2025-2026學(xué)年江蘇省無錫市湖濱中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A..r+l=0B.x2-l=0C.x（x+1）=x2+\D.；?了-2

2.若。O的直徑為80〃,點(diǎn)A到圓心O的距離為40〃,那么點(diǎn)力與30的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)力在圓外B.點(diǎn)/在圓上C.點(diǎn)力在圓內(nèi)D.不能確定

3.肚臍眼是人上下身的分界點(diǎn)，已知某人的肚臍眼恰好是他的身高的黃金分割點(diǎn)，且他的上身比下.身長(zhǎng)，

若該人的身高約為1.8米，則他的上身長(zhǎng)度約為（）（精確到0.1米）

A.0.9米B.1.0米C.I.1米D.1.2米

4.關(guān)于x的一元二次方程x2+〃a-8=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

5.我國(guó)學(xué)者墨子在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實(shí)驗(yàn)的做法與成因.圖1是小孔成像實(shí)驗(yàn)圖，抽象為數(shù)學(xué)模型

如圖2所示.已知4。與BD交于點(diǎn)O,/BIICD.若點(diǎn)。到48的距離為點(diǎn)。到CQ的距離為15皿蠟燭

火焰AB的高度是則蠟燭火焰倒立的像CD的高度是（）

10cm

圖I&

5I

A.3c7〃B.vmC.onD.4cm

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)（0,4）,B（-4,4）,C

（62）都在。〃上，則。A7的半徑為（）

A.2、52

B.2

C.2\5

D.2?+2

7.要組織?次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都賽兩場(chǎng))，計(jì)劃安排30場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)

球隊(duì)參加比賽？設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，則可列方程為()

A.：?1)-30B.\1)C.x(x+1)=30D.x(x-1)=30

8.下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：

①任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；

②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；

③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；

④圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；

⑤三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

止確的個(gè)數(shù)是()

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.對(duì)于代數(shù)式M、N,定義新運(yùn)算M?N=W-MN-格則下列說法正確的個(gè)數(shù)為()

①若(2x)01=1,則上:或1

②若方程/+5x+3=0的解為a、"則a^b的值為jv133

③若關(guān)于x的方程|28(x-1)|=x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則

-瓜9〈瓜

A.0B.1C.2D.3

10.如圖，/必為。O的直徑，49=2,C為前的中點(diǎn)，連接OC,點(diǎn)。在射線區(qū)

4C上，連接8Q,取8。的中點(diǎn)￡,過E作E/U8D交OC于凡連接下列\(zhòng)

結(jié)論：①DF1BF；②EC=EF；③乙OFB"DB；@D('.為定值2.其//FQ^\

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()(/

A.I個(gè)AOB

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

11.方程x?=3x的解為:

12.若一元二次方程h2=1沒有實(shí)數(shù)根，則〃的值可以是_.(寫出一個(gè)即可)

13.如圖，直線川網(wǎng)/3,直線4C和被小11，/3所截，AB=5,BC=6,EF=4,則OE

的長(zhǎng)為______.

14.已知△力AC,AC=5,8c=12,48=13,則它的內(nèi)切圓的半徑為一.

15.如圖，在△48C中，48=10"?6c=20°加,點(diǎn)尸從點(diǎn)力開始沿邊48向點(diǎn)

B以\cmfs的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm!s的速度

移動(dòng).若點(diǎn)尸、0分別從點(diǎn)力、4同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過一秒鐘，4PBQ與

△力8。相似.

16.如圖，一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5c7〃，瓶?jī)?nèi)原有液體的最大深度C/>4c〃?.部分液體蒸發(fā)后,

瓶?jī)?nèi)液體的最大深度下降為2cm,則截面圓中弦48的長(zhǎng)減少了cm(結(jié)果保留根號(hào)).

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1.對(duì)于的弦月6和不在直線48

上的點(diǎn)C,給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線44的對(duì)稱點(diǎn)。在。。上或其內(nèi)部，

且乙1C4=a,則稱點(diǎn)C是弦力8的“a可及點(diǎn)”.點(diǎn)力(0,1),4(1,0).

①在點(diǎn)G(2,1),Cj(-?,0),d(3,1)中，點(diǎn)—是弦彳8的“a可及點(diǎn)”；

②若點(diǎn)。是弦力4的“90°可及點(diǎn)”，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的最大值為一.

18.矩形力8c。中，月8=1,力。=2,點(diǎn)M是4D中點(diǎn)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，AMD

沿BC邊運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止，四邊形MN8W與四邊形MNBA關(guān)于直線MN

對(duì)稱，設(shè)8N=x,四邊形MN8R與矩形力8CO重疊部分的面積記為S.

①當(dāng)點(diǎn)歷、A'、。三點(diǎn)共線時(shí)，則尸—；

BN

②求S關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式—.

三、解答題：本題共10小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題8分)

解下列方程：

(1)(2x-l)2-3=0；

(2)xMx+lR.

20.(本小題8分)

關(guān)于X的一元二次方程/+(22+1)工+公+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根不、X2.

(1)求實(shí)數(shù)2的取值范圍；

(2)若方程的一個(gè)根是-1,求另一個(gè)根及人的信.

21.(本小題10分)

如圖，在四邊形力EC力中，連接BD,點(diǎn)E在BD上,連接CE,若

z.l=z.2.

(1)求證：XABDsXEDC.

(2)若2=130°,BE=BC,求〃)8C的度數(shù).

22.(本小題10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，。的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,-2),B(2,-1),C(4,-3).

(1)畫出△力臺(tái)。關(guān)于x軸對(duì)稱的△4SG；

(2)以點(diǎn)。為位似中心,在網(wǎng)格中畫出的位似圖形蘇2c2,使△小82c2與△小4cl的相似比為

2：1：

(3)設(shè)點(diǎn)尸(4,分)為△/AC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后點(diǎn)夕在△力232c2內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2的坐標(biāo)是______.

23.（本小題10分）

如圖，在半。。中，直徑48的長(zhǎng)為6,點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，過圓心。作力5的垂線交線段力C的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)D,交弦BC于點(diǎn)E.

（1）求證：4￡>=乙4RC：

（2）若OE=CE,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)和加）.

24.（本小題10分）

如圖，為。。的直徑，CO為0。的弦，且CQ1/14垂足為A7,NC4A的平分線4七交。。于點(diǎn)E,過點(diǎn)E

作EFLAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（I）求證：EE是。。的切線；

（2）若CD=24,求E"的長(zhǎng).

tfsl'

F

25.（本小題10分）

如圖，矩形48CQ中，4B=4,BC=5,￡是C。邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在8c邊上，且滿足“￡C=/D4P.

（1）請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在所給的圖中作出符合條件的點(diǎn)。（不要求寫作法，但保留作圖痕跡）；

（2）若CE=1,試確定8P的長(zhǎng).

26.（本小題1（）分）

2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)吉祥物“巳升升”，設(shè)計(jì)靈感來源于中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“已”

字，采用青綠色為主色調(diào)，外形憨態(tài)可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，在市場(chǎng)上一度走紅.

據(jù)統(tǒng)計(jì)，某電商平臺(tái)2024年12月份“已升升”的銷售量是5萬件，2025年2月份的銷售

素材1

量是7.2萬件.

素材2某實(shí)體店“已升升”的進(jìn)價(jià)為每件6（）元，若售價(jià)定為每件100元，則每天能銷色20件.

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出2件，為了推廣宣傳，商家決定降價(jià)促

素材3

銷，同時(shí)盡量減少庫存.

問題解決

任務(wù)1（1）確定增長(zhǎng)率若月平均增長(zhǎng)率相同，求月平均增長(zhǎng)率.

任務(wù)2（2）確定銷售價(jià)格若使每天銷售獲利為1200元，求每件的售價(jià)應(yīng)降低多少元？

根據(jù)上述素材，解決任務(wù)1、任務(wù)2的問題.

27.（本小題10分）

已知平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心，5為半徑的。。交y軸的正半軸于點(diǎn)P,小剛同學(xué)用手中的三角

板Q8=90°,^ACB=30°,49=8）進(jìn)行了如下的實(shí)驗(yàn)操作:

（1）如圖1,將三角板的斜邊放置于x軸上，邊44恰好與。。相切于點(diǎn)。，則切線長(zhǎng)力。=

（2）如圖2,將三角板的頂點(diǎn)力在。。上滑動(dòng)，直角頂點(diǎn)4恰好落在x軸的正半軸上，若4c邊與。。相切

于點(diǎn)M,求點(diǎn)B的坐標(biāo);

（3）請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上繼續(xù)操作：將三角板的頂點(diǎn)力繼續(xù)在。。上滑動(dòng)，直角頂點(diǎn)"恰好落在。。上且在歹軸

28.（本小題10分）

Z

己知：如圖，在的△ABC中，乙4BC=90°,AB=2V5,BC=4點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)、（不與點(diǎn)8,點(diǎn)C

重合），以8P為直徑作圓，圓心記為點(diǎn)O,連接力尸交。。于點(diǎn)￡過點(diǎn)8作8OII/JC,與。。交于點(diǎn)。，連

接BE,DE.

(1)當(dāng)乙BDE=45°時(shí)，求80的長(zhǎng);

(2)當(dāng)△8。七為等腰三角形時(shí)，求所有滿足條件的8尸的長(zhǎng).

延長(zhǎng)8E交邊力C于點(diǎn)凡若需=%，求’:的值.（用含上的代數(shù)式表示，直接寫出答案）

(3)

“jr41r

E

AC

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】尸0或x=3

12.【答案】（答案不唯一.任一負(fù)數(shù)均可）

13.【答案】2

14.【答案】2

15.【答案】2或5

16.【答案】（4、片-8）

17.【答案】Ci

18.【答案】2

0<x<I

l<x<2

]9.【答案]j|----------a'------;

22

?TL2--2+4

20.【答案】解:(1)?.?方程/+[2"+1)"產(chǎn)+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根,

???△=(2H1)2-4(F+1)>0,

即飲?3>0,

解得：〃>[;

(2)把尸?1代入原方程得：爐-2計(jì)1=0,

解得Q1,

???原方程化為：爐+3工+2=0,

解這個(gè)方程得,X1=-1,X2=-2

故另一個(gè)根為-2,%的值為1.

21.【答案】(1)證明：必訓(xùn)。,

，乙ABD=(CDE,

又Z1=N2,

(2)解：?:△ABDSREDC,

...乙4=4?！?。=130"，

."EC=50",

?:BE=BC,

:?乙BEC=4BCE=50°,

：ZDBC=18()0-2X500=8()°.

22.【答案】解：(1)如圖,△4B1G為所作;

23.【答案】(1)證明：?)4是直徑,

.?.乙4c8=90°

山+―8C=90°

?：DOA.AB,

.?.乙4+4。=9()°

:?乙D=^ABC；

(2)解：設(shè)乙B=a,則48coa,

?：0E=CE,

:?乙EOC=^BCO=a,

在△8C0中，a+a+90°+a=180°,

.?.a=3()。

.?.乙4=60°,

1

,-'0.4=.,48=3,

■

???0004=3,00=34,。4邊上的高為學(xué),

4M

?一*2X2RI3V6_!W33

??S=,x3X3\,3--------------------x3x--------=---------

2:刷2214

24.【答案】(1)證明：?：AE平分乙BAF,

:.乙EAF=^EAB,

?；0A=0E,

'-Z.EA44EO,

:.乙EAF=&EO,

'.OEWAF,

-EFLAC,

'-0E1EF,

???OE是的半徑，

.?.石廠是OO的切線；

(2)解：為。。的直徑，CD.AB,

i

??CW=.Q=12,

AM4

設(shè)AM=4x,BM=9x,B

M0

為。O的直徑，

D

??44C8=90°,

???乙4cA/+48CM=^1CA/+40A/=90°,

:.乙CAM=2BCM,

:AACMsACBM,

AMCM

CA7=7M7,

：.Cg=AM?BM,

.-.122=4.v9x,

???x=2（負(fù)值舍去），

.XM=8,8M=18,

:.BC=\C\[￡M/=6、13,

設(shè)OE與BC交于■H,

.:乙F=CFEO=LFCH=90°,

???匹邊形是矩形，

：/CUE=90°,CH=EF,

，CH=EF=\BC=3v13，

故的長(zhǎng)的長(zhǎng)為3、13.

25.【答案】解：（1）如圖，連接/E,作的垂直平分線，以/E為直徑畫圓，交AC于點(diǎn)p'和夕”，

則點(diǎn)?和P"即為所求；

（2）?.?矩形48。。中，ADWBC,

：/DAP=5PB,

?:乙PEC=￡DAP,

：/APB=LPEC,

vz5=zC=90°,

:.dABPsAPCE,

BPAB

CE產(chǎn)C

設(shè)BP'=x,AB=4,BC=5,

:PC=5-.r,

,I.?

"15J

解得X|=1,工2=4，

??.8戶的長(zhǎng)為1或4.

26.【答案】20%；

每件的售價(jià)應(yīng)降低20元

27.【答案】吧點(diǎn)8的坐標(biāo)為(VU，0)G”的長(zhǎng)為2V勺-3或3

28.【答案】解：(1)"PB=BDE=45°,4/80900,

△力松是等腰直角三角形，

??.BP=AB=2\5；

(2)分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，乙EBP=LDBP,

???“尸是0O的直徑，

；/BEP=90°,

:?乙EBP+乙APB=90°,

?Z48C=9O°,

：?乙B4P+乙APB=90°,

：/BAP=cEBP,

■.BD^AC,

，乙DBP=^C，

:.乙B4P=LC，

^：Z.ABP=Z.CBA=90°，

:.AABPsACBA,

HPAB2\fb_\

AD=BC=^2f

E

C

H

圖1

:.BP=.,AB=\5;

②當(dāng)E8=E。時(shí)，連接。P并延長(zhǎng)交AC于H,如圖1所示:

??匕48C=90°，48=2v'5，8c=4,5,

?.AC7A即卜打。=/(2隔，述”10，

?:ED=EB,

:.乙￡BD=LEDB=LBPA,

?:乙APH=ZJLBD,

:.乙BPA=2APH,

?4戶是。。的直徑，

:.乙BDP=90°,

-BDWAC,

:?乙PHC=^BDP=90°,ZJ/7P=18O°-90°=90°=UBP,

又?；AP=AP,

:.△ABPmAAII