第一章預(yù)備知識(shí)全章復(fù)習(xí)

內(nèi)容概BS

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)更難點(diǎn)

構(gòu)建知浜:網(wǎng)咨

知識(shí)清單回顧重點(diǎn)知設(shè)

熟記重要結(jié)淪

元素與集合的綜合應(yīng)用

集合基本關(guān)系的綜合應(yīng)用

集合間綜合運(yùn)算

由角合運(yùn)苒求密

集合中的新定義題

第一章預(yù)備知識(shí)充分、鹿豺牛的判斷

題型精講由充分、源條件求參

全稱量運(yùn)命題與存在量運(yùn)命題

不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

基本不等式的綜合應(yīng)用

解含參的一元二次不等式

利用三個(gè)二次關(guān)系求警

不等式恒成立及能成立向E

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.通過復(fù)習(xí)理順本章重點(diǎn)知識(shí)，如集合運(yùn)算、充分性與必要性的判斷斷、含有一個(gè)量

教學(xué)目標(biāo)詞命題的否定、基本不等式、解一元二次不等式等知識(shí).

2.能綜合應(yīng)用本章知識(shí)解決綜合性強(qiáng)的問題.

1.重點(diǎn)

教學(xué)重難點(diǎn)(1)集合的運(yùn)算及集合中的含參問題；

(2)常用邏輯用語中的含參問題：

1/27

(3)利用基本不等式求最值及不等式中的含參問題

2灘點(diǎn)

(1)集合、常用邏輯用語中的含參問題；

(2)解含參的一元二次不等式.

知識(shí)清單

一、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

2/27

,J元未與■合的關(guān)條（舄于"■于）_

iJHT星H■"那的n（?$n復(fù)吐初飾

Veenfi

N些)

■：■弁?)

U2

￡sww?、ege"沖，癡0?0!的即一

L：克生w?w??；

《靈委箏開

光,E求，0

r（JR-1.!

存在■詞及存在■詞令除4、7E■詞6孰求?做）

［存在■囿全JB哲龍）

不?或恒更的成閑

不4式也質(zhì)不等式的比收大??；:

1（啊聞不等式忖質(zhì)衣則

基本不等式的假傘及證明

一元二次不等式及其第z

次不等5tm集孝.故

含AiUUX不?式1跑

打法

-.-=:_-.電—I—XTW

二、回顧重點(diǎn)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01集合的相關(guān)概念

1.集合的基本概念

（1）集合:一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合,通常用大寫拉丁字母

來表示集合.

（2）元素:集合中的每?個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素.簡(jiǎn)稱元.通常用小寫拉丁字母表示.

3/27

(3)集合相等:如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同，那么稱這兩個(gè)集合相等.

(4)集合中元素的特性:確定性、互異性和無序性.

特性含義

集合的元素必須是確定的.因此，不能確定的對(duì)象不能組成集合，即給定一個(gè)集合,任何對(duì)象是不

確定性

是這個(gè)集合的元素，應(yīng)就可以明確地判斷出來

對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的.因此，集合中的任意兩個(gè)元素必須都是不同的

互異性

對(duì)象，相同的對(duì)象歸入同一個(gè)集合時(shí)只能算作集合中的一個(gè)元素

無序性集合中的元素可以任意排列

2.常見的婁攵集及符號(hào)表示

正整有理

數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集實(shí)數(shù)集

數(shù)集數(shù)集

符號(hào)NN*或N+ZQR

3.元素與集合的關(guān)系

⑴屬于:如果a是集合A的元素，那么就記作讀作Z屬于A-

(2)不屬于:如果a不是集合A的元素，那么就記作a^A或讀作不屬于

4.集合的表示方法

(1)列舉法：將集合的元素-一列舉出來，并置于花括號(hào)”｛產(chǎn)隊(duì),用這種方法表示集合，元素之間要用逗號(hào)分

隔，但列舉時(shí)與元素的次序無關(guān).

(2)描述法:將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成*IMx)｝的形式IMx)｝中X為集合

的代表元素P(x)指元素x具有的性質(zhì).

(3)Vcnn圖

為了直觀地表示集合，常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，稱為Venn圖.

5.集合的分類

按照集合中元素的個(gè)數(shù)分類

(1)有限集:含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集；

(2)無限集:含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集；

(3)空集:把不含任何元素的集合稱為空集，記作。.

知識(shí)點(diǎn)02集合的基本關(guān)系和基本運(yùn)算

1.集合的基本關(guān)系

子集真子集

如果集9A的任意一個(gè)瓦素都總集香B的尻素(再如果AQBA,B=那么反杳力稱

概則花4),那么集合力稱為集合8的子集，記作AQB或?yàn)榧?的真子集，記為解B或

念BNA，讀作“集合A包含于集合8”或“集合B包含集合B嚏A，讀作“力真包含于8”或“8真

力”包含4”

4/27

圖

（1^）或

示

（1）任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AQA;（1）若4*8且8臬C,則4呈C;

結(jié)

（2）對(duì)于集合48,。，如果且尤&那么AQC;（2）若AEB且力黃氏則力曙3;

論

（3）規(guī)定。G4即空集是任何集合的子集（3）空集是任何非空集合的真子集

2.集合的基本運(yùn)算

（1）.全集

①概念:如果一個(gè)集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集;

②汜法:通常記作U.

（2）補(bǔ)集

設(shè)/1GS,由S中不屬于集合力的所有元素組成的集合稱為S的子集力的補(bǔ)集，記作CsA

文字語言

（讀作Z在S中的補(bǔ)集”）

符號(hào)語言CsA={x1xCS,且x^A}

S__

圖形語言

（3）交集

由所有屬于集合力且屬于集合8的元素構(gòu)成的集合，稱為4與8的交集，記作ACB（讀

文字語言

作“A交B”）

符號(hào)語言4c18={x1力，且xW8}

圖形語言

AC\B=BC\A^4C\A=A^4C\0=0C\A=0AC]QuA=0AC\BQA^C\BQB,AQB<^>AC]B=

運(yùn)算性質(zhì)yy

A

（4）并集

由所有屬于集合力或者屬于集合8的元素構(gòu)成的集合，稱為彳與8的并集，記作AUB（讀

文字語言

作“力并8”）

符號(hào)語言A\JB={x1xB,或在里

G0

圖形語言

運(yùn)算性質(zhì)AUB=BUA,A\JA=A?JU0=0U4=A4UCM=U/q/lUB,B￡/iUB/qBo4UB=B

知識(shí)點(diǎn)03充分條件與必要條件

1.定義

如果命題“若〃，則q''為真（記作〃nq）,則〃是夕的充分條件；同時(shí),是〃的必要條件.

5/27

2.從邏輯關(guān)系上看

①若p=q，則〃是q的充分條件，g是〃的必要條件；

②若p=g,且q/p,則p是夕的充分不必要條件；

③若p+q且q=p，則〃是q的必要不充分條件；

④若則夕是q的充要條件；

⑤若p+q且q+p,則p是夕的既不充分也不必要條件.

知識(shí)點(diǎn)04全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞及全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語含有“所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等”在邏輯中通常叫做全稱量

詞.并用符號(hào)“W”表示.

(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.表示為：“對(duì)"中任意一個(gè)x,有p(x)成立“可用符號(hào)簡(jiǎn)記

為MxeM,p(x)，讀作“對(duì)任意x屬于為有p(x)成立”.

2.存在量詞及存在量詞命題

(1)存在量詞：短語含有“存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等“在邏輯

中通常叫做存在量詞。

(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.表示為“存在"中的一個(gè)xo,使p(xo)成立“可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

3x(wA/,p(.%),讀作“存在M中的元素xo，使p(xo)成立

3.命題的否定及含量詞命題的否定

(1)命題的否定：命題的條件不變，只否定命題的結(jié)論；

(2)量詞命題的否定：先否定量詞，再否定結(jié)論；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的

否定是全稱量詞命題.

全稱量詞命題pNxeM,p(x)的否定-ip為3x0eM,「p(x0).

存在量詞命題p：3%EM,”(/)的否定-1P為VxwM，r?(x).

(3)或夕”的否定為：“非〃且非夕”；"p且9''的否定為：“非p或非夕

知識(shí)點(diǎn)05等式與不等式的性質(zhì)

1.不等式關(guān)系與不等式

(1)不等式的概念：用數(shù)學(xué)符號(hào)“工”“〉”“<”"2”“守’連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等式關(guān)系，

含有這些不等式號(hào)的式子，叫做不等式.

(2)常見文字語言與符號(hào)語言的對(duì)應(yīng)關(guān)系

大于或等于、小于或等于、至多、

文字語言大于、高于、超過小于、低于、少于

至少、不低于不多于、不超過

符號(hào)語言><><

2.實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)

6/27

實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示?個(gè)實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示

的實(shí)數(shù)大，所以實(shí)數(shù)可以比較大小，如下表所示：

文字語言符號(hào)語言

如果?！怠?，那么。一〃是正數(shù)；a>boa-b>0；

如果。=6,那么。一6等于零；a=b=a-b=0；

如果。＜力，那么。一6是負(fù)數(shù).a<b<=>a-h<0

反之亦然

3.等式的性質(zhì)

性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱性a=b=b=a可逆

2傳遞性a=b,b=c=>a=c同向

3可加、減性a=boa±c=b±c可逆

4可乘性a=b=ac=be同向

5可除性a=b,c—=—同向

cc

4.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱性a>bob<a可逆

2傳遞性a>b>b>c^a>c同向

3可加性a>b=a+c>b+c可逆

a>b,c>0=>ac>bc

4可乘性c的符號(hào)

a>b,c<0^ac<bc

5同向可加性a>b,c>dna+c>b+d同向

6正數(shù)同向可乘性a>b>0,c>cl>0=^ac>h(l同向

7正數(shù)乘方性a>b>0=>a,,>b"(nEN,zz>2)同正

知識(shí)點(diǎn)06基本不等式

1.基本不等式

(I)定理：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)人有/+〃22時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)，等號(hào)成立.

(2)推論：如果〃＞(),力＞0,那么疝工七心，當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)，等號(hào)成立.

2

【說明】叫做正數(shù)用人的算術(shù)平均數(shù)，而叫做正數(shù)。角的幾何平均數(shù).

2

上述定理與推論中的不等式通常稱為基本不等式.

7/27

2.最值定理

（1）最值定理：已知X,）都是正數(shù)，

①若x+y=s（和s為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積盯有最大值，且這個(gè)值為:

②若xy=p（積p為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值，且這個(gè)值為2p.

最值定理簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大.

（2）在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等.

①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或枳必須有一個(gè)為定值；

③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.

3.基本不等式的變式與拓展

（1）基本不等式鏈

[2I<x[cib<"<J/7色>o,Z?>0）或K（"丁了<°:bg>0乃>0）.

—+—

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

2_2ab,,

其中，丁一T二R為。力的調(diào)和平均值，式旦為的平方平均值

a+b2

（2）基本不等式的拓展

①三元基本不等式：弋+%質(zhì)（a/,c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)”=6=c時(shí)等號(hào)成立.

②〃元基本不等式：%+出+—…（a”生，…牝均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)為=%=…=%時(shí)

n

等號(hào)成立.

知識(shí)點(diǎn)07一元二次函數(shù)與一元二次不等式

1.三個(gè)“二次”的關(guān)系

對(duì)于一元二次方程以+C=O（Q>O）的兩根為王、%且*?%，設(shè)△=〃-4"c,它的解按照

A>0,A=0t△<（）可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)yuai+bx+c（。>0）的圖像與工軸的位置關(guān)

系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式of+bx+c>0伍〉0）或

6TJC2+Z）X+C<0（67>0）的解集.

判別式/=b2—4acJ>0J=0J<0

8/27

二次函數(shù)y=ax2+8+c（a>0）的圖象

pO'x

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

b沒有實(shí)數(shù)根

ar2+bx+c=0（a>0）的根根X1，X2（X1〈X2）Xi~X2~~2a

Li燈-；

ax2+bx+c>0(?>0)的解集{xpr<xi或x>xa}R

k12a

ax2+bx~\~c<0(a>0)的解集{j|X|<X<X2}00

2.解一元二次不等式的一般步驟

（1）判號(hào)：檢查二次項(xiàng)的系數(shù)是否為正值，若是負(fù)值，則利用不等式的性質(zhì)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正值:

（2）求根：計(jì)算判別式A,求出相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根；

①△>（）時(shí)，求出兩根為、且王<W（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；

②△=0時(shí)，求根X]=占=——：

2a

③△<（）時(shí)，方程無解.

（3）標(biāo)根：將所求得的實(shí)數(shù)根標(biāo)在數(shù)軸上（注意兩實(shí)數(shù)根的大小順序，尤其是當(dāng)實(shí)數(shù)根中含有字母時(shí)），

并畫出開口向上的拋物線示意圖；

（4）寫解集：根據(jù)示意圖以及一元二次不等式解集的幾何意義：寫出解集.

口訣：大于零?。ǜ﹥蛇?，小于零取（根）中間

3.含參一元二次不等式的討論依據(jù)

（1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行大于0,小于0,等于0分類討論；

（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，再對(duì)判別式進(jìn)行大于0,小于0,等于0的分類討論；

（3）當(dāng)判別式大于（）時(shí)，再對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論，最后確定出解集.

4.一元高次不等式的解法

如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2,一般采用“穿針引線法“，步躲如下：

（1）標(biāo)準(zhǔn)化：通過移項(xiàng)、通分等方法將不等式左側(cè)化為未知數(shù)的正式，右側(cè)化為。的形式：

（2）分解因式：將標(biāo)準(zhǔn)化的不等式左側(cè)化為若干個(gè)因式（一次因式或高次因式不可約因式）的乘積，如

（x——…（、一天）>0的形式，其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正：

（3）求根：求如（工一內(nèi)）（工-々）…（工一￡）=0的根，并在數(shù)軸上表示出來（按照從小到大的順序標(biāo)注）；

（4）穿線：從數(shù)軸右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)，穿線時(shí)要遵循“奇穿偶回”的原則（即經(jīng)過偶次

根時(shí)應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)仍回到這一側(cè)，經(jīng)過奇數(shù)次根時(shí)應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過到達(dá)數(shù)軸的另一側(cè)），簡(jiǎn)稱“擊過

偶不過”；

（5）寫解集：若不等式“>0”，則找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間：若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間.

9/27

知識(shí)點(diǎn)08其他不等式的解法

1.分式不等式的解法

(I)y>0=/*)?g(x)>0y<0o/(x)?g(x)<0

g(x)g(x)

/(x)*g(x)>0包OoJ/(x)?g(x)W0

(3)■^^200.(4)

g(x)g(x)*0g(x)g(x)*0

2.絕對(duì)值不等式解法

⑴|/(X)|>|g(X)|^[/?]2>[g(X)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)O/(%)>g(x)或ZU)<-g(x)；

|/U)|<g(x)(g(x)>0)=—g(x)<f(x)<g(x)：

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解

三、熟記重要結(jié)論

L子集個(gè)數(shù)

若有限集片中有〃個(gè)元素，則集合力的子集個(gè)數(shù)為2”，真子集的個(gè)數(shù)為2〃-1,非空真子集的個(gè)數(shù)為2〃一

2.

2.等價(jià)關(guān)系

A￡B=A\JB=BOAC\B=A=CUA=CUB.

3.交集與并集的轉(zhuǎn)化

(QM)n(Q/)=C“/U8),

(Q.4)U(CM)=C&n5).

4.元素個(gè)數(shù)

用card(4)表示有限集合力中元素的個(gè)數(shù).對(duì)任意兩個(gè)有限集合兒B,有card“U8)=card(4)+card(8)—

card(4n8).

5.集合法與充分性、必要性

若。={xb(x)},8={x|g(x)},則

⑴若/G5,則p是4的充分條件;

(2)若438,則p是q的必要條件：

(3)若力=8,則〃是q的充要條件；

(4)若力B,則〃是夕的充分不必要條件；

(5)若4B,則〃是q的必要不充分條件；

(6)若AB且4至B,則〃是夕的既不充分也不必要條件.

總結(jié)：小推大，大不可推小.

6.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語

正面詞語等于(=)大于(>)小于(V)是

否定詞語不等于伊)不大于(9不小于(N)不是

正面詞語都是任意的所有的至多有一個(gè)至少有一個(gè)

否定詞語不都是某個(gè)某些至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有

7.命題否定真假的判斷

因?yàn)槊}p與非p的真假性相反，所以不管是全稱量詞命題還是存在量詞命題，當(dāng)其真假不易判斷時(shí),

可先判斷其否定的真假.

10/27

8.有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)

⑴。>力，。力>0=1<1；a>b,ab<0^>.

abab

(2)a>6>0,0<c<(/=a>b.

cd

(3)0<a<x<b或a<x<b<0^<^<\

bxa

9.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a>6>0,機(jī)>0,則

八、bb+mbb~m八、

(I)<:>(ta-/77>O).

a。+〃？aa-m

/?、"+〃？aa—m

⑵〉；v(b—m>0).

bb+mbh-m

10.常用的幾個(gè)重要不等式

(l)tf+Z>>2ab(a>0,h>0).

卜+，小

(2)(?6<12J(ci,6GR).

(3)12J<a73,bER).

(4)'+；22(mb同號(hào)).

ab

2

(5)i.<ab(a>0,b>0).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

11.輪換對(duì)稱不等式

a2-^-b2>2ab

標(biāo)+c222H型劈？+〃+/%6+的+慶，當(dāng)且僅當(dāng)4=b=C時(shí)，等號(hào)成立

b2-^~c2>2bc

12.三元基本不等式

而”“+"十°,其中a>0,Z>>0,c>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=e時(shí)，等號(hào)成立.

3

13.一元二次不等式恒成立問題

（1）“2+瓜+00（存0）恒成立（或解集為R）時(shí)，滿足"°:

U<0

⑵ad+bx+cNOm知）恒成立（或解集為R）時(shí)，滿足；

⑶bxI*0（辦0）恒成立（或解集為R）時(shí)，滿足?<°；

U<0

（4）江+取+空0（a翔）恒成立（或解集為R）時(shí)，滿足?

（5）對(duì)于av2+6x+c>0不等式恒成立時(shí)，最高次數(shù)的系數(shù)含參要考慮為零情況。

13.區(qū)間恒成立問題

函數(shù)在某區(qū)間恒成立時(shí)，若能夠分離參數(shù)成長(zhǎng)/U）或七幾丫）形式.則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解.

設(shè)J（x）的最大值為M,最小值為“.

11/27

（1）任/（x）恒成立，A0（x）恒成立o仁”

（2恒成立<=>,&Xx）恒成立

題型精講

題型01元素與集合的綜合應(yīng)用

【典例1-1】（2025?廣東清遠(yuǎn)模擬）已知集合力={1,2,3},8=；3,5},則C={小=2〃+/）,aEA,旎㈤中

的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4

C.5D.6

【典例1?2】侈選）若旄{旭一1,2弧峭2—1},則實(shí)數(shù)上的可能取值為（）

A.3B.3

C.1D.-3

【典例1-3］已知集合力={x€R|a/—3尤+2=0}.

（1）若集合4=0,則實(shí)數(shù)。的取值集合為;

（2）若集合力中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值集合為.

方法技巧

理解集合的含義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，M是其他集合.

⑵看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么.

注意：利用集合元索的限制條件或元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢

驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.

彳變Ei-口…156M嵩三圣國(guó)7i蕨臻為5?無海示藪確關(guān)旗裾互示叛疝無而示裾豕示叛「椀163三3二二

就是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，可記為0.3,同理：0.^=0.121212……，若集合

j={/?|l=0.MneN*,a,bwN,a^b,a,b￡q},則4中所有元素的和為（）

n

A.44B.110C.132D.143

【變式1-2］（多選）（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.由@+也+@（a,b,c€R）所確定的實(shí)數(shù)集合為{T—2,-1,1,2,3}

abc

2x+4>0

B.同時(shí)滿足（?的整數(shù)解的集合為{TO,1,2}

1+X22x—1

C.集合{（*沙）|3*+2丫=16K6電蚱用可以化簡(jiǎn)為{（0,8,（2,5）,（4,2）}

D.A={a|J—eN，awZ}中含有三個(gè)元素

3-a

整數(shù)解的集合即可判定B；由3x+2y=16,xcN,ylN,用列舉法可判定C；用試根的方式找出滿足條

【變式1?3】（24-25高三上?江西撫州?階段練習(xí)）集合力=中的所有元素中最大的元素

12/27

為,最小的元素為.

【變式14］（2025?甘南慶陽?二模）已知集合力且25,則實(shí)數(shù)。的值為

題型02集合基本關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例2-1】（2025?四川成都診斷考試）集合用={小=5%—2,AN},尸={小=5〃+3,〃WZ},S={x|x=10/n

+3,〃怎Z}的關(guān)系是（）

A.SGP7MB.S=PJM

C.SJP=MD.P=MJS

【典例2-2】（2025?河南?二模）已知集合力=?xx-Twg?,B=卜k<x<a+2},若力胃8,則。的取值

范圍為（）

A.（1,2］B.(0,1)C.[1,2]D.[0,1]

方法技巧

1.判斷兩集合間關(guān)系的三種方法

2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略

（1）若集合元素是一一列舉的，則將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，

此時(shí)注意集合中元素的互異性

（2）若星1表示而是不等式的解集，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系,

此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到.

?****■提■?■醒■■-：-?題***目??■中■■■若■■■有■■■條??■件?■B■—Q——A■—■,則■■*應(yīng)**?分-■*8**=*■■0，■和?■■兩--**種**■情■■■況■■■■進(jìn)■■■?行■■■討■■論■■■.■■■■■*****■****■■??■****■■■■?―――*

【變式2-1］（24-25高一上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知集合M=+,

6

N=xx=：P=xx=i\,peZ,則A/,N,P的關(guān)系為（）

2326

A.M=NjPB.MjN=PC.M=PjND.NjPqM

【變式2-2］（24-25高一上?山泰泰安?階段練習(xí)）下列每組集合是相等集合而是（）

A.4={xwN|W?2},^={xeZ||x|<2）B.4={（x,y）|y=x},8={x|y=x}

".2

C.4={x|y=x},B=<Xy=^-?D.J={x|x>0},8={y|y>0}

>X>

【變式2-3］（2025?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知集合<={01},8={0必+1,。-1},若則。=（）

A.2B.0C.0或2D.一2或2

13/27

【變式2-4](2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知集合4=X1工20,8=k即-2V-1},丘Q4，則P的

取值范圍是()

A.[+1)B.

C.(-；，!■)D.(-^,+co)

題型03集合間的綜合運(yùn)算

【典例3-1】設(shè)全集U=R,集合M={x|x《l},N={x[-l<x<2},則{x[l<x<2}=()

A.①(MUN)B.

C.Q，(MnN)D.NcaM)

【典例3-2】已知M,N均為R的子集，且CRMGN,則MU(CRN)=()

A.0B.MC.ND.R

方法技巧

集合綜合運(yùn)算的求解策略

(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算.

(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解.對(duì)?于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn).

(3)解決抽象集合(沒有給出具體元素的集合)間的關(guān)系判斷和運(yùn)算問題的途徑有兩條：一是利用特殊值法

將抽象集合具體化；二是利用圖形化抽象為直觀.

i菱瓷百丁一百瓦丁汲萬為圣不而三不盔瓦可為輻藤礁5

A.若408=0,則(栩)34)=U；B.若/1=8=U，則(秒4)c(4)=0；

C.若4nB=0,則4=8=0；D.若力U8=0,則/=8=0.

【變式3-2】設(shè)全集U={xwN[x<6},集合4={1,3},8={3舟，則QWuB”.

【變式3?3】已知集合力="|-1￡丫44},8={x|x<l或x>5}.

(1)若全集U=R,求力U8、(Q〃)n3；

(2)若全集U=R,求xn(q/).

題型04由集合的運(yùn)算求參

14/27

【典例4-1】已知集合m={用入2+2工一8=0},N={x\x>a}f若A/cNw0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.{a\a<2}B.{a\a^2}C.{a\a<-4}D.{ala<-4}

【典例4-2】已知集合力={x€Z|-lav3},B={x\3x-a<0}f且/(18述)={1,2},則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()

A.(0,4)B.(0,4]C.(0,3]D.(0,3)

方法技巧

（1）將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不

同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一股利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到.

（2）將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程（組）或不等式（組）問題求解.

（3）根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍.

?****-******■?***??■■■■■■■■■■****?■■■■--****■■****-■?****■■****■■■■?■■■■■■?■■■■??■■■―?--W****■■?***■■■?-****■-—―?■■*<

【變式4-1]（2025?江西萍鄉(xiāng)?三模）已知集合力={X|X（X+〃7）K。},5={x|（3x+l）（x-/n+1）=o）,C=A^Bt

若集合。有3個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)加的值可能為（）

A.」B.1C.上D.』

2342

v-1

【變式4-2]（2025?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知集合彳二卜=40,8={x\x>a}t若力04=/1,則實(shí)數(shù)"

x

的取值范圍是（）

A.[0,+a））B.（0,-KO）C.（-8,0]D.S,0）

【變式4?3】（2025?重慶九龍坡?三噴）已知集合M={.H0<x<a},N={x|/_6X+5<0}，若N\JM=M,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[5,+co）B.（5,+oo）C.[3,+8）D.（3,-KO）

題型05集合中的新定義題

【典例】（2025?山東青島模擬）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，稱兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公

1—111!

共元素，但互不為對(duì)方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食對(duì)于集合力=12J,8={x|a￡=l,a>0},

若兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則a的值為.

方法技巧

解決以集合為背景的新定義問題要抓住的兩點(diǎn)

（1）緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的

解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在.

（2）用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的?些因素，在關(guān)鍵之處用好集合

的運(yùn)算與性質(zhì).

【變式5-1]（24-25高三?遼寧遼陽?模擬）我們將集合S的子集為元素的集合稱為S的一個(gè)子集族.例如集合

力={1}有3個(gè)子集族：{0},{{1}},{。,{1}}.若集合4中有3個(gè)元素，則8的不同子集族有（?

A.128個(gè)B.127個(gè)C.256個(gè)D.255個(gè)

15/27

2.(23?24高一上,北京?期中)定義集合P={x|a?x。}的“長(zhǎng)度”是b-a,其中a,beR.已如集合

M={x|〃Tx3〃+J},N={X|〃-9X<〃},且憶N都是集合{x|l4x42}的子集，則集合McN的“長(zhǎng)度”

的最小值是：若〃?=￡,集合A/DN的“長(zhǎng)度”大于則”的取值范圍是.

JJ

題型06充分、必要條件的判斷

【典例6-1】已知x,yeR,則是>y2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例6-2】已知集合4={3,*,6={1,3,5},則加=1是NqB的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.既不充分又不必要條件

D.充要條件

方法技巧

判斷充分、必要條件的兩種方法

(1)定義法

(2)集合法：根據(jù)p,成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用戶命題中涉及字母取值范圍

的推斷問題.

【變式6?1】設(shè)則“a>尸是傘j>曲的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式6-2]“。2=從”是“。2+〃=2而”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式6?3】已知〃：0<x<2,q:-l<x<3,則〃是夕的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充要也不必要條件

16/27

題型07由充分、必要條件求參

【典例7]已知P={x|x2-8x-20<0},非空集合S={x|l-/n<r<l+m）.

⑴若“x￡P(guān)”是”.隹尸的必要條件，則〃?的取值范圍為:

⑵若"X6P”是56S'的充分不必要條件，則，〃的取值范圍為.

方法技巧

由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略

（1）巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)

系列出有關(guān)參數(shù)的不等式（組）求解，注意條件的等價(jià)變形；

（2）端點(diǎn)值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍.

【變式7-1]（多選）（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知集合力={X|-Y+5X+6>0},

B={j]-k<x<2k+\},若“xe4”是“xw8”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)〃的可能取值為（）.

68

A.-2B.-C.-D.2

77

【變式7-2]（24-25高三上?山東濰坊?階段練習(xí)）已知集合力="eN11Kx<3},3=3M-Q+〃口+2=0},

若“XC4”是“XC/T的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的所有取值組成的集合是.

題型08全稱量詞命題與存在量詞命題

【典例8-1】（2024?新課標(biāo)II卷）已知命題p：VAGR,|X+1|>1；命題/3x>0,x3=x,則（）

A.〃和q都是真命題

B.「p和g都是真命題

C.〃和—tq都是真命題

D.」〃和都是真命題

【典例8-2】（2025?陜西渭南模擬）已知於R,命題p：V.vG[l,2],x2一色0,命題飲3x6R,4+2ox+2—a

=0,若命題p,g均為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

方法技巧

I.判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路

稱

全經(jīng)證明為真或與性質(zhì)、