、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點(diǎn)的距離不超過1，則所以當(dāng)時，可以為5，6當(dāng)時，可以為4，5，6當(dāng)時，可以為4，5，6當(dāng)時，可以為2，3，4，5，6當(dāng)時，可以為1，2，3，4，5，6當(dāng)時，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C8、C【解析】根據(jù)斜率的公式直接求解即可.【詳解】由題可知,,解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A10、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即對任意實(shí)數(shù)x恒成立，，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.11、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍遥?，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)M在位置或時等號成立.故選：D12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時，①③④均成立，②不成立.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.14、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互平行，所以，解得，故答案為：15、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時，最小.故答案為：.16、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.小問1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問2詳解】因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，而，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.【小問3詳解】由(2)知，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，，設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為，，則有，，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算18、（1）（2）【解析】（1）先將代入化簡，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）先對化簡，再由題意可得從而可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.故.【小問2詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)閺?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第二象限，所以解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)椋?，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.20、（1）（2）恒過點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又，所以、，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因?yàn)椋裕?，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，?dāng)時直線過點(diǎn)，故舍去，所以，則直線恒過點(diǎn)；21、（1）（2）【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關(guān)系可得的A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系聯(lián)立求出直線AB的斜率，再由拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)弦的值；（2）由（1）的解法類似的求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得直線AB的斜率與λ的關(guān)系，再由λ的范圍，求出直線AB的斜率的范圍，由題意設(shè)直線MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問1詳解】當(dāng)λ＝3時，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因?yàn)閽佄锞€C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，顯然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，則（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③聯(lián)立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值為；【小問2詳解】由（1）可得AB中點(diǎn)N（2k，2k2+2），由＝λ，則x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④聯(lián)立4k2λ＝（1﹣λ）2，因?yàn)棣恕蔥]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，則函數(shù)y先減后增，所以λ＝2或時，y最大且為2+，此時4k2最大，且為，所以k2的最大值為：，直線MF的方程為：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，即M（2k，﹣1），因?yàn)閨+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，所以|+|的最