5.1.2弧度制

題型一：弧度化為角度

1.（24-25高一下?江西階段練習(xí)）把詈化成度的結(jié)果為（）

IL

A.85°B.105°C.165°D.215°

2.（24-25高一上?山東荷澤?階段練習(xí)）（）

O

A.120B.150C.210D.240

3.（24-25高一上?廣東?期末）在半徑為4的圓中，弧長為3兀的弧所對的圓心角為

（）

A.45B.90C.120D.135

4.（25-26高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）己知。=65。,尸=3,/=告，則a，/，y間的大小關(guān)

6

系為.

題型二：角度化為弧度

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）將52。34化為弧度是（）

2.（24-25高一下?安徽亳州?期中）200化成弧度是.

3.（24-25高一下?上海?期中）我校第一節(jié)課從8:00到8:40,在此期間時鐘分針轉(zhuǎn)

過了弧度.

4.（24-25高一下?上海寶山?期末）某扇形的弧所對的圓心角為54。，且半徑等于5,

則其面積為一.

題型三：弧長公式的應(yīng)用

1.（25-26高二上?遼寧?開學(xué)考試）一扇形的圓心角為30。,半徑為4,則弧長為

該扇形的面積為.

2.（24-25高一上?四川瀘州?期末）已知弧長為江的弧所對的圓心角為則該弧

所在的扇形面積為.

3.（25-26高一上?全國?單元測試）如圖1是一款扇形組合團(tuán)圓拼盤，其示意圖如

圖2所示，中間是一個直徑為24cm的圓盤，四周是8個相同的扇環(huán)形小拼盤，

組拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團(tuán)圓若A8的長為等cm,則

每個扇環(huán)形小拼盤的面積為cm2（結(jié)果中可以含兀）.

圖1圖2

4.（24-25高二下?江蘇常州?期末）已知扇形的圓心角為75,半徑為6,則該扇形

的弧長為（）

A.-B.5D.571

2

能力提升題

題型一：利用弧度制表示角

1.（24-25高一下?上海徐匯?期中）1小時內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過了.（用弧度制表示）

2.（24-25高一上?全國?隨堂練習(xí)）與60。角終邊相同的角可以表示為（）

A.四+h360。（&€2）B.60。+弧（攵eZ）

3

C.60。+2公360。仕岡D.|+2^（jtsZ）

3.（24-25高一下?山東聊城?開學(xué)考試）用弧度表示第二象限的角的集合

4.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）如圖，分別用弧度制寫出適合下列條件的角的

集合.

（1）終邊落在射線（加上；

（2）終邊落在直線OA上：

（3）終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）.

題型二：確定n倍角所在象限

1.（24-25高一上?上海,課堂例題）已知角多是第一象限角，則。的終邊位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第一或第二象限D(zhuǎn).第一或第二象限或丁軸的非負(fù)半軸上

2.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）若。是第一象限的角，則多是第幾象限的角？2a是

第幾象限的角？

3.（多選題）（23-24高一上?河北保定?期中）設(shè)。為第二象限角，則2a可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）若°=匕360+24,keZ,試確定2a是第兒象限

角.

題型三：扇形面積公式的應(yīng)用

1.24-25高一上?天津?階段練習(xí)）一扇形的面積為上，圓心角大小為120,則該扇

形的弧長為（）

A.-B.]■nC.兀D.—71

333

2.（25-26高一上.全國.單元測試）折扇與書畫結(jié)合，使其成為書畫藝術(shù)的特殊載

體，具有文化和歷史價值.如圖是一幅書法折扇的一部分,則該扇面的面積為（）

60cm

A.1000cm2B.900cm2C.800cm2D.700cm2

3.（25-26高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）小明同學(xué)在公園散步時，對公

園的扇形石雕（如圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（如圖2）,在

扇形AO3中，/AOB=號,OA=10cm,則扇形4。3的面積為cm2.

圖1圖2

4.（23-24高一下?湖北十堰?階段練習(xí)）扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久.最早關(guān)「?扇面

書畫的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時期，折扇開始逐漸的成為

主流如圖，該折扇扇面畫的外弧長為24,內(nèi)弧長為10,且該扇面所在扇形的圓心角約為120。,

則該扇面畫的面積約為（）（冗之3）

A.185B.180C.119D.120

c

1.（25?26高一上,全國,課后作業(yè)）（多選）關(guān)于弧度制說法正確的是（）

A.角的度數(shù)和弧度數(shù)是一一對應(yīng)的

B.用角度制度量角，與其所在的圓的半徑無關(guān)；用弧度制度量角，與其所

在的圓的半徑有關(guān)

C.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角

D.用弧度制度量角，該角必為正角

2.（25-26高二上?遼寧,階段練習(xí)）已知某扇形折疊扇的面積為200,周長為60,

且扇形弧長大于其半徑，則該扇形折疊扇的半徑和圓心角的大小分別為（）

A.10,4B.20,4C.10,6D.20,6

3.（24-25高一下.貴州六盤水.期末）已知扇形的圓心角為60、孤長為2兀，則該

扇形的面積為（）

A.3兀B.6兀C.5兀D.4兀

4.（24-25高一上?四川廣安?開學(xué)考試）如圖，已知點是以A8為直徑的半圓0

的三等分點，弧。。的長為方，則圖中陰影部分的面積為（）

A-?B-SC.或D.力乎

5.1.2弧度制

題型一：弧度化為角度

1.（24-25高一下?江西階段練習(xí)）把詈化成度的結(jié)果為（）

1L

A.85°B.105°C.165°D.215°

【答案】C

【知識點】弧度化為角度

【分析】根據(jù)弧度和角度的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得正確的選項.

【詳解】巖=些=165。.

1212n

故選：C.

2.（24-25高一上?山東荷澤?階段練習(xí)）*（）

6

A.120B.150C.210D.240

【答案】C

【知識點】弧度化為角度、弧度的概念

【分析】根據(jù)弧度和角度的對應(yīng)關(guān)系可得答案.

【詳解】由題意得，?=[xi8（r=2ur.

0O

故選：C.

3.（24?25高一上?廣東?期末）在半徑為4的圓中，弧長為3兀的弧所對的圓心角為

（）

A.45B.90C.120D.135

【答案】D

【知識點】弧度化為角度、弧長的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)弧長公式和弧度與角度的轉(zhuǎn)換計算.

【詳解】弧長為3兀的弧所對的圓心角為學(xué)rad=135.

4

故選：D.

Sir

4.（25?26高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）已知。=65。,/=3/=?,則以△/間的大小關(guān)

O

系為.

【答案】ct<y<P

【知識點】弧度化為角度

【分析】將三個角統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為角度進(jìn)行比較即可.

【詳解】出題意可得夕=3x（理卜3/57.30。=171.9。，z=

I7TJ6I兀J

所以a

故答案為：a<y<0.

題型二：角度化為弧度

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）將52。3（丫化為弧度是（）

77r-7兀47兀?7兀

A.R.—C.—D.—

24251252

【答案】A

【知識點】角度化為弧度

【分析】根據(jù)角度制轉(zhuǎn)化為弧度制的方法求得正確答案.

【詳解】52°30x=—x—rad=—^rad.

218024

故選：A

2.（24-25高一下?安徽亳州?期中）200化成弧度是.

r【死答案中】Y—1°萬J。

【知識點】角度化為弧度

【分析】利用弧度與角度之間的轉(zhuǎn)化規(guī)則計算.

【詳解】因1。=意，W200=200x^=1^.

故答案為：竽

3.（24-25高一下?上海?期中）我校第一節(jié)課從8:00到8:40,在此期間時鐘分針轉(zhuǎn)

過了弧度.

【答案】-竽/-夕

【知識點】角度化為弧度

【分析】首先求出轉(zhuǎn)過的角度，再轉(zhuǎn)化為弧度制.

【詳解】分針一小時轉(zhuǎn)過-360’,所以從8:00到8:40轉(zhuǎn)過了-360、2=-2%

OU

在此期間時鐘分針轉(zhuǎn)過了-240x去=-￥（弧度）.

1o（）3

故答案為:-y

4.（24-25高一下?上海寶山?期末）某扇形的弧所對的圓心角為5%且半徑等于5,

則其面積為一.

【答案】等

4

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、角度化為弧度

【分析】根據(jù)已知求出圓心角的弧度，再由扇形面積公式求面積.

【詳解】由題設(shè)，圓心角為號、54。=務(wù)

所以扇形面積為:X評52二個.

故答案為：-y-

題型三：弧長公式的應(yīng)用

1.（25-26高二上?遼寧?開學(xué)考試）一扇形的圓心角為30。，半徑為4,則弧長為

該扇形的面積為.

【答案】濟(jì)尸T

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、弧長的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式計算即得.

【詳解】因為圓心角為？，半徑為4,

0

所以弧長為齊4=斗，該扇形的面積為9等4=4.

63233

故答案為：y；y

2.（24-25高一上?四川瀘州?期末）已知弧長為乃的弧所對的圓心角為?，則該弧

所在的扇形面積為.

【答案】y

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用、弧長的有關(guān)

計算

【分析】根據(jù)弧長及扇形面積公式計算求解即可.

【詳解】設(shè)扇形的半徑為「，弧長為江的弧所對的圓心角為?，所以兀=1?「，所

以r=3,

則該弧所在的扇形面積為:x兀x3=T九

故答案為：4

3.（25-26高一上.全國.單元測試）如圖1是一款扇形組合團(tuán)圓拼盤，其示意圖如

圖2所示，中間是一個直徑為24cm的圓盤，四周是8個相同的扇環(huán)形小拼盤,

組拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團(tuán)圓若A8的長為3cm,則

每個扇環(huán)形小拼盤的面積為cm?（結(jié)果中可以含兀）.

圖1圖2

189n

【答案】

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用

【分析】利用扇形面積公式即可求得每個扇環(huán)形小拼盤的面積.

【詳解】如圖，延長扇環(huán)形的線段交于小圓圓心。，則夕=①=12,

設(shè)OA=Q4=R,每個扇環(huán)形小拼盤所在扇形的圓心角為"生

84

則A8的長為。氏=腎，解得R=30,

所以每個扇環(huán)形小拼盤的面積為：

1897r

9(cm?)

'儂形Q.A8~2~

1897r

故答案為:

2

4.（24-25高二下.江蘇常州.期末）已知扇形的圓心角為75,半徑為6,則該扇形

的弧長為（）

A.B.5C.當(dāng)D.5兀

22

【答案】C

【知識點】角度化為弧度、弧長的有關(guān)計算

【分析】將圓心角化為弧度制，根據(jù)扇形的弧長公式即可求解.

【詳解】75=75x—=—,

…十語/18012

所以扇形的弧長為/=^x6=g.

故選：C.

B能力提升題

題型一：利用弧度制表示角

1.（24-25高一下?上海徐匯?期中）1小時內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過了.（用弧度制表示）

【答案】-12O7T

【知識點】任意角的概念、用弧度制表示角的集合

【分析】利用任意角的定義結(jié)合弧度制的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為1小時內(nèi)分針轉(zhuǎn)過了-2叫所以1小時內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過了-12加.

故答案為：-120兀

2.（24-25高一上?全國?隨堂練習(xí)）與60。角終邊相同的角可以表示為（）

A.1+h360。（丘Z）B.60。+?。╧wZ）

C.60°+2^-360°（^eZ）D.1+2履儀eZ）

【答案】D

【知識點】找出終邊相同的角、用弧度制表示角的集合

【分析】運(yùn)用終邊相同角的概念，結(jié)合弧度制可判斷.

【詳解】A,B弧度角度混月，錯誤.

與60。角終邊相同的角可以表示60。+公360。仕eZ）,則C錯誤.

弧度制下表示為1+2而（AeZ）,則D正確.

故選：D.

3.（24-25高一下?山東聊城?開學(xué)考試）用弧度表示第二象限的角的集合

【答案】（5+2也通+2履）（攵eZ）

【知識點】用弧度制表示角的集合

【分析】直接利用象限角的表示方法寫出結(jié)果即可得.

【詳解】第二象限的角的集合可表示為旨2版，兀+2屋|（丘Z）.

故答案為：（尹2團(tuán)兀+2E）（攵eZ）..

4.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）如圖，分別用孤度制寫出適合下列條件的角的

集合.

（1）終邊落在射線06」.；

（2）終邊落在直線04上:

⑶終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）.

【答案】⑴S]=1aa=g+2EMez）

（2）S2=?aa=2+eZ，

\a\—+kn<a<—+/cji,kGZ

⑶$3=[|63

【知識點】找出終邊相同的角、用弧度制表示角的集合、根據(jù)圖形寫出角（范同）

【分析】（1）可得出終邊落在射線。8上的?個角為三，利用終邊相同的角的集

合可得出終邊落在射線。3上的角的集合；

（2）可得出終邊落在射線08上的一個角為利用終邊相同的角的集合可得出

O

終邊落在射線04上的用的集合；

（3）分別寫出第一象限和第三象限中陰影部分區(qū)域所表示的角的集合，然后將

兩個集合取并集可得出結(jié)果.

【詳解】（1）終邊落在射線08上的一個角為《，則終邊落在射線。B上的角的

集合為E=?aa=—+2ht,keZ■?

3

（2）終邊落在射線。5上的一個角為%則終邊落在直線04上的角的集合為

0

S、a=—+kn,kGZ>：

6

（3）終功落在第一象限中的陰影部分區(qū)域的角的集合為

-a—+2E<a<—+2E.Aezk

63

終邊落在第三象限中的陰影部分區(qū)域的角的集合為

a——+2而<a<——+2阮,keZ，

63

因此，終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為

a-+-+E,keZ?.

63

題型二：確定n倍角所在象限

1.（24-25高一上?上海,課堂例題）已知角多是第一象限角，則々的終邊位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第一或第二象限D(zhuǎn).第一或第二象限或V軸的非負(fù)半軸上

【答案】D

【知識點】確定n倍角所在象限

【分析】由象限角可得到角掾的范圍，進(jìn)而可求得。的范圍，即可得出。的終邊所在位置.

【詳解】團(tuán)由角讀Cf是第?象限角所得2E<a]<2E+/TTwZ,

團(tuán)4E<a<4而+元,4eZ.

即a的終邊位于第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上.

故選:D.

【點睛】本題考查了象限用，熟練利用角的范圍是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）若a是第一象限的角，則三是第兒象限的角？2a是

第幾象限的角？

【答案】言是第一象限或第三象限的角，2a是第一象限或第二象限的角或在y

軸的非負(fù)半軸上.

【知識點】確定n分角所在象限、確定n倍角所在象限

【分析】由。的范圍，求出多,2。的范圍，分類討論可得到角的象限.

【詳解】因為。是第一象限角，

所以?！辏?女兀,24兀+］）,ksZ,

所以與E+；）,kjZ、

當(dāng)女=2”,“eZ時，—€（2njtr2nn-t—）,〃eZ,不在第象限;

當(dāng)左=2〃+1,〃￡2時，.\—e（2/171+n,2/iK+—）,neZ,g■在第三象限；

24"2

所以I■是第一象限或第三象限的角.

因為2aw（4時.4妹+冗），ZeZ.

所以2a是第一象限或第二象限的角或在｝，軸的非負(fù)半軸上.

3.（多選題）（23-24高一上.河北保定?期中）設(shè)。為第二象限角，則2a可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】CD

【知識點】確定n倍角所在象限

【分析1。為第二象限角，得至IJ4E+兀<2av4E+2兀（ZwZ）,得到答案.

【詳解】a為第二象限角,故2E+3<a<2E+7c（kwZ）,

所以4履+it<2a<4kn+2n（kGZ）,

所以勿可能是第三象限角，也可能是第四象限角，或y軸的負(fù)半軸.

故選：CD

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）若a=h360+24,hZ,試確定2a是第幾象限

角.

【答案】2a為第一象限角

【知識點】確定n倍角所在象限

【分析】根據(jù)已知求得2a,即可判斷所在象限.

【詳解】由a=h360+24得：2a=2&-360+48仕eZ）,

???2a為第一象限角.

題型三：扇形面積公式的應(yīng)用

L24-25高一上?天津?階段練習(xí)）一扇形的面積為上，圓心角大小為120,則該扇

形的弧長為（）

A.-B.多C.兀D.:兀

333

【答案】D

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、弧長的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)給定條件，利用弧長及扇形面積公式列式求解.

【詳解】設(shè)該扇形所在圓半徑為「，貝=解得〃=2，

所以該扇形的弧長為三=號.

j3

故選：D

2.（25-26高一上?全國?單元測試）折扇與書畫結(jié)合，使其成為書畫藝術(shù)的特殊載

體,具有文化和歷史價值.如圖是一幅書法折扇的一部分，則該扇面的面積為（）

60cm

20cm20cm

A.1000cm2B.900cnrC.800cm2D.700cm2

【答案】B

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用

【分析】設(shè)A。與4c的延長線交于圓心。，圓心角ZAOA=a,扇形半徑。人=尸,

根據(jù)弧長公式結(jié)合題意列方程組求出再由扇形面積公式即可計算得解.

【詳解】如圖，ADHBC的延長線交于圓心。，

f60=ar

設(shè)圓心角ZAO8=a,扇形半徑。4=「，則＜_，解得a=1.5,r=40,

JU—CZI?—ZUI

則該扇面的面積為gx40x60-gx30x（40-20）=900cnf.

故選：B

3.（25-26高三上.海南省直轄縣級單位.階段練習(xí)）小明同學(xué)在公園散步時，對公

園的扇形石雕（如圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（如圖2）,在

扇形AOB中，ZAOB=當(dāng),Q4=10cm,則扇形AOB的面積為cm2.

圖1圖2

【答案】竿

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算

【分析】設(shè)扇形的圓心角為。，扇形的半徑為L根據(jù)扇形的面積公式S磁/

計算即可.

【詳解】在扇形A03中，因為。=44。3=著，r=O4=10cm,

所以由扇形面積公式可知片'明早..

故答案為：詈

4.（23-24高一下?湖北十垠?階段練習(xí)）扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久.最早關(guān)于扇面

書畫的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時期，折扇開始逐漸的成為

主流如圖，該折扇扇面畫的外弧長為24,內(nèi)弧長為10,且該扇面所在扇形的圓心角約為120。,

則該扇面畫的面積約為（）（兀。3）

A.185B.180C.119D.120

【答案】C

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用

【分析】首先由弧長和圓心角求出外弧半徑與內(nèi)弧半徑，再根據(jù)扇形面積公式S=用

大扇形面積減去小扇形面積，即可求得答案.

【詳解】設(shè)外弧長為4,外弧半徑為心內(nèi)弧長為4,內(nèi)弧半徑為4,該扇面所在扇形的圓

心角為a,

團(tuán)扇形的弧長為/=。-，

/.36/,15

回（=」-=——，r---—,

a7ta2n

團(tuán)扇形的面積為S

2

回該扇面畫的面積為S=r,=1x24x至一1>10><"=空。119,

2227i2nn

故選：C.

1.（多選）（25?26高一上?全國?課后作業(yè)）關(guān)于孤度制說法正確的是（）

A.角的度數(shù)和弧度數(shù)是一一對應(yīng)的

B.用角度制度量角，與其所在的圓的半徑無關(guān)；用弧度制度量角，與其所

在的圓的半徑有關(guān)

C.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角

D.用弧度制度量角，該角必為正角

【答案】AC

【知識點】弧度的概念

【分析】根據(jù)弧度制的概念逐項判斷即可.

【詳解】角的度數(shù)和弧度數(shù)是一一對應(yīng)的，A說法iF確：

無論是用角度制還是弧度制度量角，角的大小均與其所在的圓的半徑無關(guān)，B說

法錯誤；

1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，C說法正確；

用弧度制度量角，該角可為正角，可為負(fù)角，也可為零角，D說法錯誤，

故選：AC

2.（25-26高二上?遼寧,階段練習(xí)）己知某扇形折疊扇的面積為200,周長為60,

且扇形弧長大于其半徑，則該扇形折疊扇的半徑和圓心角的大小分別為（）

A.10,4B.20,4C.1（）,6D.20,6

【答案】A

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用、弧長的有關(guān)

計算

【分析】由扇形的周長和面積公式聯(lián)立計算即得.

【詳解】設(shè)該扇形折疊