第六章幾何圖形初步--線段(數(shù)軸)上的動點問題重點題型梳理

專題練2025?2026學(xué)年初中數(shù)學(xué)人教版(2024)七年級上冊

一、線段上含動點求線段長問題

I.如圖，點C在射線上，且在點A、B之間,AB=18,AC=2BC.動點P從C出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿射線C8向右勻速運動；同時動點。從A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿射

線48運動，遇到點〃時按原速返回點C停止運動.當(dāng)點Q停止運動時，點P也隨之停止運動，設(shè)點

C的運動時間為4s).

AQCPB

(i)AC=_.

(2)當(dāng)點P是線段8c的中點時，求P。的長.

2.探究題：如圖，己知線段A8=12cm,點C為A8上的一個動點，點。、E分別是AC和8c的中

點.

A1)CKH

⑴若點C恰好是A8中點，則。E=：

⑵若AC=4cm,求OE的長；

⑶試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，說明不論AC取何值(不超過12cm),OE的長不變.

3.點4,3在數(shù)軸上的位置如圖所示，點P是數(shù)軸上的一動點.

AB

-----------'--------1'—>

-20---------------6

⑴若08=3,則點P表示的是什么數(shù)？

⑵若尸8=3,且點。是A尸的口點，求線段AQ的長.

⑶是否存在點P，使PA+m的值最??？若存在，則點。在數(shù)軸上的什么位置？尸A+P3的最小值是

多少？

4.如圖，數(shù)軸上點A8分別表示數(shù)“力，其中a<0,b>0.

AOB

----------1------1---------------------1------------>

a0b

⑴當(dāng)〃=-3/=7時，線段48的中點表示的數(shù)是_______；

⑵若數(shù)軸上另有一點M表示數(shù)3.

①若點M在線段上，且AM=28W,求式子。+2〃+2024的值；

②點P為線段上一動點，點。為線段上一動點，當(dāng)力=a+6時，線段P。的最大長度為5,求。

的值.

二、線段上含動點求定值問題

5.如圖，線段48=10,動點C在線段A8上，點。是線段AC的中點，點E是線段A8上一點.

1」IllII」」I

ADCEBADCEB

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點E是線段8C的中點時，

①若AO=3,則8E=：

②點C在線段48上運動的過程中，線段OE的長度是否是一個定值？若是，請求出這個定值；若不

是，請說明理由.

⑵如圖2,當(dāng)點E是線段8。的中點時，點C在運動的過程中，是否存在和點E重合的可能？如果存

在，求出重合時線段AC的長度；如果不存在，請說明理由.

6.如圖，3是線段AO上一動點，沿ArDfA的路線以2cm/s的速度往返運動1次，C是線段8。

的中點，AO=10cm,設(shè)點8的運動時間為/s(OWYlO).

IIII

ABCD

(1)當(dāng)/=2時，則線段A8=cm,線段CD=cm.

⑵當(dāng)/為何值時，AB=CD?

(3)點3從點八出發(fā)的同時，點E也從點4出發(fā)，以acm/s(0〈av2)的速度向點。運動，若當(dāng)運動時

間/滿足時，線段EC的長度始終是一個定值，求這個定值和。的值.

7.如圖，線段相=24,動點尸從4出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線相運動，運動時間為:秒(/>0),

歷為40的中點.

AMPB-

⑴用含/的代數(shù)式表示依的長度為.

⑵在點尸運動的過程中，當(dāng)/為多少時，PB=；AM?

⑶在點。運動的過程中，點N為8尸的中點，證明線段的長度不變，并求出其值.

(4)當(dāng)點。在A8延長線上運動時，當(dāng)M、N、8三點中的一個點是以另兩個點為端點的線段中點時，

直接寫出f值.

8.如圖，點A和點B在數(shù)軸.匕寸應(yīng)的數(shù)分別為。和。，(〃+2)2+|8-4|=0.點尸為數(shù)軸上一動點，

其對應(yīng)的數(shù)為工

——1--------1----------------------1~~?

AOB

⑴①若點尸為線段A8的中點，則此時點P對應(yīng)的數(shù)品=；

②若點”到點A、點8的距離之和為8,則此時點“對應(yīng)的數(shù)。=:

⑵若點P在移動的過程中，滿足3P=PO+Q4,求此時點尸對應(yīng)的數(shù)?,的值：

(3)記線段小的中點為點M,線段尸/?的中點為點N,若點。以每秒3個單位長度的速度從表示數(shù)5

的點向左運動.

①在運動過程中，點例到點內(nèi)的距離是否不變？如果是，請求出這個值，如果不是，請說明理由.

②設(shè)運動，秒后，點P到點W和點N的距離恰好滿足2倍關(guān)系，請求出，值.

三、線段上含動點求時間問題

9.如圖，P是線段A8上一點，A3=18cm,C,。兩動點分別從點P,3同時出發(fā)沿射線班向左運

動，到達(dá)點A處即停止運動.

------<------

ACPDB

⑴若點C,。的速度分別是lcm/s,2cm/s.

①當(dāng)動點C,。運動了2s,且點。仍在線段/必上時，AC+PD=cm；

②若點C到達(dá)A0中點時，點。也剛好到達(dá)研的中點，則AP:9=：

⑵若動點C,。的速度分別是lcm/s,3cnVs,點C,。在運動時，總有尸O=3AC,求4尸的長

10.如圖，在長方形A8C。中，A3=12cm,fiC=6cm,動點P沿AB邊從點A開始，向點8以2cnVs

的速度運動；同時，動點Q沿D4邊從點。開始，向點八以lcm/s的速度運動；設(shè)運動時間為/.

I)C

Q

I

Ap—?B

⑴當(dāng)/為何值時，AQ=AP?

(2)當(dāng),為何值時，AQ+AP等于長方形周長的;？

⑶如果點P到達(dá)點8后沿方向繼續(xù)運動，點Q達(dá)到點A后沿A8方向繼續(xù)運動，當(dāng)點戶到達(dá)點C

時，求點Q的位置.

II.如圖，AB=12,線段C。在線段A8上，點C在點。的右邊，且CO=3.動點P從A出發(fā)，以

每秒3個單位長度的速度沿人8向終點B勻速運動；同時線段CO從點8出發(fā)，以每秒2個單位長度

的速度沿刻勻速運動，當(dāng)點。與點A重合時，停止運動.設(shè)點。的運動時間為f(s).

APDCB

⑴當(dāng)點P與點人重合時，A/J>=,.

⑵當(dāng)點P與點。相遇時，求/的值.

⑶求PO的長(用含，的代數(shù)式表示).

⑷取CD的中點E,當(dāng)AB=2?石時，直接寫出f的值.

12.如圖，NAO3的邊0A上有一動點尸，從距離。點18cm的點M處出發(fā)，沿線段射線運

動，速度為3cm/s：動點Q從點。出發(fā)，沿射線05運動，速度為2cm/s,點P、。同時出發(fā)，設(shè)運動

時間是I(s).

⑴當(dāng)點〃在MO上運動時，，為何值，能使OP=OQ?

(2)若點Q運動到距離。點、16cm的點N處停止，在點Q停止運動前，點P能否追上點Q?如果能,

求出f的值;如果不能,請說出理由;

⑶若P、Q兩點不停止運動，當(dāng)P、。均在射線08上，/為何值時，它們相距1cm.

四、線段上含動點的新定義型問題

13.如圖1,點C在線段A8上，圖中有三條線段，分別為線段AB，AC和5C,若其中一條線段的長

度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段A8的“巧點”.

I11

ACB

圖1

(1)線段的中點這條線段的“巧點”，線段的三等分點這條線段的“巧點”(填“是”或“不

是“)；

(2)若線段A8=18cm,點C為線段AB的“巧點”，則AC=:

⑶如圖2,已知.AB=18cm,動點。從點4出發(fā)，以2cm/s的速度沿A3向點3運動，點。從點4

出發(fā)，以lcm/s的速度沿剛向點A運動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，運動停止，

設(shè)運動的時間為/秒，當(dāng)/為何侑時，點P為線段AQ的“巧點”？并說明理由.

14.定義：若線段上的一個點把這條線段分成1:2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點.

AMBA(C)B{D}

圖1圖2

⑴如圖1,點M是線段AB的一個三等分點，滿足8M=2AM,若48=9cm,則AM=cm；

7

⑵如圖2,已知A8=9cm,點C從點人出發(fā)，點。從點8出發(fā)，兩點同時出發(fā)，都以每秒§cni的速

度沿射線A8方向運動f秒.

①當(dāng)，為何值時，點C是線段AO的三等分點

②在點C,點。開始出發(fā)的同時，點E也從點8出發(fā)，以某一速度沿射線B4方向運動，在運動過程

中，當(dāng)點C是線段4E的三等分點時，點E也是線段AZ)的三等分點，請直接寫此時出線段所的長

度.

15.已知點C在線段AA上，若AC=5AC或8c=5AC,則稱點C是線段AB的“五美點”.

【理解定義】

(1)若線段48=6,C是線段A8的“五美點”，則AC=；

【解決問題】

(2)如圖，E在射線OM上，OE=U.

O~~DKK~EM

?,

OEM

(備用圖)

①若點。、尸均為線段OE的“五美點”，且OD<OF,又K為線段OE的中點，求線段"的長度；

②點P從點O出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿射線OM向右運動，同時點Q從點E出發(fā)，以每

秒2個單位長度的速度也沿射線OM向右運動，運動時間為/秒，點。追上點。時，兩點同時停止運

動，請問當(dāng)P、E、Q三點中某一點為其余兩點所構(gòu)成線段的“五美點”時，，的值是多少？請直接寫出

答案，不必寫過程.

16.數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點之

間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).

ASC

ffil

(1)【知識呈現(xiàn)】

數(shù)軸上的點A,點C所表示的數(shù)如圖1所示；若點3與點A表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點"表示的數(shù)是

點A與點C之間的距離AC=_，點3與點。的中點。表示的數(shù)是且在圖1的數(shù)軸上標(biāo)出點/）.

⑵【定義】

一個點M（不是原點）在數(shù)軸上運動，第一次跳到M的位置（點加|，與點M表示的數(shù)互為相反數(shù)）,

點必稱為點M的一次跳躍點，緊接著從到A/?的位置（點與點M位于點尸的兩側(cè)，且

則點％稱為點”關(guān)于點〃的二次跳躍點，如圖2所示.

【初步理解】

①若點”表示的數(shù)是P表示的數(shù)是4,點M的一次跳躍點M一點M表示的數(shù)是_，M關(guān)于點

產(chǎn)的二次跳躍點M?表示的數(shù)是二線段MM2的長度為

【深入探究】

②若點M為數(shù)軸正半軸的一個點，點尸是數(shù)軸負(fù)半軸上一個點，點“2為點M關(guān)于點尸的二次跳躍

點.若點M,點P表示的數(shù)分別是〃"-5,當(dāng)機(jī)變化時，探究的值是否發(fā)生變化？若不變，

請求出其值；若變化，請說明理由.

【歸納總結(jié)】

③若在數(shù)軸上點M,尸分別表示有理數(shù)〃?，〃（其中加工0,〃/0）,點“2為點M關(guān)于點2的二

次跳躍點，直接寫出線段MM]的長度.

綜合練

1.如圖，P是線段4B上一點，AB=l8cm,C,。兩動點分別從點P,川司時出發(fā)沿射線物向左

運動，到達(dá)點八處即停止運動.

<---<---

1111]

ACPDB

⑴若點C,。的速度分別是Icm/s,2cm/s.

①若2cm<4尸<14cm,當(dāng)動點C,。運動了2s時，求AC+PD的值；

②若點。到達(dá)八/>中點時，點。也剛好到達(dá)8尸的中點，求

（2）若動點C,。的速度分別是lcm/s,3cm/s,點C,。在運動時，總有PZ）=34C,求”的長度.

2.探索材料1（填空）：

數(shù)軸上表示數(shù)機(jī)和數(shù)〃的兩點之間的距離等于加-.例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點距離為|2-5|；

數(shù)軸上表示數(shù)3和-1的兩點距離為|3-（-1）|；

（1）則|6+3］的怠義可埋解為數(shù)軸上表示數(shù)和這兩點的距離：門+4|的怠義可理解為數(shù)軸上

表示數(shù)______和這兩點的距離；

探索材料2（填空）：

⑵①如圖I,在工廠的一條流水線上有兩個加工點人和要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往兩個

加工點輸送材料，材料供應(yīng)點P應(yīng)設(shè)在______才能使P到人的距離與2到8的距離之和最小？

11

AB

圖1

②如圖2,在工廠的一條流水線上有三個加工點A及C,要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點尸往三個加

工點輸送材料，材料供應(yīng)點尸應(yīng)設(shè)在______才能使P到三點的距離之和最小？

II1

ABC

圖2

⑶結(jié)論應(yīng)用（填空）：

①代數(shù)式k+3|+k-4|的最小值是,此時x的范圍是；

②代數(shù)式卜+6|+卜+3|+|工一2|的最小值是_____,此時x的值為；

③代數(shù)式|工+7|+|工+4|+卜一2|十及一5|的最小值是,此時x的范圍是.

3.如圖，點P是線段/W上一點，且滿足八4=3%,點C,。分別在線段AP,BP上.

1111I

ACPDB

⑴若叨=2AC,探究線段80,PC的數(shù)量關(guān)系；

⑵若點Q是直線A3上一動點，且AQ-BQ=PQ,求跳的值；

AB

⑶若E是線段C。上的一個動點，點M，N分別是AE,總的中點，以下兩個結(jié)論：

①PM-PN的值不變，②竺^的值不變，其中只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值.

AB

4.如圖，P是線段人B上一點，AB=I2cm,。、。兩點分別從P、3出發(fā)以lcm/s、2cm/s的速度

沿直線48向左運動（C在線段AP上，。在線段3P上），運動的時間為/.

11111

ACPDB

（1）當(dāng)f=2時,PD=2AC,請求出AP的長;

（2）若C、。運動到任一時刻時，總有尸D=2AC,請求出心的長；

⑶在（2）的條件下，Q是直線A8上一點，且A。-8Q=P。，求P0的長.

5.已知：如圖1,M是定長線段A3上一定點，C'、。兩點分別從V、8出發(fā)以lcm/s、3cnVs的速度

沿直線84向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，。在線段3M上）.

ACMDBAMB圖

圖I圖2

1圖2

（1）若A8=10cm,當(dāng)點C、。運動了Is,求AC+MZ）的值；

（2）若點C、。運動時，總有MD=3AC,直接填空：AM=AB;

MN

⑶在（2）的條件下，N是直線人4上一點，且同V-8V=MW,求一的值.

AB

6.如圖①，已知點C在線段48上，線段AC=10厘米，8。=6厘米，點、M,N分別是AC,8c的

中點.

1111」I1J

AMCNBACR

圖①圖②

⑴求線段MN的長度；

⑵根據(jù)第（1）題的計算過程和結(jié)果，設(shè)AC+8C=〃，其他條件不變，求的長度：

⑶動點尸、。分別從A、8同時出發(fā)，點尸以2厘米/秒的速度沿AB向右運動，終點為8,點Q以1

厘米/秒的速度沿84向左運動，終點為A,當(dāng)一個點到達(dá)終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多

少秒時：

①點Q恰好為線段CQ的中點？

②直接寫出c、P、。三點中有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？（除①外）

7.如圖，點E都在直線A8上，C是線段A8的中點，E是線段C8的中點，CE=4.

III

ADCEB

（I）當(dāng)點。在線段AC上且4）:“、=1:3時，求。C和A8的長.

⑵若。是直線48上的動點，動點尸從點A出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度沿著A8的方向運動，運

動時間為f秒.

①已知另一動點。從點E出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿著E4的方向同時運動.是否存在P8=?

若存在，求出此時運動的時間f；若不存在，請說明理由.

②當(dāng)動點尸在線段4。上運動時，M,N分別是線段AC和3尸的中點，試判斷A4-CP與線段MN之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

8.如圖，點2是定長線段A8上一定點，點C,。分別從點P,8同時事發(fā)以acm/s,Am/s的速度

沿直線45向左運動（點C在線段A尸上，點。在線段管上），其中。、〃滿足條件：1|+|〃-3|=0.運

動的時間為/s,且點C,。運動到任一時刻，總有2O=3AC.

?—?—

■11，i

ACPDB

(I)直接寫出：a=,b=；

⑵若AB=24cm,請求出AP的長；

⑶若點。是直線AB上一點，且AQ-BQ=PQ,求線的值：

AB

(4)若C、。運動5秒后，恰好有A5=20此時C點停止運動，。點繼續(xù)運動(。點在線段P8上)，

M、N分別是CO、的中點，問世的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，請求出

AB

也^的值.

答案

一、線段上含動點求線段長問題

I.(1)解：???根據(jù)AC=26C,且AC+C8=/W=18,

工2C8+C8=18,

:?CB=6,

???AC=2BC=2x6=\2,

故答案為：12.

(2)解：???動點。從C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線向右勻速運動；同時動點Q從

A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)運動時間為『，

得AQ=3f,CP=i,

當(dāng)點P是線段BC的中點時，CP=gcB=3,

故此時,=3,

，AQ=9,CP=3,

：.PQ=AC-AQ+CP=12-9+3=6.

2.(1)AB=\2crn,C點為48的中點，

/.AC=BC=6cm.

???點、D、6分別是AC和的中點，

/.CD=CE=3cm,

/.DE=6cm.

故答案為：6；

(2)AB=12cm,AC=4cm,

/.BC=8cm.

???點、D、8分別是AC和4c的中點，

..CD=2cm,CE=4cm,

/.DE=6crn；

(3)設(shè)4c=acm,則8。=48-/4。=(12-4)01】，

???點。、8分別是AC和BC的中點，

ACD=-AC=-cmtCE=-BC=^^-cm

2222

:.DE=CD+CE=-AB=6cn},

2

二不論AC取何值(不超過12cm),。石的長不變；

3.(1)解：①點P在點B的左邊時，

,:PB=3,6-3=3,

?二點。表示的是3.

②點尸在點8的右邊時，

,:PB=3,6+3=9,

???點P表示的是9.

綜上，可得點P表示的是3或9.

AB

----------------1------------1-----------------------------------1->

-206

⑵解：???6-(-2)=8,

???線段4B的長度是8.

①點尸在點8的左邊時，

???AP=AB-PB=S-3=5,

???點。是A尸的中點，

/.AQ=；AP=2.5,

???線段4Q的長是2.5.

②點P在點B的右邊時，

???AP=A6+PB=8+3=I1,

???點。是AP的中點,

???AQ=g”=5.5,

???線段AQ的長是5.5.

綜上，可得線段AQ的長是2.5或5.5.

(3)解：如圖：當(dāng)點尸在A、8兩點之間時，P4+P8的值最小,

此時24+PA=/W=8,

所以+的最小值是8.

AB

------------1---------11->

-20----------------6

4.(1)解：V?=-3,b=7,

.??線段A8的長度為7-(-3)=10

???線段A8的中點C表示的數(shù)c=7—gxl0=7-5=2；

故答案為：2.

(2)①???點M表示數(shù)3,點M在線段AB上，且AM=28M,

：.3-a=2(b-3),

整理得：a+2Z?=9,

:.a+21)+2024=9+2024=2033；

②：。+6,

=〃-4=4+6—4=6,

當(dāng)點B在點M的左側(cè)或在點M處時，bW3,當(dāng)點P在點4處，點。在點M處時，P。最大,

,/AB=6,

???此時PQ的最大值大于5,

???尸。的最大值為5,

:.點B不可能在點M的左側(cè)或M處；

當(dāng)點4在點M的右側(cè)，點。在點A處，點。在點M處時，P。最大，則此時3-〃=5,

解得：a=-2；

當(dāng)點B在點M的右側(cè)，點P在點B處，點。在點O處時，PQ最大，則此時。-0=5,

解得：b=5,

?'?a+6=5,

/.a=-1,

綜上分析可知：a=T或a=—2.

二、線段上含動點求定值問題

5.(1)解：①..?點。是線段AC的中點，

AD=DC=-AC=3t

/.AC=6,

???點E是線段9C的中點,

:?CE=EB=、CB,

2

*/AB=\O,

，AC+CB=AB,

BC=4,

，EB=2,

故答案為：2；

②是定值，理由如下：

???點。是線段AC的中點，

：.CD=-AC,

2

???點E是線段8c的中點，

???CE=-BC,

2

，DE=-[AC-^BC)=-AB=5,

22

即OE是一個定值，其值為5.

(2)解：存在，理由如下：

???點E是4。的中點，

，DE=BE=^BD,

設(shè)AO=CO=x,

DE=/?E=-^(10-x)=5-^,

當(dāng)點。和點E重合時，DE=CD=x,

5--x=x,

2

解得片學(xué),

2020

AAC=2x=y,即當(dāng)點C和點E重合時，4C的長為

6.⑴解:6A￡>=10cm,點8以2cm/s的速度運動,

，/=2時，44=4cm,BD=6cm,

是線段B。的中點，

/.BC—CD=3cm

故答案為：4,3

(2)解；Ye是線段的中點,

JBC=CD=-I3D,

2

VAB=CD,

，AB=BC=CD,

???3A8=10,AB=CD=—cn\t

3

當(dāng)點8從AT。時，

1°r5/、

l--4-2=-(S)

33')

當(dāng)點8從O->A時，

???點8沿AfOfA的路線需要(10+10)+2=10(s)

故r=K)_|吟(s)

525

綜上所述，當(dāng)f為京或爭時，AB-CD.

(3)解：如圖，

由題意得：點E的速度是acm/s,點3速度為2cm/s

VO<?<2,

工點5在點E右側(cè),

由題意可知八B=2/,AK=",4Q=10-2/

/.EB=2t-at

???C是線段8。的中點

,BC=-BD=5-t

2

^EC=EB+BC=2t-at+5-t

???線段EC的長度始終是一個定值

7.EC=(I—〃)r+5

故1-。=0解得a=l,定值為5

?Il??

AEBCD

24

7.(1)解：當(dāng)戶運動到點3時，t=—=\2

當(dāng)點尸在線段A8上,即0V/412時，

BP=AB-AP=24-2lx

當(dāng)點夕在AB的延長線上時，口】/>12時，

HP=APAB=2t24,

???依的長度為|24-2r|,

故答案為：|24-2小

(2)解：???”是線段AP的中點，

JAM=-AP=tf

2

PB=-AM,

2

???|24-2/|=夕，

???24-2f=L或2-24=L,

22

解得/=三48或/=16；

481

???當(dāng)/二一或1=16秒時，PB^-AM；

52

(3)解：MN的長度不變，其值為12,證明如下：

當(dāng)0V/W12時，如圖所示，

AMPNB-依=24-27

N是線段所的中點，

PN=-PB=-(24-2t)=\2-t,

22

M是線段AP的中點，

PM=-AP=t,

2

,MN=PM+PN=t+V2T=\2,

MN的長度是一個常數(shù)，

???MN的長度不變，其值為12；

當(dāng)/>12時，如圖所示，

AMB'NPPB=H

N是線段AQ的中點，

/.PN=BN=-PB=-(2t-24)=t-\2t

22

M是線段AP的中點，

/.PM=1AP=t,

2

MN=PM-PN=-2)=12,

A/N的長度不變，其值為12；

(4)解：點P在AB延長線上運動時，/>12,

由(3)可得收=2—24,MN=12

：.PM—PN=MN=12>G,PS-P^=2r-24-(r-12)=/-12>0

???N點在MI的右側(cè)，不能為中點，

分兩種情況討論，

①當(dāng)8是的中點時，如圖所示，

AMBNP-

,BM=BN=、MN=6

2

???PM=AM=3BM=\8

■:AM=PM=t

Ar=18：

②當(dāng)M是N4的中點，如圖所示，

ABA?NP

:?BM=MN=12,

???BN=2MN=24,

YN是線段族的中點，

，PB=2t-24=2BN=4S,

解得：f=36,

綜上所述，，=18或/=36.

8.(I)解：?V(?+2)2+|/?-4|=0,

工。+2=0,/?-4=0?

解得：a=—2,方=4；

，點A和點8在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為-2和4；

-2+4

點P為線段A8的中點，則此時點P對應(yīng)的數(shù)七===1：

②???點P到點A、點8的距離之和為8,

A|x+2|+|x-4|=8,

當(dāng)x<-2時，-X-2-x+4=8,

解得：x=-3,即此時點尸對應(yīng)的數(shù)與二-3

當(dāng)2<x<4l^,x+2+4-x=6?8,

當(dāng)x>4時，x+2+x-4=8,

解得：x=5,此時點夕對應(yīng)的數(shù)年=5,

綜上：％=-3或xft=5；

(2)解：???點P在移動的過程中，滿足8尸=尸。+94,

.?.L|x+2|,

當(dāng)x"時，x-4=x+x+2,

解得：x=-6,不符合題意，舍去；

當(dāng)0Wx<4時，4-x=x+x+2,

2

解得：x=

當(dāng)一2Wx<0時，4-x=-x+x+2,

解得：x=2,不符合題意，舍去，

當(dāng)xv-2時，4-x=-x-x-2,

解得：x=-6,

2

綜上：此時點P對應(yīng)的數(shù)勺為:或-6.

(3)解：①點M到點N的距離不變?yōu)?,理由如下：

???點?以每秒3個單位長度的速度從表示數(shù)5的點向左運動，設(shè)運動時間為，

???尸對應(yīng)的數(shù)為5-3f,

記線段帖的中點為點M,線段心的中點為點N,

對應(yīng)的數(shù)為二二二號當(dāng)，N對應(yīng)的數(shù)為二出二￡-2，

oq33

???點M到點N的距離為V=|3|=3.

3XQ3/

②由①得：”對應(yīng)的數(shù)為N對應(yīng)的數(shù)為$?彳，

33739313

：.PM=5-3t--+-tPN=5-3t--+-t=---t,

22222222

當(dāng)AM=2RV時，

73今13a73Iho.

222222|11

7373

:.----z=l-3/或-----1+\-3;=0,

解得：:舍去；或1=1；

當(dāng)PN=2PM時,

A2rlZ|=|rlZ，ep|7-3/|=l-|r,

I313

A7-3z=--巳/或7-3/+---r=0,

2222

135

解得：，=7或/=針

Jn

135

綜上：r=l或/=￥或/=)

33

三、線段上含動點求時間問題

9.(1)解：①依題意得：PC=lx2=2(cm),^D=2x2=4(cm),

AA=18cm,點。仍在線段P8上，

???AC+PD=AB-PC-BD=\S-2-4=]2(cm),

故答案為：12；

②設(shè)運動時間為ZS,則PC=rem,BD=2rcni,

???當(dāng)點C到達(dá)AP中點時，點。也剛好到達(dá)4P的中點，

I.AP=2PC=2rcm,BP=2BD=4rcm,

JAP:P8=1:2,

故答案為：1:2.

(2)解：設(shè)運動時間為二,則PC=Acm,BD=3.rcm,

???BD=3PC,

*：PD=3AC,

???28=8。+?D=3尸C+34c=3(尸C+AC)=3A尸，

'：PB+AP=AI3,

，3AP+AP=AB,

IIQ

:.AP=-AB=-xl8=^(cm).

10.(1)解：當(dāng)點。在A。邊上運動，運動時間為fs時，

AQ=6-t,AP=2/,

根據(jù)題意得：6-r=2r,

解得：f=2.

答：，為2s時，AQ=AP.

(2)由點。在A。邊上運動時，

此時AQ=6-7,AP=2t,

根據(jù)題意得：6-r+2r=lx2(6+12),

解得：/=3；

(3)當(dāng)點P到達(dá)點。時，此時運動時間為=2=9(s),

???Q的運動路程為：lx9=9(cm),

,/AD=BC=6cm,

，Q在人8上，與A距離為3cm.

11.(I)解：當(dāng)，=0時，AD=AB-CD=\2-3=9,

故答案為：9；

(2)解：由題意可得：

3r+2r=12-3,

解得：，=1.8；

(3)解：設(shè)點A表示原點，則點P表示的數(shù)為：3/,點。表示的數(shù)為：9-2/,

則以)=|9_2/_3/|=|9-5(

(4)解：點E表示的數(shù)為:9+1.5-2/=10.5-27,

A2x|10.5-2r-3/|=12,

解得：/=3.3或0.9.

12.(I)運動時間是/(s)時，OP=\S-3t,OQ=2t,

若OP=OQ,則18-3，=2/,

解得：，=3.6；

(2)點。停止運動時，用的時間為16+2=8秒，

此時點尸運動的路程為3x8=24,24—18=6<16,

???點戶不能追上點Q；

(3)當(dāng)P、。均在射線OB上,它們相距1cm時,

根據(jù)題意得：PQ=\OP-O(^=\,

即|3"18一例=1,

解得：1=17或/=19.

四、線段上含動點的新定義型問題

13.(1)解：根據(jù)“巧點”定義可知，線段的中點是這條線段的“巧點”，線段的三等分點是這條線段

的‘巧點”;

故答案為：是；是.

(2)解：???當(dāng)點C為線段A8的中點或三等分點時，點C是線段A8的“巧點”，

AC=gA8=；x18=9(cm),

或AC=gAB=gx18=6(cm),

22

或AC=§AB=§xl8=12(cm).

故答案為：6cm或9cm或12cm.

(3)解：由題意得：AP=2t,BQ=t,AQ=18T,/的范圍應(yīng)該在o~9秒之間，

???點尸為的巧點,

???點P應(yīng)該在點Q的左邊，/的范圍應(yīng)該在。?6杪之間，

當(dāng)AP=：AQ時，尸為4。的巧點，

???2f=；(18T),

解得：/=y;

當(dāng)4P=3AQH寸，P為AQ的巧點，

1Q

解得：f=g;

2

當(dāng)=時，P為AQ的巧點，

2z、

2/=—(18-t),

9

解得：/=-;

所以當(dāng)/為爭或/s或｝時，點2為線段4。的“巧點”?

14.(1)解：VBM=2AM,AB=AM+BM,

/.3AM=9,

AM=3cm；

(2)①由題意，得；AO=(9+,,cm,AC=；zcm,

當(dāng)CO=24。時，則：3AC=AD,

22

/.3x-r=9+-r

33

?,27

4

當(dāng)4c=2DC時，貝I」：3AC=2ADf

2（2A

...3x—/=2x9H—t,

3I3）

，，=27；

綜上：/=M或，=27；

4

②設(shè)點E的速度為每秒,由題意得：BE=xcm,則4￡=(9-x)cm,DE=+xjcm,

丁點。，點E分別是4E,A。的三等分點，

???可以分四種情況討論:

1121,、2\（2A

當(dāng)AC=§A￡OE=§AO時，則于=§（9-x）,-r+x=-^9+-/^

分別解得：/=3（9-""=；（27-9X）,

.?.1（9-A）=1（27-9X）

o

解得：X=￡；

222922，2

當(dāng)4C=一人￡。七=一4。時，則一i=一（9—x）,-t+x=-9+-/

333333\3

分別解得：，=9—w=g（54—9x）,

A9-x=1（54-9.r）

解得：X=y;

1221、22，2、

當(dāng)==力時，則I/=1（9―耳，-r+x=-9+-/,

分別解得：f=；（9r）j=；（54-9x）,

.\1（9-A）=1（54-9X）

解得：工=45?；

O

2I222\（2A

當(dāng)月。二-4￡?！甓?。時，則±/=—（9—x）,-t+x=-9+—/

33333313,

分別解得：，=97"=；(27-9”,

1

/.9x（279x）

4

9

解得：x=--（舍去）；

93645

綜上：點C,點E分別是AE,4。的三等分點，3E的長為7cm或亍51或9。］1.

15.解：（1）???。在線段A8上，

AC+BC=AB.

???C是線段48的“五美點”，

AC=5BC^iBC=5AC,即4。二』AC或=54c.

5

???AC=-AB^AC=-AB.

66

又：AB=6,

/.AC=5或1.

故答案為：5或I；

（2）①???點。、/均為線段OE的“五美點“，且8v",

AOF=-OE=\OtOD=L（）E=2,

66

AEF=OE-OF=2,DE=OE-OD=\Of

YK為線段OE的中點，

???KE=-DE=5t

2

:.KF=KE-EF=5-2=3,

②由題意得：點戶在數(shù)軸上表示的數(shù)為5f,點Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為12+2，，點P追上點。時,

5r=12+2,,

解得：t=4,

I、點E是線段P。的“五美點”，則EP=?PQ或EP='PQ，

66

0PE~Q-M

???12-51=3乂（12+2/-5，）或12-5，=,又（12+21-57）,

66

解得:f/4或“9條0

Jy

H、點P是線段EQ的“五美點”，則EP=：EQ或"=!七。，

66

16.(1)解：???點A表示的數(shù)是-1,點3與點A互為相反數(shù)，

???點8表示的數(shù)是1.

點。表示的數(shù)是5,則4c=|5-(-1)|=6.

點3表小I,點C表不5,

???中點。表示的數(shù)是y=3,

表示點。如下：

ABDC

圖?

(2)解：①???點M表示的數(shù)是-g,M與例互為相反數(shù)，

???M表示的數(shù)是

5

???尸表示的數(shù)是4,且尸是陷“2的中點，設(shè)例2表示的數(shù)為X,則5+"_4，

1—4

2

解得x號.

11(5、

線段〃也的長度為不--5=8,

故答案為：：，?，8.

22

②：點M表示的數(shù)是加，

???M表示的數(shù)是一〃?.

???夕表示的數(shù)是-5,且P是必“2的中點，設(shè)川2表示的數(shù)為九則箋2=_5,解得y=〃L10.

.??腸也=|(〃10)-討=1°，即的值不變，為10.

③：點M表示的數(shù)是〃?，

???M表示的數(shù)是T〃.

???P表示的數(shù)是p,且尸是M附2的中點，設(shè)表示的數(shù)為y,則苫2=〃，

解得y=〃?+2p.

MM