初中數(shù)學(xué)

等腰、等邊三角形與直角

三角形的性質(zhì)

題型分類訓(xùn)練（五）

【題型13］等腰（等邊）、直角三角形（動(dòng)點(diǎn)、多解）壓軸訓(xùn)練

解答題專項(xiàng)

【題型13等腰（等邊）、直角三角形解答題壓軸訓(xùn)練】

1.已知在△ABC中，A8=AC,點(diǎn)。是邊AB上一點(diǎn)，N8CD=ZA.

(1)如圖1,試說(shuō)明C￡)=C8的理由；

(2)如圖2,過點(diǎn)用作肘？IAC.垂足為點(diǎn)E,與。。相交于點(diǎn)F.

①試說(shuō)明/BCD=2ZCBE的理由；

②如果A尸是等腰三角形，求NA的度數(shù).

2.如圖，已知△ABC中，AB=AC=\2cm,BC=10cm,BC=\Ocm,點(diǎn)。為的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以25而

的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)一，點(diǎn)Q在線段4c上由點(diǎn)A向點(diǎn)C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng).若P,。兩點(diǎn)分別從3,

4兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，回答下列問題：

⑵在(1)的條件下，證明：4BPD@ACOP：

(3)求經(jīng)過多少秒后，△CPQ為等腰三角形且周長(zhǎng)為18cw?

3.如圖1,在△/18C中，/W=AC=BC=20cm,動(dòng)點(diǎn)尸以每秒|門〃的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).設(shè)

點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，(/>())秒.

圖1

(知識(shí)儲(chǔ)備：一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.直角三角形中30。角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.).

⑴當(dāng)/=10時(shí)，求證：△A4C是直角三角形.

(2)如圖2,若另一動(dòng)點(diǎn)。在線段C4上以每秒2cm的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)戶同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)A

時(shí)點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)△PAQ是直角三角形時(shí)，直接寫出，的值.

⑶如圖3,若另一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)尸同時(shí)出發(fā).當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)

B時(shí)點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ交4c于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作莊_LAC于E.在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)

生變化？為什么？

4.如圖I,P,Q分別是邊長(zhǎng)為6cm的等邊△A8C的邊AB,上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)〃同時(shí)出發(fā),

且它們的速度都為Icm/s,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，s,直線AQ,CP交于點(diǎn)M.

CQ

(I)求/CMQ的度數(shù).

(2)當(dāng),為何值時(shí)?，△PBQ是直角三角形?

(3)如圖2,若點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線8。上運(yùn)動(dòng)，求NCMQ的度數(shù).

5.如圖①，AABC和△AOE中，AB=AC,=且NBAC=/DAE,4。的延長(zhǎng)線交CE交于點(diǎn)F.

(I)求證：

(2)當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，求/8W的度數(shù)；

(3)如圖②，當(dāng)△斗鳥。是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出N8R7的度數(shù)為；如圖③，當(dāng)△ABC是任意等腰三角

形時(shí)，請(qǐng)直接寫出ZBFC與△A3C某個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系為.

6.在△ABC中，ZfiAC=120°,AB=AC,AD為〉A(chǔ)BC的中線，點(diǎn)E是射線40上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,作NCEM=60。,

射線EM與射線BA交于點(diǎn)E

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)。重合時(shí)，求證：AB=2AF;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段4。上，且與點(diǎn)A,。不重合時(shí),

①依題意，補(bǔ)全圖形;

②用等式表示線段AF,A七之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)當(dāng)點(diǎn)石在線段的延長(zhǎng)線上，且。，4？時(shí)?，直接寫出用等式表示的線段AB,AF,4E之間的數(shù)量關(guān)系.

D

圖2備用圖

7.定義：若。為△A8C內(nèi)一點(diǎn),且滿足N4P8=N8PC=NC%=120。，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

D

圖1圖2

(I)如圖I,若點(diǎn)。是高為3的等邊△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，則。A+OB+OC=

(2)如圖2,已知P是等邊△ABQ外一點(diǎn)，且N4P8=120。，請(qǐng)?zhí)骄烤€段附，PB,PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明;

(3)如圖3,已知△ABC,分別以/W、4c為邊向外作等邊△AB。與等邊△ACE,線段C。、BE交于點(diǎn)P,連接/1P,

求證：①點(diǎn)P是ZMBC的費(fèi)馬點(diǎn)；②抬+P8+PC=CD

8.如圖所示，在等邊△ABC中，48=9(7〃，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C8邊向點(diǎn)8以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿

84邊向點(diǎn)A以5c〃心的速度移動(dòng).P.Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為is.

(I)你能用含的式子表示成和BQ的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來(lái).

(2)請(qǐng)問幾秒后，△PBQ第一次為等邊三角形？

(3)若P,。兩點(diǎn)分別從C,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且按順時(shí)針方向沿△4BC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問經(jīng)過幾秒后點(diǎn)尸與點(diǎn)Q第

一次在△ABC的哪條邊上相遇？

9.在等邊三角形A8C中，。為射線上一點(diǎn)，連接AO,點(diǎn)6關(guān)于直線AO的對(duì)稱點(diǎn)為￡連接AE,DE,CE.

圖1圖2備用圖

(I)如圖1,點(diǎn)。在線段8c上，Za4Z)=15°,求/8CE的度數(shù)；

(2)射線A。與射線CE的交于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作。G〃AC交射線A8于點(diǎn)G,連接GE交人。于點(diǎn)

①如圖2,點(diǎn)D在線段8C上，求證：XAGH%叢CDF：

②點(diǎn)。在線段C8延長(zhǎng)線上，用等式表示線段A”,“和CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

10.如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形△A8D、AACE拼在一起（圖1）.ZiAB。不動(dòng).

（1）若將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接。/是的中點(diǎn)，連接Mb、（圖2）,證明：MB=MC.

（2）若將圖1中的C￡向上平移，NC4七不變，連接DE,連接M3、MC（圖3）,請(qǐng)判斷并直接寫出MB、MC

的數(shù)量關(guān)系；

（3）在（2）中，若NCAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的M8、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)

明理由.

11.在等邊^(qū)ABC中，線段AM為BC邊上的中線.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為邊在CD的下方作等邊△CDE,

連接BE.

（1）若點(diǎn)。在線段4M上（如圖①），貝IJ4DBE（填〈”或“=”），NC4M=度;

（2）設(shè)直線BE與直線4M的交點(diǎn)為。.動(dòng)點(diǎn)。在線段4M的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖②），

（i）試判斷A。與3￡的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（z7）求NAOB的度數(shù).

12.【閱讀理解】

如圖1,AABC中，若A6=10,AC=8,求6c邊上的中線AO的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如

下的解決方法：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使OE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△ADC^^EBD的理由是______；

A.SSSB.SASC.AASD.ASA.

(2)連接的，利用三角形的三邊關(guān)系可以確定AE的取值范圍，從而可以得到AD的取值范圍是；

【方法總結(jié)】

解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論

集中到同一個(gè)三角形中；

【問題解決】

(3)如圖2,是的中線，AB=AE,AC=AFfZBAE+ZC4F=18O°,試判斷線段AO與痔的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

(4)在(3)的條件下，若NBAE=NCA尸=90。，延長(zhǎng)D4交功于點(diǎn)G,AD=2,AG=3,則△48C的面積為.

13.閱讀與思考：下面是小亮同學(xué)寫的?篇數(shù)學(xué)H記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

X年X月X日星期四

今天數(shù)學(xué)課，復(fù)習(xí)完三角形全等的證明方法和直角三角形的性質(zhì)之后，重點(diǎn)解決了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：△ABC是等

腰直角三角形，A。是斜邊8C邊上的高，點(diǎn)E是。。上的任意一點(diǎn)，作8FJ_AE于點(diǎn)尸，交4。于點(diǎn)G,根據(jù)題意

可以得到如下兩個(gè)結(jié)論嗎？并說(shuō)明你的理由.

(I)BD=AD=DC；(2)DG=DE.

第一個(gè)結(jié)論：

「△A6c是等腰直角三角形，月。_L3C,工月。是斜邊3C邊上的中線(依據(jù)).

ABD-DC.又:/八。。一45。，為等腰宜角三角形./.RD—AD—DC.

第二個(gè)結(jié)論…

(1)以上證明過程中，依據(jù)是.

(2)請(qǐng)幫助小亮證明第二個(gè)結(jié)論：DG=DE.

(3)除了以上兩個(gè)結(jié)論外，你還能得到哪些相等的線段，并說(shuō)明你的理由.

14.如圖，在RSABC中，NBO=90。，AC=BC,過點(diǎn)A作MN_LA8,點(diǎn)。在48上(不與點(diǎn)A,B

重合)，作NOCE=45。，NDCE的邊CE交直線MN于點(diǎn)E,連接。E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在射線AM上時(shí)，作CRLCE,交于點(diǎn)F,求證：CE=CF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在射線AN上時(shí)，寫出線段AE,DE,BQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，若CE與AQ交于點(diǎn)P,當(dāng)P為CE的中點(diǎn)，且四邊形AEOC的面積比△BCD

的面積大16時(shí)，直接寫出△ABC的面積.

圖I圖2

15.在△ABC中，A8=5,AC=3.若點(diǎn)。在N8AC的平分線所在的直線上.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在△ABC的外部時(shí)，過點(diǎn)D作力E_LAB于E,作DF_LAC交AC的延長(zhǎng)線于F,

且BE=CF.

①求證：點(diǎn)。在BC的垂宜平分線上；②BE=.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8。上時(shí)，若/C=90。，BE平分NA8C,交AC于點(diǎn)￡交AD與點(diǎn)F,

過點(diǎn)F作FGLBE,交BC于點(diǎn)G.

①NDFG=；②若3C=4,EC=1,求GC的長(zhǎng)度.

3

(3)如圖3,過點(diǎn)A的直線/〃BC,若NC=90。，8C=4,點(diǎn)。到△ABC三邊所在直線的距離相等,

則點(diǎn)。到直線/的距離是.

16.(1；如圖①，已知：ZiABC中，NB/IC=90。，AB=AC,直線，，經(jīng)過點(diǎn)A,BD上m于D,CELmE,求證:

DE=BD'CE；

(2)拓展：如圖②，將(1)中的條件改為：AABC中，AB=AC,D、A、￡三點(diǎn)都在直線加上，并且N8D4=/A￡C

=NBAC=a,a為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問結(jié)論。E=3Q+"是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：

(3)應(yīng)用：如圖③，在△ABC中，/8AC是鈍角，AB=AC,NBAD>NCAE,NBDA=NAEC=NBAC,直線〃?

與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)R若BC=2CF,AABC的面積是12,求△AB。與△CE尸的面積之和.

17.綜合與實(shí)踐

如圖①，RS4BC中，NACB=90。，C。為RtZkABC的斜邊上的中線，在證明的過程中，我們可以

延長(zhǎng)CD到上，使得。=DE,連接BE.很容易證明NACO945EO,進(jìn)而證明△ABCeZSECB,所以AB=CE,

所以CD=4O=5O.我們可以得到直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半.

實(shí)踐操作：

將兩個(gè)全等的RSA3。，RSACE■拼在一起，如圖②，△48。不動(dòng).

問題解決：

(1)將△人CE繞點(diǎn)人逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接。E,M是DE的中點(diǎn)，連接MB,MC,如圖③.求證：WB=MC；

拓展延伸：

(2)若將圖②中的CE向上平移，且NCAE不變，連接。E,M是OE的中點(diǎn)，連接MB,MC,如圖④，則線段

MB,MC的數(shù)量關(guān)系為；

問題再探：

(3)在(2)的條件下，若NCAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請(qǐng)你判斷線段MB,MC的數(shù)量關(guān)系還成立

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.【問題引入】

(1)如圖①，△ABC中，ZB=60°,ZC=30°,過點(diǎn)A作AO_Z8C,垂足為點(diǎn)D若AB=2,則

CD=

類比探究】

(2)如圖②，△ABC中，ABAC=75°,過點(diǎn)A作AOJ16C,垂足為點(diǎn)。，且6DVCD,若AB+BD=CD,求

NC的度數(shù).

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖③，△A3C中，NB=2NC,AE平分NBAC,交BC于點(diǎn)E.求證：AB+BE=AC.

圖①圖②圖③

19.如圖1,AABC中，AB=AC,N84C=120。，點(diǎn)。邊8c上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)8、C重合)，連接A/),

將線段AZ)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120c后得到線段AE，連接CE.

圖1圖2

備用圖

(1)求44CE的度數(shù);

(2)己知AC=8,點(diǎn)。在3c上運(yùn)動(dòng)的過程中，若ACDE是直角三角形,求此時(shí)的長(zhǎng);

(3)如圖2,點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，連接EF,若A8=6,則線段E廠的長(zhǎng)度最小值為.

20.【模型提出】

“一線三垂直”模型是“一線三等角“模理的特殊情況，即三個(gè)等角的度數(shù)為90。，且三組邊相互垂直，所以稱為“一線

三垂直'模型.當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，模型中必定存在全等三角形.

圖1

(1)①如圖1,在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=8C,過點(diǎn)。作直線力E，4。_1,力后于點(diǎn)。，BEJ.DE

于點(diǎn)E，則4。，8石與力E1之間滿足的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,在等腰直角AARC中，ZACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C作直線CE,過點(diǎn)A作AZ)_LC石于點(diǎn)Q,

過點(diǎn)R；乍BE上CE于點(diǎn)E，AD=5,BE=2,則。E的長(zhǎng)為

【模型初探】

(2)①如圖3,四邊形ABC。中，AC=BC,ZACB=ZADC=900,CD=8.求△BCD的面積

②如圖4,在Rt.AQB中，NAQ3=90。，分別以84和08為直角邊作等腰RtZXABO和等腰Rt^OBC，連。。

交08延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，判斷A。與屈的數(shù)量關(guān)系并證明.

【模型拓展】

(3)如圖5,在中，AB=AC,3C=4,S八相二6,以AC為直角邊向右側(cè)作一個(gè)等腰直角三角形AC。,

連接B。，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出△BCO的面積.

21.如圖1,等邊△人8C中，過點(diǎn)A在48邊的右側(cè)作射線AP，/孫夕=。(300＜。＜45。)點(diǎn)8與點(diǎn)￡關(guān)于射線人尸

對(duì)稱，連接AE,BE,且非交射線A尸于點(diǎn)。，過C、E兩點(diǎn)的直線交射線AP于點(diǎn)口，連接M.

AA

圖1

(1)當(dāng)a=40°時(shí)，求N8所的度數(shù);

(2)求證：AF=BF^-CFx

如圖2,點(diǎn)M為射線AP上的一動(dòng)點(diǎn)，過兔M做MNJ.AB于WN,連接8M,當(dāng)8M+VN的值最小時(shí),

請(qǐng)直接寫出NAMB的大?。ㄓ煤?。的代數(shù)式表示）.

22.在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三

角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過程中，始終存在?對(duì)全等三角形，我們

把這種模型稱為“手拉手模型”.這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如卜操作：

(1)如圖1,在AABC和中，AB=AC,AD=AE>^\C=ZDAE=40°(AB>AD),連接8。，CE,

當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上，且D,E,C三點(diǎn)共線時(shí)，則在這個(gè)呼拉手模型”中，和△A3。全等的三角形是,NBDC

的度數(shù)為.

(2)如圖2,已知AABC,分別以AB、AC直角邊向△ABC兩側(cè)作等腰直角,ABE和等腰直角AC。，其中

ZBAE=ZC4D=90°,連接CE、BD，線段CE和3。交于點(diǎn)0.

①證明：CE=BDRCE工BD；

②若。C與在同一直線上，如圖3,延長(zhǎng)。人與CE交于點(diǎn)凡連接B尸并延長(zhǎng)，8尸的延長(zhǎng)線與邊AE交于點(diǎn)G,

且A/二AG,若△A/3E和△4CO的面積之和為20,ABG的面積為6,求線段EG的長(zhǎng).

23.新定義：如果兩個(gè)三角形不全等但面積相等，那么這兩個(gè)三角形叫做積等三角形.

【初步嘗試】

(1)如圖1,在.ABC中，AB>AC,BC=4,P為邊BC上一點(diǎn),若「.ABP與二ACP是積等三角形，求族的

長(zhǎng)；

【理解運(yùn)用】

(2)如圖2,與wACD為積等三角形，若A8=2,AC=4,且線段A。的長(zhǎng)度為正整數(shù)，求AO的長(zhǎng).

【綜合應(yīng)用】

(3)如圖3,在RtAABC中N84C=90°,A8=AC,過點(diǎn)C作MNJ.AC,點(diǎn)。是射線CM上一點(diǎn)，以4。為

邊作Rl二4OE,ND4E=90°,AD=AE,連接施.請(qǐng)判斷,胡石與.AC。是否為積等三角形，并說(shuō)明理由.

圖1圖2圖3

參考答案

【答案】⑴見解析；(2)①見解析；②當(dāng)時(shí)，44=45。或當(dāng)尸時(shí)，ZA=36°.

1

【詳解】(1)VAB=AC,：.ZABC=ZACBt

VZBDC=ZA+ZACDtZACB=/BCD+ZACD,

VZBCD=ZA,；?乙BDC=/ACB,；?"BC="DC,CD=CB.

(2)①???8E_LAC,ZBEC=90°,

V4BEC+/CBE+ZACB=180°,/.NCBE+ZACB=90。

設(shè)NCB￡=a,則Z4c8=90°-a.:./ABC=NBDC=9CT-凌.

VZABC+ZBDC+ZBCD=180°,^BCD=180°-(90°-a)-(900-a)=2a,NBCD=2/CBE.

②VNBDF是等腰三角形，

???i)BD=BF；ii)BD=DF；iii)FB=FD,

i)當(dāng)5。二環(huán)時(shí)，/BDC=/BFD,

*：/BFD=NCBE4-/BCD,：./BFD=a+2a-3a,

又?；/BDC=ZABC-900-a,，90°-a=3a,Aa=22.5°,/.ZA=ZBCD==45°；

ii)當(dāng)。8=0廠時(shí)，4DBE=4BFD,

VZDBE=ZABC-NCBE,：.ZDBD=90°-a-?=90°-2cr.

A90°-2a=3a,A?=18°,AZA=ZBCD=2?=36°；

iii)當(dāng)所=FD時(shí)，ZDBE=ZBDFtNBDF=ZABC>/DBF,

工不存在FB=FD.

綜上所述，當(dāng)BD=BF時(shí),ZA=45。或當(dāng)/羽=￡)廠時(shí)，ZA=36°.

78

【答案】(1)4,4；(2)見解析；(3)f=7s或l==s或ls.

45

【詳解】(1)當(dāng)尸，。兩點(diǎn)分別從乂A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，有6尸=2x2=4(cm),A0=4x2=8(cm),

/.CQ-AC—AQ=12-8=4(cm),

故答案為：4,4；

(2)由(1)得：PB=4,0(2=4,

:.PC=BC-BP=]0-4=6,

2

???。為AB的中點(diǎn)，

:.BD=-AB=-x\2=6

22f

:.PC=BD,

又???AC=AB,

:?NB=NC,

在A08尸與△尸CQ中，

BD=CP

4=NO,

BP=CQ

：.ABPDg△CQP（SAS）；

(3)設(shè)經(jīng)過f秒后，△PCO為等腰三角形,

由題意可得：BP=2ttCP=10-2z,C2=12-4r,

???△PCQ的周長(zhǎng)為18C〃7,

???Pe=18-(10-2r)-(12-4f)=6r-4,

①當(dāng)『C=〃。時(shí)，10—2/=6/-4,所以/=工；

4

Q

②當(dāng)CQ=P。時(shí)，12-4/=6r-4,所以Kg；

③當(dāng)CQ=CP時(shí)，12-4/=1。-2,所以7=1,

78

綜上，當(dāng)/JS或或k時(shí)，為等腰三角形且周長(zhǎng)為18c〃?.

45

【答案】(1)見解析；(2)5或8；(3)線段的長(zhǎng)度不變，為定值10cm,理由見解析.

【詳解】(D證明???△/!〃€：是等邊三角形，

???AB=BC=AC=2Ot

當(dāng)Z=10時(shí)，PA=1O,

:.PA=PB,

：.CPLABf

3???△ACP是直角三角形；

(2)解：分兩種情況：

①當(dāng)N4PQ=90。時(shí)，如圖所示：

圖2-1

貝(JZAQP=900-Z4=30°,

：.AQ=2APf

由題意可得：AP=I,CQ=2tf則4。=20-2/,

A20-2r=2z,

解得z=5；

②當(dāng)乙4Q?=90°時(shí)，如圖身示：A

則N4PQ=900_NX=30。，/\Q

：.AP=2AQtPR\

.??f=2(20-It),B，--------------------C

解得」=8;圖2"

綜上，當(dāng)/=5或8時(shí)，是直角三角形；

(3)解：線段。月的長(zhǎng)度不變化，理由如下：

過點(diǎn)。作。尸JL4C，交AC的延長(zhǎng)線于〃，如圖3所示：

VPE1AC.QF±ACf

:./AEP=NDEP=NCFQ=90°,/

VNQCF=ZACB=60°,P/C\

.?.ZA=Z.QCF,/

又?.?AP=CQtc\〉。

圖3F

/.△4PE^AC0F(A45),

?,.AE=C尸,PE=QF,

XVNPDE=NQDF,

:.APDE^QDF(AAS),

：.DE=DF=-EF

2t

?:EF=CE+CF,AC=CE-^AEt

???EF=AC=20t

：.DE=-EF=\0f

2

即線段。石的長(zhǎng)度不變，為定值10cm.

【答案】(1)60。；(2)2或4；(3)120。.

【詳解】(1)證明：??,等邊三角形中，A/3=ACfN8=/C4P=60。，

又由條件得4P=8。，

/.△A/?e^ACAP(SAS),：,ZBAQ=ZACP

4f

NCMQ=ZACP+ZCAM=N/34Q+NC4M=ZBAC=60°；

(2)解：由題意時(shí)間為，秒，則A尸=AQ=/cm,PB=(6-r)cm,

①當(dāng)NPQ4=90。時(shí)，

vZB=60°,AZfiP0=9O°-6Oo=3O°,:.PB=2BQ,得6-1=2z,.e.r=2；

②當(dāng)N8PQ=900時(shí)，

vZB=60°,^BQP=90°-60°=30°BQ=2BP,得f=2(6—f),

???/=4；?,?當(dāng)?shù)?秒或第4秒時(shí)，APB。為直角三角形；

(3)解：在等邊三角形中，AB=ACf4BQ=NC4P=60。，

???NP3C=NQC4=120。，

又由條件得BP=CQ,AC=CB

(SAS),

工NBPC=NC@A,

又?:NPCB=/MCQ,

???ZGWe=ZPBC=180a-60o=120°.

【答案】⑴見解析；(2)60。；⑶90。；ABFC=/BAC.

【詳解】(1)證明：???N8AC=NZME,

???ABAC-^CAD=ZDAE-ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

在AAB力和"CE中，

AB=AC,ZRAD=ZCAEfAD=AE,

???AS4Z)^AC4E(SAS)；

(2)解：：.ZABD=ZACEt

?.?△A8C是等邊三角形，AZZi4C=60o,A

設(shè)AC,班'交于點(diǎn)0,

貝」1ZLBOC=ZACE+ZLBFC=ZABD+ZBAC,/

5

：./BFC=ABAC=60。；\lc

(3)解：當(dāng)△A5c是直角三角形時(shí)，

同理△84注△CAE(SAS),

:.ZABD=ZACE,/^^7\

???△ABC是等腰直角三角形，/

...NR4C=90。，\\

設(shè)AC,斷交于點(diǎn)。，BC

貝(JZBOC=ZACE+NBFC=ZABD+ABAC,

/.Z^FC=ZBAC=90°；

當(dāng)4ABC是任意等腰三角形時(shí),

同理△84足△CAE(SAS),

：.ZABD=ZACE,

設(shè)AC,BF交于點(diǎn)。,

貝ljZ.BOC=ZACE+ZBFC=ZABD+ZBAC，

：.ZBFC=ZBAC；

故答案為：90°；NBFC=NBAC.

【答案】（1）見解析；（2）AB=AF+AE,證明見解析；（3）當(dāng)相>>瓦）時(shí)，=Ab+AE,當(dāng)ADv匹

時(shí)，AB=AE-AF

【詳解】（1）???A4=AC,是等腰三角形,

VABAC=120°,/.ZB=ZC=30°,ZFAC=180。-120°=60°,

TAO為△ABC的中線，???NB40=NCW=6O。，ZAZ)C=90°,

???ZDAF=ZG4D+ZFAC=600+60°=120°,

V/CEM=60。，:.ZADF=9()。-60。=30°,

???ZAFD=180°-(120°+30°)=30°,AAD=AFt

在RSAO"中，ZZ?=30°,

AB=2AD=2AF；

(2)A13=AF+AEf證明如下：

如圖2,在線段AB上取點(diǎn)G,使EG=E4,

VNE4C=60°,

???△AEG是等邊三角形，

圖2

AZ4EG=60°,NBGE=NFAE=120。,

,??△ABC是等腰三角形，AD為“AC的中線，

1?EB=EC,NBED=NCED,

AZAEB=ZAEC,BPZAEG+ZGEB=ZCEF+ZAEFf

,:4CEF=ZAEG=ar,:?/GEB=ZAEF,

在與AME中，

NGEB=NAEF

EG=EA

NBGE=/FAE

/.△BGE^AME(ASA),：.GB=AFt,A8=G8+AG=AF+AE；

(3)當(dāng)AO>￡D時(shí)，如圖3所示：

與(2)同理：在線段上取點(diǎn)”，使"7=3，

???/班。=60。，

???△AE”是等邊三角形，4F

???NBHE=ZFAE=120°,ZAEH=60°,

??,△ABC是等腰三角形，AQ為AABC的中線，?廠K

/BED=NCED,/c

VZCEF=Z4EH=60°,:?"EB=ZAEF,E

圖3

CASA),:?HB=AF,

:.AB=HB+AH=AF+AE,

當(dāng)4)vED時(shí)，如圖4所示：

在線段的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M使EN=EA,

???/%。=60。，；?AAEN是等邊三角形,：.ZA￡7V=Z/W￡=6O°,

VNCEF=ZAEN=60。:.ZNEF=ZAEC,尸4

在4NEF與△AEC中，

K

4FNE=NCAE=60。*〈

EN=EA,

NNEF=Z.AEC

E

醫(yī)4

:.ANEF迫/\AEC(ASA),:.NF=AC=AB,

:.BN=AF,：.AB=AN-BN=AE-AF,:.AB=AE-AF.

【答案】(1)6；(2)PD=PB+PA,證明見解析;(3)①見解析；②見解析.

【詳解】(1)解：如圖所示，將△AOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACTD,

???△AOO,是等邊三角形，AACD是等邊三角形，

丁點(diǎn)O是高為3的等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

:.ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°,

:.ZAOB+ZAOOr=180°,NAO9+NA(rD=180。,

AB,O,O\D四點(diǎn)共線，

VAB=AD,CB=CD,

AA,C在BD的垂直平分線上，/.BD±AC,AZABO=ZCBO=30°,

如圖所示，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D,

???點(diǎn)O是高為3的等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

:.ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°,

AZOBD=ZOCB=30o,ZDAB=ZDAC=30°,

Z.AD1BC,貝!1OA=OB=OC,AOD=1BD=1AD,

22

VAD=3,AAO=2DO=2,AAO+BO+CO=6,故答案為6.

7

(2)解：PD=PB+PA,理由如下，

如圖所示，延長(zhǎng)BP至Q,使得PQ=PA,連接AQ,

VZAPB=120°,AZAPQ=60°,

又PA=PQ,

???△APQ是等邊三角形，

，NQAP=NQ=60。，

〈△ABD是等邊三角形，r.ZDAB=60°,

/.ZDAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP,即NDAP=NBAQ,

又AD=AB,AP=AQ,

AAADP^AARQ(SAS).

，DP=BQ,

APD=PB+PQ=PB+PA,

即PD=PB+PA；

(3)①證明：如圖，作AM_LCD于M,ANJ_BE于N設(shè)AB交CD于O.

VAADB,△ACE都是等邊三角形，

AAD=AB,AC=AE,ZDAB=ZCAE=60°,

/.ZDAC=ZBAE,

/.△ADC^AABE(SAS),

ACD=BE,SAADC=SA*BE，ZADC=ZABE,

VAM±CD,AN±BE,

/.1CDAM=1BEAN,

22

AAM=AN,AZAPM=ZAPN,

VZAOD=ZPOB,.*.ZOPB=ZDAO=60o,AZAPN=ZAPM=60°,

AZAPC=ZBPC=ZAPC=120°,?,?點(diǎn)P是就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn).

②在線段PD上取一點(diǎn)T,使得PT=PA,連接AT.

VZAPT=60°,PT=PA,??.△APT是等邊三角形，

AZPAT=60°,AT=AP,

VZDAB=ZTAP=60°,ZDAT=ZBAP,

VAD=AB,/.△DAT^ABAP(SAS)，

APB=DT,.?.PD=DT+PT=PA+PB,

:.PA+PB+PC=PD+PC=CD=BE.

【答案】(1)外=(9-2/)cm,8Q=5/cm；(2)^s時(shí)，△PBQ第一次為等邊三角形;

(3)經(jīng)過6秒后點(diǎn)尸與點(diǎn)。在A8上第一次相遇.

【解析】(D「△ABC為等邊三角形，???8C=A8=9cm,

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為&，???3尸=8C-C尸=(9-2/)cm,

V點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs、：.BQ=5/cm；

9

(2)若△P3。為等邊三角形，則有即9—2，=夕，解得/=,,

9

???]s時(shí)，第一次為等邊三角形；

(3)設(shè)/s時(shí)，。與尸第一次相遇，

根據(jù)題意得5—2/=18,解得f=6,

即6s時(shí)，兩點(diǎn)第一次相遇.

當(dāng)r=6s時(shí)，尸走過的路程為2x6=12cm,

而9V12Vl8,即此時(shí)產(chǎn)在陰邊上，

,經(jīng)過6秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q在創(chuàng)上第一次相遇.

【答案】（1）15。；（2）①見解析；②CE=HF+AH，理由見解析.

【解析】（D解：???點(diǎn)/關(guān)于直線A0的對(duì)稱點(diǎn)為瓦

，AB=AE,ZBAE=2/BAD=30°,

???△ABC是等邊三角形，:.AB=ACfZBAC=Z4CB=60°.

???ZE4C=ZBAC-ZEAE=30°

VAB=AE/.AE=ACtZMC=30°.

18()0-NE4C18()°-30°…

ZACE=---------------=------------=75°.

22

/BCE=ZACE-ZACI3=15°.

(2)解：①???△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,NBAC=^ACB=/B=60。.

*：DG//ACf:"BGD=/BAC=9o,4QG=N8C4=60。.

ZB=ZBGD=ZBDG=60。.

「.△BDG是等邊三角形..?.8G=8，:.AG=CD.

點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E,

.'-AB=AE?設(shè)/BAD=NDAE=a.

???△AAC是等邊三角形，:.AB=AC,/B4C=NAC3=60°.

AE=ACfNE4C=60—勿....ZACE=60+a?:.ZBCE=a.

9/BAD=/BCE..,.在AADC中，ZAPC=60+a.

NGZM=60-a,ZCDF=120-a,ZBDA=[2()-a.

點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為Et

ZBDA=AEDA=\20-atBD=DE..?.NGO￡=180-%.

GD=DB,;.GD=DE.:"DGE=/DEG=a.

:.^AGH=\20-2a.:.ZAGH=NCDF.

NBAD=Z.BCE

在AAGH和ZkCDF中，,AG=CD

ZAGH-上CDF

/.△AGH^ACDF(ASA).

?CE=HF+AHf理由如下：

由①可得4AGH^ACDF(ASA).

/.AH=CF.

在AAFC中，Z4FC=60°,:2EFH=g。.

???/EHF=/DEG+/EDH=60°,

/EFH=/EHF=/HEF=60。.

：.^EHF是等邊三角形.

:.HF=EF.

【解答】證明：(1)如圖2,連接AM,由已知得△A5O空△ACE,

：.AD=AEtAB=ACfN8AD=/CAE,

*：MD=MEt:.ZMAD=NMAE,

AZMAD-ZBAD=ZMAE-NCAE,即NR4M=NCAM,

"AB=AC

在△A6M和AACM中，1/BAM=NCAM，

M=AM

/.△AB^AAGW(SAS)，???M8=MC；

(2)MB=MC.

理由如下：如圖3,延長(zhǎng)OB、AE相交于周，延長(zhǎng)EC交AO于尸,

；?BD=BE\CE=CF,

是的中點(diǎn)，6是。肥的中點(diǎn)，:.MBH處,：.ZMBC=ZCAEt

同理：MC〃AD,:.NBCM=NBAD,

*：ABAD=Z.CAE,：.ZMBC=ZBCMt：.MB=MC；

(3)MB=MC還成立.理由如下：如圖4,延長(zhǎng)交CE于F,

?:CE//BD,：.ZMDB=AMEFfZMBD=ZMFEt

又???〃是OE的中點(diǎn)，???MD=ME,

rZMDB=ZMEF

在AMOS和△ME/中，ZMBD=ZMFE，

MD=ME

：.^MDB^^MEF(AAS),工MB=MF,

10VZ4CE=90°,.e.ZBCF=90o,

：.MB=MC.

：.AC=BCfDC=EC,NA1C=NAC8=NOCE=60°,

:.NACO=N8CE=60。-/BCD,在^ACD和4BCE中,

(AC=BC

l^ACD=LBCE

(DC-EC，

:?△ACD94BCE(SAS),：.AD=BEt

，線段AM為8c邊上的中線,

AZCAM=ZBAC-LX60°=30°,故答案為：=,30.

22

(2)?AD=BEt

理由：如圖②，?.?NAC"=/OCE=60。，

:.NACD=NBCE=60o+NBCD,在^ACD和4BCE中,

AC=BC

^ACD=LBCE

Dr?FC，

，△ACO空△BCE(SAS),

：.AD=BE.

②???NC4M=30。，點(diǎn)O在線段AM的延長(zhǎng)線上，

???NCAD=NC4M=30。，

〈△ACD色ABCE,

:.NC4O=NC5￡=30。，

???△48C是等邊三角形，線段AM為8C邊上的中線，???AM_L5C,

ANO”B=90°,

:.NAO3=90。-ZCZ；￡=90°-30°=60°,

AZAOB的度數(shù)是60°.

【答案】(1)B(2)}<AD<9；(3)EF=2AD.(4)6,

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)已使。E=AD,連接BE.

?*?r八—八旦;力m—l-66ct…a蛙'?>?一?np"，____/、C

AD-DE

?*?/ADC=NEDB,E

DC=DB

AACAD^ABED(SAS),故選：B,

(2)解：VACAD^ABED(SAS),

12

\C=BE.

?：\AB-BE\<AE<AB+BE,

：.\AB-AC\<AE<AB+AC,

E

???AB=10,AC=8,A2<2AD<\8\\

故1<ADV9.\'F

(3)解：所=2AD理由如下：

延長(zhǎng)AO到點(diǎn)G使ZX7二AO,連接8G.廣?、；

G

???AD是△A8C的中線，：.DC=DBt

AD=DG

VZADC=NGQB,

DC=DB

AACAD^ABGD(SAS),

：.AC=GBt/C=NDBG.

???AC//BG,

/.ZBAC4-ZABG=180°,

VZ/J4E+ZC4F=I8O°,

AZ^C+ZE4F=180°,

：.ZAI3G=ZEAFf

VAC=AFt

：.BG=AFt

AB