2025—2026年度上學(xué)期河南省高二年級第三次月考

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.直線5x+y-1=0的斜率為

A.5B.-5CD

2.已知向量m=(1,3,—1),n=(x,y,2),且m//n,則x-y=

A.—4B.4C.-2D.2

3.若直線y=x與圓C:x2+y2—4y-m=0相切，則m=

A.—2B.-1C.0D.1

4.已知x,y∈R,復(fù)數(shù)z1=x+yi,z2=x-2yi,點(diǎn)P(x,y),若z1≈2的實(shí)部為4,則

A.P的軌跡是實(shí)軸長為4的雙曲線B.P的軌跡是短軸長為4的橢圓

C.P的軌跡是實(shí)軸長為2√6的雙曲線D.P的軌跡是短軸長為2√2的橢圓

5.在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E是棱BC的中點(diǎn)，且PF=2FD,則

EP=

6.打籃球是一項(xiàng)以手為中心的身體對抗性體育運(yùn)動.如圖，這是一個籃球的平面圖形，籃球的外

形輪廓為圓O,將籃球表面的黏合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分.設(shè)該雙曲線的中心為原

點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，y軸、雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長六等分，且|BC|=2|AB|=

2|CD|,則該雙曲線的離心率是

AB.√5

CD.√3

【高二數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】·B1·

7.已知直線l過點(diǎn)(2,0)且與直線y=x平行，P為拋物線C:x2=4y上的動點(diǎn)，P到C的準(zhǔn)線

的距離為d?,P到l的距離為d?,則d?+d2的最小值為

AB.√2

D.2√2

8.如圖，在四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，側(cè)面ADD?A?⊥底面ABCD,四邊形ABCD是正方

形，四邊形ADD?A?是菱形，且∠A?AD=60°,E,F,G分別是棱BC,DD?,AD的中點(diǎn)，則異

面直線EF與B?G所成角的余弦值是

A

B.

C.

D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若直線ax+(a—4)y-1=0與直線ax+2y+13=0垂直，則a的值可能為

A.-2B.4C.—4D.2

10.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F分別是棱CC?,C?D?的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是

A.A?C⊥平面AEF

B.BD//平面AEF

C.平面AEF與棱BB?沒有公共點(diǎn)

D.平面AEF與棱DD?有公共點(diǎn)

11.已知曲線Ω:x?+x2y2=4x2,直線l的斜率為k,且l過點(diǎn)A(4,0),則

A.當(dāng)，時，l與Ω只有1個公共點(diǎn)

B.當(dāng)時，l與Ω有3個公共點(diǎn)

C.橢圓.與Ω有6個公共點(diǎn)

D.當(dāng)拋物線y=3+ax2與Ω有5個公共點(diǎn)時

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線y=k(x+3)+7經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為▲_.

13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A(2,0,0),B(0,2,0),C(2,4,-2√2),D(x,3,√2),且AB⊥

BD,則x=▲_,四面體ABCD的體積為▲_.

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14.已知雙曲線(1,A(0,1),B(0,一1),P為C上一點(diǎn)，且P在第一象限，直線PA

與直線l:y=4交于點(diǎn)M,直線PB與l交于點(diǎn)Q,M與M′關(guān)于y軸對稱，則|M′Q|的最小

值為▲_.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知空間向量a,b均為單位向量，向量c滿足le|=2,

(1)證明：a在c上的投影向量為

(2)求|a+b+c|.

16.(15分)

已知雙曲線C的虛軸長為4,F?,F?分別是C的左、右焦點(diǎn).

(1)求C的漸近線方程.

(2)若P是C的右支上一點(diǎn)，且|PF?I+|PF?|=4√2,求|PF?I.

(3)是否存在直線l,使得直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為(√2,2√2)?若存

在，求l的傾斜角；若不存在，請說明理由.

17.(15分)

如圖，在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，底面ABCD為菱形.

(1)證明：BD⊥A?C.

(2)若底面ABCD為矩形，BD=2√2,AA?=3,二面角C-A?B-C?為θ,求cos20.

【高二數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】·B1·

18.(17分)

已知橢圓()的長軸長為4,F?,F2分別為C的左、右焦點(diǎn).

(1)求C的方程與離心率；

(2)設(shè)P為C上的動點(diǎn)，延長F?P至點(diǎn)Q,使得|PQ|=|PF?|,求動點(diǎn)Q的軌跡方程；

(3)設(shè)(2)中動點(diǎn)Q的軌跡為曲線Ω,若直線l:y=kx+1與C交于A,B兩個不同的點(diǎn)，且

l被Ω截得的弦長為2√15,求|AB|.

19.(17分)

已知拋物線C:y2=ax經(jīng)過點(diǎn)P(3—2√2,2√2—2),且F為C的焦點(diǎn).

(1)求F的坐標(biāo).

(2)設(shè)A,B為C上兩個不同的點(diǎn)，F(xiàn)A,FB的斜率分別為k?,k?,且|cos<FA,FP>|=

Icos<FB,FP>|.

(i)試問k?k2是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

(ii)證明：存在關(guān)于x軸對稱的兩個定點(diǎn)M,N,使得直線AB過M或N.

【高二數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】·B1·

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數(shù)學(xué)試卷參考答案

題序l234567891011121314

答案BBADCACDCDABDACD(一3,7)6√5

【評分細(xì)則】

【1】第1～8題，凡與答案不符的均不得分.

【2】第9題，全部選對的得6分，有選錯的不得分，每選對一個得3分；第10,11題，全部選對的

得6分，有選錯的不得分，每選對一個得2分.

【3】第12,14題，其他結(jié)果均不得分.

【4】第13題，第一空2分，第二空3分.

1.B直線5x+y-1=0的斜率為一5.

2.B因?yàn)閙//n,所以,解得x=-2,y=-6,所以x-y=4.

3.A由x2+y2—4y-m=0,得x2+(y-2)2=m+4,則圓C的圓心(0,2)到直線y=x的距

離,得m=-2.

4.D因?yàn)閦1z2=(x+yi)(x-2yi)=x2+2y2—xyi,所以z1z2的實(shí)部為x2+2y2,若x2+

2y2=4,則,所以P的軌跡是短軸長為2√2的橢圓.

5.C因?yàn)镋是棱BC的中點(diǎn)，所以因?yàn)辄c(diǎn)F在棱PD上，且PF=2FD,

所以

6.A設(shè)雙曲線的方程,則IOCI=a.因?yàn)閨BCI=2IABI=2ICDl,

所以|AB|=|OC|=a,所以|OA|=2a,即圓O的半徑為2a.因?yàn)閥軸、雙曲線與圓O的交

點(diǎn)將圓O的周長六等分，所以點(diǎn)(√3a,a)在該雙曲線上，所,解,則該

雙曲線的離心率是，

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共7頁)】·B1·

7.C依題意得直線l的方程為y=x-2,設(shè)C的焦點(diǎn)為F,則F(0,

1),d?=|PF|.

由圖可知d?+d2的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，且最小值為

8.D連接A?G,EG,易證GE,GD,GA?兩兩垂直，則以G為

坐標(biāo)原點(diǎn)，GE,GD,GA?所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,則B?(2,0,

√3),E(2,0,0),),G(0,0,0),故EF=(-2,

設(shè)異面直線EF與B?G所成的角為θ,

9.CD依題意可得a2+2(a-4)=0,解得a=-4或a=2.

10.ABD以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD?所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系(圖略).設(shè)AB=2,則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A?(2,0,2),E(0,

2,1),F(0,1,2),所以A??=(-2,2,-2),DB=(2,2,0),Aě=(-2,2,1),AF=(-2,1,

2).設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則令x=3,得n=

(3,2,2).因?yàn)锳?C=(-2,2,-2),所以n與A?C不平行，則直線A?C與平面AEF不垂

直，A錯誤.因?yàn)镈B·n=2×3+2×2+0×2=10≠0,所以直線BD與平面AEF不平行，

B錯誤.設(shè)平面AEF與棱BB?交于點(diǎn)P(2,2,a)(0≤a≤2),則AP=(0,2,a).因?yàn)锳P·

n=2×2+2a=0,解得a=-2.因?yàn)?≤a≤2,所以a∈x,即平面AEF與棱BB?沒有公共

點(diǎn)，C正確.設(shè)G(0,0,b)(O≤b≤2),則AG=(-2,0,b),所以AG·n=-2×3+0×2+2b

=0,解得b=3.因?yàn)?≤b≤2,所以b∈?,即平面AEF與棱DD?沒有公共點(diǎn)，D錯誤.

11.ACD由x?+x2y2=4x2,得x2(x2+y2—4)=0,即x=0或x2

+y2=4,所以Ω由圓O:x2+y2=4與y軸組成，當(dāng)時，因

為O到1:y=k(x—4)的距離

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共7頁)】·B1·

2,所以l與圓O相離，則l與Ω只有1個公共點(diǎn)，A正確.當(dāng)時，l與y軸的交點(diǎn)恰

好在圓O上，所以l與Ω只有2個公共點(diǎn)，B錯誤.

因?yàn)闄E圓的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,0),(1,0),(0,—3),(0,3),所以橢圓x2+

與Ω有6個公共點(diǎn)，C正確.當(dāng)拋物線y=3+ax2與Ω有5個公共點(diǎn)時，由圖可知，a

得5

<0,由a2x?+(1+6a)x2+!

解得,D正確.

12.(-3,7)由x+3=0,得x=-3,則直線y=k(x+3)+7經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,7).

13.1;,BD=(x,1,√2),則AB·BD=-2x+2=0,解得x=1.因?yàn)?/p>

BD=(1,1,√2),BC=(2,2,-2√2),所以AB·BC=-4+4=0,則AB⊥BC,又BD∩BC

=B,所以AB⊥平面BCD.因?yàn)锽D·BC=2+2-4=0,所以BD⊥BC.因?yàn)锳B=2√2,

BC=4,BD=2,所以四面體ABCD的體積

14.6√5設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),

則.1,即

設(shè)直線PA的斜率為k(k>0),則直線PB的斜率

所以直線PA的方程為y=kx+1,直線PB的方程為1,所以),Q(15k,

4),則,當(dāng)且僅當(dāng)

15k,即時，等號成立，所以|M′Q|的最小值為6√5.

15.(1)證明：a在c上的投影向量……2分

因?yàn)閘a1=1,Ic1=2,,所以a·c=|a||c|cos<c,a〉=-1,…4分

所以a在c上的投影向量………6分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共7頁)】·B1·

(2)解：|a+b+c|=√a+b+c)2=√a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)……………9分

依題意得a·c=b·c=-1,……………………11分

所以a|+b+c|=√1+1+4+1-2-2=√3………………13分

16.解：(1)因?yàn)镃的虛軸長為4,所以2√m=4………………1分

解得m=4……………………2分

所以a2=2,b2=4,解得a=√2,b=2…………3分

故C的漸近線方程為y=±√2x……………4分

(2)因?yàn)镻是C的右支上一點(diǎn)，所以|PF?I-|PF?|=2a=2√2…………6分

又|PF?I+|PF?I=4√2,所以|PF?I=3√2…………………8分

(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x?,y1),(x2,y2),

…………9分

兩式相減得2(x?-x2)(x?+x?)一(y?-y2)(y?+y?)=0………………10分

依題意可得……………………11分

所以……………………13分

由(1)知C的漸近線方程為y=±√2x.

因?yàn)?<1<√2,所以直線l與C相交………14分

故直線l的傾斜角為…………………15分

【評分細(xì)則】

【1】第(1)問還可以這樣解答：

依題意可得2b=4……………1分

則b=2…………………………2分

所以C的漸近線方程為：,即y=±√2x…………………4分

【2】第(3)問還可以通過聯(lián)立方程y=x+√2!,得x2-2√2x-6=0,則△=8+

24>0,所以直線l與C相交，直線l的傾斜角還可以寫為45°.

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(共7頁)】·B1·

17.(1)證明：連接AC,交BD于點(diǎn)O.…………1分

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC⊥BD.……2分

在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?⊥平面ABCD,則AA?⊥

BD.……………3分

因?yàn)锳A?∩AC=A,所以BD⊥平面ACC?A?,………………4分

因?yàn)锳?CC平面ACC?A?,所以BD⊥A?C.……………5分

(2)解：因?yàn)榈酌鍭BCD既是菱形，又是矩形，所以底面ABCD為正方形.……………6分

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(2,2,0),C(0,2,0),A?(2,0,3),

C?(0,2,3),·8分

則A?B=(0,2,—3),CB=(2,0,0),A?C?=(-2,2,0)9分

設(shè)平面A?BC的法向量為n=(x,y,z),則n·A?B=2y-3z=0,n·CB=2x=0,……

………………………10分

令y=3,得n=(0,3,2).………………11分

設(shè)平面A?BC?的法向量為m=(x′,y',z'),則m·A?B=2y'-3z=0,m·A?C?=-2x′

+2y′=0,………………12分

令y'=3,得m=(3,3,2).…………13分

,……14分

故.……………………15分

【評分細(xì)則】

【1】第(1)問中，未寫“AA?⊥平面ABCD”,直接得到“AA?⊥BD”,扣1分；未寫“AA?∩AC

=A”,扣1分；未寫“A?CC平面ACC?A?”,扣1分.

【2】第(2)問中，注意到二面角C-A?B-C?為銳角，

18.解：(1)因?yàn)镃的長軸長為4,且,所以2a=4,……………1分

則a=2,所以C的方程………………2分

所以C的離心率為，……3分

(2)依題意可得|F?Q|=|PF?I+|PQ|=|PF?I+|PF?|=2a=4,5分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第5頁(共7頁)】·B1·

由(1)得F?(一√3,0),……………………6分

所以動點(diǎn)Q的軌跡是以F?為圓心，4為半徑的圓，………7分

故動點(diǎn)Q的軌跡方程為(x+√3)2+y2=16.……………分

(3)設(shè)點(diǎn)F?到直線l的距離為d,則…………………9分

因?yàn)閘被Ω截得的弦長為2√15,所以d=√15-(√14)2=1,……分

所以整理得k2=2√3k,…………11分

解得k=0或k=√312分

將y=kx+1代,得(1+4k2)x2+8kx=0,………………13分

解得x?=0,,…………14分

當(dāng)k=0時，x?=x?=0,所以k≠0,………………15分

所………17分

【評分細(xì)則】

【1】第(1)問中，未寫‘,扣1分.

【2】第(3)問中，未寫“k2=2√3k”,但由,解得k=0或k=√3,不扣分；最后

一行中，只要寫了“|AB|=√1+k2|x?-x?21”,就可給1分.

【3】第(3)問中，求得k=0或k=√3后，還可以這樣解答：

當(dāng)k=0時，l與C只有一個公共點(diǎn)，則k≠0.…………12分

所以k=√3,將y=√3x+1代,得13x2+8√3x=0,13分

解得：z?=0,,………14分

……………17分

19.(1)解：由題意知4(√2-1)2=a(3-2√2),得a=4,…………………·1分

則F的坐標(biāo)為(1,0).……………………2分

(2)(i)解：k?k2為定值.…………………3分

理由如下：