專題02分式（7知識&14題型&4易錯）

知識清單

【清單01】分式的定義及有意義的條件：

（1）分式的概念：

一般地，如果A,B都表示整式，且B中含有—,那么稱己A為分式.其中A叫做分式的分子，B為分式的

B

分母.

A

⑵分式有意義的條件:對于分式一，當B#）時分式;當B=0時.

B

⑶分式值為零的條件：當A=0且B時，分式芻A的值為零

B

【清單02】分式的基本性質

分式的基本性質《=簽，2=言?工。）

分式的約分：根據(jù)分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的約去，叫做分式的約分.

最簡分式的定義：分子與分母沒有的式子，叫做最簡分式

注意:分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得的結果成為最簡分式或整式

約分的基本步驟：

1）若分子、分母都是單項式，則約去系數(shù)的最大公約數(shù)，并約去相同字母的.

2）若分子、分母含有多項式，則先將多項式分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式

【清單03】分式的加法和減法

同分母的分式的加減法

1.同分母的分式加、減法運算法貝!：

同分母的分式相,分母,把分子相加減.

2.同分母的分式相加減的一般步驟：

（1）分母不變，把分子相加減；

（2）分子相加減時，應先取,再合并同類項；

（3）結果應化為最簡分式或整式.

3.特別注意：分子相加減就是把各個分子整體相加減，在計算時，各分子都應用括號括起來，若分子是系數(shù)

為正的單項式，括號可以；若分子是多項式，且分子相減時，括號不能省略，否則容易出現(xiàn)符

號

錯誤.

4.整示誤區(qū)

1）當分母不相同而是相反數(shù)時，不能直接相加減，需將分母變?yōu)橄嗤?，同時，中間的運算符號隨之改變；

2）當分子是多項式時，在對分子進行加減時，要帶括號，后去括號運算；

3）加減運算后，對運算的結果要化簡，最后的結果應是最簡分式或整式

分式的通分

1.分式的通分：根據(jù)分式的基本性質，把幾個異分母的分式化成的分式的過程，叫做分式的通分.

2.最簡公分母：通分時，一般取各分母的所有因式的的積作為公分母，這樣的公分母稱為最簡公

分母.

3.通分的一般步驟：

（1）確定最簡公分母；

（2）用最簡公分母分別除以各分母求商；

（3）用所得的商分別乘相應分式的分子、分母得出同分母分式.

4.確定最簡公分母的?般方法：

如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是由

①各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

②各分母相同字母的最高次哥；

③各分母所有不同字母及其指數(shù)的這三部分組成.

如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的分解因式，再按照分母都是單項式時求最簡公分母的方法，

從系數(shù)，相同因式、不同因式三個方面去確定.

異分母的分式的加減法

1.異分母的分式的加、減法運算法則：

異分母的分式進行加、減法運算時，要先化為的分式，然后再加減.

2.異分母的分式相加減的一般步驟：

（1）通分：將異分母的分式化為同分母的分式；

（2）加減：按照同分母的分式進行加減運算時的一般步驟進行計算：

注意：異分母的分式進行加減運算時的關鍵是通分.

3.特別提醒

（1）通分時，若要改變某個因式的符號，可利用分式的符號進行變換；

（2）類似同分母的分式相加減，分子是多項式的注意帶上括號；

（3）最后運算的結果應是最簡分式或整式.

（4）在通分時，整式看成是1,整式作為分子的“分式”，若是多項式時，則看成一個整體；通分

時要帶上括號.

【清單04】分式的乘法和除法

分式的乘法法則：則：分式乘分式，把分子乘、分,乘分別作為積的分子、分母.

即："二處

adad

法則的運用方法：

（1）若分子、分母都是單項式，可直接利用乘法運算法則運算后再約分；

（2）若分子、分母有多項式，可先對分子、分母,約分后，再進行乘法運算；

（3）若分式乘整式，可把整式看成分母為1的“分式”進行運算.

（4）運算的結果應為最簡分式或整式.

分式乘法運算的基本步驟：

第一步：確定積的符號，寫在積中分式的前面.

第二步：運用法則，將分子與分母分別相乘，多項式要帶括號;

第三步：約分，將結果化成最簡分式或正式.

分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母后,與被除式相乘，即2+￡=2x&=

adac

bd

ac

法則的運用方法：

（1）分式的除法需轉化成乘法，再利用分式乘法運算法則計算；

（2）當除式是整式時，可以將整式看成分母是L的“分式”進行運

算.

分式除法運算的基本步驟：

第一步：將分子、分母是多項式的進行，并約分；

第二步：將除法轉化成乘法；

第三步：利用分式的乘法運算法則計算。

分式的乘方法則：分式的乘方是把分子、分母爸包乘方，即刻于任意一個正整數(shù)n,有?（會門;會

分式乘方法則的運用方法：

（1）分式乘方時，確定乘方結果符號的方法與有理數(shù)乘方確定結果，符號的方法相同.

bb”bt）n

（2）分式乘方時，一定要將分式的分子、分母分別________,不能將（一尸=F錯寫成（一尸=—

a31aa

（3）分式乘方時，若分式的分子與分母是多項式，應把分子、分母分別看做一個整體乘方，避免出現(xiàn)

（詈￥=富的錯誤

f+g件十g2

【清單（）51分式的混合運算

1.分式的混合運算順序：

分式與分數(shù)的混合運算有相同的運算順序，即先,再,然后加減，有括號時，先

做括號內的運算，按照小括號、中括號、大括號的順序進行，對于同級運算，按的順序進行。

2.分式的混合運算的方法：

（I）進行分式混合運算時，可以根據(jù)需要合理運用運算律來簡化運算，此時需將分式的乘除法統(tǒng)一變

成乘法，分式的加減法統(tǒng)一成加法，才能使用乘法運算律、加法運算率簡化運算.

<2）運算過程中及時約分簡化，有時可使解題過程簡單.

（3）運算結果是最簡分式或整式.

3.方法點撥

（1）分式的計算應先分清運算數(shù)學，再按分式的運算法則進行計算，當某一項是整式時，可將此項看

成分母為1的式子；

（2）分式的混合運算中要注意對各分式中的分子、分母符號的處理，結果中分子或分母的系數(shù)是負數(shù)

的，要把“”號提到分式的前面：

（3）所有的分式運算，結果必須化到最簡.

【清單06】整數(shù)指數(shù)累

同底數(shù)第相除的運算法則：

同底數(shù)基相除，底數(shù),指數(shù).

用字母表示為是正整數(shù)，且m>n）

特別解讀

（1）運用法則的關鍵有兩點：一是底數(shù),二是除法運算，二者缺一不可.

（2）底數(shù)a可以是單項式，也可以是多項式，但底數(shù)a不能為0.

（3）同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù),而不是相除

零次賽

任何不等于零的數(shù)的零次事都等于1;

零次哥要把握三點：

①底數(shù)不為0：②指數(shù)為零；③結果是1.

負整數(shù)指數(shù)轅：

⑴任何不等于零的數(shù)的n（n為）次幕，等于這個數(shù)的n次哥的.即叱=點@約，n為正整

數(shù)）

（2）由于京=（今「因為n=（處:a和，n為正整數(shù)）

用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)時，10的指數(shù)時,一定不要忘記指數(shù)n前面的號.

整數(shù)指數(shù)轅的運算法則

運算法則公式

同底數(shù)幕同底數(shù)幕相乘，底數(shù)am.an=am+n（a^0,m,PI都是整數(shù)）

的乘法不變，指數(shù)相加

幕的乘方幕的乘方，底數(shù)不變，（am）n=amn（a^0,m,n都是整數(shù)）

鬲指數(shù)相乘

的積的乘方積的乘方等于各因數(shù)（ab）n=anbn（a#0,b=0,n是整數(shù)）

運分別乘方的積

算同底數(shù)幕同底數(shù)幕相除，底數(shù)am.j-an=am-an=am*（n）

的除法不變，指數(shù)相減=amn（a,o,m,n都是整數(shù)）

【清單07】可化為一元一次方程的分式方程

分式方程的概念

1.分式方程：分母中含有的方程叫作分式方程.

2.判斷一個方程是分式方程的條件：

（1）是方程；

（2）含有分母；

（3）分母中含有未知數(shù).

以上三者缺一不可.

注意：分式方程的分母中含有未知數(shù)，而不是一般的。

3.特別注意：

（1）分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)分分式方程和整式方程的依據(jù)：

（2）識別分式方程時，不能對?方程進行約分或通分變形，更不能用等式的變形.

分式方程的解法

I.解分式方程的基本思路：去,把分式方程化為整式方程

2.解分式方程的一般步驟：

（1）分式方程去分母：方程兩邊同乘最簡公分母；

（2）解整式方程：去括號，移項，合并同類型等；

（3）檢驗:

①最簡公分母不為0,是分式方程的解；

②最簡公分母為0,不是分式方蔣的解.

3.檢驗方程根的方法：

一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0,因此應進行如下檢驗：

（1）將整式方程的解待入最簡公分母，若最簡公分母的值不為。，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這

個解不是原分式方程的解.

（2）將整式方程的解代入原分式方程，這種方法不僅能檢驗出該解是否適合原分式方程，還能檢驗所得的解是

否正確.

4.增根：在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的解使最簡公分母的值為0,則這個解叫作原分式方程

的增根.

5.特別注意：

（1）解分式方程的關鍵是去分母，去分母時不要漏乘不含分母的項，

當分子是多項式時要用括號擴起來：

（2）解分式方程定要檢驗，對丁增根必須舍去.

（3）對增根的理解：

①增根一定時分式方程化成的的解；

②若分式方程有增根，則必是使最簡分母為—時的未知數(shù)的值.

6.去分母時常見三種典型錯誤：

①分母與最簡公分母中的因式不是相同而是時，去分母后注意改變符號；

②分子是多項式時，去分母后要帶［二括號；

③不含分母的項易漏乘最簡公分母，旦最簡公分母是多項式也要帶上_________.

分式方程的應用

1.列分式方程常用的等量關系：

（1）行程問題：速度X時間;路程

（2）工程問題：工作量=工作時間x工作效率;

工作總量=各個分工作量之和

（3）利潤問題:利潤=售價進價；利潤率=利潤：進價xl00%

2.列分式方程解應用題的一般步驟:

（1）審：即審題，根據(jù)題意找出已知量和未知量，并找出等量關系；審題時，先尋找題目中的關鍵詞，然后借

助列表、畫圖等方法準確找出，當題目中包含多個等量關系時，要選擇一個能夠體現(xiàn)全部（或大部

分）數(shù)顯的等量關系列方程。

（2）設：即設未知數(shù),設未知數(shù)的方法有和.注意單位要統(tǒng)一,選擇一個未知量用未知

數(shù)表示，并用含未知數(shù)的式子表示相關量.設未知數(shù)時，一股題中問什么就設什么，若直接設未知數(shù)難以列方程，

則可設另一個相關量為未知數(shù)，有時設一個未知數(shù)無法表示等量關系，可設未知數(shù).

（3）列：即列方程，根據(jù)等量關系列出分式方程.

（4）解：即解所列的分式方程，求出未知數(shù)的值.

（5）驗：即驗根，既要檢驗所求的未知數(shù)的值是否適合分式方程，還要檢驗此解是否符合.

（6）答：即寫出答案，注意單位和答案要完整.

期中常考題型清單

【題型一】分式的定義及有意義的條件

［例I］（2425八年級下?重慶?期中）下列各式與，芽，把中，是分式的有（）

x+y7Tx-1m

A.2個B.3個C.4個D.5個

【例2】（2425八年級上?湖南婁底?期中）若分式三無意義，貝！實數(shù)x的值是（）

A.x=0B.x=5C.工工5D.xH0

【變式11】下列式子是分式的是()

A.-B.-C.g+yD.

n43J2x-l

(/-1)2+||町|一2|

【變式12］已知則.+(x+l)(y+l)+…+(x+200l)(y+2。。］)的值是)

(x+l)(y+2)=0,

「20022003

A2000B?黑n

■2001*2003?2004

VX2-9+V9-X2+1

【變式13］已知x、丁是實數(shù)，y,則x+y=.

x-3

【變式14】若分式，X+Q在％=2時無意義，在％=-3時值為0,則a+b=

b-2x

【題型二】分式的基本性質

【例2】（2425九年級下?黑龍江?期中）下列各式中，從左到右的變形正確的是（）

2

.A.x-+-1=-xB.—=C.xy_xD.X_X

y+iy-yyy2yyy2

【變式21】下列各式中，不能化簡的分式是（)

22/_y2

A①BC.a+bD.

27a?-若a2-b2x2-2xy+y2

【變式22】分式。尋‘登‘黑中最簡分式的個數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

【題型三】分式的加減

【例3】（2425八年級下?陜西咸陽?期中）計算手—m的結果為（）

A.rnB.—mC.1D.-1

【變式31］化簡：胃+魯=

a-22-a

【變式32】對于代數(shù)式小和〃，定義運算“集”：=例如：4⑥2=空竽

mn4X2p4若Q+1)0

a—2)=a+與則2"B=

【變式33】計算:

⑴三*2；

⑵言+言

⑶翳一學+-x-4y

x+4y

【題型四】分式的乘法和除法

【例4】（2425八年級上?湖南邵陽?期中）計算一的結果是（）

ab

A.aB.-aC.bD.-b

【變式41】計算：

⑴號（、+2）?冷;

(2)—?a-3

'a+2a2-2a+l

【變式42】計算:

(I承(T+3

2

I小/、)4-a.a-2a+2

4+4Q+Q22a+4a—1

16-a2.a-4a+2

【變式43】計算:

a2+4a+4'2a+4a+4

【題型五】分式的乘方

[ft5]（2425八年級上.四川成都.期中）化簡（字丫等于（）

A.B.x3y3zC.xy4z4D.y5

【變式51】計算（呼）2管）3的結果為（）

42

A.鬟B.abcC.ab4c4D.b5c

【變式52】計算管丫的結果是（）

D處

A.吟B.壽c.不□b3

【變式53】計算：保）、（0=—.

【題型六】分式的混合運算

[ft6]（2526八年級上.全國?期中）化簡松+（+-3-2）的結果為（）

【變式61】計算：3+例）+第?湍

【變式62]化簡：（1）+當

【變式63】計算：焉4+2-為.

【題型七】分式的化簡求值

【變式71]先化簡，再求值：（舒+言）+&，其中工=36，y=（

【變式72】先化簡，再求侑：（%+1）+（2+與3，其中％二-a

【變式73】先化簡，再求值：(1+左)+霖，其中。=3.

【題型八】零次導、負整數(shù)次尋

【例8】計算|一3|一】的結果是()

A.3B.--C.-3D.-

33

【變式81］已知(％-2)。無意義，則(2%+1)2-(2%+5)(2%-5)的值為.

【變式82】我們生活在物質的世界里，所有的物質都是由一些看不見的微小粒子構成的，例如水就是由水

分子構成的.科學家們通過測量發(fā)現(xiàn)一個水分子的直徑僅約0.0000000004m,其中0.0000000004m用科學記

【變式84】計算：一2?+(企一2)°=.

【題型九】整數(shù)指數(shù)幕的運算

［例9］計算：(一。一1匕)2?(2Q2/JT)-3=.

【變式91］已知一個正方體的棱長為2x10-3,則這個正方體的體積為

【變式92】計算：

(l)-6xsy4-^(x2y)2；

(2)a6-(a2)3-(-2a3)2；

(3)-12+(加一3.14)°-(-i)-2+(-2)3；

(4)(16x2y3z+8x3y2z)+8xy2.

【變式93】計算：G)°+(-2)3+(-丁3+|_3|

【題型十】分式方程的定義及解法

【例10］下列關于x的方程中，不是分式方程的是（）

..3x3x2「34門x2+l

A.x+-=o3nB.-+t—=-C.——=-D.-----=2o

x3兀5x-ixx-i

【變式101】下列方程是分式方程的是（）

A.-+—=0B.x+—=2+—

34X-lX-i

C.2--^==lD.關于％的方程^2-l二：x

Vx-l2m4

【變式102］方程。=△的解為.

【變式1031解方程：2-卷=工.

x+1X-1

【題型十一】分式方程無解的情況

【例11］若關于x的分式方程熱-三=1無解，則m的值為（）

A.2B.1C.3D.-3

【變式111】如果關于Rl勺分式方程三十三=尹*有增根，則m=_________.

xx-1x（x-l）

【變式112］若關于X的方程與一￡二1無解，則。的值是

【變式113】若分式方程1-名=三無解，則k的值為_______.

X—3X—3

【變式114】【閱讀材料】在分式方程化為整式方程的過程中，分式方程的解要滿足的條件是使原方程分母

不為零，若整式方程的解使最簡公分母為o,那么這個根叫做原分式方程的增根.例如：工-q=s,解

x-lX-1

得%=1.???當X=1時，=二%=1是原方程的增根.

【知識應用】機為何值時（根工0）,方程巖=三會+<4有增根.

''3x-ll-3x9x2-l

【題型十二】分式方程的實際應用

【例12】某網(wǎng)絡作家計劃寫一篇60章的小說，由于在連載過程中受到讀者的一致好評，他投入了更多時間

和精力進行創(chuàng)作，平均每天的寫作效率高出原計劃的20%,截稿時間提前了5天.設該作家原計劃每天寫》章,

根據(jù)題意可列方程為（）

.6060_6060r

x（l+20%）xx20%x

―6060—、6060—

C.--------=5D.----------=5

20%xxx（l-20%）x

【變式141】甲、乙兩名同學的家與某科技館的距離均為4000m.甲、乙兩人同時從家出發(fā)去科技館，甲同

學先勻速步行800m,然后乘公交車（勻速），乙同學騎自行車（勻速）.已知乙同學騎自行車的速度是甲

同學步行速度的4倍，公交車的速度是乙同學騎自行車速度的2倍，結果甲同學比乙同學晚到2.5min.乙同

學到達科技館時，甲同學離科技館還有m.

【變式142］舉世矚目的港珠澳大橋丁2018年10月24口建成通車，這對促進我國三地經濟發(fā)展具有I分重

要的戰(zhàn)略意義，今后，香港、澳門、珠海三地之間的時空距離將大大縮短，大橋建成前，駕車從香港特別

行政區(qū)到珠海某地路程為180千米，大橋建成后，兩地路程縮短為原來的一半，平均速度也比原來快30千米

/小時，這樣，相同的兩地行駛時間只需原來的%求港珠澳大橋建成前駕車行駛的平均速度？

【變式143】在改進生產工藝后，某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現(xiàn)在生產480臺機器所

需時間與原計劃生產33（）臺機器所需時間相同，則現(xiàn)在平均每天生產多少臺機器？

高頻易錯歸因清單

【題型一】概念理解類

1.混淆“分式”與“整式”

錯誤表現(xiàn)：將分式（如令）誤認為整式，或忽略分式分母不為零的條件。

X+1

歸因：未掌握分式的定義（分母含字母且分母知）。

糾正：遇到含字母的分母，先標注“分母戶）”（如x+1W0）。

2.忽略“無意義”的情況

錯誤表現(xiàn)：求解分式值時未排除使分母為零的取值。

典型題：當x為何值時，分式三無意義？

X-4

漏解：只注意到x=2（分子為零），忽略x=-2（分母為零）。

【例1】下列代數(shù)式：就，空二吟，其中是分式的有（)

2009aIT5+ya33x

A.3個B.4個C.5個D.6個

【變式11】使分式等的值等于0的條件是（）

x+3y

A.%+3y=0且2x-1=0B.2x=1且xW3y

C.x=2且xH-3yD.x=，且y裝一，

【變式12】