第二章二次函數(shù)(B卷?培優(yōu)卷)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

A卷(共100分)

第工卷(選擇題，共32分)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一里是符合題目

要求的。

1.下列函數(shù)不屬于二次函數(shù)的是()

A.y=(x-l)(x+2)B.k;(X-爐

C.y=l-V3x2D.y=2(x+3)2-2x2

【答案】D

【分析】把每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)整理成一般形式，根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判定.

2

【詳解】解：A.y=(x-\)(x+2]=x+x-2f是二次函數(shù)，不符合題意；

22

B.y=^(x-\)=^x-x+^t是二次函數(shù)，不符合題意；

C.y=l-&2=—氐2+],是二次函數(shù)，不符合題意；

D.y=2(x+3)2-2x2=2.r+12.r+18-2x2=12x+18,不是二次函數(shù)，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的識(shí)別，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.??般地，把形如

y=ar+Z?.r+c(?*0)(〃、b、c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù).

2.拋物線)，=-3/經(jīng)過(guò)平移得到拋物線)，=-3*+1)2-2,平移的方法是()

A.向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位

B.向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位

C.向左平移1個(gè)單位，再向二平移2個(gè)單位

D.向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：拋物線y=-3/經(jīng)過(guò)平移得到）,=-3（X+1）2-2,平移方法是：向左平移I個(gè)單位，再向下平移

2個(gè)單位.

故選擇:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握拋物線的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.二次函數(shù)產(chǎn)-丁+2.?4,當(dāng)-lvxv2時(shí)，的取值范圍是（）

A.-7<y<-3B.-7<J><-4C.-7<y<3D.-4<y<-3

【答案】A

【分析】畫出二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求解.

.??當(dāng)一l<x<2時(shí)，

-7<y-3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式問(wèn)題，畫出圖象，會(huì)利用圖象解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知在拋物線），=/一2上有一點(diǎn)A84軸于B點(diǎn)，連接。4,將△08A繞。點(diǎn)順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，該三角形的A.8兩點(diǎn)中必有一個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，這個(gè)角度是（）

【答案】B

【分析】如圖，設(shè)拋物線與），軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,2）,再根據(jù)QA=2可得當(dāng)點(diǎn)A與拋物線頂

點(diǎn)。重合時(shí)滿足題意，再利用銳角三角函數(shù)求得408=303從而求得旋轉(zhuǎn)角度.

【詳解】解：如圖，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,2）,

VA（V3,1）,軸于B點(diǎn)，

AAB=\,08=504=可+1=2,

_/ACR_AB百

?tan/-.AOR----——,

OB3

?.Z4Q8=30。，

???ZAOC=300+90°=120°,

???將△OBA繞。點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。，該三角形的A與拋物線的頂點(diǎn)C重合，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與y軸的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)，根據(jù)拋物線求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，

從而確定旋轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵.

5.若當(dāng)-4KxK2時(shí)，二次函數(shù)）二3/一〃氏+1（〃?>0）的最小值為0,則機(jī)=（）

933

A.――B.5/2C.-D.&或不

1乙乙

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，先求得該二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再分。<，〃W2、m>2三種情況，分別根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】解：y=^x2-mx+\

=；（XT〃『+1%，

?.?該二次函數(shù)的圖象開II向上，燈稱軸為直線x=，〃，

?/加>0,

當(dāng)Ov〃區(qū)2時(shí)，當(dāng)％=小時(shí)，），有最小值，則1一胃1=0,

解得〃?=0或/九=-&（舍去）；

當(dāng)加＞2時(shí)，當(dāng)-44x42時(shí)，二次函數(shù)），隨x的增大而減小,

???當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值，則0=；（2—〃"+1-

3

解得〃（舍去），

綜上，加的值為近.

故選:B.

6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（?l,0）,點(diǎn)B（1,1）都在直線），=；x+；上，若拋物線），=62?戶1

（存0）與線段A3有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

9

A.把-2或?>1B.a<-^-2<a<\

o

99

C.I<?<-^c?<-2D.-2<a<-

Oo

【答案】C

【分析】分。＞0,aVO兩種情況進(jìn)行討論，找臨界點(diǎn)進(jìn)行討論即可.

【詳解】解：???拋物線尸混（在0）與線段/W有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

???令,x+'naF-x+l,則2爾-3/1=0,

22

???△=9?8〃＞0,

??。V—.

8

①當(dāng)aVO時(shí)，

此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn),

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：a+1+1=0,

解得〃=?2,

故土?2：

②當(dāng)時(shí),

此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸在)，軸右側(cè)，

當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn)，

將點(diǎn)3的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：1+1=1,

解得?=1,

即：d>\

??V—.

8

9

綜上所述：或把?2.

O

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象和系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特

征，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，拋物線產(chǎn)加+瓜+4*0)的對(duì)稱軸為直線x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(T,0),其部分圖象

如圖所示，下列結(jié)論：①々zcv/；②方程g?+/zx+c=0的兩個(gè)根是玉=-1>占=3；③2a+b=0；④abc>()；

⑤當(dāng)x<()時(shí)，y隨x增大而增大，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是().

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【分析】由拋物線與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與上軸的一個(gè)交點(diǎn)坐

標(biāo)為（3,0）,則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由對(duì)稱軸方程得到加-2a,即可得到為+/尸0,則可對(duì)③進(jìn)行判斷；由拋物

線的位置可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)⑤進(jìn)行判斷.

【詳解】解：由圖象可知：

拋物線的對(duì)稱軸為直線-1,

而點(diǎn)（-1,0）關(guān)于直線ml的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,

方程or?+Z?x+c=0的兩個(gè)根是』二一1,々=3,故②正確；

故A=/?2—4%?＞（）,即4訛＜從，故①正確；

*.*x=-y-=l,即b=-2a,

???2"b=0,故③正確；

???拋物線開口向下，

?.6＜0,

:對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

：.b＞0,

???拋物線交y軸的正半軸，

.,.c＞0,:.abcVO,故④錯(cuò)誤；

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

???當(dāng)工VI時(shí)，丁隨x增大而增大，故⑤正確.

綜上，①②③⑤共4個(gè)正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)），=4+法+。（分0）,二次項(xiàng)系數(shù)〃決定

拋物線的開口方向和大小：當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)〃和

二次項(xiàng)系數(shù)。共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)〃與人同號(hào)時(shí)（即。力＞0）,對(duì)稱軸在1y軸左；當(dāng)〃與。異號(hào)時(shí)（即

外＜0）,對(duì)稱軸在），軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與），軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0,c）；拋物線與x

軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=〃一4衣＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=〃一4々。=0時(shí)，拋物線與x軸有1

個(gè)交點(diǎn)；△=〃-4々。＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線），=4,與二次函數(shù)），=/和,，=//分別交于A、B和C、

。四個(gè)點(diǎn)，此時(shí)，8=2A8,把直線），=4向上平移bg>0）個(gè)單位，則CO與48之間的關(guān)系是（）

A.CD=2ABB.隨著直線），=4向上平移，CD>2AB

C.隨著直線）=4向上平移，CDv2ABD.無(wú)法判斷

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出人、B、C、。的橫坐標(biāo)是解

題的關(guān)鍵.

售=2x4,

將了=4分別代入y=V和曠二6'即可得出求出A3,C。長(zhǎng)度，根據(jù)CD=2AB得出從而得

出“的值，然后得至"“表達(dá)式為尸",然后求出。。與A8的值進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：把y=4代入），=/中得，/=4,

x=±2

??"的橫坐標(biāo)為-2,B橫坐標(biāo)為2

：.AB=2-(-2)=4

把y=4代入）,=，得，ar2=4?

士一=±平

???C的橫坐標(biāo)為-丈，。橫坐標(biāo)為2圓

aa

：，CD=—

???CD=2AB,

?4Gr/

??-----=2x4

??"/負(fù)值舍去）

，y="2表達(dá)式為y,

4

???把直線丫=4向上平移力僅>0)個(gè)單位，得到直線y=4+力

???把)，=4+力代入y=/中得，f=4+〃，

?**x=±，4+b

???AB=V4+/?-(-x/4+/?)=2x/4+^

把y=4+〃代入y=■!■/得，-A2=4+b,

44

x=±2〃+A

???CD=274+^-(-2^/4+^)=4>/4+^

：.CD=2AB.

故選：A.

第團(tuán)卷(非選擇題，共68分)

二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上)

9.二次函數(shù))，=伙一1).—+3的圖象開口向上，貝1」&=_.

【答案】72

【分析】由解析式是二次函數(shù)可知42=2,再由圖像的開口向上得2-1>0,由此求解即可.

【詳解】解：??)=(4-1)/+3是二次函數(shù)，

???產(chǎn)=2,

解得』0，

???圖像的開口向上，

即

??k=>/2，

故答案為：及.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義與二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟知圖像開口向上時(shí)，?>0,圖像開口向下

時(shí)，4V0是解題的關(guān)鍵.

10.若二次函數(shù)y=x2+6x+k的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，貝Jk的值為.

【答案】9

【詳解】試題分析：根據(jù)二次函數(shù)y=x2+6x+k的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，可得△=b2-4ac=36-4k=0,

解得k=9.

故答案為9

點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，解題時(shí)，利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的判斷關(guān)系：當(dāng)八=b2-4ac

>0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=b2dac=O時(shí)，二次函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△二b二-4ac>。時(shí)，

二次函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，直接求解即可.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)=-了。-2)2+&經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,交x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為4,過(guò)

該拋物線的頂點(diǎn)8分別作x軸、y軸的垂線，交x軸、y軸于點(diǎn)C、。，則圖中陰影部分圖形的面積和為一

【分析】找到對(duì)稱軸直線x=2,在根據(jù)對(duì)稱求出A(4,0),代入求出k的值，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解題.

【詳解】由題可知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2,

???原點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

AA(4,0),將A代入二次函數(shù)解析式得k=3

，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,3)

根據(jù)對(duì)稱可知圖中陰影部分的面積和二S矩形OCBD=6

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在RlZ\A8C中，ZABC=90°,AB=4,8C=3,點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，連接。C,DELDC,E

點(diǎn)在直線A8下方且3iND￡C=2,連接AE,則VAZ)￡面積的最大值是.

E

【答案】1

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，二次函數(shù)的最值，作所_LAZT于點(diǎn)尸，證明

..DEFs,皮尸，結(jié)合tan/DEC=2,推出?!二"=2,設(shè)AD=x,A8=4，則。8=4—x,EF=2-^-x,

DEEF2

利用三角形面積公式得到S〃)E=-；(X-2『+1,最后根據(jù)二次函數(shù)的最值，即可解題.

【詳解】解：作所_14A于點(diǎn)小，

由題知N"=NE/7)=90°,

NCDB+NDCB=9(f,

.-DEIDC,

/.ZCDB+ZEDF=90°,

:"DCE=NEDF,

...DEFs-CDB,

.DC_DB

~DE~~EF'

-tivnZDEC=2,

DCDBC

----=-----=2,

DEEF

設(shè)A￡>=x,A8=4,則O8=4-x,

:.EF=-DB=2--x,

22

5ADE=3x(2_gx)=一：/+x=一；(x-2)-+1,

當(dāng)工=2時(shí)，SA"有最大值為1.

故答案為：1.

13.如圖，乒乓球桌桌面是長(zhǎng)A8=2.7m,寬AO=1.5m的矩形：E,尸分別是人B和CO的中點(diǎn)，在E,F

處設(shè)置高〃E=0.15m的攔網(wǎng).一次運(yùn)動(dòng)員在AO端發(fā)球，在尸點(diǎn)擊打乒乓球后經(jīng)過(guò)桌面。點(diǎn)反彈后的運(yùn)行

4

路徑近似二次項(xiàng)系數(shù)。=-力的拋物線的一部分.已知本次發(fā)球反彈點(diǎn)。在到桌面底邊A。的距離為0.1m,

到桌面?zhèn)冗呄嗟木嚯x為0.1m處.若乒乓球沿著正前方飛行(垂直于8C),此時(shí)球在越過(guò)攔網(wǎng)時(shí)正好比攔

網(wǎng)上端G”高0.1m,則乒乓球落在對(duì)面的落點(diǎn)。到攔網(wǎng)的距離為m；若乒乓球運(yùn)行軌跡不變，飛

行方向從。點(diǎn)反彈后飛向?qū)Ψ阶烂?，落點(diǎn)Q在距離為0.2m的。點(diǎn)處，此時(shí)QC的長(zhǎng)度為m.

【答案】1.356

【分析】①如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得“1.25,0.25),利用待定系數(shù)法求出拋

物線解析式,再求出點(diǎn)。橫坐標(biāo)即可求解：

②由題意可得Q(2.4,0)，由％=%=0得到點(diǎn)。和點(diǎn)。關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即。點(diǎn)距/W也是0.1m,

及/=進(jìn)而得到C/=8C-Q=L4m,由勾股定理即可求出QC的長(zhǎng)；

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出二

次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

=1.35-0.1=1.25,y,=0.15+0.1=0.25,

設(shè)拋物線的解析式為尸-之/+加+*把(0,0),(1.25,0.25)代入得,

0=0+0+c

4A

0.25=——x1.252+1.25/J+

27

..bi=-5-2

解得|135,

c=0

457

???拋物線的解析式為

4，1JJ

4SO

把為=°代入得，-方忘x=0,

乙/1OJ

13

解得再=。(不合，舍去)，芍=彳，

?J

?」3

??"(?一《‘

13

???落點(diǎn)Q到攔網(wǎng)EF的距離為《725=1.35m,

故答案為：1.35；

②由題意可得,4=2.7-0.1-0.2=2.4,

???2(2.4,0),

,?*.vo=%=°，

???點(diǎn)。和點(diǎn)。關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

???2點(diǎn)距A8也是0.1m，

???BC〃x軸，四邊形488為矩形,

QJ=0.2m,BJ=0.1m,

AO/=BC-BJ=1.5-0.1=1.4m,

，CQ=^QJ2+CJ2=>/0.22+1.42=V2m，

故答案為：72.

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫在答題卡上）

14.某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品，現(xiàn)要在甲地或者乙地進(jìn)行銷售，設(shè)年銷售量為x（件），其中x>0.若在甲

地銷售，每件售價(jià)丁（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為每件成本為20元，設(shè)此時(shí)的年銷售利

潤(rùn)為明（元）（利潤(rùn);銷售額-成本）；若在乙地銷售，受各種不確定因素的影響，每件成本為“元（。為常

數(shù)，15&怨25）,每件售價(jià)為106元，銷售x（件）每年還需繳納元的附加費(fèi)，設(shè)此時(shí)的年銷售利潤(rùn)為唯

（元）（利潤(rùn);銷售額?成本-附加費(fèi)）；

⑴當(dāng)。二16時(shí)且mlOO時(shí)，1憶=_元；

（2）求M與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出工的取值范圍），并求工為何值時(shí)，回最大以及最大值是多少？

（3）為完成x件的年銷售任務(wù)，請(qǐng)你通過(guò)分析幫助公司決策，應(yīng)選擇在甲地還是在乙地銷化:才能使該公司所

獲年利潤(rùn)最大.

【答案】（1）8000

⑵％=-專/+80工，x=400時(shí)，1%最大，最大值為16000

（3）應(yīng)選擇在乙地銷售才能使該公司所獲年利潤(rùn)最大.

【分析】（I）利用利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)得出也.的函數(shù)解析式為也=（106-。h-得/，代入數(shù)值求得

答案即可；

（2）利用利潤(rùn)=銷售額-成本求得即與x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得最值即可；

（3）先計(jì)算得到％-乜=（々-26）凡而15%W25,可得%-乜<0,即可求解.

【詳解】（I）解：根據(jù)題意得：以=（106-〃）x-

???當(dāng)a=16時(shí)且x=100時(shí)，=(106-16)xl00--^xl002=8000元；

故答案為：8000；

xfx+100-201^80X=-1(X-400)216000

⑵解：％=x(y-20)二++

當(dāng)工=400時(shí)，最大，最大值為16000；

(3)解：根據(jù)題意得：^=--X2+(106-?)X,

???叱+80x——x~+(106—67)x=(〃—26)x,

V?<25,且x>0,

?,?％-乜VO,

對(duì)于乜=-5工2+(106一〃)”,

106-a0-(106-67)-5/,、，

當(dāng)“一-V-；-=|(106-4

12x時(shí)'叫.最大,最大值=二

I10J

V15S/<25,???當(dāng)。二15時(shí)，尸45￡時(shí)，

此時(shí)1%的最大值為gX(106—15f=20702.5元，

由(2)得:當(dāng)x=400時(shí),%最大,最大值為16000,

???應(yīng)選擇在乙地銷售才能使該公司所獲年利潤(rùn)最大.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題，在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最

大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題.解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，

實(shí)際問(wèn)題中自變最.V的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變最.V的取值

范圍.

15.如圖，已知二次函數(shù))，=-爐+”的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,5),點(diǎn)P(〃?,y),是二次函數(shù)的圖像上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）此二次函數(shù)的圖象與文軸的正工軸交于點(diǎn)4,點(diǎn)。在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作PC_Lx軸于點(diǎn)C,交AB

于點(diǎn)D,連接。Q,PQ,若〃=〃,+3,VOPQ的面積是6,求小的值.

【答案】（1））=-丁+9；（2）-1或2

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)面積綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及二次函數(shù)解析式.

（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可.

（2）先求出點(diǎn)3的坐標(biāo)，再求出48的解析式，點(diǎn)P、/）的坐標(biāo)分別為：（〃?,-〃/+9）、（m,f葉3）,然后

根據(jù)三角形的面積公式可得出-耳/川+務(wù)機(jī)+9=6.解一元二次方程即可得出加的值.

【詳解】（1）解：將點(diǎn)A（-2,5）代入拋物線表達(dá)式得：5=T+3

則1=9,

即拋物線的表達(dá)式為：y=-f+9；

（2）解：令y=0,o=-f+9,

則x=±3,

則點(diǎn)8（3,0）,

設(shè)直線48的表達(dá)式為：y=ax+b,

5=-2a+b

{0=3?'

a=-\

解得：

b=3

y=-x+3,

，點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)分別為：（也-〃』+9）、（〃?,-桃+3）,

XTOXX23,3

則SPD(?=1(^-^)=^(-m+9+m-3)(n-tn)=-—nr+—m+9,

—fti~+-，〃+9=6,

22

即m2-m-2=0

解得：見(jiàn)=-1,咫=2；

工用的值是一1或2.

16.問(wèn)題探究：

(I)如圖1,在四邊形ABCO中，AB//CD,AB1BC,AB=AD,N7MB=60。.點(diǎn)兒石分別在A。,

AB邊上，連接班'與OE交于點(diǎn)。，且&)=A￡.若00=2,8=3.求NB。。的度數(shù)和線段。8的長(zhǎng)度.

問(wèn)題解決：

(2)如圖2,在矩形A8C。花園的規(guī)劃中，4)=400米，A8=200米，點(diǎn)E在A8上，點(diǎn)尸在8c上，AE=2BF,

連接A廠，DE交于點(diǎn)O,點(diǎn)P為EF的中點(diǎn),以。。為直徑修建一個(gè)圓形的水池養(yǎng)錦鯉，供游客欣賞.為了

節(jié)約費(fèi)用，要求這個(gè)圓形的水池面積最小，請(qǐng)求出水池面積的最小值.

【分析】(I)過(guò)點(diǎn)。作ON_LA8于M連接B。，證明△ABD是等邊三角形，得到ND48=DB4=60。，

80=AD,AN=；A3=3,則ON=36，求出NDBC=30°,得到BD=2CD=6,證明，AOE絲.。8尸(SAS),

得到NADE=NQ即，DE=FB,即可得到N3OQ=120。；證明△。。/?“"。石，得到/=岑=絲="

DEAEAD3

設(shè)。尸=x,AE=DF=3x,則￡>E=B尸=9x,則OB=B尸一。/=8x,EN=AN-AE=3-3x,由勾股定理

得(9x)2=(36y+(3-3x)2,解方程即可得到=8x=-1+而；

(2)證明△ADESABA/，得到NA￡)E=44b,則可推出NEOE=90。，可得?！竈二^七尸，設(shè)

8F=.vm(0<x<100),貝Ij4￡=2;im,8E=A8—AE=(200—2x)m,由勾股定理得至ij所？=5(x—80)?+8000,

則％形水池=￥(］一8()『+500不，據(jù)此可得答案?

In

【詳解】解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。N_LAB于M連接30,

VAB=AD,"AB=60。，

???ZSAB。是等邊三角形，

AZZMB=Z￡)BA=60°,BD=AD,

VAB//CD,ABA.BC,

/.ZABC=ZC=90°,

，ZDBC=30°，

???BD=2CD=6=AB,

，AN=3,DN=3g

VFD=AE,ZA=ZBDF=ar,AD=DB,

???ADE^DBF(SAS),

ZADE=NDBF,DE=FB,

???AODB+ZOBD=ZODB+ZADE=ZADB=60°,

，Z50D=180°-60°=120°,

ZDOF=60°=ZA,

XVZODF=ZADE,

4ODFs從DE,

.DFOFOP2I

**DE=AE~7D~6"3'

設(shè)=AE=DF=3x,MD￡=BF=9x,

OB=BF-OF=Sx,EN=AN-AE=-AB-AE=3-3x,,

2

在RlU)￡V中，由勾股定理得。E2=?？?+硒2,

???(9x)2=06)2+(3—3x)2,

解得戶土畫或戶土返(舍去)，

88

.*.(7B=8x=-l+x/33；

（2）???四邊形A8CD是矩形,

:.^DAE=ZABF=90°,

???AO=400米，人A=2(X)米，AE=2BF,

*任=空=2,

ABBF

；?J\ADE^>/\BAF，

?-ZADE=ABAF,

■:NBAF+ZDAF=90°=/ADE+^DAF,

???NAOE=ZDAF+ZADE=90°,

ZEOF=90°,

???點(diǎn)尸為所的中點(diǎn),

:.OP=-EF,

2

:.OP2=-EF2,

4

15^F=Ain(0<x<100),則Af=2xm,

/.BE=AB-AE=(200-Zv)m,

在RtZ\3E尸中，由勾股定理得E尸=8E'+B產(chǎn)，

r.EF2=x2+(200-2x)2=5x2-8(X).r+4(XXX)=5(x-8())2+8(XX),

/、2

???卜形水池T券)=*0尸/囪2=引10『+5M

???當(dāng)x=80時(shí)，圓心水池的面積有最小值，最小值為500萬(wàn)平方米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊

三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，

解(1)的關(guān)鍵在于證明全等三角形和相似三角形最后利用勾股定理建立方程求解，解(2)的關(guān)鍵是證明

ZFOF=90°.

17.如圖，拋物線y=+c與k軸交于A,B兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)C,直線y=-;x+2過(guò)A,C

(1)求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)M（3,2）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線8c上方的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作軸交直線8c于

點(diǎn)E,點(diǎn)產(chǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一刃點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PM的最小值.

（3）設(shè)點(diǎn)。為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△8CQ為直角三角形的點(diǎn)。的坐標(biāo).

1Q

【答案】（1）丁=一5工2+5工+2

⑵石

3曬.1..或悖5）或停-5）

⑶子〒+1或

\/

【分析】（I）根據(jù)?次函數(shù)解析式可求出點(diǎn)3,C的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式進(jìn)而求解即可:

（2）設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為x,-；x2+gx+2）,則點(diǎn)￡的坐標(biāo)為x,-：x+2）,由坐標(biāo)得

IQ(1

D￡=--x2+-,r+2---x+2=-；。-2）2+2,當(dāng)％=2時(shí)，線段?！甑拈L(zhǎng)度最大,此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3）,

22I2

點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接交對(duì)稱軸十點(diǎn)P，此時(shí)PO+/W最小，連接CM交直線DE十點(diǎn)尸，

則N￡）R7=90。，由勾股定理得CO,^WiPD+PM=PC+PD=CD,即可求解；

⑶設(shè)唱,，分別表示出伙TMCQ：分8CQ分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)勾股定理建立方程，解方

程，即可求解.

【詳解】（I）解：二直線），=2過(guò)8、C兩點(diǎn),且3,C分別在％軸和V軸上

當(dāng)#=0時(shí)，），=2

當(dāng)y=0時(shí)，X=4

..?以4(4,0),點(diǎn)C(0,2)

拋物線y=-;/+&+c與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)c,

-8+4/>+c=0

c=2

解得《2,

c=2

ia

???拋物線的解析式為：y=4/+]x+2.

（2）解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,--x~+—x+2,則點(diǎn)E1的坐標(biāo)為卜,一彳工+2

IZZ，I2

?點(diǎn)D為拋物線上位于直線4c上方的一點(diǎn),

0￡=一#+|1+2一(—gx+2)=T；r-2)2+2,

--<0,

2

.??當(dāng)％=2時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大，

此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,3),

C(0,2),“(3,2),

點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

連接CO交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)P0+PM最小,

連接CM交直線OE于點(diǎn)尸，則/?；亍?90。，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2),則C尸=2,?！?1

CDNCF、DF2=5

???PD+PM=PC+PD=CD,

??.PD+PM的最小值為石.

（3）??,點(diǎn)B（4,0）,點(diǎn)C（0,2）

/.5C2=42+22=20,

???QB:、,司+,,CQ2=G）+（-2）2

①當(dāng)NCQ8=90。時(shí)，BC2=CQ^BQ2,

4-

?*-k|^+/+(■!)+(一2)“=20

解得：，="^+1或/=一些1+1

22

②當(dāng)NQC3=90。時(shí)，BQ2=CQ2+BC2,

2

2+(/-2)2+20

2>

解得：，=5

③當(dāng)NCBQ=90。時(shí)，CQ2=BC1+BQ1,

I)+("2)2=20+(4一|+一

解解：t=-5

綜上所述，使aBCQ為直角三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，勾股定理，二次函數(shù)的性

質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖1,拋物線)，=*+6與x軸交于點(diǎn)4與直線＞交于點(diǎn)8(4,-4),點(diǎn)C((),-4)在)，軸上.點(diǎn)P

從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段BO方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)停止.

⑴求拋物線y=-X2+bx的表達(dá)式；

(2)當(dāng)B尸=2夜時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)P作尸交拋物線于點(diǎn)。，連接PC,OD,判斷四邊形OCPO的

形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以W點(diǎn)尸相同的速度沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接8。，PC,求CP+BQ的最小值.

【答案】（l）y=—f+3x

⑵平行四邊形，理由見(jiàn)解析

（3）4X/3

【分析】（1）將點(diǎn)S代入y=以，可得〃；

（2）作叨J_OA交x軸于點(diǎn)”，連接PC、OD,由點(diǎn)尸在），二T上，可知0”=P〃，ZPOH=45°,連

接BC,得到08=4啦，則O”=P"=立OP=^x20=2,當(dāng)打=2時(shí)，。"=%=-4+3x2=2,進(jìn)而

22

得出加=OC,然后證明PO〃OC,即可得到結(jié)論；

（3）由題意得，8。=。。，連接回，在04上方作OMQ,使得NMOQ=45。，0M=3C,證明二。8/咨_用。。,

根據(jù)CP+8Q=MQ+3QNM3（當(dāng)M，Q,8三點(diǎn)共線時(shí)最短），得到。尸+成?的最小值為MS,利用勾股

定理求得A四，即可得到答案.

【詳解】（1）解：拋物線）=-9+反過(guò)點(diǎn)以4,-4）

.,.-16+46=-4

:.h=3

答：拋物線的表達(dá)式為y=-V+3x.

（2）解：四邊形OCP。是平行四邊形，理由如下：

如圖1,作PDJ_OA交x軸于點(diǎn)〃，連接PC、OD,

:.0H=PH,NPO”=45。，

連接BC,

???B（4T）,C（0,-4）,

AOC=BC=4,04=J（4-0）2+（-4-0）2=4&,

*：BP=2夜，

/.OP=OB-BP=20，

...OH=PH=—OP=—X242=2,

22

當(dāng)今=2時(shí)，。"=匕,=—4+3x2=2,

:.PD=DH+PH=2+2=4,

C(0,-4),

.-.0C=4,

：.PD=OC,

QOC_Lx軸，尸￡>J_x軸，

:.PDOC,

???四邊形OCPO是平行四邊形.

(3)解：如圖2,由題意得，BP=OQ,連接3C,

圖2

在Q4上方作-。歷Q,使得NMOQ=45。，OM=BC,

OC=BC=4tBCA.OC,

NCBP=45°,

NCBP=/MOQ,

,BP=OQ,NCBP=/MOQ,BC=OM,

:..CB2MOQ(SAS),

.\CP=MQ,

:.CP+BQ=MQ+BQNMB(當(dāng)M,。，8三點(diǎn)共線時(shí)最短),

??.CP+BQ的最小值為MH,

NMOB=NMOQ+NBOQ=450+45°=90°,

:.MB=dOM'OB?={4?+(4揚(yáng)2=4x/3

即CP+3Q的最小值為4G.

答：CP+8Q的最小值為4G.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

B卷（共50分）

一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

19.若丁=（〃計(jì)2）V加+2x-I是二次函數(shù)，則〃?=.

【答案】2.

【分析】根據(jù)形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a和）的函數(shù),叫做二次函數(shù)可得：|m|=2,且m+2和，再解

即可.

【詳解】??？=（陽(yáng)+2）M+2x-1是二次函數(shù)，

\m\=2且m+2邦,

解得：機(jī)=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的?般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù),a/））.

20.二次函數(shù)y=f-4x-5的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)H的左側(cè)），將二次函數(shù)了=--4x-5

的圖象繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)180度得到圖象為G,當(dāng)6WxW9時(shí)，圖象G上點(diǎn)C縱坐標(biāo)的最小值為機(jī)，則加=.

【答案】5

【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圖象G的解析式為y=x2+bx+c,A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出點(diǎn)A，的坐標(biāo)，把A：B坐標(biāo)代入可求出b、c的值，即可得圖象G的解析式，可

求出圖象G的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得答案.

【詳解】???二次函數(shù)y=xz-4x-5的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

:.）=0時(shí)，x2-4x-5=0,

解得X1--1,X2-5,

AA（-1,0）,B（5,0）,

???將二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖象繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180度得到圖象為G,

:.設(shè)圖象G的解析式為y=-x2+bx+c,A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N,

.?.點(diǎn)A，坐標(biāo)為（11,0）,

-25+5%+c=0

把B、A，坐標(biāo)代入y=-x?+bx+c得:'-121+1協(xié)+c=O

b=16

解得:

c=-55

，圖象G點(diǎn)解析式為y=-x2+16X-55=-(X-8)2+9,

???圖象G的對(duì)稱軸為直線x=8,

V-l<0,

???拋物線點(diǎn)開口向下，

V9-8<8-6,

，當(dāng)6WxW9時(shí)，x=6為函數(shù)最小值,

:.點(diǎn)、C縱坐標(biāo)y=-36+96-55=5,

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)點(diǎn)性質(zhì)及二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)，對(duì)于二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a次))，圖象旋轉(zhuǎn)后，拋物線的開口大小不變，即a不變：當(dāng)a>0時(shí),圖象卜?的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越

近，函數(shù)值越??；當(dāng)aVO時(shí)，圖象上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大；利用旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得出A，坐標(biāo)進(jìn)而

得到圖象G的解析式是解題關(guān)鍵.

21.如圖，把拋物線平移得到拋物線，〃，拋物線〃?經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-8,0)和原點(diǎn)。(0,0),它的頂點(diǎn)為P,

4

它的對(duì)稱軸與拋物線y=交于點(diǎn)Q,則圖中陰影部分的面積為_______.

4

【答案】16

【分析】先求出拋物線，〃的解析式，從而可得頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，以及點(diǎn)。的坐標(biāo)，再利用二次匣數(shù)的性質(zhì)、

三角形的面積公式即可得.

【詳解】解：如圖，連接OP,0Q

y

由題意得：平移后的拋物線機(jī)的解析式為），=。］*+8）=!*+4）2-4,

44

則拋物線〃?的對(duì)稱軸為直線x=-4，頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-4,-4）,

對(duì)于函數(shù)丁二1/，當(dāng)工=_4時(shí)，y=1x（-4）2=4,即Q（-4,4）,

44

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知：邑=53，

所以+影=5+52=5+身=58。=94、（4+4）=16.

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，以及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

22.已知二次函數(shù)y=a—+bx+c,當(dāng)一IWxWl時(shí)，-\＜y＜\.

（1）若〃=0,c=\,貝1」。=.

（2）若拋物線尸”+飯+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)則〃的取值范圍是.

【答案】—2或0＜4?g

【分析】（1）根據(jù)題意可得函數(shù)解析式為），=如2+1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,分。＞0與。＜0兩種情況討論，先

排除。＞0,然后討論。＜0時(shí)經(jīng)過(guò)（±1」）時(shí)滿足題設(shè)條件，于是求得〃=-2.

（2）由題意可得拋物線y="2r-a,其對(duì)稱軸為戶或，然后畫圖可知對(duì)稱軸滿足什么條件時(shí)滿足題設(shè)

的條件，故可求得。的取值范圍.

解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形幫助分析解題思路.

【詳解】（1）若匕=0,c=l,則），=o?+l,當(dāng)。＞0,二次函數(shù)的最小值為1,二次函數(shù)開口向上，不在

限定的范圍之內(nèi)，不符合題意；當(dāng)。＜0,二次函數(shù)的最大值為1（在x=0時(shí)），當(dāng)最小值為），=-1（在4=±1）

時(shí)，代入＞=爾+1得，1解得。=—2；（如圖）

a+b+c=-\a+c=O,i

（2）由題可得八?，解得《?，所以拋物線），=0?_X一%其對(duì)稱軸為］=白，當(dāng)4=1時(shí),

a-b+c=Ib=-\2a

y=a-l_a=T,當(dāng)下_］時(shí)，y=a+\-a=\.又由題意，當(dāng)TWxW］時(shí)，TKyKI,故拋物線>=a—.x—a

在TWxWl上隨x的增大而減?。ㄈ鐖D甲），或隨工的增大而增大（如圖乙），故（工-1（。〈。）或221（4>0）,

23.如圖所示，在RlZXABC中，ZA=90°,A8=AC=1,點(diǎn)P是線段A4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P可與點(diǎn)A

重合），過(guò)點(diǎn)P作PR工BC于點(diǎn)R,作的P的平分線交A3于點(diǎn)G,在線段GR上截取GO=4P,過(guò)點(diǎn)

D作DE工DF交BC丁點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作尸尸_L交AC丁點(diǎn)尸，此時(shí)四邊形小尸尸恰好為正方形，在點(diǎn)尸

從點(diǎn)4開始的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形面積的最小值為,最大值為.

RG

【答案】7I

54

【分析】設(shè)=則GZ)=x,BP=\-x,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三線合一的性質(zhì)可得出

PG=1ra=l(l-x),然后再根據(jù)勾股定理將正方形。石印表示為S=[[x-^\+《,然后根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：設(shè)AP=x,則SP=1-x,

VGD=AP,

**.GD=x

VZA=90°,AB=AC,

JZB=45°,

,:PRA.BC,

，少?8=90。，

RG平分/BPR,

J/BRG=NPRB=45。,

???/RGB=90。,

：?G為尸8的中點(diǎn),

???PG=gp8=g(1),

在RtADGP中，

PD2=DG2+GP2

=?+[I(I-X)T

;四邊形?！?產(chǎn)為正方形，

則面積s="|+言

當(dāng)其面積最小為：I

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)R重合時(shí)，DG=GP,

即H=g(l-X),解得：X=1,

JJ

若時(shí)，無(wú)法構(gòu)成正方形，

KPO<x<-,

3

???s=j的對(duì)稱軸為：開口向上，且!—0:一!，

???當(dāng)>=0時(shí)，正方形。石。面積有最大值，最大值為

4

綜上：當(dāng)x=0時(shí)，正方形￡>EFP面積有最大值，最大值為:

當(dāng)工=：時(shí)，正方形。牙產(chǎn)面積有最小值，最小值為1.

JJ

故答案為：7,.

54

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、止方形的性質(zhì)，勾股定理以及二次函數(shù)的

性質(zhì)，屬于?？碱}型，靈活應(yīng)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

二、解答題(本大題共3個(gè)小題，共30分，解答過(guò)程寫在答題卡上)

24.如圖，拋物線>=-./+法+。經(jīng)過(guò)A(-l,0),8(3,0)兩