專題1.1集合的含義與表示

教學(xué)目標、教學(xué)重難點

P集合與元素的相關(guān)概念

L元素與集合的關(guān)系

知識清單■常用數(shù)雋及其訪法

J集合的表示方法

J區(qū)間

廣雋告的是不概念

集合的含義與表示-

-求集合中元素的個數(shù)

一判斷元素與集合的關(guān)系

一數(shù)集與點焦的辨析

題型精講

一選繹適當?shù)姆椒ū硎炯?/p>

一利用元素與集合的關(guān)系求參

J集合中的新定義題

l集合中的開放探究題

強化訓(xùn)練

1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系。

教學(xué)目標2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合。

3.在具體情境中，了解全集與空集的含義。

1.重點

（1）元素與集合的關(guān)系；

教學(xué)重難點

（2）集合中元素的三大特性：

（3）集合的表示方法。

2.難點

(1)利用集合中元素特性求參；

(2)集合的表示方法。

知識清單

知識點01集合與元素的相關(guān)概念

1.元素與集合的概念

(1)集合：一般地，我們把的全體稱為集合，通常用大寫字母ABC,...表示.

(2)元素：集合中的叫作這個集合的元素.元素常用小寫字母。力,c,…表示.

(3)元素的特性：、、.

【即學(xué)即練】

1.2025年9月，我們踏入了心儀的高中校園，找到了自己的班級.則下列對象能構(gòu)成一個集合的是哪些?

并說明你的理由.

(1)你所在班級中全體同學(xué)；

(2)班級中比較高的同學(xué)；

(3)班級中身高超過178cm的同學(xué);

(4)班級中比較胖的同學(xué)；

(5)班級中體重超過75kg的同學(xué)：

(6)學(xué)習(xí)成績比較好的同學(xué).

知識點02元素與集合的關(guān)系

關(guān)系語言描述記法讀法

屬于。是集合A中的元素。屬于集合A

不屬于”不是集合4中的元素—a不屬于集合4

【即學(xué)即練】

1.用符合或“史”填空.

(1)設(shè)集合A是小于6的所有實數(shù)組成的集合，則5近_____A，V2A;

(2)設(shè)集合B是滿足方程工=〃2+1(〃為正整數(shù))的實數(shù)上組成的集合，則3—B,5—B;

(3)設(shè)集合C是方程》=/的有序?qū)崝?shù)對(X,),)組成的集合，則/。，(_]/)C.

知識點()3常用的數(shù)集及其記法

3.常用的數(shù)集及其記法

正整有理

常用的數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集實數(shù)集

數(shù)集數(shù)集

記法

【即學(xué)即練】

1.下列關(guān)系：①0.3WQ；②;CQ；③卜6|史N；④卜其中不正確的個數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

知識點04集合的表示方法

1.列舉法

(I)定義：列舉法是把集合中的元素出來寫在花括號“{}”內(nèi)表示集合的方法.

(2)書寫形式:一般用集合表示為Q集,c,…}.

溫馨提示：運用列舉法表示集合，應(yīng)注意：

(1)元素間用“，”分隔，不能用其它符號代替；

(2)元素不重復(fù)：

(3)元素間無順序;

(4)“{}”表示“所有”、“整體”的含義,不能省略

2.描述法

(1)定義：通過________表示集合的方法叫作描述法.

(2)書寫形式：____________

溫馨提示：川描述法表示集合，應(yīng)注意：

(1)應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用

一個有序數(shù)對來表示.

(2)若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍.

⑶多層描述時，應(yīng)當準確使用“且”和“或“，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).

【即學(xué)即練】

I.用列舉法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程/=%的所有實數(shù)根組成的集合；

(3)由I?20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合；(4)方程產(chǎn)-4=0的所有實數(shù)根組成的集合：

2.用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的所有自然數(shù)組成的集合：

(2)比1大乂比10小的所有實數(shù)組成的集合；

(3)平面直角坐標系中坐標軸上所有點組成的集合.

知識點05區(qū)間

1.一般區(qū)間的表示

設(shè)〃，〃是兩個實數(shù)，而且規(guī)定如下表:

定義名稱符號幾何表示

閉區(qū)間

{x\a<x<b}—ab

開區(qū)間——0o-------?

—ab

{.曲夕。}左閉右開區(qū)間ab

左開右閉區(qū)間

—ab

這里實數(shù)4,。都叫作相應(yīng)區(qū)間的迷出

2.特殊區(qū)間的表示

定義R{xgz}{小>〃}3爛。}{中<。}

符號———

【即學(xué)即練】

1.將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來:

(l){x|x<2};

(2){x|-l<x<0?￡l<x<5}；

⑶{x|24x48且x#5}；

(4){x|3<x<5}.

題型01集合的基本概念

【典例】下列對象不能組成集合的是（)

A.不超過20的質(zhì)數(shù)B.兀的近似值

C.方程r=1的實數(shù)根D.函數(shù)丁=$,的最小值

方法技巧

判斷指定的一組對象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都

能確定它是不是給定集合中的元素.

【變式1】以下各組對象不能組成集合的是（）

A.中國古代四大發(fā)明B.地球上的小河流

C.方程9-7=0的實數(shù)解D.周長為10cm的三角形

【變式2】（多選題）下列各對象可以組成集合的是（）

A.比1大的全體實數(shù)

B.江西師大附中2025屆全體高一學(xué)生

C.高一年級視力比較好的同學(xué)

D.中國著名的數(shù)學(xué)家

【變式3】（2021秋?大安市校級月考）有下列各組對象：

①接近于0的數(shù)的全體；

②比較小的正整數(shù)的全體：

③平面上到點。的距離等于1的點的全體；

④直角三角形的全體.

其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

題型02求集合中元素的個數(shù)

【典例】己知集合A={0,l,2},則集合B={x—ylxWA,y￡A}中元素的個數(shù)是（）

A.1B.3C.5D.9

方法技巧

確定集合中元素的個數(shù)的方法是枚舉法，即逐一列舉出它的所有元素，其中重復(fù)的元素只能算一個，最

終再統(tǒng)計出元素總的個數(shù).

【變式1】若集合人=（-1，2},5={0,1},則集合{z|z=x+yxwA,），wB}中的元素的個數(shù)為

A.5B.4C.3D.2

【變式2】已知集合/={1：2：3},5={(X；則8中所含元素的個數(shù)為

A.2B.3C.4D.6

【變式3】已知集合股={,"%次=8-,〃},〃蚱N,則集合“中的元素的個數(shù)為()

A.7B.8C.9D.10

題型03判斷元素與集合的關(guān)系

1.直接法

【典例1】以下表示元素與集合的關(guān)系中正確的是()

A.B.3.14^g

C.(-l,l)e{y|y=x2)D.(一1,1)e{(x,y)|y=聲

方法技巧

如果集合中的元素是直接給出或容易求得，則利用直接法判斷元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.

【變式1】下列說法正確的是()

A.2025)wRB.V2GZc.|eQD.OeN*

【變式2】已知集合A={1,2},8={/-丁|乂川力，則下列判斷錯誤的是()

A.1eBB.OeBC.3wBD.-3eB

2.推理法

【典例2】已知集合4=卜,=3攵-1歡￡2},8=卜,=3攵+1,%￡2},0=卜k=3久女￡2},且

〃eAZ>e3,ceC,貝l]()

A.2aeBB.2beAC.a+beCD.b+c&A

方法技巧

(1)對于一些沒有宜接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首

先明確已知集合中的元素具有什么特征.

(2)利用推理法判斷一個對象是不是某個集合的元素，首先要明確已知集合的元素具有什么屬性，即該

集合的元素要符合哪種表達式或滿足哪種條件、然后判斷此對象是否也具有這種屬性，從而確定該元素與己

知集合的關(guān)系.

【變式1】集合P={x|x=2kkwZ},Q={4r=2k+l,kwZ},R={Hx=4&+l,&wZ},且〃切力Q,則有

()

A.a+b?PB.?+/??QC.a+beRD.a+Z?不屬于P,Q,R中的任意一個

【變式2］已知集合A={2〃?+6〃|〃?wZ,〃eN),則()

A.△電AB.-2+5>/5任AC.4WAD.-1+2限4

【變式3】已知非空數(shù)集“具有如下性質(zhì)：①若則一wM;②若貝IJx+），wM.下列說

y

法中正確的有（）.

A.-IGM.B.2025GM.

C.若則,口€歷.D.若則x-ywM.

題型04數(shù)集與點集的辨析

【典例】下列六種表示法：①以=一1,)=2｝：②｛出j)|x=-l,y=2｝：③｛-1,2｝：?(-l,2)：⑤｛(一

1,2）｝；⑥｛（x,y）|x=-l或尸2）.

22x+（y=30=。的解集的是（

能表示方程組1)

A.①?③④⑤⑥B.②③④⑤

C.@@D.?@?

方法技巧

一般地，數(shù)集的代表元素用一個字母表示，點集或二元一次方程組的解集的代表元素用有序次數(shù)對表示.

..2x+y=0

【變式I】（多選）有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組）.，八的解集的是（）

x-y+3=0

A.｛（蒼）兆=-1或y=2｝B.

C.｛x=-l,y=2｝D.｛（-1,2）｝

【變式2］（多選）下列關(guān)丁集合的描述，正確的是（）

A.偶數(shù)集用描述法可以表示為k|x=2kkeZ｝

B.方程組，?的解集可表示為｛（-1,2）｝

C.方程犬—2=0的解構(gòu)成的集合，用列舉法可表示為卜友,0｝

D.集合｛#+），=1｝與集合｛小+y=1｝交集為空集

題型05選擇適當?shù)姆椒ū硎炯?/p>

【典例】用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

⑴一年中有31天的月份的全體；

（2）大于-3.5小于12.8的整數(shù)的全體；

（3）梯形的全體構(gòu)成的集合；

（4）所有能被3整除的數(shù)的集合；

方法技巧

集合的常用表示方法有列舉法和描述法.

(1)列舉法適合表示有限集，當集合中的元素個數(shù)較少時，用列舉法表示集合較為方便，而且使人一口

了然.但對于元素較多的有限集，如果其中的元素具有規(guī)律性，那么也可以用列舉法表示，此時常用省略號

來表示多個元素.

(2)用描述法表示的集合，認識它一要看集合中豎線左邊代表元素是什么形式;二要看豎線右邊元素滿足

什么條件.對無限集(集合中元素個數(shù)無限)或元素較多的有限集宜用描述法表示.

【變式I】用列舉法表示集合｛xeZM+x=O,x>-5｝為一.

【變式2】圖中陰影部分(含邊界)的點組成的集合8用描述法表示為8=.

【變式3】用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

⑴整數(shù)中由所有非負奇數(shù)組成的集合；

(2)由所有小于10的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合;

(3)平面直角坐標系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合：

(4)方程x2-4x+16=0的實數(shù)解組成的集合.

(5)方程組｛'。的實數(shù)解集.

x+y=2.

題型06利用元素與集合的關(guān)系求參

1.利用分類討論思想求解

【典例1】舉例說明：設(shè)集合M中含有三個元素3,x,/：

⑴求實數(shù)x,應(yīng)滿足的條件；

(2)若4iM,求實數(shù)大的值.

方法技巧

互異性是集合中元素的重要特性之一，解決此類含參數(shù)的問題時，求出a的所有可能值之后，必須代回原

集合進行檢驗.

1.若—3e{?！?,2a—1,"―1},則〃的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【變式2】若集合A={/+2t7,3.十2,8},則實數(shù)。的取值可以是()

A.2B.3C.-4D.5

【變式3】已知集合人={1仙-1|,〃+2},且2eA,則實數(shù)〃的值為.

【變式4】已知集合A二{1,2,3},8={1,”〃+2},若2—〃好A,則實數(shù)〃?=.

2.利用根的判別式或韋達定理求解

【典例2】己知集合A={x|ax2+2x7=0}.

⑴若A中沒有任何元素,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若A中只有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若A中至少有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍；

(4)若A中至多有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍.

方法技巧

解決含參數(shù)、其代表元索是一元二次方程的解的集合有關(guān)問題時，可將求字母的范圍轉(zhuǎn)化為研究方程

根的情況的問題，即研究根的判別式的符號，對于某些二次項系數(shù)為字母參數(shù)的方程，還要分類討論方程的

類型.

【變式I】若集合A={x[(a+l)f+4x+l=0}中恰有一個元素，則實數(shù)。的值是.

【變式2】若非空集合M={x|V-2x+〃z=0,xeR}不是單元素集，則其中所有元素之和S=.

【變式3】已知集合A={xeR|3-1*-21+1=0},〃為實數(shù).

(1)若集合4是空集，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若集合A是單元素集，求實數(shù)。的值；

(3)若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)〃的取值范圍.

題型07集合中的新定義問題

【典例】設(shè)集合P={3,4,5},。={6,7},定義Pg）Q={（a,b）Ta￡P(guān),力WQ},則2⑥。中元素的個數(shù)

為（）

A.3B.4C.5D.6

方法技巧

解決集合中的新定義題，耍耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的耍求逐步

分析、運算、驗證，使問題得以解決

【變式1】設(shè)。="，2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定義FQ={（m/?）\a^P,力WQ,存力}，則P*Q

中元素的個數(shù)為（）

A.4B.5C.19D.20

【變式2】設(shè)集合A={-2,1},B={-1,2},定義集合46）8={小=用12,占七人超七例，則A區(qū)）8中所

有元素之積為（）

A.-8B.-16C.8D.16

【變式3】設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于攵eA,如果攵-1促A且4+1^A,那么攵是A的一個“孤立

元"，給定S={1,2,3,45,6},由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（）個.

A.14B.16C.18D.20

【變式4】當一個非空數(shù)集G滿足“如果貝ij〃+ha-b,abeG,fwG”時，我們稱

b

G就是一個數(shù)域，以下四個關(guān)于數(shù)域的命題：①。是任何數(shù)域的元素：②若數(shù)域G有非零元素，則

2020eG；③集合P={x|x=2k,丘Z}是一個數(shù)域；④有理數(shù)集是一個數(shù)域，其中真命題有（）

A.4個B.3個C.2個D.I個

題型08集合中的開放探究題

【典例】已知集合A的元素全為實數(shù)，且滿足：若。EA,則上HCA.

\-a

（1）若4=2,求出A中其它所有元素；

（2）0是不是集合A中的元素？請你設(shè)計一個實數(shù)〃￡月，再求出A中的所有元素？

方法技巧

集合離不開元素,元素是集合的核心，因此解決有關(guān)集合口的探索性問題時，可以從集合中的元素入

手，作為解題的切入口，同時還需注意集合中元素的互異性.

1+a

【變式I】已知數(shù)集M同時滿足以下條件：①M中不含元素一1,0,1；②若a￡M,則則下列

結(jié)論正確的是（）

A.集合M中至多有2個元素B.集合M中至多有3個元素

C.集合M中至少有4個元素D.集合M中有無窮多個元素

【變式2]已知集合P=,xeN生eN,0<〃?<20],寫出一個滿足集合尸至少有5個元素的小的

x

值：.

【變式3]設(shè)A是非空實數(shù)集，且。任A.若對于任意的占yeA,都有9￡八，則稱集合A具有性質(zhì)4；若

對于任意的KycA,都有2eA,則稱集合A具有性質(zhì)6.

y

（1）寫出一個恰含有兩個元素且具有性質(zhì)4的集合A；

（2）若非空實數(shù)集A具有性質(zhì)6，求證：集合A具有性質(zhì)憶

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.在“①難解的題目；②方程/+1=。在實數(shù)集內(nèi)的解；③直角坐標平面上第四象限內(nèi)的所有點；④很多

多項式”中，能夠組成集合的是（）

A.（2X3）B.①@C.②④D.①②④

2.已知集合4={小2-2x=（）}.則（）

A.{0}wAB.2wAC.{2}eAD.OGA

3.已知集合A={x|-2<xv4},8={x|-2vxv5},若agA,且aeA,則“的取值范圍是（）

A.{x\-2<x<4]B.{x|4<.r<5}

C.{x|4<x<5}D.{x|4<x<5}

4.下列各組集合中表示同一集合的是（）

A.A={2,1},B={1,2}

B.A={(3,_2)},4={(_2,3)}

C.A={2,-3},B={(2,-3)}

D.A={(xyy)\x-y=\}iB={y\x-y=\}

5.已知集合4=卜,=3攵一1/62},8=卜,=34+1,&￡2},。=卜卜=3攵/62},且則

()

A.2aBB.2b^AC.a+beCD.b+ceA

6.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，為了紀念數(shù)學(xué)家高斯，我們

把函數(shù)y=[x]（x€R）稱為高斯函數(shù)，其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如口.1卜1,[-1"=-2,則點集

「二｛。，刈32+[才=1｝所表示的平面區(qū)域的面積是（）

A.4