2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷

考試時間：120分試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是

符合題目要求的.

1,直線/過點(diǎn)A（m（2,4）,則直線/的方程為

()

A.y=x-2B.y=-x-2C.y=-x+2D.y=x+2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解.

【詳解】因為一豚2』工4’則線’的方程為言

個〉整理得y=x+2,

2-（-1）

所以直線/的方程為y=x+2.

故選：D.

2.直線），=-瓜+1的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】先求出直線的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

【詳解】因為直線尸-61+1的斜率攵:一6,

所以直線y=-瓜+1的傾斜角為120。.

故選：C.

3.橢圓4尤2+）尸=]6的長軸長為（）

A.4B.6C.16D.8

【1D

【解析】

【分析】化橢圓方程4/+產(chǎn)=]6為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，求出。的值，即可求出長軸長.

【詳解】化橢圓方程4/+:/=16為一般形式：—+^-=

416

所以"=]6,即。=4,即橢圓長軸長為2。=8.

故選：D.

4.直線x+ay+l=O與ai+）-l=O互相平行，則實(shí)數(shù)。的值等于（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)"等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)〃的值.

a2=\

【詳解】因為直線x+a），+l=。與av+y-l=O互相平行，則，解得a=l.

aw-1

故選:A.

5.圓了2+）,2-4X一2》=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.（4,2）B.（2,1）

C.（-4,-2）D.（-2,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】圓工2+）,2-4工一2/=0即（％-2『+（丁—1）2=5,所以圓心坐標(biāo)為（2』）.

故選：B.

6.拋物線x2=一;y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

邛6）。叫D.（

【答案】B

【解析】

【分

直接由拋物線的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)在），上，開口向下，月.2〃=；,

"281

拋物線犬=一y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,一G.

故選:B.

7.已知雙曲線上-二=1,則雙曲線的離心率為()

54

9

A1B逐CD.史

5555

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率e=，+與即可求

解.

【詳解】解：因為雙曲線三-￡=1,所以/=5,/=4,

54

所以雙曲線的離心率e—J1+—小1+g—3^^,

故選：D.

8.點(diǎn)(1,1)到直線ax+2y+2=0的距離為2,則。的值為()

88,、8

A.OB.-(3.0或r一D.0或——

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案.

【詳解】解：點(diǎn)(1,1)到直線以+2)，+2=0的距離為2+/1=2,

a』+4

Q

解得。二0或一.

3

故選：C.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列方程不是圓M：(工一1)2+()，+6)2=1的切線方程的是()

A.=OB.x+y=()

C.x=0D.y=l-6

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑即可求解.

【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程M：（X-1）2+（），+6）2=1,

可知圓心為（1,—G）,半徑為1，

再根據(jù)圓心到直線距離公式與半徑比較即可判斷,

對干A,根據(jù)圓心到直線距離公式_^色=也±西W1，所以不相切，故A正確;

2

1-J3[76

對干B,根據(jù)圓心到直線距離公式-^==^2二X4.1，所以不相切，故B正確;

x/PTF2

111

對于C,根據(jù)圓心到直線距離公式抬二】，所以相切，故c錯誤;

2-1叫

對于D,根據(jù)圓心到直線距離公式,所以相切，故D錯誤;

故選：AB

10.已知圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為0一4）2+（y+3）2=25,則下列說法正確的是（）

A.圓M的圓心為（4,-3）氏點(diǎn)（1,0）在圓內(nèi)

C.圓M的半徑為5D.點(diǎn)（-3,1）在圓內(nèi)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系逐項判斷作答.

【詳解】圓M:（x-4），+（y+3）=25的圓心為（4,一3）,半徑為5,AC正確;

由（1-4尸+（0+3>=18<25,得點(diǎn)（1,0）在圓內(nèi)，B正確；

由（一3-4）2+（1+3）2=65>25,得點(diǎn)（一3,1）在圓外，D錯誤.

故選：ABC

2

11.已知雙曲線=1,則（）

3

A.雙曲線C的實(shí)半軸長為2B,雙曲線。的虛軸長為2

C.雙曲線C的離心率為2D.雙曲線C的漸近線方程為），=±J3x

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，求出實(shí)半軸長、虛半釉長、半焦距，再逐項計算判斷作答.

【詳解】雙曲線。：/一著二1的實(shí)半軸長4=1、虛半軸長〃二百、半焦距c=d7=2,

雙曲線C的實(shí)半軸長為1,A不正確；

雙曲線。的虛軸長為26，B正飾；

雙曲線C的離心率6=￡=2,C正確；

a

雙曲線C的漸近線方程為），=土道”，D正確.

故選：BCD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分

12.若直線Ar+4y-2=0和直線2x—5），+C=0垂直，則A二.

【答案】10

【解析】

［分析］利用兩直線垂直斜率乘積為-1計算可得A=10.

A

【詳解】易知直線4工+紂-2=0的斜率為-一，

4

2

直線2x—5），+C=0的斜率為不，

A2

由兩直線垂直可得一一x-=-l,解得A=1O.

45

故答案為：1（）

13.已知圓C:（x—2『+y2=4,直線/：），=-x+1被圓C截得的弦長為.

【答案】V14

【解析】

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式求解.

【詳解】解：由題意可得，圓心為（2,0）,半徑〃=2，

弦心距八*二也，

叵2

故直線I被C截得的弦長為2yl戶一優(yōu)=V14，

故答案為：y/l4

14.直線3x+4），=l與圓。：V+y2=i的位置關(guān)系是.

【答案】相交

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離和半徑比較大小即可.

【詳解】因為圓的方程為V+y2=l.所以圓心為（0,0）,半徑為1,

直線3x+4y=1化為3x+4y-l=0,

1-111

又因為圓心到直線距離d=?==<1，所以相交.

V42+325

故答案為：相交.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.求滿足下列條件的直線方程.

（1）直線過點(diǎn)（1,2）,且與直線x+y-1=0平行；

（2）直線過點(diǎn)（1,1）,且與直線女+了-1=0垂直.

【答案】（1）x+y-3=0

（2）x-3y+2=0.

【解析】

【分析】（1）設(shè)所求直線的方程為x+y+〃，=0,將點(diǎn)。,2）代入，求得〃7的值，即可求解：

（2）設(shè)所求直線的方程為工-3），+W=0,將點(diǎn)（1,1）代入，求得加的值，即可求解：

【小問1詳解】

解：由題意，可設(shè)所求直線的方程為x+），+〃?=0,

因為點(diǎn)（1,2）在直線上，可得1+2+，〃=0,解得m=一3,

故所求直線的方程為x+^-3=0；

【小問2詳解】

解：由題意，可設(shè)所求直線的方程為x-3y+/〃=0,

因為點(diǎn)。,1）在直線工一3），+機(jī)=0上，所以1-3+m=0,解得"2=2,

故所求直線的方程為x-3y+2=0.

16.已知直線/:），=2,圓C的圓心在x軸正半軸上，且圓C與/和），軸均相切.

（1）求圓。的方程；

⑵若直線工+加-1=0與圓。交于A,B兩點(diǎn),且22g,求〃的值.

【答案】（1）（x-2）2+y2=4

（2）b=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目條件求出圓心和半徑，寫出圓的方程；

（2）先求圓心到直線的距離，再利用弦長可得答案.

【小問1詳解】

設(shè)圓心為（。,0）（。＞0）,半徑為r（廣＞（））,

則由題意得。=r=2,故該圓的方程為（x-2『+y2=4.

【小問2詳解】

1

圓心（2,0）到直線關(guān)+勿，-1=0的距離為〃二

11+護(hù)

由垂徑定理得:=22?解得〃=0.

17.已知拋物線C：丁=2*（〃＞0）的準(zhǔn)線方程為尸一1.

（1）求拋物線。的方程:

（2）直線/：），=工-1交拋物線C于A、B兩點(diǎn),求弦長

【答案】（1））/=4x

(2)8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線求得P,從而求得拋物線C的方程.

（2）聯(lián)立直線/方程和拋物線的方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得

【小問1詳解】

由拋物線C：丁=28:（〃>0）的準(zhǔn)線方程為犬二-1,得.■.〃=2.

..?拋物線C方程為V=4x.

【小問2詳解】

設(shè)A（%,y）,3（』,力），

ry=x—\

由：'A消去）'，得《?-6x+l=0，則百+元=6,xx=1.

[y-=4x（2

又?,?直線/過拋物線C焦點(diǎn)，

=x,4-x,+2=8.

18.已知點(diǎn)P是橢圓「+￡=1（〃>人>0）上的一點(diǎn)，々和F2分別為左右焦點(diǎn)，焦距為6,且過（5,0）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動直線/過F?與橢圓交于A、8兩點(diǎn)，求△A8K的周長.

【答案】（1）—+^-=1

2516

（2）20

【解析】

【分析】（1）根據(jù)焦距可求c=3,根據(jù)所過點(diǎn)可求。=5,進(jìn)而得到方程；

（2）利用橢圓的定義可得耳的周長為4〃，代入?？傻么鸢?

【小問1詳解】

設(shè)焦距為2c,由2c=6,得c=3,

乂橢圓[+今=1（〃>8>0）過（5,0）,???〃=5,

得/-cT—c2=25—9=16，

?,?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匹—F——1;

2516

【小問2詳解】

動直線/過尸2與橢圓交于小B兩點(diǎn),

??.|八片+|4周=2〃，忸用+忸周=2〃，

???欠耳|+欠用+忸￡|+|明|=|四|+怛6|+|陰=4=20,

的周長為20.

19.已知雙曲線。：=一與=1（〃>0為>0）的一個焦點(diǎn)為尸（4,0）,