第三章函數(shù)的概念與性質3.1函數(shù)的概念及其表示課時訓練

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一、單選題

1.如圖,在四邊形八8。。中,48〃。。,48_18。,人。=。。=2,6'8=拒，動點，從點4出發(fā),按照4一。一?！?

路徑沿邊運動，設點P運動的路程為x,AAP8的面積為y,則函數(shù)y=/（x）的圖象大致是（）

2.函數(shù)/"）=三的圖象大致為（）

xe

A.B.

3.已知二次函數(shù)滿足/(2勸+/(工-。=10--13%+7,則/(/⑴)=

A.0B.1C.4D.115

4.已知函數(shù)/(*)是定義在R上的增函數(shù)，則函數(shù)金二到4一艱；-1的圖象可能是

5.將函數(shù))，=-4的圖象按向量。=(1,0)平移，得到的函數(shù)圖象與函數(shù)y=2sin"x(-24XK4)的圖象的所有

X

交點的橫坐標之和等于

A.2B.4C.6D.8

6.函數(shù)/。)=刈刈-2)在的，用上的最小值為T,最大值為1,則〃-〃?的最大值為

A.2+2應B.72C,2D.3+&

7.已知函數(shù)“X)是定義在(0,笆)上的增函數(shù)，且"2)=1,/(封)=/(x)+/(y),則不等式

/(X)+/(A-2)<3()

A.(1,2)B.[1,3)C,(2,4)D.(2,4]

二、填空題

8.下列說法正確的是.

（1）函數(shù)〃x）=l-一二在（1，E）上單調遞增；

（2）函數(shù)y=2MxeN）的圖象是一直線；

（3）若集合A=卜辰?+公+]=4中只有一個元素，則〃=4；

（4）若函數(shù)），=父+（24-以+1在區(qū)間（—8,2]上是減函數(shù)，則4=

三、解答題

9,某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)10。臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元，設生產(chǎn)該產(chǎn)品“百臺）,

其總成本為g（x）萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），并且銷售收入滿足

/、-0.5X2+7X-10.5（0<X<7）__且

'（”）=，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求：

（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量X應控制在什么范圍？

（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？

10.已知函數(shù)/（x）="+I"（X-。）.

a-x

（1）求/（2。7）+/（幻的值：

（2）當?shù)亩x域為a+ga+1時，求f（x）的值域；

11.已知函數(shù)/5）=2忖-1|-1

（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；

（2）畫出該函數(shù)的圖象；

（3）寫出該函數(shù)的定義域，值域.

4

-

12.給定函數(shù)/(x)=x+4,g(x)=f-2x,xeR.VxeR,用〃《工)表示/(x),g(x)中的最小者，記為

⑴請用圖象法和解析法表示函數(shù)m

⑵根據(jù)圖象說出函數(shù)加(力4])的單調區(qū)間及在每個單調區(qū)間上的單調性，并求此時函數(shù)皿力的最

大值和最小值.

13-已知函數(shù)/(戈)=華牛是定義在R上的奇函數(shù)，且1/■([]=-].

r+1\2)5

(1)求函數(shù)f(x)的解析式，以及零點.

(2)判斷函數(shù)/。)在區(qū)間(0,1)上的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明.

(3)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,+o。)上的單調性.(只需寫出結論)

(4)在所給出的平面直角坐標系上，作出了")在定義域R上的示意圖.

⑹

14.已知函數(shù)/(x)=

16r+4

(1)若求+的值;

(2)求了盛H盛上島卜L+/g1)的值.

log(X+l),A>0

15.已知函數(shù)/*)={2

l-2\x<0

(1)畫出函數(shù)圖象.

(2)寫出函數(shù)的單調區(qū)間和值域.

(3)當。取何值時，方程有兩不等實根？只有一個實根？無實根?

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)三角形的面積公式，結合點。的不同位置進行判斷即可.

【詳解】解：。點在A。上時，△AP8是底邊A8不變，高在增加，圖象成一次函數(shù)形式遞增；排除C,D,

尸點在。。上時，AAPB是底邊A8不變，高不變，圖象是水平一條直線：

戶在C8上時，不變，高在減小，圖象是遞減的一次函數(shù)，

故選：A.

2.B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性，單調性以及特殊值即可.

【詳解】函數(shù)/(%)=J-為奇函數(shù)，故A錯誤；

xeA

/(l)=e-->0,故D錯誤；

e

當上趨向于正無窮時，函數(shù)值也趨向于正無窮，故c錯誤；

當x從大于0的方向趨向于0時，函數(shù)值也趨向于正無窮，故B正確；

故選：B.

3.B

【分析】先由題意設/(戈)=々/+取+c,根據(jù)題中條件，求出對應系數(shù)，得到函數(shù)解析式，進而可求出結果.

【詳解】由題意，設/(幻=加+取+入

KOf(2x)+f(x-\)=4cix2+2bx+c-}-a(x-\)2+h(x-l)+c

=5ax2+(3/?-2a)x+2c+a-〃，

又f(2x)+/(.￥-1)=10X2-13A+7,

5a=10a=2

所以,-2a=T3,解得〃=-3,

2c+a-b=lc=1

因此/(x)=2/-3、+l,

所以/(I)=2-3+1=0,/(/(I))=/(O)=1.

故選B

【點睛】本題主要考查求函數(shù)值的問題，會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可，屬于?？碱}型.

4.B

【詳解】試題分析：把〃幻圖象在了左邊的去掉，作)'軸右邊部分的關于)‘軸對稱，得/(|乂)圖象，再向右

平移1個單位得/(|公】|)的圖象，最后再向下平移1個單位，得/(卜-1|)-1的圖象，函數(shù)在u,y)是增函數(shù)，

在(F，I］上是減函數(shù).故選B.

考點：函數(shù)的圖象，圖象變換.

5.D

【詳解】函數(shù))'按向量”(1.0)平移后為)，=--二，廣2皿門(-2小工4)的圖像有公共的對稱中心

xX-1

(1,0),畫出函數(shù)y=y=2sinTTX(-2<x<4)的圖像如下：

x—1

交點、分別為A,B,C,D,E,F,G,H,根據(jù)對稱性可知A"、交G、C,F、

2E都關于點(1,0)對稱，故乙+與=4+必=%+號=拓+4=2,所以所求的橫坐標之和為3.

點睛：本題考查的函數(shù)的對稱性，在解決此類問題時，結合函數(shù)圖像能帶來方便.平移后的函數(shù)丁二-一二

是關于點(1,0)對稱，而且y=2sinG(-2W4)也是關于點(1,0)對稱，那么兩個函數(shù)的交點也是關于點

(1,0)對稱，所以可以求出橫坐標之和.

6.A

【分析】由絕對值的意義可得/。)的兩段解析式，畫出/(X)的圖象，求得使/(x)=T和1的X值，結合圖

象即可得到〃一，〃的最大值.

【詳解】解：函數(shù)"x)=Mx|-2),

當了20時，f(x)=xz-2x,

當xv0時，f(x)=-lx-x1,

作出y=/(x)的圖象，

由圖象可得x>0時，f-2x=l,解得X=l+J5；

xv()時，-2X-X2=-I,解得丫=一1—&,

即有/(幻在+內的最大值為1,最小值為-1,

〃一〃?的最大值為1+0一(一1-0)=2+20.

故選：A.

【點睛】本題考查函數(shù)的最值求法，注意運用數(shù)形結合思想方法，以及二次函數(shù)的單調性，考查運算能力，

屬于中檔題.

7.D

【分析】根據(jù)/(封)=/(刈+/(?且/(2)=1可得/(4)=2,/(8)=3,則/(析+/(x-2)§3可化為

/[A(X-2)]</(8),然后根據(jù)單調性求解.

【詳解】根據(jù)/(旬)=/(切+/(力可得，f(x)+“x-2)43可轉化為/口(》一2)卜3,

又“4)=/⑵+〃2)=2〃2)=2,

所以〃8)=/(4)+/(2)=2+1=3,即/口(工-2)]1(8),

x(x-2)<8

因為.“力是定義在(0,y)上的增函數(shù)，所以只需滿足卜>。，解得：2<x<4.

x-2>G

故選:D.

【點睛】本題考查抽象函數(shù)的應用，考查利用函數(shù)的單調性解不等式，難度一般，根據(jù)題目條件將問題靈

活轉化是關鍵.

8.(1)(3)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性、函數(shù)的圖象，集合的定義判斷各選項.

【詳解】(1)/(x)=l-一二是)，=J■向右平移?個單位，向上平移一個單位而得到，.../*)=「一二在

x-\Xx-l

(1,TO)上單調遞增函數(shù)，正確；

(2)y=2x(xeN)的圖象是一條直線上的孤立點，，不是一條直線；不正確；

(3)集合A只有一個元素，a=Q時方程無解，。工0時，A=a?-4a=0,a=4,正確；

(4)函數(shù)y=V+(2a-l)x+l的對稱軸為x=,

13

又函數(shù))，=9+(勿-1)1+1在區(qū)間(-00,2]上是減函數(shù)，.%-心2,.“工-1,不正確.

故答案為：(1)(3)

9.⑴大于300臺小于1050臺;(2)600臺

【分析】(1)由于銷售收入是一個關于產(chǎn)品數(shù)量”的一個分段函數(shù)，另外計算工廠的盈利需要將銷售收入

，(”)減去總的成本g(x)萬元，所以在兩段函數(shù)中分別求出盈利大于零的時候產(chǎn)品數(shù)量的范圍，及可求得結

論.

(2)通過二次函數(shù)的最值的求法，結合一次函數(shù)的單調性，即可得到盈利最大值時對應的產(chǎn)品數(shù)1的值.

【詳解】依題意得g(x)=x+3,設利潤函數(shù)為/(力，則/@)=r(x)-g(x),

、f-0-5x-+6x-l3.5(0<x<7)皿+“\八-O.5x2+6.V-13.5>0

所以,(1)要使工廠有盈利，則有/(x)>0,故<或

[10.5-A(X>7)[0<X<7

八，即[："；+27<0或解得3c±7或7Vx<10.5,即3Vx<10.5,所以要使工

10.5-x>00<x<7xvlO.5

廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應控制在大于300臺小于1050臺的范圍內

(2)當3<x47時，/(X)=-O.5(X-6)2+4.5

故當x=6時，/(力有最大值4.5.而當x>7時，/(x)vl0.5—7=3.5.

所以當工廠生產(chǎn)600臺產(chǎn)品時，盈利最大.

10.(1)-2；(2)1-3,-2].

【解析】(1)根據(jù)/(力二二^^工。)，直接代入求解..

a-x

(2)將函數(shù)變形為/。)=-1+」一，由a+gwxWa+l,利用反比例函數(shù)的性質求解?.

a-x2

【洋解】(1)???/(幻=^^(.1工。),

a-x

.s、，乙、a-x+\x+\-a2(a-x)

:.J(2a-x)+f(x)=-------+-------=-------=-2

(2)函數(shù)/'(幻=2^--(x^?)=-l+——

a-xa-x

當〃+l時，-a-\<-x<-a-—,-\<a-x<-—,-2<—!—<-1

222a-x

所以一3<—1+—!—<—2

a-x

所以〃x)值域為1-3,-2].

11.(1)/(%)=4(2)圖象見解析；(3)f(x)的定義域為R,值域為k1,”).

—2x+1,A<1

【分析】(1)分.O<1去絕對直，寫成分段函數(shù)的形式即可;

(2)根據(jù)上一問的解析式，畫出分段函數(shù)的圖像；

(3)根據(jù)圖像得到函數(shù)的定義域和值域.

2x-3,x>1

【詳解】(1)/(?=

-2x+l,x<1

(2)圖象如下:

12.（1）答案見解析;

（2）答案見解析.

【分析】（1）求得），=1+4.），=/一2”的交點坐標，根據(jù)〃z（x）的定義，將其寫成分段函數(shù)即可，再根據(jù)常

見函數(shù)的圖象，畫圖即可■:

（2）數(shù)形結合，即可求得單調區(qū)間，結合函數(shù)單調性和區(qū)間端點處的函數(shù)值，即可求得最值.

【詳解】（1）令X+4=/_2X,BPX2-3X-4=0,解得下一1,或x=4.

.r+4,x<.-1,

根據(jù)題意，〃?（”二?-2X，-1<X<4,

x+4,x>4.

故其函數(shù)圖象如下所示：

（2）數(shù)形結合可知，函數(shù)用（力的單調區(qū)間是

函數(shù)〃(I)在區(qū)間［＜叫上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間［1,4］上單調遞增.

由f(-4)=0,/(-1)=3,/(1)=-1,"4)=8知，

當：=4時，〃?(x)取得最大值，最大值為8,

當H=1時，〃?)取得最小值，最小值為-1.

13.(l)/(x)=-^-,零點為0；

x2+\

⑵/*)在(0,1)上是單調遞減，證明見解析.

⑶函數(shù)八處在區(qū)間(1，內＞)上單調遞增.

⑷函數(shù)圖象見解析；

【分析】(1)依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質得到/(。)=。，再由/6)二一,，即可求出〃、b,從而求出函數(shù)解

析式，再令/(司=。，求出X，即可得到函數(shù)的零點.

(2)利用函數(shù)單調性的定義進行證明即可

(3)結合函數(shù)單調性的性質給出結論即可

(4)結合函數(shù)的單調性作出草圖即可.

(1)

解：/(幻=零二是定義在R二的奇函數(shù)，

X-4-l

/(0)=1=0,

.\b=0f

2

又/4)=V=-1*解得〃=—i，

/D2)

4

令f(x)=0,即-告■=(),解得x=0,所以函數(shù)的零點為0;

X'+1

(2)

解：/(幻=一”在(0,1)上是單調遞減.

證明：設。＜%＜毛＜1，

則f(M)—r(x，)二”一言=_($：占)(1；演巧)

人11?x；+l*+1(片+1)3+1)

,0<A(<X,<1,

:.xy-x1<0,l-XjX2>0,(xf+1i(xj+1)>0,

/(3)-f(x2)>0,即/(x,)>f(x2),

Y

f(x)=--「?在(0,1)上單調遞減.

x+1

(3)

解：函數(shù)/(x)在區(qū)間(L+o。)上單調遞增.

證明：設1<%<工2，

則/⑹-〃*)=粉-叁=-器需鬻,

I<xi<x2,

/.A)-x2<0,1-x}x2<0,(%；+l](x；+l)