第14章全等三角形（復習講義）

單元目標聚焦?明核心

1.掌握全等三角形的定義，理解"完全重合”的含義，理解全等三角形的對應關系（對應頂點、對應邊、

對應角）.

2.熟記5種判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）及其適用條件，能準確運用判定定理證明三角形全等.

3.會利用全等性質(zhì)進行幾何計算（求邊長、角度等），能解決實際生活中的測量問題（如河寬、高度測量）

知識圖造梳理?固基礎

全等圖形：形狀、大小完全相同的圖形，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后籟全重首廠）

定義

全等三角形：對應邊暗、對應角相等的兩個三角形，記作-AB6-DEF.）

SSS（硼邊）：H御噫）

頁"（邊角邊）：兩近遁莢角藐褥.:

判定方法ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對應畸.

全AAS（角角邊）:兩角及其中一角的對應相等.：J

［TT（直蒯-斜邊）；僅適用于直角三角形而邊和一M角邊對應相等.：

等

第濟形的崛曲暗.）

第濟形8W酶吟［）

性質(zhì)

全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等.］）

角全等三角形的周長相等，繇相等二）

形幾何證明：證明線段或角崎、平行凝直關蒸）

應用場景實際測量：利用全等三角形原理測量河寬、建筑物被等.）

對稱設計：建筑、藝術中的對稱結(jié)構(gòu)常隱含全等關家

SS6F能劃定全等：除非是百角三角形（HL）.）

易錯點提醒對應關系：寫全等符^時，頂點順腌瀕嚴格對瓦）

隱除件：公共邊、對頂角、平行線的內(nèi)錯角等常作為全等的關鍵條件.

教材要點精析?夯重點

?一、全等三角形的概念

全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.

【注意】全等形的形狀相同，大小相同，與圖形所在的位置無關，因此平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

國2、全等三角形的有關概念和表示方法；

（1）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

（2）三角形全等的符號：“全等”用符號“紗表示.

全等的表示方法：AABCq叢FDE

【注意】在記兩個一角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上.

（3）對應頂點、對應邊、對應角：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫

做對應邊；重合的角叫做對應角.

（4）尋找對應元素的規(guī)律

①有公共邊的，公共邊一般是對應邊；

②有公共角的.公共角一般是對應角：

③有對頂角的，對頂角一般是對應角；

④兩個全等三角形最大的邊是對應邊，最小的邊也是對應邊；

⑤兩個全等三角形最大的角是對應角，最小的角也是對應角.

團32、三種常見的全等類型：

（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋轉(zhuǎn)型.

全等變化：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀和大小都沒有改變，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等.

?二、全等三角形的性質(zhì)

團性質(zhì)1：全等三角形的對應邊相等.

性質(zhì)2：全等三角形的對應角相等.

拓展：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等.

②全等三角形的周長相等，面積相等.

【注意】

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊.

②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，i般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對

邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角.

?二、全等二角形的判定方法

★★利用“SSS”判定兩個三角形全等

文字語言：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊''或“SSS”.

幾何語言：在△ABC和aDEF中，

八D

AB=DE

BC=EF/\

CA=FD/

???AABC^ADEF(SSS).“L_________

★★利用“SAS”判定兩個三角形全等

1、文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，筒寫成“邊角邊”或“SAS”.

2、幾何語言：

A

在△ABC和△DEF中，

AB=DE/N

X

NB=NEWAII

IBC=EF

/.△ABC^ADEF(SSS).

3、方法：

(1)已知兩邊，可以找“夾角”；(2)已知一角和這角的一夾邊,可找這角的另一夾邊

【注意】1.有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.

2.說明兩三角形全等所需的條件應按對應邊的順序書寫.

3.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個三角形中.

★★利用“ASA”判定兩個三角形全等

1、文字語言：有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成''角邊角”或“ASA”).

2、幾何語言：在Z\ABC和△DEF中，

D

工

<AB=DE/

=ZE/\

HL---------------------CEz

.,.△ABC^ADEF(ASA).

★★利用“AAS”判定兩個三角形全等

1、文字語言：兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全察簡寫成“角角邊”或“AAS”.

2、幾何語言:

在ZXABC和4DEF中,

2=ND

NB=NE

IBC="

.??△AB3ZXDEF(AAS).

★★利用“HL”判定兩個三角形全等

1、文字語言：斜邊和?條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

2、幾何語言：

?：ZC=ZC'=90°

在Rt/XABC和RtAA'B'C'中,

(A8=口'口'

IBC=

ARtAABC^RtAA/B'C'(HL).

【注意】

“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.

3、判定兩個直角三角形全等的方法：

判定一般三角形全等的方法對判定兩個直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“SSS”“SAS”“ASA”

“AAS”“HL”這五種方法來判定兩個直角三角形全等.

考點題型突破?拓思維

型一全等三角形的概念

【例1】（25-26八年級上?吉林?階段練習）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）

【變式1-2］（25-26八年級上?江蘇徐州?階段練習）卜列汽車標志中，不是由多個全等圖形組成的是（)

【變式1-2］（25-26八年級上?廣東東莞?階段練習）下列說法正確的是（）

A.全等三角形是指形狀相同的兩個三角形

B.全等三角形的周長和面積分別相等

C.面積相等的兩個三角形是全等三角形

D.所有的等邊三角形都是全等三角形

題型二利用全等三角形的性質(zhì)求角.

【例2】（25-26八年級上?云南保山?階段練習）如圖，三△AB'C',則NC的度數(shù)是（）

A.107°B.73°C.56°D.51°

[變式2-1]（25-26八年級上?河南駐馬店?階段練習）如圖，△ABE三△ACD,AB=AC,BE=CD"=50°,

Z-AEC=120°,則心力4E的度數(shù)等于（）

A.120°B.70°C.60°D.50°

【變式2-2]（25-26八年級上?浙江杭州?階段練習）如圖，AOADOBC,且NO=80。，“=252則，D4C

的度數(shù)為（）.

100°C.105°D.130°

題型三利用全等三角形的性質(zhì)求線段長

【例3】（25-26八年級上?江蘇連云港?階段練習）如圖，ZMCE三△C8F,力。=10,BC=2,則48為（）

C.5D.4

【變式3-1]（25-26八年級上?安徽阜陽?階段練習）如圖，點3,C,。在同一直線上，若AABCEACDE,

DE=6,BD=20,則A8的長為（）

A

E

BCD

A.10B.12C.14D.16

【例4】如圖，△ABgAADE,N3AQ=40。，/。=50°,探索線段A。與3c的位置關系.并說明理由.

【變式4-1】己知△ABFg/XOCE,￡與〃是對應頂點.證明A/〃。E.

【變式4-2］如圖，AADFNACBE,且點E,B,D,尸在一條直線上.

⑴試判斷4D與BC的位置關系，并證明你的結(jié)論;

(2)試判斷B尸與DE的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.

型五利用SAS證明全等

【例5】(24-25八年級上?江蘇徐州?階段練習)如圖，OA=OC,OB=0D,^AOD=^COB.求證:

△AOB/ACOD.

【變式5-l】（25-26八年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，點A、E、F、C在一直線上，DEIIBF.DE=BF.AF=

CE,求證：ACDE三△4

【變式5-2］（25-26八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，=4及乙84。=乙￡4。4。=40,求證：BC=DE.

題型六利用AAS證明全等

【例6】如圖，在RtZkABC中，直角頂點A在直線/上，AB=AC,過點8、。分別作直線,的垂線，垂足

分別為Q、E.求證：△490三△G4E.

B

【變式6?1](25?26八年級上?湖北十堰?階段練習)如圖,乙4=匕氏點。在4C邊上，AE和8。相交于點0.

(2)若41二42,AC=BD,求證：AAEC"BED.

【變式6-2]如圖，Zi/IB。中，AD1BC,垂足為。，BE1AC,垂足為從40與8后相交于點八Bb'=AC.

(2)若。F=2,AF=3,求的長.

題型七利用ASA證明全等

【例7】已知：如圖，在Rb^ABC中，ZB=90°,BC±CD,Z)E_LAC于點E,AB=CE,求證：△ABC9

△CED.

【變式7-1】已知：如圖，NA=/8,AE=BE,N1=N2,點D在AC邊上.求證：△AEC@?BED.

【變式7-2］如圖，點C是線段48的中點，ZB=ZACD,AD//CE.求證：△ACQ空△C8E.

題型八利用SSS證明全等

【例8】如圖，AB=DC,AC=DB.求證：AABCWADCB.

A

【變式8-1］如圖，點8、E、C＞尸在同一直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求證：AABC三〉DEF.

【變式8-2］如圖，已知在△ADF和△C5E中，AD=CB,DF=BE,AE=CF＞求證:

(1)2ADF6CBE；

(2)/8=Z.D.

題型九利用HL證明全等

【例9】（23-24八年級下.山東濟南.開學考試）如圖，在△A8C中，。是8c的中點，DELAB,DFLAC,

垂足分別是E,F，且OE=D￡求證：Rt^BDEsRt^CDF.

A

【變式9-1］如圖，已知AQ,3C相交于點O,AB=CD,AM_L3C于點M,DN工BC于點、N,BN=CM.

求證：MBMq/XDCN.

【變式9-2］(25-26八年級上?山東前澤?階段練習)如圖①，AA=^D=90°,Z1B=0。，點E,F在8C上,

且BE=CF.

圖①圖②

(I)求證：AF=DE.

(2)如圖②，連接力E,D凡設尸交于點G,過點G作GH_LBC于點H,在不添加輔助線的前提下，直接寫

出圖②中的4對全等三角形［(1)中已證明過的除外］.

〔型上—添加條件使三角型全等I

【例10］如圖，已知乙1=42,則下列條件中，不能使A/BC成立的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC.Z.A=乙DD.LABC=Z.DCB

【變式10-11（25-26八年級上?浙江湖州?階段練習）如圖,已知z&4E=NB4O,AC=ADt增加下列條件:

@AB=AE；?BC=EDx③乙C=^D；=LE.其中能使△力BC三△4￡7）的條件有（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.?@?

【變式10-2］（25-26八年級上?陜西渭南?階段練習）如圖，已知力81AC,CDLBD,若用“HL”判定Rt△

ABC^Rt^DCB,還需補充一個條件，可以是（）

A.AE=CEB.AB=DCC.乙ACB=￡DBCD.BE=CE

【變式10-3］（25-26八年級上?全國?期中）如圖，點C,尸在線段8E上，4ABe=4。"=90°,BC=EF,請

只添加一個合適的條件，使XAEC為DEF.

A

2E

BCy

%

（1）根據(jù)“SAS”，需添加的條件是」根據(jù)“HL”，需添加的條件是一.

⑵請從（I）中選擇一種加以證明.

題型十一全等三角形的實際應用

【例11】如圖，小虎用10塊高度都是3刖的相同長方體小木塊,壘了兩堵與地面垂直的木墻,木墻之間剛

好可以放進一個等腰直角三角板（AC=BC,NAC8=90。），點。在。E上，點A和8分別與木墻的頂端

重合，則兩堵木墻之間的距離為C/M.

DCE

【變式11?1】如圖，要測量池塘的長度,但點凡C之間不能直接測量,已知點B,凡C,E在同一條直線2上,

小明想了個辦法先在侑勺一邊取了個點4連接48,再在I的另一邊取了個點0,使得A8IIDE,且41=乙。,

同時48=DE.

A

D

(1)求證：^ABC=^DEF；

⑵若BE=10m,BF=3m,求FC的長.

【變式11-2］（25-26八年級上?遼寧撫順?階段練習）小麗與小琳在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的

起始位置力處，。4與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，小琳在距04水平距離BD=0.8m的B處接住她后

用力一推，當秋千擺動到最高點C處時，小麗距離地面的高度EM為1m,已知/B0C=90°,BD1。力于點D,

CELOA于點E.

⑴求證：ACEOsAODB；

⑵為了安全考慮規(guī)定戶外秋T設置高度在2m以卜.，小麗所在公園的秋千高度0M設置是否合理？為什么？

［?121（25-26八年級上?吉林松原?階段練習）如圖,8。=BC,BE=CA,乙DBE="=61SZBDE=76°.

（2）求乙AFD的度數(shù).

【變式12-1］（25-26八年級上?浙江溫州?階段練習）如圖，△ABC中，AB=AC=4,BC=6,點、D、七分

別在BC、4c上，且NB=Z_1=4C,^AD=DE.

A

E

BD

(1)求證：^ABD^^DCEx

(2)直接寫出力E的長.

【變式12-2](25-26八年級上泗川南充?階段練習)如圖，在A48C中，4。1BC于點。，E為AC上一點,

RBF=AC,DF=DC.

A

(1)求i正：△BD/gA/DC

(2)若力尸=2,口)=3,試求△48C的面積.

【變式12-2]如圖①，點4、E.F.。在一條直線上，AE=CF,過點E、尸分別作。E_L4GBF^AC.連

接48、CD,且使AB=CD.

（1）求證：BD平分EF；

（2）若將△OEC的邊EC沿AC方向移動，AB處的邊胡沿C4方向移動，變?yōu)槿鐖D②所示時，其余

條件不變，上述結(jié)論是否還成立；若成立，請說明理由.

【例13］如圖，ZABC=90°,胡_L48于點4,點。在直線A8上，AD=BC,AF=BD.

（1）如圖1，若點。在線段48上，判斷。尸與。C的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；

（2）如圖2,若點。在線段的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由.

【變式13-1］如圖，在△/WC中，AB=AC,DE是過點A的直線，BDJ.DE于D,CE上DE于點E.

（1）若8、。在0E的同側(cè)（如圖所示）且40=C￡求證：AB1AC；

AE

D

BC

（2）若B、。在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，與4c仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說

明理由.

【變式13-2］（1）如圖1,直線用經(jīng)過等腰直角AABC的頂點A,過點8、C分別作8Q_L〃?，CELm,垂

足分別為。、從求證：BD+CE=DE；

（2）如圖2,直線加經(jīng)過△ABC的頂點A,AB=AC,在直線，〃上取兩點D,E,使NAOB=N4EC=a,

補充NB4C=（用a表示），線段B。，CE與OE之間滿足8D+CE=OE,補充條件后并證明;

（3）在（2）的條件中,將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)?個角度到如圖3的位置，并改變條件NAO8

=ZAEC=（用a表示）.通過觀察或測量，猜想線段3Q,CE與。E之間滿足的數(shù)量關系,

并予以證明.

【例14］如圖，在四邊形/WC。中，AB//CD,ZABC.NBC。的平分線交4。于點￡

【變式14-1］在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復習課，學習過七種作輔助

線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題:

已知，如圖，在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,。為4。上任一點,

求證：AB-AOPB-PC.

【變式14-1］截長補短法”證明線段的和差問題：

先閱讀背景材料，猜想結(jié)論并填空，然后做問題探究.

背景材料：

(1)如圖1：在四邊形/WCO中，AB=AD,ZZ?AD=120°,/8=NAQC=90。，E,尸分別是3C,CD

上的點，且/￡4/=60°.探究圖中線段/祖，EF,b。之間的數(shù)最關系.探究的方法是，延長FD到點G.使

DG=BE,連接AG,先證明△口￡：空zMOG,再證明△AE/WZ\AGF,可得出的結(jié)論是.

探索問題：

1

⑵如圖2,若四邊形48CO中，AB=4。，ZB+ZZ)=I8O°,E,產(chǎn)分別是BC,CQ上的點，且

BAD,上述結(jié)論是否仍然成立？成立的話，請寫出推理過程.

71

圖1圖2

題型十五利用倍長中線構(gòu)造全等三角形

【例15】在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中,有一種方法叫作倍長中線法，

【舉例】如圖1,在△49C中，AB>AC,40是中線,延長4。至點:E,使。E=04,可得△4QC三△E09.請

你說明理由.

【應用】如圖2,AB=AE,AB1AE,AD=AC,AD1AC,M為BC中點，求證：OE=24M.

AE

vBMC

E

圖1圖2

【變式15-1】【發(fā)現(xiàn)問題】

(1)數(shù)學活動課上，老師提出了如下問題：如圖1,在△48C中，AB=8,AC=6,AD是△ABC的中線,

求？ID的取值范圍.

【探究方法】第?小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長力。到E,使得。E=/1D：②連接BE,

通過三角形全等把4鳳4C、24。轉(zhuǎn)化在AjBE中；③利用三角形的三邊關系可得力E的取值范圍為48-

BE<AE<AB+BE,從而得到力0的取值范圍是.

方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形

【問題拓展】

(2)如圖2,04=08,0C=0D,乙A0B與4C0D互補，連接AC、BD,E是AC的中點，試說明：0E=

(3)如圖3,在(2)的條件下，若4108=900,延長E0交于點F,。尸=3,0E=5,請求出△AOC的

面積.

4cD*

BB

圖1圖2圖3

【變式15-2】綜合與實踐

【問題情境】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1,△/18C中，若43=6,AC=4,求邊上的中線力。的取值范圍.

小明在組內(nèi)和同學們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長A。到E,使=連接請根據(jù)小

明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△40C三△ED8,依據(jù)是；

A.SSSB.AASC.SASD.HL

（2）由“三角形的三邊關系“，可求得4。的取值范圍是.

解后反思：題忖中出現(xiàn)“中點”“中線''等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證

的結(jié)論集合到同一個三角形中.

［初步運用］

（3）如圖2,力。是△48。的中線，8E交4c于E,交4。FF,AE=EF.若EF=3,EC=2,求線段B尸的長.

圖1圖2

7q

分層階梯訓練?提能力

基礎鞏固通關測

1.（25-26八年級上.吉林長春?階段練習）如圖，△48C沿邊8c所在直線向右平移到△DEF,下列結(jié)論中不

正確的是（）

A.△ABC=△DEFB.乙DEF=乙BC.BE=CFD.AB=DF

2.（25-26七年級上?山東泰安?階段練習）已知，如圖三△4OE,AE=AC,Z,CAE=20°,則乙的

C.80°D.20°

3.（25-26八年級上?甘肅張掖?階段練習）貴州的傳統(tǒng)建筑多采用木結(jié)構(gòu)，其中樺卯結(jié)構(gòu)是一種常見的連接

方式，不僅美觀，而且具有很強的穩(wěn)定性和耐久性.如圖，工匠將兩塊全等的木楔S/BC三AOE/）水平釘

入長為10cm的長方形木條中（點8,C,F,E在同一條直線上），若CF=2cm,則木楔8c的長為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.（25-26八年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，AB=DB,乙1=42,添加下列條件，不能判定△ABC三△08E

的是（）

D

A

B

A.BC=BEB.AC=DE

C.Z-A=乙DD.=乙DEB

5.（25-26八年級上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?階段練習）如圖，在中，CDJ.AB千點D,石是C。上一點,

若公BDEWACDA,AB=15,/IC=10,△BOE的周長為（）

25C.22D.26

6.（2025八年級上?全國?專題練習）如圖，在長方形力BCD中，AB=4,AD=6,延長8C到點E,使CE=2,

連接DE,動點尸從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BCTCD-DA向終點A運動.設點9的運動時間

為￡s,以4叢尸三點為頂點構(gòu)成的三角形與△OCE全等時，t的值為（）

C.1或7D.3或7

7.如圖所示，在△ABC中，點E是4c邊上一點，且AB=EB,點。在AC上，連接4。，DE,若AD=ED,

NA=80°,ZCDE=40°,則NC的度數(shù)為

8.如圖，ABLCD,且人8=CO,連接人。，CELAD于點E,BFtAD于點、F.