第一十四章圓“圓周角常見題型總結(jié)練2025?2026學(xué)年上學(xué)期初中

數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)

一、圓周角的認(rèn)識(shí)

1.下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

,。。所對(duì)的圓周角是

二、圓周角定理

3.如圖，A,B,C是。。上的三個(gè)點(diǎn).若NAO8=70。，則NAC8的大小為（）

A.35。B.55°C.65°D.70°

4.如圖，VA8C內(nèi)接于O9,CD是CO的直徑，連接30,ZA=28°,則/。的度數(shù)是（）

C.62°D.72°

5.如圖，點(diǎn)A、B、C、尸都在上，若NA08=100。，ZAOC=30°,則一尸的度數(shù)為

H

6.如圖，AB是（。的直徑，AC是（O的弦，點(diǎn)C關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)。，連接O。、BD,若

三、圓周角的定理的計(jì)算與證明

7.如圖，在」。中，直徑48_1_弦。。，若NOCQ=25。，求N84O的度數(shù).

8.（24-25九年級(jí)上?河南濮陽?期中）如圖，48是1。的一條弦，OD1AB,垂足為C,交。O于點(diǎn)

。，點(diǎn)E在&O上.

（1）若乙4。/）=60。，求ND碎的度數(shù);

⑵在（1）的條件下，《。的半徑為2,求/W的長(zhǎng).

9.如圖，在。中，E是4c的中點(diǎn)，0E交AC于點(diǎn)D,連接AO并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)6,連接展.

E

(1)若N8=27。，求/A的度數(shù)；

(2)若AC=8,OE=2,求。的半徑長(zhǎng).

10.如圖，AB是O的直徑，弦CD_LA8于點(diǎn)E,點(diǎn)M在C。上，MO恰好經(jīng)過圓心O,連接MB.

A

B

⑴若CD=16,BE=4,求。的直徑；

(2)若NM=N/＞求ND的度數(shù).

四、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

11.如圖，GO中，弦AB、CO相交于點(diǎn)P,ZD=40°,,"PC=75。,則NC=()

&

D

A.15°B.35°C.40°D.75°

12.如圖，A,B,C,。是。。上的點(diǎn).若NA3c=25。,則NADC的度數(shù)是()

◎

B

A.12.5°B.25°C.27.5°D.30°

13.如圖，在。O中，弦A8，C。相交于點(diǎn)P.若NC'=2()\乙4=35。，則度數(shù)為

B

MBE^ADCE.

15.如圖，AB是。。的直徑，C。是。。的一條弦，且CO1/W于E,連接人C,03BC.

(1)求證：Z1=Z2；

(2)若BE=2,a>=6,求。。的半徑的長(zhǎng).

五、直徑所對(duì)的圓周角是直角

16.如圖，A8是。。的直徑，是。。的弦，若/。=33。，則N3AC的度數(shù)是（）

A.33°B.46°C.57°D.66°

17.如圖，△8CO內(nèi)接于［0,是的直徑，若N/WC=20°,點(diǎn)D是8c的中點(diǎn)，則/次笫的

度數(shù)為（）

18.如圖，4B為。。的直徑，。為。。上兩點(diǎn)，若N3C￡）=38。貝U/A8D的大小為（）

A.76°B.52°C.50°D.38°

19.如圖，VA4C內(nèi)接于：。所為的直徑，尸是8C的中點(diǎn).若N8=40,NC=60,則上4莊

的度數(shù)為.

20.如圖，48是1。的直徑，圓上的點(diǎn)。與點(diǎn)C,E分布在直線A8的兩側(cè)，NAEO=40。，則

0直徑，CO是的弦，ZACD=26°,求/DAB的度數(shù).

22.如圖，A是上一點(diǎn)，是直徑，點(diǎn)。在GO上且平分8C.

A

B

D

(1)連接AO,求證：AO平分/8AC；

(2)若C￡)=5夜，48=8,求AC的長(zhǎng).

六、90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

23.工人師傅用直角曲尺檢查驗(yàn)收半圓形工件,卜.列為合格的“半圓形工件”的是()

24.如圖所示，為了驗(yàn)證某個(gè)機(jī)械零件的截面是個(gè)半圓，某同學(xué)用三角板放在了如下位置，通過實(shí)

際操作可以得出結(jié)論，該機(jī)械零件的截面是半圓，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是

24.如圖，O是正方形ABC。的外接圓，若正方形48co的邊長(zhǎng)為4,則O的直徑為

25.如圖，四邊形A3CO是區(qū)。的內(nèi)接四邊形，8。是直徑，AB=AD,過點(diǎn)A作AE_LAC于點(diǎn)

￡4尸，。于點(diǎn)尸.

求證：BE=DF.

提升練

一、解答題

1.如圖，已知A8為。的直徑，CO是CQ的弦，且A8_LCO于點(diǎn)E,連接AC、OC、BC.

B

⑴求證：ZACO=/BCD；

⑵若。。的半徑為10,科=4,求弦CQ的長(zhǎng).

2.如下圖所示，8c是半圓。的直徑，AD±BC,垂足為Q,AB=AF?B尸與ARA。分別交于點(diǎn)

E,G.證明：AE=BE.

3.如圖，BD,CE是銳角VA6c的高，連接OE.求證：ZADE=ZABC.

A

4.如圖，已知A8是G。的直徑，弦8_LAB于點(diǎn)E,G是人。上一點(diǎn)，AG,。。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

F.求證：4FGD=/AGC.

5.如下圖，A8為CX＞的弦，。為3上一個(gè)點(diǎn)，OP//AB.ZPBA=2^.

⑴求”203的度數(shù).

⑵若E為。。上一個(gè)點(diǎn)，AE=PB,求/￡1依的度數(shù).

6.如圖，在O。中，A,B,C,。是。。上的點(diǎn)，A。是：0的直徑，8是AC的中點(diǎn)，ZAOC=120°.

⑵判斷CO與人8,/W與CDf勺大小關(guān)系，并說明理由.

7.如圖，點(diǎn)4,B,C,。在OO上，ZAOB=NCOD.A。分別交08,0C于點(diǎn)、E,F.

(2)求證：AD//BC.

8.已知A,B,C,。是。。上四點(diǎn)，滿足NAC3=90。，A。平分OC,點(diǎn)尸是弦8c的中點(diǎn)，延長(zhǎng)

交：0于￡求證：ABACE.

9.在圓內(nèi)接四邊形ABC。中,ACJ.BD,垂足為E.

A

D

B

圖2

(1)如圖1,若NB4O=9()。，求證：08平分/AOC；

(2)如圖2,若八4=6,CZ>=8,是圓的直徑，連接。尸，求。的半徑.

10.如圖，以V4BC的邊人3為直徑作O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)、E,BD=CD.

⑴求證：VA8C是等腰三角形,

⑵若44=36。，連接O。，求乙40。的度數(shù).

11.如圖，圓內(nèi)接四邊形A8QC,A3是。的直徑，OD工BC交BC于點(diǎn)、E.

(I)求證：點(diǎn)。為3c的中點(diǎn)；

(2)若3七=4,AC=6,求DE.

12.如圖，A8為。的直徑，。是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC=CD,。8的延長(zhǎng)線交：O于點(diǎn)E,連

接C￡.

⑵若TE的度數(shù)為104°，則NE的度數(shù)為

答案

一、圓周角的認(rèn)識(shí)

I.解：A.圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項(xiàng)不符合題意;

B.圖中既有圓心角，也有圓局角，選項(xiàng)符合題意：

C.圖中圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；

D.圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；

故選:B.

8C所對(duì)的圓周角是N5。。，

CO所對(duì)的圓周角是ZCAD.

故答案為：NBDC；4CBD,NC4/).

二、圓周角定理

3.VZAOB=70°,

/ACB=-NAOB=-x70°=35°.

22

故選：A.

4.解：?.?BC=8C，

，Z￡)=ZA=28°；

故選：A；

5.解：VZAOB=iOO°,ZAOC=30°,

???N8OC=70°,

???NP=L/BOC=35。,

2

故答案為：35°.

6.解：連接AO,

D

A--------^8點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)I),Z.CAB=15°,

vZ>^

???ZBAD=ZBAC=\50,

48=2/840=30°,

\OB=OD,

:.NOBD=^(180°-30°)=75°.

故答案為：75.

三、圓周角的定理的計(jì)算與證明

7.解：OC=OD,ZOCD=25°,

NODC=25。，

AB1CD,

/.Z^OD=90°-25°=65°,

ZBAD=-ZBOD=32.5°,

2

8.⑴解：VOA=OB,OD1AB,

/.OQ平分NAO",

???Z8OD=ZAOD=60°,

J/DEB=-4DOB=30°；

2

(2)???。。的半徑為2,

：,OA=OB=2,

?；OD±AB,ZAOC=60°,

/.ZO\C=30°,AB=2AC,

：.OC=-OA=\,

2

???AC=ylo^-OC2=x/3?

，AB=2AC=2上.

9.(1)解：???E是AC的中點(diǎn)，OE交AC于點(diǎn)、D,

***AE=CE，

AAD=CD,OE1.AC,

，ZAPO=90°,

VZ/?=27°,

，ZA8=2N3=54。，

???ZA=90°-ZAOD=90°-54c=36°；

(2)解：設(shè)。，。的半徑為「，

?:DE=2,

：.OD=OE-DE=r-2,

由(1)知OEJ.AC,

???4D=-4C=-x8=4,

22

在RZAOZ)中，由勾股定理得，OA^AD^OD2,

即r2=42+(r-2)\

解得，，。=5,

???。的半徑長(zhǎng)為5.

10.(1)解：?：AB上CD,CD=16,

CE=DE=8,

設(shè)O3=OD=x,

又TEE=4,

:.OE=x-4,

：.x2=(x-4)2+82,

解得：x=10,

???。的直徑是20.

(2)解：NM=g/40DNM=NQ,

/.ZD=-Z13OD,

2

AB工CD,

???ZOED=90°,

/.ZD+ZEOD+NOED=NO+2NO+90。=180°,

ZD=30°.

四、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

II.解；???/￡>=40。，NBPC=75°,

???NB=/BPC-ZD=35°,

???AD=AD^

:.ZC=ZB=35°,

故選:B.

12.解：???在。中，AC=AC，匕隹C=25°，

/.ZADC=Z4BC=25°.

故選:B.

13.解：VZC=20°,

/.Z^=ZC=20°,

故答案為：20°.

14.解：?：BC=BC，

/.ZA=ZD,

又?：AB=CD,ZAEB=/DEC,

JAABE^AZX?E(AAS).

15.(1)證明：

TAB是。。的直徑，CZ)_LA8：

??BC=BD

：.NA=/2.

又???QA=OC,

AZ1=ZA.

AZ1=Z2.

(2)〈AB為。。的直徑，弦CO_L4B,CD=6

.??NCEO=90",CE=ED=3.

設(shè)。。的半徑是R,EB=2,WiJOE=R-2

V在R出OEC4s，“2=(K—2)2+32

13

解得：R=-

4

???。。的半徑是氏二；13.

4

五、直徑所對(duì)的圓周角是直角

16.解：是。。的直徑，

.28=90。，

由圓周角定理得，ZABC=ND,

ZD=33。，

/.ZABC=33°,

"BAC=180°-ZACB-/ABC=I80°-90°-33°=57°,

故選：C.

17.解：連接40,如下圖

A8是。的直徑，

404=90°.

〃BC=20°,

.,.NCDA=NC班=20。，

:.ZDAB+ZDBC=90°-20°=70°.

點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

:"BCD=NDBC,

：./BCD=/BAD=ZDBC,

NBCD=g(ZBAD+ZD?C)=ix70°=35°.

故選：C.

18.解：如圖所示，連接A。，

D

:應(yīng))=嬴’

4BCD=ZBAD=38°,

?JA4是直徑，

???ZAZ)B=90°,

在心.48。中，ZABD=90°-^BAD=90°-38°=52°,

故選：B.

19.

連接AE,設(shè)AB交所于點(diǎn)。

VZ?=40°,ZC=60°

/.ZBAC=80°,

?:EF為。的直徑，

AZE4F=90°,

,/EF1BC,

???點(diǎn)尸是8c弧的中點(diǎn)，ZBDF=90°-ZB=50°

；?BF=CF

???Z^4F=ZC4F=40°,

尸是△A?！钡耐饨?/p>

ZBDF=ZBAF+ZAFE

ZAFE=NBDF-NBAF=50°-40°=10°

故答案為1。。.

20.解：如圖，連接人C,

???ZACD=ZAED=40°,

「AB是。的直徑，

???ZACB=90°,

J/BCD=ZACB-ZACD=50°,

故答案為：50°.

六、90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

21.解：連接80,

???AB是的直徑，

/.408=90°.

???44。。與2人4。是人。所對(duì)的圓周角，46=26。,

/.ZACD=ZABD=26°,

；?NAMA=900-ZAA￡>=90°-26°=64°.

22.解：(1)證明：???點(diǎn)。在CO上且平分BC，

?*-BD=DC，

/.ZBAD=ZCAD,

???AO平分/“AC；

(2)解：???/3C是直徑，

NBAC=NBDC=90。,

丁點(diǎn)。在上且平分8C，

?*-BD=DC，

***BD=CD=5y/2，

,I3C=y]BD2+CDr=10?

*/A8=8,

**-AC=ylBC2-AB2=6-

23.解：因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，

,只有B選項(xiàng)正確，其他均不正確.

故選：B.

24.解：根據(jù)“90。的圓周角配對(duì)的弦是直徑唧可得出答案,

故答案為：90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

25.解：???四邊形A5a)是邊長(zhǎng)為4的正方形，

/.AB=AD=4f/BAD=90。,

??.月/)是o的百.徑.

在RlZVLB。中，由勾股定理得，A燈+=4夜，

:.。的直徑為4五，

故答案為：4夜.

26.證明：???爾)是直徑，

:./BAD=/BCD=90。,

AELBC^^E,Ab_LCO于點(diǎn)產(chǎn)，

/.NE=ZAFC=ZAFD=90°,

二?四邊形4ECV是矩形，

/.ZE4F=90°,

*//EAB=AEAF-NBAF,ZFAD=/BAD-/BAF,

：.AEAB=^FAD,

-AB=AD,

.?…AE必"。(AAS),

:.BE=DF.

1.(1)見解析；

⑵16.

【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理和圓周

角定理戰(zhàn)角之間的關(guān)系.

（1）根據(jù)垂徑定理可知BC=BD^根據(jù)圓周角定理可知ZBCD=ZA，根據(jù)等邊對(duì)等角可得ZACO=ZA,

利用等量代換可證結(jié)論成立；

（2）利用勾股定理求出CE=8,再根據(jù)垂徑定理求出CO的長(zhǎng)即可.

【詳解】（I）證明：???ABIC。，

:.BC=BD'

4CO=ZA,

OC=OA,

/.ZACO=ZA,

:.ZACO=ZBCD；

（2）解：J。的半徑為10,

：.OC=OB=\0.

￡8=4,

;.OE=OB-BE=TO-4=6,

ABJ_C。于點(diǎn)E,

/.ZOEC=90°,CE=DE,

在Rtj9C￡中，CE=>JOC2-OE2=7l02-62=8?

/.CD=2CE=2x8=16,

??.弦CO的長(zhǎng)是16.

2.證明見解析

【分析】由圓周角定理、等弧所對(duì)的圓周角相等可得=/，ZA^C+Z4CB=90c,再根據(jù)

AD1/3C,可得N/^C+N44）=90。，由同角的余角相等可得NB4O=ZAC4,最后根據(jù)等角對(duì)等邊

即可證明.

【詳解】證明：如圖，連接CEACA3.

A8=A尸，

ZBCA=ZACF=ZABF

是半圓。的直徑,

NZMC=90。，

/.ZABC+ZACB=90°.

又??AO_L8C,

：.ZADB=90°,

.?.ZABC+N8Ao=90°,

/BAD=ZACB,

：.Z^BF=Z1BAD,

:?AE=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查/圓周角定理、同角的余角相等、等角對(duì)等邊，熟練掌握并靈活運(yùn)用圓度角定理是

解題關(guān)鍵.

3.證明見解析

【分析】取8c的中點(diǎn)M,連接￡M,ZW,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AC。方

四點(diǎn)共圓，再利用四點(diǎn)共圓對(duì)角互補(bǔ)，可證.

【詳解】證明：取8c的中點(diǎn)/，連接DM,如圖，

在RlBDC中,M是4C中點(diǎn)，

:.DM=BM=CM,同理可證￡用=/加=。加，

/.BM=EM=DM=CM,

8,CD,E四點(diǎn)共圓,

ZABC+ZEZX?=180°,

ZEDC+ZADE=\80°,

：.ZADE=ZABC.

【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，熟練掌握四點(diǎn)共圓中對(duì)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵.

4.證明見解析

【分析】連接AC,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NR7O=NACO,再根據(jù)COJ_AB,運(yùn)用垂徑定理得

到AC=/1O,最后根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等即可證明.

【詳解】證明：如圖，連接AC.

（，（4/匹邊形ACDG是圓內(nèi)接四邊形，

ZFGD=ZACD.

弦CQ_L48尸點(diǎn)E,

AC=A。，

/.ZAGC=ZACD,

.?.ZFGD=ZAGC.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、垂徑定理.、圓周角定理，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形,

并靈活運(yùn)用垂徑定理和圓周角定理實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換.

5.（1）140°

⑵NEPB的度數(shù)為20。或60°

【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)得NOP8=NP8A=20。，再由等腰三角形的性質(zhì)得

NOBP=NOPB=2U,即可求解；

（2）分兩種情況，由圓的對(duì)稱性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理求解即可.

【詳解】（I）解：rOP〃AB,;.NOPB=NPBA=20。.

'：OP=OB,:.4OBP=4OPB=20°,

/./POB=180°-20°-20°=140°.

（2）解：分兩種情況討論：①延長(zhǎng)PO交CO于點(diǎn)E,連接AE,如圖所示.

由圓的對(duì)稱性可知，AE=PB.

OP//AB,：.PE//AB,:./EPB=ZPBA=20°；

②如圖，連接Q4,在，。上作出AE關(guān)于OA的對(duì)稱線段AE,再連接PE',

則AEf=AE=PB,/E'AO=ZEAO.

OA=OE,ZOEA=/PBA=20°,

NE'AO=ZEAO=ZOEA=20°,

/.NE'AE=40。,N￡P(guān)E=40°,

NEPB=40。I20°=60。.

綜上所述，2KP/3的度數(shù)為20?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)，圓心角、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.

6.(1)60

(2)dn=AAB=CD.理由見解析

【分析】(1)根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等即可求出408的度數(shù)；

(2)通過已知條件，結(jié)合平角為180。，可得到NAOH=/8X=NCOD=60。，即可得到

<X>=AB,AB=CD.

【詳解】(I)解：???3是AC的中點(diǎn),

?**AB=BCi

:.ZAOB=ZBOC,

VZAOC=120°,

???ZAOB=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

故答案為：60°.

(2)解:&=京,AB=CD.

理由：由(1)可得NAO8=60°,ZAOB=ZBOC,

???ZA0A=N80C=60。，

ZCOD=60°,

:.ZAOB=NCOD,

.-.db=AAB=CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，理解在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，

所對(duì)的弦相等是正確解答的關(guān)雉.

7.(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)O4=OQ,則NA=N。，又因?yàn)镹A08=NC。。，證明△以￡：絲△OO/，故OE=OF,即

可證明.

（2）根據(jù)ZA（J3=ZCOZ?，得力4=CO,再結(jié)合圓周角定埋得出ZACH=Z.CAD,即可證明AD//BC.

【詳解】（I）解：?.OA=OD,

:.ZA=ZD.

ZAOB=ZCOD,

:.△OAE/AODF.

:.OE=OF.

（2）解：連接AC.

ZAOB=ZCOD,

______/c

AB=CD.

ZACB=ZCAD.

..AD//BC.

8.見解析

【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，三角形中位線定理，90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，同

弧所對(duì)的圓周角相等，設(shè)A。與OC的交點(diǎn)為“，連接尸”，CD,BE,由三角形中位線定理可得

FH//OB,則可證明NO“尸=NDC8,進(jìn)而得到C,。,F,“四點(diǎn)共圓，進(jìn)一步可證明

NCBA=ZADE=ZABE,再證明48是的直徑，則由垂徑定理的推論可得A8八CE.

【詳解】證明：設(shè)A。與OC的交點(diǎn)為“，連接CD,BE,

???AD平分OC,

???點(diǎn)H是OC的中點(diǎn)，

和，分別是CA與OC的中點(diǎn)，

:、尸”是二80c的中位線，

/.FH//OB,

；?ZDHF=NDAB,

又：NDCB=NDAB,

/.NDHF=NDCB,

AC,D,F,H四點(diǎn)共圓，

/.Z.OCB=ZHCF=/HDF=ZADE,

YOC=OB、

：./OCB=ZCBO=ZCBA,

，NCBA=ZADE=ZABE,

,/NAC8=90。，

???A8是O的直徑，

/.A3人CE.

9.(1)見解析

(2)5

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論證明即可；

(2)連接尸C,首先得到NAa=/。0=90°,然后得到N4Q8=NC。/，推出AB=C/，得到

CF=AB=6,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：?..N84O=90。，

:.RD是。的直徑，

VACJ.BD,

?*-AB=BC，

ZADB=ZCDB,

，08平分4DC：

(2)解：如圖2,連接廣C,

圖2

*：DF是。的直徑,

/.Z/X7F=9O°,

?：AC±BD,

，ZAED=ZDCF=90°,

ZDAE=AF,

，ZADB=/CDF,

***AB=CF，

：.CF=AB=6,

VCD=8,

?