方法技巧專題構(gòu)造圓周角的方法

一、解答題

1.如圖，4。是（刈的直徑，B,。是CO上兩點，連接O8.3C8.若NBCD=105、求

NAO3的度數(shù).

2.如圖，已知是的直徑，弦8_LA8于點E,G是人力上一點，AG,C。的延長線

相交于點尸.求證：NFGD=ZAGC.

3.如下圖所示，是半圓。的直徑，AD1BC,垂足為。，AB=AF^BF與AD,AO分

別交于點EG.證明：AE=BE.

4.如圖，在VA8C中，AC=BC,。是AB上一點，。。經(jīng)過點A,C,D,交3C于點￡

過點、D作DF//BC,交C。于點尸，連接入凡EEC廠.求證：

⑴四邊形O3CF是平行四邊形.

(2)AF=EF.

5.已知點A,B,C,。均在《0上，連接ACB。相交于點E,連接8c.

答案第2頁，共11頁

(1)如圖①，若AC=BD,求證：AE=DE.

(2)如圖②，若ACS40,連接OCORC。，求證：N0CD=ZACB.

6.如圖，以NABC的邊48為直徑作：。，交AC于點。，且。為AC的中點.作直徑EF1AD,

垂足為從連接。旦。尸.

(1)求證：BC=2OA.

(2)若。?〃4氏8=6,求8c的長.

7.已知：A8為(。的直徑，上為04上一點，過點七作CO_LAB,交G。于點C,D.

⑴如圖①，若八E=2,OE=3,求CO的長.

(2)如圖②，P為BC上一點,連接OP交直徑AB于點凡連接CROCP3.若OCHPB,求

證：/CFP=NB.

8.如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于O,AB=BC,對角線AC為。。的直徑，E為。外一點,

平分ND4E,A/)=AE,連接CE,BE.

⑴求ZAEB的度數(shù).

(2)求證：2BE?+AE，=CE?.

答案第4頁，共11頁

參考答案

1.30°

【分析】連接A8,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得/以。=75。，由于是等腰三角形，列

式計算頂角的度數(shù)即可.

【詳解】解：如圖，連接A4,則四邊形人BC。內(nèi)接于oO,

DNBAD+ZBCD=180°.

vZBCD=105°,

.-.Z^D=180°-105°=75°.

,;OB=OA,

:.ZABO=ZBAD=75°,

ZAOB=180°-2NBAD=30°.

一題多解法

如圖，在4。下方:。上取一點E,連接

則四邊形BCDE內(nèi)接于（0.

Ar\—j------刁0；/BCD=105°，

/.ZE=180°-ZBCD=75%

/.NB8=2N石=150°,

/.ZAOB=180°-ZBOD=30°.

【點睛】本題考查了園內(nèi)接四邊形、等腰三角形，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.

2.證明見解析

【分析】連接A。，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得//6。二44c。，再根據(jù)CO_LAB,運用垂

徑定理得到AC=AD^最后根據(jù)等弧所對圓周角相等即可證明.

【詳解】證明：如圖，連接AC.

四邊形ACDG是圓內(nèi)接四邊形,

:"FGD=ZACD.

弦CDLAB于點E,

:.AC=AD>

.\ZAGC=ZACD,

ZFGD=ZAGC.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、垂徑定理、圓周角定理.，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造圓內(nèi)

接四邊形，并靈活運用垂徑定理和圓周角定理實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換.

3.證明見解析

【分析】由圓周角定理、等弧所對的圓周角相等可得ZACB=ZABF,ZABC+ZACB=90。，

再根據(jù)ADJ.BC,可得/48C+N8AO=90。，由同角的余角相等可得N84O=4C8,最

后根據(jù)等角對等邊即可證明.

【詳解】證明：如圖，連接CEACA8.

AC是半圓。的直徑，

/.ZZMC=90°,

ZABC+ZACB=90°.

又.ADLBC,

/.Z4DB=90°,

/.ZABC+ZBAD=9(r,

NBAD=ZACB,

答案第6頁，共11頁

ZABF=/BAD,

，AE=BE.

【點睛】本題考查了圓周角定理、同角的余角相等、等角對等邊，熟練掌握并靈活運用圓周

角定理是解題關(guān)鍵.

4.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】證明：(1)AC=BC,

/BAC=NB.

DF//BC,

/.ZADF=/B,;./8AC=/ADF.

?：/BAC=/CFD,

ZADF=NCFD,

BDCF,

???四邊形。AC尸是平行四邊形，

(2)如圖，連接A￡.

AADF=NB、ZADF=ZAEF,

:.NAEF=NB.

四邊形A￡b是：。的內(nèi)接四邊形,

.?.ZECF+ZEAF=180°.

-BD//CF,

/.Z￡C/7+Z^=180o,

:.AEAF=AB=ZAEF,

AF=EF

5.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】證明：(1)AC=I3Dy:.AC=13D.

;.AC-CB=BD-CB，即A6=C。，

-.ZACfi=ZDBC,/.EB=EC,AE=DE.

（2）如圖，延長CO交。。于點尸，連接。尸，則。尸為「。的直徑,

:"CDF=期，.?.NOCZ)+NF'=9(F

AC±BD,NACB+NS=90°.

由圓周角定理，得N8=Nb,

，ZOCD=ZACB.

6.（1）證明見解析

(2)4X/3

【詳解】（1）證明：如圖，連接

為。的直徑，

.,.NA/汨=90。，即BOL4C于點￡）.

又。為AC的中點，

.?.8。垂直平分AC,：AB=BC.

AB=2OA,

：.BC=2OA.

(2)如圖，連接07).

OF//AB,

:.ZAOF=ADFO.

*.OA=ODQH1AD,

:.ZAOF=ZDOF,

NDOF=NDFO,

：.DF=OD=OF.

.?.△OD/為等邊三角形，

NDOF=6(r=NAO卜,

答案第8頁，共11頁

/.ZA=30°.

-AB=BC,

...ZC=30°.

,,在RtaBDC中，ZBDC=9(r,

,C°scW_L=走

BC~BC~~

7.(1)CD=8

(2)證明見解析

【詳解】(1)如圖①，連接OC.

AB為。的直徑，CO_LAB,

:.CE=DE=-CD.

2

?"E=2,OE=3,

.\OC=OA=AE+OE=5.

:.CE=sloC2-OF2=4>

CD=8.

(2)證明：如圖②，連接八P.

AB為。的直徑,

.\ZL4PB=9O°,

S.BPYAP.

OC〃PB,

OCLAPyZB=ZAOC,

：.AC=PC^

:.^AOC=2ZD=ZB.

\'CD±AB,CE=DE,

」.AB垂直平分C。，

:.CF=DF,

:"D=NDCF,

4CFP=ND+NDCF=2/0,

:.ZCFP=ZB.

8.(1)45°

(2)證明見解析

【詳解】(I)連接B。，如圖.

/W平分NTME,

：./FAR=/DAR,

\'AE=AD,AB=AB,

.AABD(SAS),

;.ZAEB=ZADB.

,'ZADB=ZACB,

：.ZAEB=ZACB.

4c為。的直徑，

/.Z4BC=90°.

???A4=4C,

.'.Z4Cfi=45o,

:.ZAEB=ZACB=45°.

（2）證明：延長E4交（。于點R連接BECF,如圖.

.AC是。的直徑，

.\Z4FC=90°,

:.EF2+CF2=CE2.