第三章圓（B卷?培優(yōu)卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

A卷（共100分）

第I卷（選擇題，共32分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.下列命題中，正確的命題是（）

A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等D.等弧對(duì)等弦

【答案】D

【分析】此題考查了圓的垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.根據(jù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

B.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C.同圓或等圓中兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.等弧對(duì)等弦，故選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D

2.如圖，在等腰直角三角形力3c中，44=90。,8c=4,分別以點(diǎn)8,點(diǎn)C為圓心，線段4c長(zhǎng)的一半為半

徑作圓弧，交AB,BC,AC于點(diǎn)，E,F,則圖中陰影部分的面積為（）

A

A.8B.8-2〃C.4-271D.4-/4

【答案】D

【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算及根據(jù)題意應(yīng)用面積差求陰影部分的

方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出ABMC的長(zhǎng)，再計(jì)算出V/歷C的面積，根據(jù)N5+NC=90。，兩個(gè)扇形

的半徑相等，即可算出扇形的面積之和，再根據(jù)陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形值面積，計(jì)算

即可得出答案.

【詳解】解:???48=AC,4=90。,

BC2=AB2+AC2,

???AB=AC=2及，

：.S.=2-ABMC=-2x2>/2x2V2=4,

?；zLB+ZC=9O0.BE=CE=-BC=2,

2

???兩個(gè)扇形面積之和=—=%1?=7t,

360360

*,?5陰=SABC一S域=4—乃.

故選:D.

3.如圖，在菱形"C。中，"=2,NB=12O。，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑

作圓心角為60。的扇形O",點(diǎn)Q在扇形O"內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為()

A.FTB-71一日c14D,無(wú)法確定

【答案】A

【分析】連接OD,將O。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到OD.證明一MZX涇-M)'O(ASA),ffilll

S四邊形MONO=SDDO,利用S陰影=與形￡0--SDO少即可求解.

【詳解】解：如圖，連接OD，將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6。。得到O0.

=4N0D'+NDON=附，

AMOD=^NOD\

.?在菱形A4CQ中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，4=120°,

.?.Z4DC=Z5=120°,ODA.AC,

NMDO=ZCOD=-NADC=60。,

2

zzx)zy=60o,

/.ZDD,O=60°,

.\ZDE/O=ZMDO=60°,

OD=OD,

1.MDg..M/O(ASA),

‘四邊形A")N0=SDDO.

NCDO=60°,

IIcp2

DO=CDconZCDO=-CD=-AH=\,AO=CO=CDsinZCDO=-CD=—AB=>5,

2222

.r&_60兀x（石尸_752兀V5

一J陰影—?明形EOF~?四邊形MONO—）切形EOF-1）01/~而-X1~~'

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線,

構(gòu)造一??角形全等，利用s陰影=SwS.001y是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知直線必交co于4B兩點(diǎn)，AE是。O的直徑，點(diǎn)。為。上一點(diǎn)，且AC平分44E,過(guò)

。作C￡>_LQ4,垂足為。，且￡>C+r>4=12,C。的直徑為20,則AB的長(zhǎng)等于（)

A.8B.12C.16D.18

【答案】B

【分析】根據(jù)題意連接OC,過(guò)。作。/_LA8,利用角平分線定義得ND4C=NC4O,繼而得到尸B〃OC,

再得到四邊形DCO/為矩形，再設(shè)AO=x,則O尸=8=12-x,利用勾股定理即可得到本題答案.

【詳解】解：連接OC,過(guò)。作。尸_LA8,垂足為尸，

p

'：OA=OC,

，AOCA=ZOAC,

???AC平分NE4￡,

^DAC=ZCAO,

/.ZDAC=Z0C4,

:.PB//OC,

CD1PA,

???NOCQ=ZCDA=ZOFD=90°,

???四邊形。COb為矩形，

/.OC=FD,OF=CD.

■:DC+DA=12f

設(shè)凡D=.Y,W]OF=CD=\2-x,

???。的直徑為20,

/.DF=OC=\0,AAF=\0-x,

在RtSO尸中，由勾股定理得人尸+O尸2=。].

即(10-x)2+(127)2=1()2,解得再=4,々=18.

VCD=12-A>0,故人=18舍去，???人=4,

???AO=4,AF=10-4=6,

,：OF±AB,由垂徑定理知，〃為A8的中點(diǎn)，???A8=2A/=12.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，平行線判定及性質(zhì)，矩形判定及性質(zhì)，勾股定理」垂徑定理等.

5.如圖，A是半徑為2的OO外的一點(diǎn)，04=4,AB切0。于點(diǎn)3,弦BC〃OA,連接AC,則圖中陰影

部分的面積等于()

9227—

A.-nB.-7CC.兀D.—7T+x/3

353

【答案】A

【分析】利用切線的性質(zhì)4480=90。，再利用特殊角的三角函數(shù)值可求出/明0=30。，則2408=60。，

接著利用平行線的性質(zhì)得到NC8O=NAQ5=60°,利用三角形面積公式可得到，然后根據(jù)扇

形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S扇形進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：TAB切?O于點(diǎn)8,

???08_LA8,

r.乙鉆。=90。,

在Rt^AB。中，???。4=4,04=2,

.?OB\

..sinZ.OAB=----=—

OA2

???NEAO=30。，

???ZAOB=60。，

???BC//OA,

Z.CBO=ZAOI3=60°,S&mc=S^.B,

???ZBOC=60%圖中陰影部分的面積=S中形s",

???圖中陰影部分的面積="工二=2兀.

3603

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算公式，特殊角的三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)

面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形48co內(nèi)接于。，AE_LC8交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若朋平分NOBE,AD=6,CE=4,

則AE的長(zhǎng)為（）.

A

A.2B.3C.2石D.26

【答案】D

【分析】連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到NABE=NADC，根據(jù)AZ)=AO得到4WQ=ZAC。結(jié)合

角平分線得到NABE=NAB。，即可得到：ZADC=ZACD,從而得到AC=AO,結(jié)合勾股定理即可得到答案；

【詳解】解：連接AC,

???四邊形A8CO內(nèi)接于(O,

???ZADC+ZABC=180°,

ZA8E+Z48C=180。，

???ZABE=ZADC,

*：A。=4。，,Z4BD=Z4CD,

「明平分NDBE,

AZABE=ZABD^AZ4DC=Z4CD,

???AC=AD,

VAELCB,AD=6,CE=4,

4c=6

???AE=>JAC2-CE2=2yf5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角相等，等角對(duì)等邊等知識(shí)，掌握

這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.已知AB為。的直徑，C為（。上一點(diǎn)，將AC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到A/）,交A8于E

若半徑是5,EO=\,則弦的長(zhǎng)度為（）

B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，線段垂直平分線的判定定理，三角形相似的判定及性質(zhì),

勾股定理等；連接8C、BD,DE，連接CO交48于尸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AO，NCAB=/BAD,O

與W是等圓，由三角形相似判定方法得△ABCs^CBF,由三角形相似的性質(zhì)得黑=線求出8C,由勾

I3C131

股定理DF=JBD?-BF'求出DF,據(jù)此即可求解.

AB=\O,

BE=OB-OE=4，

由旋轉(zhuǎn)得：AC=AD^

NCAB=/BAD,

。與。是等圓，

/.AC=AD,

BC=BD、

...ABLCD,

CF=DF,

.\ZCFB=90°,

:NBAD=/DAE，

DE=DB，

:.DE=DB,

：.BF=-BE=2,

2

9是直徑，

.\Z4CT=ZCra=90°,

.ZABC=NCBF,

/.ABC^CBF,

.ABBC

10BC

----=-----,

BC2

BC2=20,

r.BD1=2()，

:.DF=ylBEr-BF2=>/20-4=4>

CD=2DF=8；

故選：C.

8.如圖，Z^ABC內(nèi)接于OO,AB是。O的直徑，ZB=30°,CE平分/ACB交。O于E,交AB于點(diǎn)D,

A.1：6B-1：V3C.1：2D.2：3

【答案】D

【分析】由AB是。。的直徑，得到NACB=90。，根據(jù)己知條件得到江=正，根據(jù)三角形的角平分線定

BC3

理得到生=絲=走，求出AD=—^=AB,BD=-^-7=AB,過(guò)C作CE_LAB于E,連接0E,由CE平

分NACB交。OTE,得到OE_LAB,求出OE=：AB,CE:近AB,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

24

【詳解】解：TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

VZB=30",

.ACG

??,

BC3

VCE平分NACB交。0于E,

.ACADV3

??----=-----=-----,

BCBD3

63

AAD=^5=AB,BD=--T=A]B,

3+63+V3

不過(guò)C作CE_LAB于E,連接OE,

C

E

VCE平分NACB交0O于E.

?*-AE=DE，

/.OE±AB,

AOE=-AB,CE=^AB,

24

：（；）：

?.&RDESACDB=AD,OE（-BD-CE）

2

3C

一（一x"LAB?-AB）（-x-~~^AB*^-AB）=2：3.

23+6223+V34

故選D

【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：（1）圓周角定理;（2）三角形的角平分線定理；（3）三角形的面積的計(jì)算；（4）直角三角

形的性質(zhì).

第回卷（非選擇題，共68分）

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

9.已知GO的半徑。4=1,弦A8的長(zhǎng)為加，若在()0上找-■點(diǎn)C,則N8C4=。.

【答案】45。或135。.

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出

408=90。，分別在優(yōu)弧A8和劣弧A8取點(diǎn)4和G，連接AC-BC.,AC2,BC2,則〃("=45。，然

后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出NBC2A=135。，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,A8=夜，

：-OAr^OB1=AB1,

???ZAOB=90°,

如圖，分別在優(yōu)弧A8和劣弧AZ?取點(diǎn)Ci和G，連接AG，AC-4G，8c2，

NgA=45°,

???四邊形AC/G是圓內(nèi)接四邊形，

???N8G4+/BC2A=180。，

O

???ZBC2/1=135,

故答案為：45?；?35。.

10.如圖，等邊△A3c邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。、E、尸分別是43、BC、AC的中點(diǎn)，分別以。、E、尸為圓心，DE

長(zhǎng)為半徑畫弧，圍成一個(gè)曲邊三角形，則曲邊三角形的面積為.

A

【分析】連接?！闐F,EF,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定得=。E=所=1,。所是等邊三角形，則

*A3C~~，曲邊三角形的面積為附形0c尸一S對(duì)+S出彩EFD-S,+S⑥形FDE-S團(tuán)）+S由,進(jìn)行計(jì)算即可得?

【詳解】解:連接。E,DF,EF,

???點(diǎn)。、E、尸分別是4仄BC、AC的中點(diǎn)，

/.DF=DE=EF=1,

二是等邊三角形，

I

S~x1x1xsin60°=—?

由24

**?曲邊二角形的面積為：（S承形DEF-SDEF+S壇形於口—S,DEF+S承形”M—SOEF）+S即

__60nxl27560nxl2660TIX126出

3604360436044

=冗_(dá)&

-I-T

故答案為：--^.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

11.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)小B、C、。均在格點(diǎn)上，過(guò)5,C,。的弧交A8于點(diǎn)E,若每個(gè)正方形

的邊長(zhǎng)為1,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）

A

【分析】設(shè)過(guò)5,C,。的弧的圓心為O,連接ADBD,OE,由勾股定理求出AD，BD,A8的值，進(jìn)而

由勾股定理的逆定理得△A8。是等腰直角三角形，再由圓周角定理得NOE8=NDC8=9()。，OE1/W，BD

為半圓的直徑，則AE=8E=4AB=區(qū),然后由等腰直角三角形的性質(zhì)得OE，BD=叵,

2222

根據(jù)腔即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)過(guò)8,C,。的弧的圓心為。，連接ADBD,OE,

D

由勾股定理得，AD=\J22+32=>!\3*BD=含+33=弧,

AB=yj\2+51=>/26?:AD=BDAD2+BD2=AB2,

是等腰直角三角形，ZADB=90Q,

NDEB=/DCB=90。，/.DE上AB,4。為半圓的宜徑，

/.AE=BE=-AB=—,

22

OB=OD=-BD=—,

22

..OELBD,OE=-BD=-,

22

,c_1fVnY1x/13Vi3_13^13

J--X—X—

故答案為：粵-與.

Ioo

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、與圓有

關(guān)的計(jì)算，熟練掌握勾股定理和圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在(勿中，AA為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC'翻折，交.AB于點(diǎn)。,連接CD.若

點(diǎn)。與圓心。重合，AC=3,則。半徑等于

【答案】V3

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，作點(diǎn)力關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接OE,交AC于點(diǎn)

F，得到AC垂直平分OE,根據(jù)點(diǎn)O與圓心0重合，得至=DF=^AD,利用勾股定理進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：作點(diǎn)力關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接DE，交AC于點(diǎn)尸，則：AC垂直平分OE，

I

JZ--L_Ac

???DF=EF=-DE,

2

???點(diǎn)。與圓心。重合，A8為直徑,

13

???DE=AD,AF=CF=-AC=~,

22

???DF=-AD,

2

在RlA。尸中，由勾股定理，得：AF=yjAD2-DF2=X/3DF=|

.?.DF=—,

2

AAD=V3：即。半徑等于V5；

故答案為：V3.

13.如圖，邊長(zhǎng)為7的正方形A8CO中，點(diǎn)E、G分別在射線A8、8c上，尸在邊A￡＞上，ED與FG交于

點(diǎn)例，DF=4,FG=DE,BG〉A(chǔ)F,則MC的最小值為.

I)

H

【答案】屈-2/-2+屈

【分析】本題關(guān)鍵搞清M的運(yùn)動(dòng)軌跡，有DE=FG,BG>AF,可知NFMO=90。，所以M到也）的中點(diǎn)

〃的距離始終相等，在根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得CM的范圍，從而確定它的最小值.

【詳解】解：取FD的中點(diǎn)”，作產(chǎn)K垂直BC于點(diǎn)K，

???四邊形產(chǎn)是矩形，

???AB=FK,

???四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為7的正方形，

...AB=AD=CD=7=FK,ZA=ZADC=90°,

\DE=FG,AD=FK,ZA=NFKG=90。，

.?._AE*_KGF(HL),

:.ZADE=4KFG,

又"FGK=QFM,Z.KFG+/FGK=90°,

:.NDFM+ZADE=90。,

;.NFMD=W,

:.MH=-FD=2,

2

所以M在以〃為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

???在RtZ\〃￡)C中，由勾股定理可得°〃=?。"2+比2=后,

MC>CH-MH,

當(dāng)M落在C”上時(shí)，取到等號(hào),

即MC達(dá)到最小，最小值為CH-"H=屈-2：

故答案為屈-2.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的基本性質(zhì)，和全等直角三角形的判定，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)

動(dòng)軌跡，然后利用三角形三邊的關(guān)系判斷何時(shí)取到最值.

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫在答題卡上）

14.如圖，八8是O的直徑，點(diǎn)C是半圓八8的中點(diǎn)，點(diǎn)。是。上一點(diǎn)，連接C。交于E,點(diǎn)尸是人4

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EF=DF.

C

⑴求證：。尸是。的切線；

（2）連接ACBD、AD,若tanC=;，DF=3,求。的半徑.

9

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）：

【分析】（1）連接OD,OC,利用圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和等量代換求得

NODF-90%再利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；

（2）利用圓周角定理得到NC=/4,則tanC二;，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和相似三角形的判定與

性質(zhì)得到，話的長(zhǎng)，設(shè)。。的半徑為「，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。短，OC,如圖，

???點(diǎn)C是半圓A3的中點(diǎn),

，ZAOC=ZBOC=90°,

/OCE+/OEC-

'：/OEC=4DE卜,

，々DEF+ZOCD=90°.

,/EF=DF,

???zlDEF=/EDF,

，ZEDF+ZOC￡)=90°.

?：OC=OD,

?；NOCO=NODC,

???ZEDF+ZODC=90°,

即NO。產(chǎn)=90。，

：.OD1DF.

???。。為。的半徑，

:.D尸是0。的切線；

⑵解：???々8-4,tanC=1,

,?.(an4A=—1,

2

???A8是OO的直徑，

:.ZADB=90°,

..人BD

.tan>4=----,

AD

.BDI

??---=一?

AD2

???ZAZ)fi=ZODF=90°,

JAADO+Z.BDO=NBDO+NFDB、

JZAZX?=ZFDB

VZF=ZF,

???4FBDS4FDA,

,FBBD\

??--=---=—.

FDAD2

,:DF=3,

FB=-.

2

設(shè)。的半徑為r,則。/=O8+B/=,+二

2

222

'：OD+DF=OF,

???/+w=1+|j,

解得：/*=：9.

4

9

???，。的半徑為二.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系定理，直角三角形的性

質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線.

15.如圖①，在矩形A4C。中（A5>AO）,對(duì)角線AC,4。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)人關(guān)于80的對(duì)稱點(diǎn)為A,連接

A4'交BZ）于點(diǎn)E,連接CA.

(1)求證：A4'_LC4'.

（2）如圖②，以點(diǎn)。為圓心，OE長(zhǎng)為半徑作圓，。與C7）相切.求證：=

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AE=A'E,A4'_L8O,根據(jù)四邊形A8CO是矩形，得出。4=。7,從

而。石〃WC,從而得出A4'_LCT；

（2）設(shè)；0與CD切于點(diǎn)F,連接。尸，并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)G,可證得OG=OF=OE,從而得出

ZEAO=ZGAO=ZGBO,進(jìn)而得出NE4O=30。，從而A4'=&CA'.

【詳解】（1）證明：???點(diǎn)A關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)為

AAE=AE,A4JL8。，

???四邊形ABCZ）是矩形

0A=OC,

:.0E//A!C.

，AA'_LC4'；

（2）證明：如圖2,設(shè)。與CD切于點(diǎn)F,連接?！?，并延長(zhǎng)交A8于點(diǎn)G,

4

???OF_LCD,OF=OE,

???四邊形ABC。是矩形，

AOB=OD=-BD,AB//CD,AC=BD,OA=-AC,

22

OGA.AB,/FDO=NGBO,0A=OB,

:./GAO=NGBO,

'：ZDOF=N8OG,

???OOmBOG(ASA),

：,OG=OF,

：.OG=OE

由(1)知：AA'IBD,

4EAO=NGAO,

ZE4B+ZGBO=90°,

???AEAO+ZGAO+ZGBO=90°,

???3ZE4O=90°,

???"40=30。

由(1)知：A4'_LC4',

CA'CA'

AtanZ￡4O=—,即tan3()o=~,

A4，A4，

???A?V=6CA，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解史角三角形等知識(shí)，解決

問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

16.筒車是我國(guó)古代利用水利驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，如圖所示2,筒車。。按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，每繞一圈需要120s,

筒車與水面分別交于A、8,且.4B=46m,筒車的軸心。距離水面的高度OC氏為2m,筒車上均勻

分布著若干個(gè)盛水筒，若以某個(gè)盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

N.

O

(1)求筒車。的半徑；

⑵盛水桶。從剛浮出水面繞到離水面最高點(diǎn)時(shí)，求它走過(guò)的路徑長(zhǎng)：

⑶當(dāng)修建接水槽MN,盛水桶繞至接水槽后自然翻落，水沿著接水槽流入農(nóng)田.A/N所在直線與?0相切,

當(dāng)盛水桶尸從浮出水面至繞到例內(nèi)上用時(shí)55s時(shí)，求接水槽MN的長(zhǎng).

【答案】(1)筒車的半徑為4m

8

(2)-nm

(3)接水槽MN的長(zhǎng)僅近+4)米

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形的應(yīng)用;

(1)連接04,根據(jù)垂徑定理可得AC=2萬(wàn)，在RlACO中，勾股定理建立方程，解方程即可求解;

(2)由(1)可得NC(M=60。，進(jìn)而得出點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的圓心角為120。，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即可求解;

360°

(3)依題意，筒每秒鐘轉(zhuǎn)向=3。.延長(zhǎng)AO交MN于點(diǎn)。，連接80,MO,NO,過(guò)點(diǎn)、N作N”上MC于

點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作0E上NF于點(diǎn)E.得到一MNA0NF是等腰直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理，即可求解.

:?AC=2+,

在RtACO中，OC=2,AO2=OC2+AC2,

:.AO二2+(2廚=4,

答：筒車。的半徑為4：

Ar廠

(2)由(1)可得tan/CO4='=6,

???/cm=60。

，盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點(diǎn)時(shí)，它走過(guò)的路徑長(zhǎng)為愣F兀><4=?兀；

360°

(3)由筒車。。按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，每繞一圈需要120s,可得筒每秒鐘轉(zhuǎn)而二3。.

如圖所示，延長(zhǎng)AO交A/N「點(diǎn)。，連接B。，MO,NO,過(guò)點(diǎn)N作N/LMC『點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作OE-LM7P

???3x55。=165。，

.???乙DON=180°-165°=15°,

???Z^OC=120°+15°=I35°

???ZA^=360°-900-90o-135o=45o,

,/NFLMC,

:.b=90。-45。=45。，

??LWN所在直線與，O相切，即NMNO=90。,

:./ONE=45。

,：OE1NF,

??NE=x4=2V2

2

:,MF=NF=NE+EF=2+2叵

:?MN=?MF=2丘+4

答：接水槽MN的長(zhǎng)（2血+4）米.

17.(1)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。，且AO〃3c.試說(shuō)明：AB=CD；

（2）如圖，四邊形/WC。內(nèi)接于1。，且44為直徑，ZBAC=ZDAC,過(guò)圓心。作OEJ.AC,垂足為E.試

說(shuō)明：CD=2OE；

（3）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于：。，對(duì)角線相交十點(diǎn)E.過(guò)圓心。作。尸JLA8,垂足為尸，且CQ=2O尸.試

說(shuō)明：AC1BD.

D

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）連接80,由AO〃BC,可得NAO8=N￡>8C,從而得到OC，即可求證；

（2）先證明OE是VABC的中位線，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；

（3）作史徑BG,連接AG,證明0尸是，ABG的中位線，推出NC8O=NABG,再證明△ECBs^AGB,

得到ZCEB=ZGAB，再根據(jù)圓周角定理即可得到ZCEB=90n,即可證明結(jié)論成立.

【詳解】解：（1）連接8。，

B—--------------Ac

VAD//BC,

???ZADB=NDBC,

?**AB=DC，

，AB=CD；

(2).??四邊形A8C￡＞內(nèi)接于?OABAC=ADAC,

???BC=DC，

???BC=DC,

'：OE±AC,

???AE=CE,

'：AO=BO,

???0E是V/WC的中位線，

BC=2OE,

：.CD=2OE；

(3)作直徑BG,連接AG,

8

*：OFA.AB,

：?AF=BF,

'：GO=BO,

???。尸是,A6G的中位線,

???AG=2OF,

CD=20F,

：.CD=AG,

CO=AG，

???NCBD=ZABG,

'：AB=AB，

???ZACB=ZAGB,

，AECBsAAGB,

/./CEB=NGAB,

???BG是直徑，

/GAB=90°,

，NCEB=90°,

：.AC±BD.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，相似三角形的判定

和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

18.已知，關(guān)于x的二次函數(shù)y=/+2at—%(々>0)的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)/?的左側(cè))，

與P軸交十點(diǎn)C,圖象頂點(diǎn)為。，連接AC、BC、CD.

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、&C、。的坐標(biāo)(用數(shù)字或含。的式子表示)：

A；B；C;D;

(2)作出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE、CE、DE,若ZXACE和△DCE相似，求。的值；

(3)若N4CBN90。，直接寫出。的取值范圍.

【答案】(1)(-3,0)；(1,0)；(0,一孫(-L4)；

(2)0=丁

(3)0<aW今

【分析】(1)把x=0、)，=。分別代入函數(shù)解析式可求出4B、C坐標(biāo)，再求出拋物線的對(duì)稱軸即可求出。

的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)對(duì)稱性“J得E(-2,-3a),DC=DE,再根據(jù)AACE和△DCE相似得AE=CE,即可得

拈3-(-2)丁+[0-(-3〃)丁=2,解方程即可求解；

(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=-l與”軸的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，以點(diǎn)尸為圓心，2為半徑畫圓，連接"C,可知當(dāng)點(diǎn)C

在《尸上或I/內(nèi)時(shí)，乙4CB290。,得“142,即得了7函建2,解不等式即可求解；

本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，頂點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，根據(jù)

題意，正確畫出圖形和作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：把x=0代入y=o?+2奴一3“得，y=-3a,

C(0,—,

把？=。代入y=4+2or-3。得，ax2+2ar-&r=0,

Vfl>0,

"+2%-3=(),

解得N=-3,%=1,

AA(-3,0),8(1,0),

???拋物線的對(duì)稱軸為直線%=三旦=T,

把工=-1代入y-ax2+2ar-3。得，y=a-2a-3a=-4a,

頂點(diǎn)為。(一1,-4。)>

故答案為:(-3,0)；(1,0)；(0,3)；(T4);

(2)解：如圖，丁點(diǎn)C、E關(guān)于對(duì)稱軸x=T對(duì)稱，。(0,-3〃)，點(diǎn)0在對(duì)稱軸上，

???E(-2,-3a),DC=DE,

:.CE=2,

???zMCE和△￡>'相似，

???AE=CE,

???J[-3-(-2)]24-[0-(-3?)]2=2,

整理得，3/=1,

解價(jià)〃=立或…中（不合，舍去）,

33

??a=—;

3

（3）解：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=-l與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，以點(diǎn)尸為圓心，2為半徑畫圓，連接

???FC<2,

即而+（34）2?2,

解得一直立，

33

又1Z>0,

?，?0<。W.

3

B卷（共50分）

一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

19.有一條通水管道，其橫截面是一個(gè)直徑為2〃?的圓，其水面寬1.6〃?，則這條管道中此時(shí)最深處水深為一

m.

【答案】1.6或者也4

【分析】分兩種情況：第一種情況，水面低于截面圓的圓心；第二種情況，水面高于截面圓的圓心，利用

垂徑定理和勾股定理即可求解.

【詳解】橫截面直徑為2,則半徑為1,即OA=1,

分情況討論：

第一種情況，水面低于截面圓的圓心，作■回于C交。。于。，如圖,

VOCA.AB,AB=}.6.

AC=BC=-AB=O.S,

2

在RtAOC中，/IC=0.8.OA=1,

則：OC=y)OA1-AC2=0.6?

CD=OD-OC=\-0,6=0.4（ml,

此時(shí)最深處水深為0.4m；

第二種情況，水面高于截面圓的圓心，作交（0廣。，如圖,

同樣可求得oc=0.6,.??C。=8+OC=I+0.6=1.6（m）,

此時(shí)最深處水深為1.6m,

故答案為：1.6或者0.4.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用：先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫出幾何圖，再把垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)

造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題.掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.解題時(shí)要注意

分類討論的思想.

20.如圖，。尸的半徑為2,圓心。在函數(shù)），=幺（、>0）的圖象.上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CP與坐標(biāo)軸相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)

.1

【答案】（2,3）或（3,2）

【分析】此題考查了圓與直線的位置關(guān)系、反比例函數(shù)圖象的位置關(guān)系的一道綜合題，熟練運(yùn)用分類討論

的思想和準(zhǔn)確把握動(dòng)圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)特征是解此題的關(guān)鍵.分兩種情況進(jìn)行討論：P與x

軸相切或OP與），軸相切，分別求解即可.

【詳解】解：:。尸與坐標(biāo)軸相切，

，分兩種情況討論：

①當(dāng)］P與x軸相切時(shí)，

則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,

**

??A——

X

A—3>

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,2）.

②與），軸相切時(shí)，

則點(diǎn)夕的橫坐標(biāo)為2,

/.v=—

'2

???y=3

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）,

綜上，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為：（2,3）或（3,2）,

故答案為：（2,3）或（3,2）.

21.如圖，已知扇形AOA的半徑等于2,404=90,連接4/?.進(jìn)行尺規(guī)作圖：

①以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑面弧，分別交04,08于點(diǎn)/）,Q,再分別以點(diǎn)。為圓心，以大于gp。

長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在扇形AOB內(nèi)交于點(diǎn)/，作射線QM,分別交44,A3于點(diǎn)。，C；

②分別以點(diǎn)。，8為圓心，以大于303長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在扇形498內(nèi)交于點(diǎn)N,作直線DN,分別交

48，OB于點(diǎn)E,F,連接AE.

(1)NEAD等于

⑵隼

【答案】30

【分析】本題考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形，二次根式的混合運(yùn)算.作成7_LQ4

于點(diǎn)G,設(shè)。的半徑為「，利用余弦二次函數(shù)的定義求得NEO尸=60。，利用圓周角定理求得NE4G=300,

利用勾股定理求得AE和OE的長(zhǎng)，利用二次根式的混合運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：連接OE,作反；_1。4于?點(diǎn)G,設(shè)（0的半徑為

由作圖知樣是線段OB的垂直平分線,

:.OF=-OB=-r

22t

???cosZEOF=—=-,

OE2

???/EOF=60。，

??.ZE4D=Z^=1ZBOE=30%/的=90。-600=3伊’

???EG1OA,

???EG=-OE=-r,

22

，OG=y]OE2-EG2=—r,

2

??.AG=OA-OG=

眄2，

?*-AE=Y/AG2+EG2=V2-?3r，

由作圖知OC是2A03的平分線，

???ABOC=-ZAOB=45°,

2

:E尸是線段08的垂直平分線，

???二。。尸是等腰直角三角形，

??.DF=OF=-OB=-r

22t

*.*EF=ylOE2-OF2=—r.

2

61fx/31)

22［22)

...絲二(22了=癢］=夜(百-1)=夜(6-1)=x/2,

AE.2一舟2也-62“-2—2J(6.I、］

故答案為：30；

22.如圖，A8是半徑確定的。的一條弦，點(diǎn)C是C。優(yōu)弧45上一動(dòng)點(diǎn)，且NAC8=45。，點(diǎn)E、廠分別

是AC、8c的中點(diǎn)、直線EF與《O交于G、〃兩點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若GE+"7的最大值為12-3&，

則OO的半徑為.

【答案】6

【分析】作直徑心，連接AP,設(shè)二。的半徑是「，由銳角的正弦得到A8=2/sin45。，由三角形中位線定理

得到小=/sin45。，因此當(dāng)G”是圓直徑時(shí)，GE+中有最大值，即可得到答案.

【詳解】解：作直徑”，連接所＞,設(shè)?。的半徑是，，

zP=ZC=45°,PA=2r,

sinP-sin45°=—,

AP

..j4B=2rsin45°,

E,尸分別是AC，BC的中點(diǎn).

是VA8C的中位線，

.?.￡F=-A^=rsin45°,

2

,GE+FH=GH-EF,

???當(dāng)G”長(zhǎng)最大時(shí)，GE+切有最大值,

「?當(dāng)G”是圓直徑時(shí)，G”最大.

GE+最大值是2r-rsin45。=/2一g=12一3人.

解得廠=6,

故答案為：6.

23.如圖，在等邊V48C中，點(diǎn)。為4C邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為8c上一點(diǎn)，且滿足AO=CE,連接AE,BD,

S

當(dāng)線段CF的長(zhǎng)度最小時(shí)，產(chǎn)的值為_(kāi)____.

?ARC

【答案】:

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的特征，定

弦定角問(wèn)題，解答即可.

【詳解】解：???V4BC為等邊三角形,

AB=C4,ZBAD=ZACE=60°,

AB=CA

???4AO=NACE=60。,

AD=CE

???注工ACE(SAS)

JZABD=ZCAE,

,/ABFE=ZABD+ZBAF,

/BFE=/BAE+NCAE=ABAC=60°,ZAFB=120°.

作AB的垂“平分線，作NABO=30。，與垂直平分線交于點(diǎn)。，

則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，以BO為半徑的圓的三角形內(nèi)部的一段弧，

連接CO與弧交于點(diǎn)從

當(dāng)尸與點(diǎn)，重合時(shí)，最小，

???OA=O8,C4=a,.??直線OC是線段A8的垂直平分線，設(shè)二線的交點(diǎn)為Q,

則/HQB=90°,NHBQ=30°,

設(shè)。"=X，則BH=2蒼BQ=JB"?一QH?=瓜，:,AB=2BQ=2瓜,

CQ=3x,

..."丑吟一

S.ABC1AB-CQCQ3

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的特

征，定弦定角問(wèn)題，熟練掌握三角形的全等的證明是解題的關(guān)鍵.

二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分，解答過(guò)程寫在答題卡上）

24.問(wèn)題提出

（1）如圖①，在VA8C中，AB=6,AC=4,則VABC的最大面積為_(kāi)；

（2）如圖②在VA3C中，NAC3=60。，AB=6,求VA8C的最大面積：

問(wèn)題解決

（3）如圖③，某公園準(zhǔn)備修建一座四邊形兒童游樂(lè)場(chǎng)A4c。，其中線段A8為兒童游樂(lè)場(chǎng)的入口，在點(diǎn)C,

。處分別安裝一個(gè)攝像頭，對(duì)入口段A8實(shí)施監(jiān)控（點(diǎn)A,B,C,。在同一平面），調(diào)研發(fā)現(xiàn)，為了監(jiān)控

效果最好，須滿足446=4m=90。，已知AB=100m,CO=60m,問(wèn)兒童游樂(lè)場(chǎng)（即四邊形人AC。）

面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出四邊形ABC。面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作CO_LA8根據(jù)垂線段最短可得8KACK4,再由三角形面積公

式可得當(dāng)C。最大時(shí)，SABC的面積最大，據(jù)此可得答案；

（2）如圖所示，在A8上方作404=120。且滿足04=08,過(guò)點(diǎn)。作OQ_LA4J?。，連接X(jué),CD,先

得到NO4B=NO84=30。，=則。。=后04=，再證明點(diǎn)C在以點(diǎn)0為圓心，

的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（優(yōu)弧A8上），過(guò)點(diǎn)C作CESA3于E,則CEWCOKOC+OD=3X/5,由三角形

面積公式可得當(dāng)8最大時(shí)，SA*的面積最大，據(jù)此求解即可；

（3）先證明A、B、C、。在以A8為直徑的圓上，取A8的中點(diǎn)O,連接OO并延長(zhǎng)交O于八過(guò)點(diǎn)C作

CE1ABJ￡,過(guò)點(diǎn)尸作尸G1ABJG,連接OC,過(guò)點(diǎn)。作O"_L8,由垂徑定理得到OH=30m,再由

圓的性質(zhì)得到OD=50m,則利用勾股定理可得O"=40m,進(jìn)而求出Sag,=120（）m2；證明

AOD^BOF（SAS）,得到S&g=S-則與邊囪由=S,g+S.oc+1200；由?！ㄊ侵睆?，得至IJ

ZDCF=90°,DF=AB=100m,則。尸=80m,設(shè)CEA8交于丁，證明CE+尸GWCT+口=80m,進(jìn)而

2

證明S8BOF+Sgoc=^OB（CE+FG）<^OBCF=2000m,由此可得答案?

【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作C0_LABID,

???垂線段最短，

，CDWACW4,

,:SUBC=，ABCD=3CD,

，當(dāng)C。最大時(shí)，S.C的面枳最天，

???當(dāng)4、。重合，即AC_LAB時(shí)，S.A*的面積最大，最大為:創(chuàng)46=12,

故答案為：12；

(2)加圖所示，在4A上方作408=120。H滿足04=08,過(guò)點(diǎn)。作OD_LA8F。，連接OC,CD,

：乙404=120。，OA=OB,OD±AB,/W=6,

???/O48=NOBA=30。，AD=BD=-AB=3,