專題強化六圓周運動的臨界問題

【目標要求】1.掌握水平面內、豎直面內和斜面上的圓周運動的動力學問題的分析方法2會分

析水平面內、豎直面內和斜面上圓周運動的臨界問題.

題型一水平面內圓周運動的臨界問題

物體做圓周運動時，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會引起某些力（如拉力、支持力、摩擦

力）發(fā)生變化，進而出現(xiàn)某些物理量或運動狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài).

I.常見的臨界情況

（1）水平轉盤上的物體恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力.

⑵物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零.

⑶繩的拉力出現(xiàn)臨界條件的情形有：繩恰好拉直意味著繩上無彈力；繩上拉力恰好為最大承

受力等.

2.分析方法

分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的變化，找出臨

界狀態(tài).確定了物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，選擇研究對象進行受力分析，利用牛頓

第二定律列方程求解.

m1]（2018.浙江11月選考.9）如圖所示，一質量為2.0X103kg的汽車在水平公路上行駛，

路而對輪胎的裙向最大靜摩擦力為l.4XI0』N,當汽車經過半杼為80m的彎道時，下列判斷

正確的是（）

A.汽車轉彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力

B.汽車轉彎的速度為20m/s時所需的向心力為1.4X104N

C.汽車轉彎的速度為20nVs時汽車會發(fā)生側滑

D.汽車能安全轉彎的向心加速度不超過7.（）mH

答案D

解析汽車轉彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A錯誤；汽

2

車轉彎的速度為20m/s時，根據(jù)吊=/哈，得所需的向心力為1.0X104N,沒有超過最大靜

摩擦力，所以汽車不會發(fā)生側滑，B、C錯誤；汽車安全轉彎時的最大向心加速度為4“=誓=

7.0m/s2,D正確.

m21（多選）如圖所示，兩個質量均為小的小木塊。和網(wǎng)可視為質點）放在水平圓盤上，。與

轉軸OO'的距離為/,b與轉軸的距離為2/.木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的

斤倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用口表示圓盤轉動的

角速度，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是（）

S2

O'

A.%一定比。先開始滑動

B.。、力所受的摩擦力始終相等

C.Ct)=是人開始滑動的臨界角速度

D.當a)=a所受摩擦力的大小為kmg

答案AC

解析小木塊。、〃做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即片=，〃①2尺當角速度增大時，

靜摩擦力增大，當增大到最大岸摩擦力時，發(fā)生相對滑動，對木塊。有尺尸“功利，當用”

=king時，kmg=ma）對,對木塊b有產仍=ms『-2/,當Ffi,=k/ng時，kmg=m（3,2l,

Mb—,則CO=〃開始滑動的臨界角速度，所以。先達到最大靜摩擦力，即匕比a

2

先開始滑動，選項A、C正確；兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則F（a=mcolf則Ffh=mar-2lt

2

2

Ffa<F彷,選項B錯誤；”<COa=a沒有滑動，則Ffa'=mcol=,選項D

錯誤.

m3］細繩一端系住一個質量為小的小球（可視為質點），另一端固定在光滑水平桌面二方。

高度處，繩長/大于力，使小球在桌面上做如圖所示的勻速圓周運動，重力加速度為g.若要

小球不高開桌面，其轉速不得超過（）

答案D

解析對小球受力分析，小球受三個力的作用，重力〃?g、水平桌而支持力尸z、繩子掃力廠.

小球所受合力提供向心力，設繩子與豎直方向夾角為仇由幾何關系可知R=/?tan仇受力分

析可知Acos0+入=〃吆，尸sin0=tnco2R=4mn2n2R=4mn2n2htan0：當球即將離開水平

桌面時，尸N=0,轉速〃有最大值，此時小=茨7小故選D.

【例4】（多選）（2023?湖北省公安縣等六縣質檢汝I圖所示，人8為豎直放置的光滑圓筒，一根長

細繩穿過圓筒后一端連著質量為辦=5kg的小球（可視為質點），另一端和細繩BC（懸點為B）

在結點C處共同連著一質量為人的小球（可視為質點），長細繩能承受的最大拉力為60N,

細繩3c能承受的最大拉力為27.6N.圓筒頂端A到。點的距離八=1.5m,細繩8c剛好被

水平拉直時長/2=。.9m,轉動圓筒并逐漸緩慢增大角速度，在8c繩被拉直之前，用手拿著

〃八,保證其位置不變，在BC繩被拉直之后，放開孫，重力加速度g取lOmH,下列說法正

確的是（）

cm

A.在BC繩被拉直之前，AC繩中拉力逐漸增大

B.當角速度①=1\份rad/s時，8c繩剛好被拉直

C.當角速度由=3rad/s時，AC繩剛好被拉斷

D.當角速度3=4rad/s時，BC繩剛好被拉斷

答案ABD

解析轉動圓筒并逐漸緩慢增大角速度的過程中，AC繩與豎直方向的夾角夕逐漸增大，m2

豎直方向處于平衡，由尸ucose=，〃2g,可知在8c繩被拉直之前，AC繩中拉力逐漸增大，A

正確；3c繩剛好被拉直時，由幾何關系可知AC繩與豎直方向的夾角的正弦值sin。=全對

小球受力分析，由牛頓第二定律可知〃?2gtan解得o>i=1*x/5rad/s,B正確：

當①=3rad/s>￥^rad/s,8c繩被拉直且放開了rn\,小?就一直處于平衡狀態(tài)，AC繩中拉力

不變且為50N,小于4。繩承受的最大拉力，AC未被拄斷，C錯誤：對小球加2,豎直方向

有mgcos0=〃?2g,可得叱=4kg,當BC被拉斷時有nugsin/9+FTBC=W2W22/2,解得⑴2

=4rad/s,D正確.

題型二豎直面內圓周運動的臨界問題

1.兩類模型對比

輕繩模型輕桿模型

(最高點無支撐)(最高點有支撐)

球與繩連接、水流星、沿內軌道

實例球與桿連接、球在光滑管道中運動等

運動的“過山車”等

".通B0

圖不

[小

,'1卜一~、“■XI、、

/“"花、”7?、“J卜一、

受力

mgmgmg愀mg

示意圖o1。

000

Fn句下或等1F零尸舛向下、等于零或向上

力學v2,V2

mg+Fmg士F我=m~R

方程

尸沖=0

。=0

臨界

Omin~

即尸向=0

特征

F^=mg

即vmin=yfgR

⑴當〃=0時，尸彈=〃次,尸彈背離圓心

(1)最高點，若產弊十

廬⑵當0＜。＜6天時，mg一產排=萬，F(xiàn)

〃吆=〃仄，繩或軌道對球產生彈

討論并背離圓心并隨。的增大而減小

力F*

分析(3)當。=病時，"A=0

(2)若v＜y[^R,則不能到達最高

v2

點，即到達最高點前小球已經脫(4)當【廊時，"電+/邦="我,F彈

離了圓軌道

指向圓心并隨。的增大而增大

2.解題技巧

(1)物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；

(2)物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩處速度關系；

(3)注意：求對軌道的壓力時，轉換研究對象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求

出壓力.

m51（2023?陜西延安市黃陵中學）如圖所示，一質量為陽=0.5kg的小球（可視為質點），用長

為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動，g=10mi,下列說法不正確的是（）

/、、

//R\、

I1

tI

!I。）

%I

\K、/?

…一J

A.小球要做完整的圓周運動,在最高點的速度至少為2mzs

B.當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4小m/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

答案D

2

解析設小球通過最高點時的最小速度為如，則根據(jù)牛頓第二定律有"?="赍，解得。0=2

m/s,故A正確：當小球在最高點的速度為功=4m/s時，設輕繩拉力大小為臼，根據(jù)牛頓第

2

二定律有用+〃依=〃片，解得PT=15N,故B正確；，:'球在軌跡最低點處速度最大，此時

2

輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有「Tm—，咫="暇v~,解得3n=46m/s,故C正確，D

錯誤.

m61（2023?山東棗莊市八中月考）如圖，輕桿長2/,中點裝在水平軸。上，兩端分別固定著

小球4和儀均可視為質點），A球質量為〃2,3球質量為2〃?，重力加速度為g,兩者一起在

豎直平面內繞O軸做圓周運動.

——A

（1）若A球在最高點時，桿的人端恰好不受力，求此時B球的速度大?。?/p>

（2）若B球到最高點時的速度等于第（1）問中的速度，求此時。軸的受力大小和方向；

（3）在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)。軸不受力的情況？若不能，請說明理由；若能,

求出此時A、3球的速度大小.

答案（1N3（2）2〃吆方向豎直向下

（3）能；當4、B球的速度大小為，礪時，。軸不受力

2

解析（1）A在最高點時，對4根據(jù)牛頓第二定律得午，解得0A=43，因為A、8兩

球的角速度相等，半徑相等，則如=辦=也?；

(2)8在最高點時，對8根據(jù)牛頓第二定律得力郎+尸血/=2nrf-

代入(1)中的。8,可得臼。/=0

對4有FTOA'-mg=nr~j~

可得FT。，=2mg

根據(jù)牛頓第三定律，。軸所受的力大小為2〃W，方向豎直向下；

(3)要使。軸不受力，根據(jù)4的質量大于A的質量，設4、4的速度為以可判斷3球應在最

高點

對B有FVOH"+2〃ig=2〃7

對A有FTOA"—fng=nrj-

。軸不受力時有FTOA"=FT。/'

聯(lián)立可得v=y{3gl

所以當A、8球的速度大小為小7時，。軸不受力.

題型三斜面上圓周運動的臨界問題

物體在斜面上做圓周運動時，設斜面的傾角為仇重力在直斜面的分力與物體受到的支持力

大小相等，解決此類問題時，可以按以下操作，把問題簡化.

物體在轉動過程中，轉動越快，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：〃〃嚕cos。一小gsin

0=marR.

m7](多選)如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度”轉動,

盤面上離轉軸2.5m處有一小物體(可視為質點)與圓盤始終保持相對靜止，設最大靜摩擦力等

于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為30。，g取10m/F,則以下說法中正確的是()

A.小物體隨圓盤以不同的角速度切做勻速圓周運動時，口越大時，小物體在最高點史受到

的摩擦力一定越大

B.小物體受到的摩擦力可能背離圓心

C.若小物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為坐，則”的最大值是l.Orad/s

D.若小物體與盤面間的前摩擦因數(shù)為坐，則s的最大值是小rad/s

答案BC

解析當物體在最高點時，也可能受到重力、支持力與摩擦力三個力的作用，摩擦力的方向

可能沿斜面向J-（即背離圓心）,也可能沿斜面向下（即指向圓心）,摩擦力的方向沿斜面向上時,

Q）越大時，小物體在最高點處受到的摩擦力越小，故A錯誤，B正確；當物體轉到圓盤的最

低點恰好不滑動時，圓盤的角速度最大，此時小物體受豎直向下的重力、垂直于斜面向上的

支持力、沿斜面指向圓心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN=W.?COS300,

摩擦力F（=/ZFN=/tnigcos20°,又///wgcos3（）。一〃?gsin300=mco2R,解得0>=1.0rad/s,故C正

確，D錯誤.

課時精練

立基礎落實練

1.一汽車通過拱形橋頂時速度為10m/s,車對橋頂?shù)膲毫檐囍氐?如果要使汽車在該橋

頂對橋面恰好沒有壓力，車速為（）

A.15m/sB.20m/s

C.25m/sD.30m/s

答案B

3v2,1v2,v'2

解析當君N'=FN=JGFt,有G—FN'=，嚀，所以4G=，嚀；當/N=0時，G=nt--,

所以/=2v=20m/s,選項B正確.

2.（多選）如圖所示，三角形為一光滑錐體的正視圖，母線與豎直方向的夾角為〃=37。.一根長

為/=1m的細線一端系在錐體頂端，另一端系著一可視為質點的小球，小球在水平面內繞錐

體的軸做勻速圓周運動，重力加速度g=10m/s2,sin37c=0.6,不計空氣阻力，貝女）

A.小球受重力、支持力、拉力和向心力

B.小球可能只受拉力和重力

C.當。rad/s時，小球對錐體的壓力剛好為零

D.當①=2小rad/s時，小球受重力、支持力和拉力作用

答案BC

解析轉速較小時，小球緊貼錐體,則Fjcos。+Aisin9=mg,Fjsin0-FNCOS^=ww2/sina

隨著轉速的增加，F(xiàn)T增大，&減小，當角速度①達到的時支持力為零，支持力恰好為零時

有〃？gtan。=小。0%而仇解得①0=米/5rad/s,A錯誤，B、C正確；當（y=2小rad/s時■，小

球已經離開斜面，小球受重力和拉力的作用，D錯誤.

3.（多選）（2023?湖北省華大新高考聯(lián)盟名校聯(lián)考汝口圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的光滑

固定細管（忽略管的內徑），半徑08水平、04豎直，一個直徑略小于管內徑的小球（可視為質

點）由8點以某一初速度仇進入細管，之后從管內的4點以大小為辦的水平速度飛出.忽略

空氣阻力，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.為使小球能從A點飛出，小球在8點的初速度必須滿足內

B.為使小球能從4點飛出，小球在B點的初速度必須滿足

C.為使小球從A點水平飛出后再返回8點，小球在8點的初速度應為如=\管

D.小球從A點飛出的水平初速度必須滿足%><還，因而不可能使小球從A點水平飛出后再

返回B點

答案BC

解析小球能從A點飛出，則在A點的最小速度大于零，則由機械能守恒定律有Jnu（）2>〃igR,

則小球在3點的初速度必須滿足研）>^麗，選項A錯誤，B正確：為使小球從A點水平飛出

后再返回B點，則R=VAI,R=；gP,聯(lián)立解得?5即2=〃吆氏+斗加/,小球在B

點的初速度應為a）=d^,選項C正確；要使小球從八點飛出，則小球在4點的速度大于

竽，小球就能從4點水平飛出

零即可，由選項C的分析可知，只要小球在A點的速度為

后再返回3點，選項D錯誤.

4.如圖所示，質量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細圓管月輕桿固定在豎直平面內，小球4和

8（均可視為質點）的直徑略小于細圓管的內徑（內徑遠小于細圓管半徑）.它們的質量分別為期

=1kg、〃s=2kg.某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為辦

=3m/s,此時桿對圓管的彈力為零.則8球的速度大小如為（取g=10m/s2）（）

A.2m/sB.4m/s

C.6m/sD.8m/s

答案B

解析對A球，合外力提供向心力，設管對A的支持力為尸八，由牛頓第二定律有以一/孫g

="U*,代入數(shù)據(jù)解得&=28N,由牛頓第三定律可得，A球對管的力豎直向下為28N,

設4球對管的力為,由管的受力平衡可得/V+28N+機筲g=0,解得//=-44N,

負號表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，管對B球的力⑼為44N,方向豎直向下，

對8球由牛頓第二定律有五8+"喋="】冊~,解得力=4m/s,故選B.

5.（2023?湖南岳陽市第十四中學檢測）如圖所示，疊放在水平轉臺.上的物體A、8及物體C能

隨轉臺一起以角速度①勻速轉動，A、B、C的質量分冊為3〃?、2m.m,人與B、8和C與

轉臺間的動摩擦因數(shù)都為四,4和B、C離轉臺中心的距離分別為，?和1.5匚最大靜摩擦力等

于滑動摩擦力，物體A、8、。均可視為質點，重力加速度為取下列說法正確的是（）

_L5r”,

jc

A.B對A的摩擦力一定為

B.3對A的摩擦力一定為3ms2r

C.轉臺的角速度需要滿足伸

D.若轉臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是A物體

答案B

解析由于物體4、3及物體C能隨轉臺一起勻速轉動，則三個物體受到的均為靜摩瘵力,

由靜摩擦力提供向心力，則B對人的摩擦力一定為尸f,|=3〃四2幾叉有0<FfAWFfmax=3/5g,

由于角速度大小不確定，8對A的摩擦力不一定達到最大靜摩擦力3/〃〃g,A錯誤，B王確;

若物體A達到最大靜摩擦力，則3卬咫=3〃初凸.，解得助=、/管，若轉臺對物體B達到最大

靜摩擦力，對A、B整體有5〃摩=5〃?他2「，解得g=\//若物體C達到最大降摩擦力，

則"，〃g=〃?32X1.5r,解得出3=[W^,可知<。|=①2>@,由于物體A、8及物體C均隨轉

臺一起勻速轉動，則轉臺的角速度需要滿足該分析表明，當角速度逐漸增

大時，物體C所受摩擦力先達到最大靜摩擦力，即若轉臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是

。物體，C、D錯誤.

6.（2023?四川綿陽市診斷）如圖所示，輕桿長3L,在桿兩端分別固定質量均為小的球A在8（均

可視為質點），光滑水平轉軸穿過桿上距球A為L處的0點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和

球在豎直平面內轉動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力.忽略空氣阻力，重力

加速度為g，則球8在最高點時（）

/1*、、、

/A\\

：\\\°/｝：：：

\、—//

'、、、2L，/

、、、-』.一/

A.球B的速度為零

B.球A的速度大小為耳恭

C.水平轉軸對桿的作用力為15摩

D.水平轉軸對桿的作用力為2.5〃吆

答案C

解析球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有

解得DB=~2gL,故A錯誤；由于A、4兩球的角速度相等，則球A的速度大小辦=!\3Z,

故B錯誤；8球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，

有F一"堤="忙,解得尸=1.5〃吆，即桿受到的彈力大小為1.5/咫，可知水平轉軸對桿的作用

力為1.5mg,C正確，D錯誤.

盟能力綜合練

7.（2023?重慶市西南大學附屬中學月考）如圖所示，在傾角為。=30。的光滑斜面上有一長L=

0.8m的輕桿，桿一端固定在。點，可繞。點自由轉動，另一端系一質量為〃2=0.05kg的小

球（可視為質點），小球在斜面上做圓周運動，g取10m*.要使小球能到達最高點4則小球

在最低點B的最小速度是（）

A.4m/s2VT6m/s

C.2小m/s2^/2m/s

答案A

解析小球恰好到達A點時的速度大小為以=0,此時對應8點的速度最小，設為加，對小

球從A到B的運動過程，由動能定理有；〃52=2〃吆〃;山?,代入數(shù)據(jù)解得m/s,

故選A.

8.（多選）如圖所示，兩個可視為質點的、相同的木塊4和8放在轉盤上，兩者用長為L的水

平細繩連接，木塊與轉盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，A放在距離轉軸L處，整

個裝置能繞通過轉盤中心的轉軸。|。2轉動，開始時，繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從

靜止開始轉動，使角速度緩慢增大，以卜說法正確的是（重力加速度為g）（）

A.當①覺時，A、B會相對于轉盤滑動

B.當。力\/§，繩子一定有彈力

C?①在償范圍內增大時，8所受摩擦力變大

D.①在0VW、牌范圍內增大時，A所受摩擦力一直變大

答案ABD

解析當所受摩擦力均達到最大值時，A、/3相對轉業(yè)即將滑動，則有Kmg+Kmg=m/L

+小〃1療①2-2.2",解得①=y爭黃，A項正確；當B后所受靜摩擦力達到最大值后，繩子開始有彈力，

即有Kmg=m-2Lco2,解得g=、珞,可知當

時，繩子有彈力，B項正確；當

時，B已達到最大薛摩擦刃，則”在（翌＜①等范圍內增大時，3受到的摩擦力不變,

C項錯誤；①在置范圍內，A相對轉盤是靜止的，A所受摩擦力為靜摩擦力，所以

由R—Rr=〃（/可知，當①增大時，靜摩擦力也增大，D項正確.

0,素養(yǎng)提升練

9.（多選）（2023?湖北省重點中學檢測）如圖中所示的陀螺可在圓軌道的外側旋轉而不脫落，好

像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具