第五單元三角形

第21課時線段與角、相交線與平行線

學習目標：

1.了解直線、線段和射線等概概念的區(qū)別，兩條相交直線確定一個交點，

解線段和與差及線段的中點、兩點間的距離、角、周角、平角、直角、銳角、鈍角等概念，掌

握兩點確定一條直線的性質(zhì)，角平分線的概念，度、分、秒的換算，幾何圖形的符號表示法，

會根據(jù)幾何語句準確、整潔地畫出相應的圖形；

2.了解斜線、斜線段、命題、定義、公理、定理及平行線等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，平

行線的基本性質(zhì)，理解對頂角、補角、鄰補角的概念，理解對頂角的性質(zhì)，同角或等角的補角

相等的性質(zhì)，掌握垂線、垂線段、點到直線的距離等概念，會識辨別同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)

角，會用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補等性質(zhì)進行推埋和

計算，會用同位角相等、內(nèi)錯角相等、或同旁內(nèi)角互補判定兩條直線平行

重點難點：

1.了解垂線段最短的性質(zhì)，平行線的基本性質(zhì)，理解對頂角、補角、鄰補角的概念，理解對頂

角的性質(zhì)，同角或等角的補角相等的性質(zhì)，掌握垂線、垂線段、點到直線的距離等概念。

2.會識辨別同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，會用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內(nèi)錯角

相等、同旁內(nèi)角互補等性質(zhì)進行推理和計算，會用同位角相等、內(nèi)錯角相等、或同旁內(nèi)角互補

判定兩條直線平行

教學設計：

二、典例精析

1.將一長方形紙片，按圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則4CBD的度數(shù)為（）

ABE

A.60°B.75°C.90°D.95°

2.如圖，ABIIEFIIDC,EGHBD,則圖中與Z.1相等的角共有()

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D

A.6個B.5個C.4個D.2個

3.已知線段AB=20cm,C為AB中點，D為CB上一點，E為DB的中點，且EB=3cw,則

CD=cm.

4.如圖所示，AC為一條直線，0是AC上一點，ZAOB=120°,OE、OF分別平分NAOB和

Z.BOC,.

(1)求NEOF的大小;

(2)當0B繞0旋轉(zhuǎn)時，OE、OF仍為乙AOB和乙BOC平分線，問：OF、OF有怎樣的位置

關(guān)系？你能否用一句話概括出這個命題

5.如圖，直線AD與AB、CD相交于A、D兩點，EC、BF與AB、CD交于點E、C、B、F,

Rz.l=z.2,zB=z.C,求i正：zA=z.D.

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第22課時三角形

學習目標：

1.進一步認識三角形的有關(guān)概念，了解三邊之間關(guān)系以及三角形的內(nèi)角和.

2.掌握勾股定理及逆定理，并能運用它解決一些實際問題.

3.掌握等腰三角形有關(guān)性質(zhì)，并能運用它解決一些實際問題.

4.能夠證明與三角形、線段垂直平分線、角平分線等有關(guān)的性質(zhì)、定理及判定定理.

重點難點：

1.三角形分類，特殊三角形有關(guān)性質(zhì)及其應用

2.三角形有關(guān)性質(zhì)、判定的綜合運用

教學設計，

一、知識梳理

1.三角形中的主要線段

（I）三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的

頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.

（2）三角形的中線：連結(jié)三角形的一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線.

（3）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊（或其延長線）引垂線，頂點和垂足間的

線段叫做三角形的高.

（4）三角形的中位線：連接三角形兩邊的中點的線段。

2.三角形的邊角關(guān)系

（1）三角形邊與邊的關(guān)系：三角形中兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊;

（2）三角形中角與角的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角之和等于180。.

3.三角形的分類

（1）按邊分：

（2）按角分:

4.特殊三角形

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（1）直角三角形性質(zhì)

①角的關(guān)系：zA+zB=90°；

②邊的關(guān)系：

③邊角關(guān)系：

（2）等腰三角形性質(zhì)

①角的關(guān)系：乙A=4B；②邊的關(guān)系：AC=BC；③軸對稱圖形，有一條對稱軸。

（3）等邊三角形性質(zhì)

①角的關(guān)系：zA=zB=zC=60°；②邊的關(guān)系：AC=BC=AB；③軸對稱圖形，有三條對稱軸。

（4）三角形中位線：

5.特殊三角形的判定

6.兩個重要定理：

（1）角平分線性質(zhì)定理及逆定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距

離相等的點在這個角的平分線上；三角形的三條角平分線相交于一點（內(nèi)心）

（2）垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理：線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等；到線段

兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；三角形的三邊的垂直平分線相交于一點

（外心）

二、典例精析

1.DE是AABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點，BF的延長線交AC于點H,則AH：HE等于（

）

A.1：1B.2：1C.1：2D.3：2

2.三角形中，最多有一個銳角，至少有個銳角，最多有個鈍角（或直角），三角

形外角中，最多有個鈍角，最多有個銳角.

3.正三角形的邊長為a,則它的面積為.

4.兩根木棒的長分別為7cm和10cm,要選擇第三根棒，將它釘成一個三角形框架，那么第三

根木棒長xcm的范圍是

5.已知D、E分別是AABC的邊AB、BC的中點，F(xiàn)是BE的中點.若面ADEF的面積是10,

貝UAADC的面積是多少？

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第23課時全等三角形

學習目標：

1.了解圖形全等的概念，能利用全等圖形解決有關(guān)問題。

2.掌握兩個三角形全等的條件，能應用三角形的全等解決一些實際問題.

3.體會在證明過程中，所運用的歸納、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法.

重點難點：

1.掌握兩個三角形全等的條件

2.應用三角形的全等解決一些實及問題

教學設計：

一、知識梳理

1.全等三角形的判定方法簡寫成“角邊角”或”ASA”

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”.

（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個二角形全等，

（3）兩角和其中一角的對邊對應角相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊''或"AAS”.

（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”.

（5）有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜過直角邊定理”或

“HL”.

2.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

3.注意事項：

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（1）說明兩個三角形全等時，應注意緊扣判定的方法，找出相應的條件，同時要從實際圖形

出發(fā)，弄清對應關(guān)系，把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.

（2）注意三個內(nèi)角對應相等的兩個三角形不一定全等，另外已知兩個三角形的兩邊與一角對

應相等的兩個三角形也不一定全等.

二、典例精析

1.如圖，CB=CD,乙ABC=4ADC=90。，ZBAC=35°,則乙BCD的度數(shù)為（）

A.145°B.130°C、110°D.70°

2.兩個直角三角形全等的條件是（）

A.一銳角對應相等B.兩銳角對應相等

C.一條邊對應相等D.兩條邊對應相等

3.點D,E,F分別為AABC三邊的中點，且S2\DEF=2,則△ABC的面積為（）

A.4B.6C.8D.12

第24課時等腰三隹形

學習目標：

1.理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的兩底角相等、等腰三角形三線合一等性質(zhì)，掌握

兩個角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能運用它們進行簡單的證明和計算；

2.理解等邊三角形的概念，掌握等邊三角形的各角都是60c等性質(zhì)，掌握三個角都相等的三角

形或一個角是60。的等腰三角形都是等邊三角形等判定，能運用它們進行簡單的證明和計算；

3.了解軸對稱及軸對稱圖形的概念，會判斷軸對稱圖形。

重點難點：

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1.掌握等腰三角形的兩底角相等、等腰三角形三線合一等性質(zhì)，掌握等邊三角形的各角都

是60。等性質(zhì)，掌握三個角都相等的三角形或一個角是60。的等腰三角形都是等邊三角形等判

定

2.掌握等腰三角形的兩底角相等、等腰三角形三線合一等性質(zhì)

教學設計：

一、基礎回顧

等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應用，證明線段、角相等，求線段的長度、角的度數(shù),

中考題中多以選擇題、填空題為主，有時也考中檔解答題，如：等腰三角形一腰上的高與底邊

的夾角為45。，則這個三角形是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

二、例題選講，

1.一個正三角形的邊長為a，它的高是()

小1小

(A)由a(B)2a(C)2a(D)4a

2.如果等腰三角形一腰長為8,底邊長為10,那么連結(jié)這個三角形各邊的中點所成的三角形

各邊的中點形成的三角形的周長為()

(A)26(B)14(C)13(D)9

3.若等腰三角形的底角為15。，腰長為2,則腰上的高為

4.等腰三角形的周長為2+小，腰長為1,底角等于度

5.如圖，在4ABC中/B=9()o,AB=BC,BD=CE,M是AC的中點，求證：ZkDEM是等腰三角形

第25課時相似三角形

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學習目標：

1.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；

2.會用相似三角形證明角相等或線段成比例，或進行角的度數(shù)和線段長度的計算等

重點難點：

1.論證三角形相似，線段的倍分以及等積式，等比式，常以論證題型或計算題型出現(xiàn)；

2.尋找構(gòu)成三角形相似的條件，在中考題中常以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，如：卜.列所述的

四組圖形中，是相似三角形的個數(shù)是（）

①有一個角是45。的兩個等腰三角形；②兩個全等三角形；③有一個角是100。的兩個等腰三

角形；④兩個等邊三角形。

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

教學設計，

一、基礎回顧

1.比例基本性質(zhì)及運用

（1）線段比的含義：如果選用同一長度單位得兩條線段a、b的長度分別為m、n,那么就說

這兩條線段的比是a：b=m：n,或?qū)懗珊蛿?shù)的一徉，兩條線段的比a、b中，a叫做比

bn

的前項b叫做比的后項.

注意：①針對兩條線段；②兩條線段的長度單位相同，但與所采用的單位無關(guān)；③其比值為

一個不帶單位的正數(shù).

（2）線段成比例及有關(guān)概念的意義：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線

段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段，已知四條線段a、b、c、d,如果

-=b=c：d,那么a、b、c、d叫做成比例的項，線段a、d叫做比例外項，線段b、d

bd

叫做比例內(nèi)項，線段d叫做a、b、c的第四比例項，當比例內(nèi)項相同時，即或

bc

a：b=b：c,那么線段b叫做線段a和c的比例中項.

（3）比例的性質(zhì)，

①基本性質(zhì)：如果a：b=c：d,那么ad=bc；反之亦成立＜

②合比性質(zhì)：若色=2,貝|包=包

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cem八，八ca十c十e十…十「na

③等比性質(zhì)：若一=—=—=...=_"+〃+/+...+n^0,則M|I--------：-------=-

bdjnb+d+f+...+nb

注意：靈活地運用比例線段的多種不同的變化形式，即由色=上推出等，但無論怎樣變化,

bdac

它們都保持ad=bc的基本性質(zhì)不變.

（4）黃金分割：在線段AB上有一點C,若AC：AB=BC：AC,則C點就是AB的黃金分割

點.一條線段有兩個黃金分割點。

2、相似三角形的性質(zhì)和判定

（1）相似三角形定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角

形的對應邊的比叫做相似比.相似比為1的兩個三角形是全等三角形。

（2）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.②相似三角形對應高

的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.③相似三角形周長的比等于用似

比.④相似三角形面積的比等于相似比的平方.

（3）相似三角形的判定：①兩角對應相等的兩個三角形相似.②兩邊對應成比例，且夾角相

等的兩個三角形相似.③三邊對應成比例的兩個三角形相似.④如果一個直角三角形的斜邊

和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相

似.

注意：①直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形和原三角形相似.②在運用三角形相似

的性質(zhì)利判定時，要找對對應角、對應邊，相等的角所對的邊是對應邊.

二、典例精析

1.在比例尺為1：8000的地圖上，太平南路的長度約為25cm,它的實際長度約為（）

A.320cmB.320mC.2000cmD.2000m

2.雨后初晴，一學生在運動場上玩耍，從他前面2m遠一塊小積水處，他看到旗桿頂端的倒影，

如果旗桿底端到積水處的距離為40m,該生的眼部高度是1.5m,那么旗桿的高度是

_________m.

3.創(chuàng)新實驗學校設計的矩形花壇的平面圖，這個花壇的長為10m,寬為6m.

⑴在比例尺為1：50的平面圖上，這個矩形花壇的長和寬各是多少cm?

⑵在平面圖上，這個花壇的長和寬的比是多少？

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⑶花壇的長和寬的比為多少？

(4)你發(fā)現(xiàn)這兩個比有什么關(guān)系？

第26課時相似三角形應用

學習目標：

1.了解圖形的位似，能夠利用作位似圖形等方法將一個圖形放大或縮小。

2.掌握相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比，相似三角

形面積的比等于相似比的平方等性質(zhì)，能應用他們進行簡單的證明和計算。

3.利用圖形的相似解決一些實際問題.

重點難點：

1.掌握相似三角形的判定和性質(zhì)的應用,能應用他們進行簡單的證明和計算

2.利用圖形的相似解決一些實際問題。

教學設計：

一、知識梳理

1.相似多邊及位似圖形

(1)定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.

(2)相似多邊形的性質(zhì)：(1)相似多邊形的周長的比等于相似比；(2)相似多邊形的對應對

角線的比等丁?相似比；(3)相似多邊形的面積的比等了相似比的平方；(4)相似多邊形的對

應對角線相似，相似比等于相似多邊形的相似比.

(3)位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形.而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一

點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又叫做位似比.

2.相似的應用：相似形的性質(zhì)與識別在日常生活中有非常廣泛的應用，如可應用其對應邊成比

例來求一些線段的長;可運用相似三角形的原理來進行測量等

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二、典例精析

1.小華同學自制了一個簡易的幻燈機，其工作情況如圖所示，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈

片的距離是30cm,幻燈片到屏幕的距離是30cm,幻燈片上小樹的高度是10cm,則屏幕上小樹

的高度是()

A.50cmB.500cmC.60cmD、600cm

2.如圖是蹺蹺板的示意圖.支柱OC與地面垂直，點O是橫板AB的中點，AB可以繞著點O

上下轉(zhuǎn)動，當A端落地時，z.OAC=20°,橫板上下可轉(zhuǎn)動的最

大角度(即NADA)是()

A.80°B.60°C.40°D.20°

3.一條河的兩岸是平行的，在河的這一岸每隔5m有一棵樹，

在河的對岸每隔50m有一根電線桿，在這岸離開岸邊25m處看對岸，看到對岸相鄰的兩根電

線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有兩棵樹，求河的寬度.

4.(1)請在如圖所示的方格紙中，將AABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1,再

將繞點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得△A2BC2,最后將公人2842以點C2為位似中心

放大到2倍，得AABB3c2；

(2)請在方格紙的適當位置畫上坐標軸(一個小正方形的邊長為1個單位長度)，在你所建立的直

角坐標系中，點C()、點C]()、點Cz()、

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5.我們已經(jīng)學習了相似三角形，也知道：如果兩個幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們

就把它們叫做相似圖形.比如兩個正方形，它們的邊長、對角線等所有元素都對應成比例，就

可以稱它們?yōu)橄嗨茍D形.現(xiàn)給出下列4對幾何圖形：①兩個圓；②兩個菱形；③兩個長方形;

④兩個正六邊形，請指出其卜哪幾對是相似圖形，哪幾對不是相似圖形，并簡單地說明理由

第27課時中位線與面積

學習目標：

1.掌握平行線等分線段定理，三角形中位線定理，三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第

三邊；

2了解面積的概念，掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的面積公式，等底

等高的三角形面積相等的性質(zhì)，會用面積公式解決一些幾何中的簡單問題；

3.掌握幾何證題中的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折三種變換。

重點難點：

1.考查中位線、等分線段的性質(zhì)，常見的以選擇題或填空邈形式，也作為基礎知識應用，

2考杳幾何圖形面積的計算能力，多種題型出現(xiàn)，

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3.三角形三條中位線的長分別為5厘米，12厘米，13厘米，則原三角形的面積是一厘米2

4.考杳形式幾何變換能力，多以中檔解答題形式出現(xiàn)

教學設計：

一、知識回顧

三角形的中位線

（1）概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

（強調(diào)三角形的中位線是線段,有三條.注意與三角形的中線的區(qū)別：

三角形的中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段）

（2）性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

練習

1.在2kABC中,DE是中位線加果DE=5,那么BC=10（直接考察三角形中位線的性質(zhì)）

2.如果三角形的周長為10cm.那么連結(jié)各邊中點所得的三角形的周長為5cm.

3.小明想要測量如圖所示A、B兩點間的距離，但這兩點被障礙物隔開不能直接測量，你能

幫助他嗎？（學生說出測量的方法，構(gòu)造三角形，作出它的中位線；利用三角形中位線的性質(zhì).測

量出MN的長度就知道A、B之間的距離.）若測得MN的長為15cm,則A、B之間的距離

為30cm.（結(jié)合實際，考察知識點）

4.如圖，AABC的中線AF與中位線DE相交于點Q.AF與DE有怎樣的關(guān)系？為什么？

（一要區(qū)分三角形的中位線和三角形的中線；二要分析題目，觀察AF與DE是四邊形ADFE

的兩條對角線，要說明它們的關(guān)系，就要先說明四邊形ADFE是什么圖形）

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5、一個任意四邊形ABCD,順次連接四邊形各邊中點得到四邊形EFGH,

則四邊形EFGH是什么圖形？

（如果將任意四邊形替換成矩形或菱形，那么四邊形EFGH是

什么圖形？）強調(diào)格式！

解：連接AC,在△ABC中，

因為E、F分別是AB、BC的中點，

即EF是aABC的中位線，

所以EFIIAC,EF=-AC,

2

同理，得HGIIAC,HG=」AC,

2

因為EFIIAC,HGIIAC,

所以HGIIEF,

因為HGIIEF,HG=EF,

所以四邊形EFGH是平行四邊形，

（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

如果換成矩形或菱形，則根據(jù)它們特殊的性質(zhì)對角線相等或互相垂直判定得到的四邊形是菱形

還是矩形.

結(jié)論：

任意一個四邊形，順次連結(jié)四邊形各邊的中點，可以得到一個平行四邊形.

如果這個四邊形對角線互相垂直，那么順次連結(jié)四邊形各邊的中點可以得到一個矩形.

如果這個四邊形對角線相等，那么順次連結(jié)四邊形各邊的中點可以得到一個菱形.

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6、如圖，四邊形ABCD中，AB=CD,E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，猜想

四邊形EHFG