分式壓軸題（7大題型）

題型歸納

題型一：比較大小問題

題型二：分式的求值問題

題型三；特殊的分式求值問題

題型四：材料、規(guī)律題

題型五：含參數(shù)類分式方程；新定義題

題型六：分式與分式方程的實際應(yīng)用

題型七：分式與分式方程的綜合應(yīng)用

:題型專練

題型一：比較大小問題

1.已知/

⑴比較大小：7-7^7（填">"、"V"或"="）；

bb+\

（2）若c>0,比較:與券的大?。?/p>

⑶下列結(jié)論正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

①若〃則“'+：〈巴;

n+2n

②若〃>〃>2,則若〈‘；

n-2n

g開

③右〃則m.1-n-i--2->-n-i-+-\：

11-2n+\

G什.w+2022m-2021

④若〃>〃>2021,則ni—>——.

n+2022〃—2021

2.【提出問題】

已知〃q>0,分式2的分子、分母都加上。后，所得分式上人的值與巳相比是增大了還是減小

mm+am

了？

【觀察發(fā)現(xiàn)】

觀察下列式子：々<=，2<若，2<若，…對于真分?jǐn)?shù)3,當(dāng)分子、分母同時加上同一個大于

33+133+233+333+43

。的數(shù)"時,所得分?jǐn)?shù)的值變大,即:<惠.

【探究驗證】

⑴對于VIS,我們可以用"作差法”進行證明:

22+4_2(3+a)-3(2+a)_-a

3~3+^-3(3+4)-3(3+a)?

?>0,

/.-a<0,3(3+a)>0.

-a2+a

<0,<0.

3(3+。)嗚-3+7

22+a

二一<----

33+a

（2）由（1）我們可猜想巳與之的大小關(guān)系是：-—,請你用“作差法”證明你的結(jié)論；

mm+amm+a

【拓展思考】

（3）若〃>〃?>（）,a>0時，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，請寫出正確的式子；

【方法應(yīng)用】

（4）已知甲、乙兩船同時從A港出發(fā)航行，設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度分別為匕、均，水流速度為

vo（v,>v2>y（1>0）,兩船同向航行1小時后立即返航，甲、乙兩船返航所用時間分別為4、，2,請比較乙，4

的大小，判斷哪條船先返回A港？并說明理由.

題型二：分式的求值問題

3.已知Y—3x+l=0,則V-5x+±的值為（）

?T

A.4B.5C.±4D.±5

4.若3+々+二（4、B、C均為常數(shù)）的計算結(jié)果為/I：2：、,則力+3+2C的值為（）

xx+\x+2x（x+l）（x+2）

A.1B.2C.3D.4

QAOO

5.已知4是實數(shù)，并且/一2023口+4=0,則代數(shù)式片―2022。+—V+4的值是（）

/+4

A.2020B.2021C.2022D.2023

6.?abc=1,則——~-+--3--+-=（）

（jb+a+1be-ib+\CQ+C+1

A.1B.2C.3D.4

7.己知兩個多項式材="+。+1,乂=/一。+1（。/0）,若二卡=（，則3/,的值為________.

N2a-2a"+1

題型三：特殊的分式求值問題

8.【閱讀】把等式3x+l=0（xw0）的兩邊同時乘以，得工-3+'=0,移項得x+』=3,兩邊平方得

（^--）2=.￥2+-^+2^--=^2+-1+2=32,所以/+[=（￥+32_2=32_2=7.

X廠XX*XX

【思考】若等式2/-8》+2=0（工工0）成立，求下列各式的值：

,「I41

⑴x"+r=_，+-=_?

x~x

（2洗計算（。+8）（。2-必+/）=_,把計算結(jié)果作為公式，求/+｝的值.

9.【閱讀理解】

觀察卜.列等式.

1-,I___1___1_—_I_1___1_—_1__1_

1x2-2’2x3"23'3x4-34

將以上三個等式兩邊分別相加得：

【方法探究】

1

⑴猜想并寫出：許二--

（2）計算:+???+

1x22x33x42022x2023

【拓展應(yīng)用】

（3）探究并計算:

---------1------------1----------F…H------------------------1------------------------

2x44x66x82020x20222022x2024

10.閱讀理解:

材料1：已知x+±二3,求分式—_的值.

xx~-4x+1

Y2-4r+111

解：活用倒數(shù)，?--―Z1-1=X-4+-!-=X+--4=3-4=-1.

XXX

X11

~;----------=—;-----------==-1

???x2-4x+1x2-4x+l-1.

X

材料2：將分式二1七坦拆分成一個整式與一個分式(分子為整數(shù))的和的形式.

x+\

解：由分母X+1,可設(shè)/一.1+3=(3+1)(工+。)+力，則

x2-x+3=(x+l)(x+a)+6=/+5+工+4+6=，+(q+l)x+a.

???對于任意x上述等式成立，

〃+1=—1、(?=-2,

.?1,Q解得(.

a+b=3.[/?=5.

/一x+3(x+l)(x-2)+55

-----------=-------------------=X-24--------?

x+1x+\x+\

根據(jù)材料，解答下面問題：

⑴已知"卜S,則分式的值為

2a~+2

(2)已知力-1=-3,求分式勺、■的值.

b3b-4h-+3

I7r-2

⑶已知x+[=-?，則分式°;°0的值為

x-233x~-9x+9

11.請根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題:

例1：分解因式(/+2*12+2力2)+1；

解：將+2/看成一個整體，令/+2》=1；

原式=+2)+1=y2+2y+1=(j+l)2=(x2+2x+1)-=(x+l)4；

例2：已知H=l,求丁!一+丁)的值.

\+a1+Z?

\\ab\b\.

解：----H-----=------H-----=----+----=1;

1+q1+bab+a1+51+51+b

⑴根據(jù)材料，請你模仿例1嘗試對多項式卜2-6工+8乂/_6工+10)+1進行因式分解；

⑵計算：("2-3-…-2021)x(2+3+…+2022)—(1-2-3-…-2022)x(2+3+…+2021)=

⑶①已知劭=1,求的值；

1+C11+/T

②若"c=l,直接寫出了“「人5:"?的值.

ab+a+1be+b+\ca+c+1

題型四：材料、規(guī)律題

4111

12.已知=-,^2=--,^=---,?4=-----，…，以此類推，則生期的值為

5[-q1-^21-^3

13.觀察下列算式:

433八544尸、今55

①②一x-

-332-13x2342-13x352-13x4

按照以上規(guī)律，寫出第〃個算式—（用含正整數(shù)〃的算式表示）

7

14.已知數(shù)列｛凡｝共有2023項，并且后一項是前一項的常數(shù)倍，且卬出。23=1.設(shè)/（'）=急，則

/包）+/3）+…+/（生。23）的值是.

15.現(xiàn)有一列數(shù)：勺，%，%，。4，…，a,i，a.（〃為正整數(shù)），規(guī)定為=2,a2-a1=4,a3-a2=6,

111197

…，％-。小=2〃（〃22）,若一+—+------=—,則〃的值為_____.

&441Vo

16.同學(xué)們學(xué)過分式方程，分式方程有一步必不可少的一驗根.下面給出一些方式方程，它僅都有一個共

同的特點：

若I+_L=2+：,則方程的解為2或;；

x22

若工+，=3+:，則方程的解為3或;；

x33

若牙+，=4+!，則方程的解為4或;；

X44

請你用觀察出的特點解決以下問題：

（1）若工+—1=9],則此方程的解為

A+110

（2）若x+—+則此方程的解為__________________（用含有。的代數(shù)式表示）.

9x-63a

題型五：含參數(shù)類分式方程；新定義題

17.已知關(guān)于x的分式方程丁絲=1.

3》+4x-2

⑴當(dāng)〃=2,〃=1時，求分式方程的解;

⑵當(dāng)心1時'求6為何值時分式方程高一”句無解,

⑶若"助’且〃，6為正整數(shù)，當(dāng)分式方程旨-合=1的解為非負(fù)整數(shù)時‘求6的值.

18.如果兩個分式的差為常數(shù)，我們稱這兩個分式互為“差離分式〃，這個常數(shù)為差離值.如

3x4-413x+3一LL”3x+4

所以R與占互為“差離分式〃，差離值為3.

(1)已知:J=2￡^r-lfB=-L判斷力與8是否互為“差離分式〃.若是，求出差離值；若不是，請說

x-1x-\

明理由.

-2x+3^

(2)已知:c=D=若C與力互為“差離分式"，且差離值為-1,求E所代表的代數(shù)式.

2x-\4X2-1

mx+]2nxn,,…

(3)已知:(小，〃為非零常數(shù))，若與?；椤安铍x分式”,求K的值?

(x+2廣。FP

19.我們定義：如果兩個分式A與￡的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是6的〃雅中式〃，這個常數(shù)稱

為A關(guān)于8的“雅中值”.如分式"==，8=二；，4一8=二一(二/生=二生平=2,則A是〃

的“雅中式”，A關(guān)于8的“雅中值〃為2.

⑴已知分式。J-6X+8,。=2，判斷。是否為。的“雅中式〃，若不是，請說明理由；若是，請證明

x~+4x4-4x+2

并求出。關(guān)于。的“雅中值”；

F2x

(2)已知分式〃=?；-r，Q=--,P是。的“雅中式”，且P關(guān)于。的“雅中值”是2,X為整數(shù)，且"雅中式"P

\-x-\-x

的值也為整數(shù)，求E所代表的代數(shù)式及所有符合條件的X的值之和；

(3)已知分式加=(x2?(xc),N=(x-a)(x-2)(。，力，。為整數(shù))，“是N的〃雅中式"，且"關(guān)于N

XX

的"雅中值"是1，求”-〃的值.

題型六：分式與分式方程的實際應(yīng)用

20.某小麥改良品種后平均每公頃增加產(chǎn)量4噸，原來產(chǎn)機噸小麥的一塊土地，現(xiàn)在小麥的總產(chǎn)量增加了

20噸.

（1）當(dāng)。=0.8,小=100時，原來和現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量各是多少？

（2）請直接接寫出原來小麥的平均每公頃產(chǎn)量是噸，現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量是噸：（用含°、

m的式于表示）

（3）在這塊土地上，小麥的改良品種成熟后，甲組收割完需〃小時，乙組比甲組少用0.5小時就能收割完,

求兩組一起收割完這塊麥田需要多少小時？

21.在生產(chǎn)生活中，經(jīng)常需要把兩種溶液進行混合，得到新的溶液.例如I,把咸淡不同的兩碗湯混合；在

已有鹽水中加水配制生理鹽水等等.

⑴要用含鹽9%的鹽水100克加水配制含鹽0.9%的生理鹽水，需要加水多少克？

（2）用咸淡程度不同的兩碗湯甲和乙混合（甲湯比乙湯咸），得到丙湯.

①請根據(jù)生活經(jīng)驗比較甲湯、乙湯、丙湯的咸淡程度：

②請設(shè)出必要的字母，用代數(shù)式表示甲湯、乙湯、丙湯的咸淡程度，通過計算證明①中的結(jié)淪.

22.甲、乙兩商場自行定價銷售某一商品.

（1）甲商場將該商品提價15%后的但價為1.15元，則該商品在甲商場的原價為一元；

（2）乙商場將該商品提價20%后，用6元錢購買該商品的件數(shù)比沒提價前少買1件，求該商品在乙商場的

原價是多少？

（3）在（1）、（2）的結(jié)論下，甲、乙兩商場把該商品均按原價進行了兩次價格調(diào)整.

甲商場：第一次提價的百分率是a,第二次提價的百分率是b：

乙商場：兩次提價的百分率都是（a>0,b>0,a#b）.

請問甲、乙兩商場，哪個商場的提價較多？請說明理由.

題型七：分式與分式方程的綜合應(yīng)用

23.某凈水裝置，將雜質(zhì)含量為〃的水用加單位量的凈水材料過濾一次后，水中的雜質(zhì)含量為一.利用

此凈水裝置，小亮進行了進一步的探究：

現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水.

⑴用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為二

(2)小亮共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計了如下的三種方案：方案A是將6a單位量的凈水材料一次性使

用，對水進行過濾；方案8和方案C均為將6。單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進行兩次過濾.三種

方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

方案編第一次過濾用凈水材料的水中雜質(zhì)含第二次過濾用凈水材料的第二次過濾后水中雜質(zhì)

號單位量量單位量含量

1

A6a//

1+6a

1]

85aa

1+5。(l+5a)(l+?)

C4Q2a

①請將表格中方案。的數(shù)據(jù)填寫完整；

②通過計算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好？

24.【閱讀理解】在比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小時，解決策略般是利用“作差法〃，即要比較代數(shù)式M,/V

的大小，只要作出差M-N,若M-N>0,則M>N；若M-N=O,則財=N；若M-N<0,則

M〈N.【解決問題】

CI47-11人

（1）例如：若。>（）,要比較一、、?大小，只需要用777一一一二7二八>°，

a+1aci+1a+

所以可得：一、______—（填>，=，<）:

。+1a

（2）已知4=-匚，B=X2~2X+[,當(dāng)x>-1時，比較力與1的大小，利用做差法說明理由；

⑶小王和小張的加油習(xí)慣不同，個王每次加300元的油（油箱未