河南省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.|i3-i5|=().

A.0B.1C.V2D.2

2.設(shè)集合“={TO」,2,3},N={x|x=3/—LeM},則Mp|N=()

A.{-1,1,2}B.{-1,0,2}C.{-UID.{-1,2}

3.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.小唐5月17?23口每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)(單位：分鐘)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示，則()

A.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)是72

B.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是42

C.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是75

D.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的第80百分位數(shù)是92

5.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A/CQ中,旦RG,〃分別為棱A2,4G，8cA。的中點(diǎn),

A.直線板與直線G尸是異面直線B.直線與直線3片是異面直線

C.直線與直線CG共面D.直線與直線班'共面

6.已知tana+—!—=7,則sin2zz=（）.

tana

A.-B.-C.-D.—

77714

7.位于燈塔尸的正西方向且相距40海里的M處有一艘甲船，需要海上加油，位于燈塔尸

的東北方向的。處有一艘乙船在甲船的北偏東75。方向上，則乙船前往支援M處的甲船需要

航行的最短距離是（）

A.20底海里B.40五海里C.40G海里D.30海里

8.如圖，設(shè)荏=乂而，AC=yAE,線段OE與8c交于點(diǎn)尸，且而=（元，則4x+y=

（）

2

二、多選題

9.已知向量成和d,6均不共線，=+yb（xyysR）,則向量力,5可以是（）

A.a=（l,3）,b=（3,-l|

B.?=（2,-4）,/?=（-1,2）

C.萬(wàn)=（一3,2）,6=（\2）

D.ci=（0,2）,6=（0,1）

10.已知函數(shù)f（x）=Asin（5+°）（A＞（）,切＞0,|同的部分圖象如圖所示，其中^CMN

為等邊三角形，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（1,。），則（）

答案第2頁(yè)，共17天

8

C.直線x=7是/（工）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

D.將/（x）的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象與函數(shù)月"）=2百sin（?x+?）的

圖象重合

|3r+l-l|,x<0,

H.已知函數(shù)函數(shù)g（x）=/（X）-〃?有四個(gè)不同的零點(diǎn)，占，七，七，且

|liu|,x>0,

為＜w＜七＜匕，貝IJ（

2

A.加的取值范圍是（0,2）B.3"+3”=W

3

C.2$+%的最小值是2aD./〃越大，5+用的值越大

三、填空題

12.某校有36個(gè)班，每班有45人，要求從每班隨機(jī)選派5人觀看“校十佳歌手賽”決賽.在

這個(gè)問(wèn)題中樣本容量是.

13.已知函數(shù)/（x-1）的定義域?yàn)椋?2,3）,則函數(shù)〃x+l）的定義域?yàn)?

14.如圖所示的正六邊形人BCOEF,是由六個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為2cm與2石cm的全等的直角

三角形拼接而成的，該圖形（陰影部分）繞著線段"一的中垂線/旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，

現(xiàn)在用密度為5g/cm'的材料去制造該幾何體，則該幾何體的質(zhì)量為g.（結(jié)果用n表

示）

A

四、解答題

15.某校舉行了交通安全知識(shí)競(jìng)賽，初賽時(shí)，每位參賽選手回答2道題，若2道題全部答對(duì)，

直接進(jìn)入決賽；若2道題都答錯(cuò)，直接淘汰；若恰好答對(duì)1道題，則進(jìn)入復(fù)賽.復(fù)賽時(shí)，每

位參賽選手回答2道題(與初賽時(shí)的題目不同)，若2道題都答對(duì)，則進(jìn)入決賽，否則淘汰.

9

該校學(xué)生甲參加了這次交通安全知識(shí)競(jìng)賽，已知甲初賽時(shí)答對(duì)每道題的概率均為;，復(fù)賽時(shí)

答對(duì)每道題的概率均為H各題答對(duì)與否互不影響.

⑴求甲進(jìn)入決賽的概率；

⑵求甲至少答對(duì)2道題的概率.

16.在VA3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,。且膽+迫里

sinCs\nBbe

(I)求8的大?。?/p>

⑵已知siii4=GsinC,證明：VA3C是等腰三角形.

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

17.已知函數(shù)〃x）=log”工Tog“（6-x）（，＞0,且。工】）.

⑴求“X）的定義域；

⑵若|/（4）|=1，求〃；

（3）求不等式/（耳＞/（243）的解集.

18.如圖I,在VABC中，BC=2叵,"6=60。，4c的垂直平分線OE與AC,八8分別交

于點(diǎn)O,E,且DE=B沿OE將△AE。折起至△FED的位置，得到四棱錐尸-4。＞石，

如圖2.

A

⑴設(shè)尸C=#.

①證明：FDA.BE.

②已知而=4而，是否存在實(shí)數(shù)4,使得CP"平面跳尸？若存在，請(qǐng)求;I"：若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若。尸與平面8CDE所成的角為60。，求二面角/-EC-。的余弦值.

19.定義：區(qū)間上〃,〃］的長(zhǎng)度為〃-機(jī)，區(qū)間［〃間。［。,可的長(zhǎng)度為.

⑴已知不等式tan（9同卜曰在［0.兀］上的解集為4,求A的長(zhǎng)度.

⑵已知!＜。＜2,函數(shù)〃x）=（2sinx-a）（2asiru+l）.

①求在92可上的零點(diǎn)之和；

②若不等式/（小0在［0,2司上的解集為3,求8的長(zhǎng)度的最大值.

答案第6頁(yè)，共17天

《河南省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)1234567891()

答案DDDDCABDACBCD

題號(hào)11

答案BCD

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及模的公式求解即可.

【詳解】1tli‘一1’=i2i-(i2yi=-i-i=-2i,

則p—i5bHi|=2.

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)已知寫(xiě)出集合N,再由集合的交運(yùn)算求集合.

【詳解】由題設(shè)N={-4,-l,2,5,8},則MnN={-l,2}.

故選：D

3.D

【分析】分別列出兩個(gè)事件包含的基本事件，再由充分條件和必要條件的概念判斷即可.

【詳解】連續(xù)射擊兩次，基本事件有4“兩次都中靶“，樂(lè)“兩次都沒(méi)中靶“，C：“第一次

中靶且第二次沒(méi)中靶”，D：“第一次沒(méi)中靶且第二次中靶”.

事件“至少一次中靶”包含了4,C,。.事件“至多一次中靶”包含了4C,。，

所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

4.D

【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差，中位數(shù)和百分位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算.

……58+92+100+70+80+45+6。505”

［詳解］---------------------------=—豐72,A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，小唐這7天每天溶動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是100-45=55,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，將小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)從小到大排列為45,58,60.70.80,92,100,

則小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是70,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)?x80%=5.6,所以第80百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)，即92,D正確.

故選：D

5.C

【分析】由正四棱臺(tái)的結(jié)陶特征，側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，"瓦G/的延長(zhǎng)線必過(guò)此點(diǎn),

可判斷選項(xiàng)中的線線位置關(guān)系.

【詳解】延長(zhǎng)

由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可得側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為P.

E,F,G,H分別為棱A。*?,8cA。的中點(diǎn),

延長(zhǎng)HE,GF,則HE,GF的延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)P,

則直線HE與直線G/相交于點(diǎn)P；與直線相交于點(diǎn)。；與直線CG相交于點(diǎn)尸

；與直線小〃是異面直線.

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)弦切互化，以及二倍角公式即可求解.

w、科i4]sinacosasin2a+cos2a2

【詳角《】tana+----=------i-----=-------------=------=7?

tanacosasinasinacosasin2a

2

故sin2a=亍.

故選：A

7.B

【分析】根據(jù)題設(shè)畫(huà)出示意圖，利用正弦定理可得MC.

【詳解】依題意，畫(huà)出示意圖如下，PM=40,/MPC=135,NCM尸=90-75=15。,

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

MCPM

在△PMC中，/PCM=3(y，由正弦定理得

sinNMPC~sinZPCM

因此的二歿聯(lián)=皿&(海里),

所以乙船前往支援M處的甲船需要航行的最短距離是40日海里.

故選:B.

8.D

—1.4-*-.1_.4—-

【分析】先計(jì)算出"=+進(jìn)而得至IJA/認(rèn)E+利用共線定理佗推論

。JJJ

]4

得到.卜/=1，得到答案.

【詳解】~BF=AF-AB^BC=AC-AB>

又B/^=LBC,故A「一4*=工人仁一』八"，所以A^=LA《+±AU,

55555

因?yàn)橥?./方，AC=yAEt所以/=gy他+白4>,

14

因?yàn)榭谕邚S三點(diǎn)共線，所以53，+己工二葭

故4x+y=5.

故選：D

9.AC

【分析】根據(jù)條件可得不石不共線，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，7,不共線.

人.???以(一1)一3X3=-1()/。，???7〃不共線，A正確.

B「??d=(2,Y))=(一1,2),???〃=—25，故。石為共線向量，B錯(cuò)誤.

C.V-3x2-2x3=-12*0,，萬(wàn)為不共線,C正確.

D.V?=(0,2)^=(0J),：.a=2b，故,而為共線向量，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.BCD

【分析】對(duì)A,由圖數(shù)據(jù)得△CM/V邊長(zhǎng)，求出對(duì)B,由點(diǎn)C坐標(biāo)求出。；對(duì)C,代入x=7

驗(yàn)證最值：對(duì)D,由圖象變換可得.

【詳解】對(duì)于A：如圖，因?yàn)锳CMN為等邊三角形，且高為26，

所以邊長(zhǎng)為4,所以1=4,T=8,/=告=A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）,所以。（3,26），

所以A=2X/L3x2+w=￥+2EMeZ,解得e=-2+2EMeZ

424

又所以夕=-：,B正確；

對(duì)于C：由上知/（x）=2、行sin，而/（7）=2x/5sin（；x7-21=2Qsin￡=-2VJ,

C正確:

對(duì)于D：的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，解析式變?yōu)?/p>

■1/\

y=2＞/3sin-（x+2）---25/3sin—x+—,

[G74j（4^）

即所得圖象與函數(shù)g（x）=2x/5sin仔x+的圖象重合，D正確.

故選：BCD.

11.BCD

【分析】首先畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像即可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤，再利用函數(shù)的性質(zhì)，列出等

式即可得到選項(xiàng)B正確，由王玉二1將選項(xiàng)C化為），=凡+兒=占+’,利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)

?h

性即可判斷CD的對(duì)錯(cuò).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:畫(huà)出/（X）的大致圖象，由圖可知0＜相＜1,則A錯(cuò)誤.

l2+l

對(duì)于選項(xiàng)Rt因?yàn)閮?nèi)＜無(wú)＜與＜匕.所以38"-1+3-1=0,lnv3+1ILV4=0,

2

所以3"+3"=-,x3x4=l，則B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C：由圖可知!＜占＜1,所以2毛+%=2元3+,22&,

e蒼

當(dāng)且僅當(dāng)七=#,凡=&時(shí)，等號(hào)成立，則C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D：5=忍+%=甚+;在，/）上單調(diào)遞減.

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)閮?yōu)越大，與越小，所以S+Z的值越大，則D正確.

12.180

【分析】樣本容量是36個(gè)班一共選派的總?cè)藬?shù).

（詳解】由題意可知在這個(gè)問(wèn)題中樣本容量是36x5=180.

故答案為：180

13.KO

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)求定義域的方法求解即可.

【詳解】由工《-2,3）,得x-l?-3,2）,所以人力的定義域?yàn)椋?3,2）,

令x+I?—3,2）,得xs（Y,l）,所以/（x+l）的定義域?yàn)椋?1）,

故答案為：（T，l）.

14.170n

【分析】外部正六邊形的邊長(zhǎng)為2j§cm,旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)全等的圓臺(tái)，計(jì)算其體

積；內(nèi)部的六邊形邊長(zhǎng)為2cm,旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓柱和兩個(gè)與圓柱同底的圓錐，計(jì)

算其體積，兩體積之差即為該圖形（陰影部分）繞著線段■的中垂線/旋轉(zhuǎn)一周得到的幾

何體的體積，乘以密度即可求解?.

【詳解】外部正六邊形的邊長(zhǎng)為2&m,旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)全等的圓臺(tái)，上底面半

徑為JGcm,F底面半徑為26cm,高為女m,

體積為2xgx3冗［（#丫+（2>/3）2+gx2g=42ncm\

內(nèi)部的六邊形邊長(zhǎng)為2cm,旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓柱和兩個(gè)與圓柱同底的圓錐，

圓錐的底面半徑為Gem?高為1cm,圓柱的底面半徑為JGem,高為2cm,

內(nèi)部的六邊形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積為

所以該幾何體的體積為42兀-8兀=34mm',用密度為5g/cm'的材料去制造該幾何體,

則該幾何體的質(zhì)量為34兀x5=170兀g.

故答案為：1707r.

5嗚

⑵工

9

【分析】(1)分別求得甲初賽答對(duì)2題進(jìn)入決賽的概率與甲初賽答對(duì)1題進(jìn)入決賽的概率,

利用互斥事件的和事件的概率公式可求甲進(jìn)入決賽的概率；

(2)分甲初賽答對(duì)2題，甲初賽答對(duì)I題，復(fù)賽答對(duì)2題，甲初賽答對(duì)I題，復(fù)賽答對(duì)I

題三種情況求解可求得甲至少答對(duì)2道題的概率.

【詳解】(D甲初賽答對(duì)2題進(jìn)入決賽的概率為=

JJX

2(111

甲初賽答對(duì)1題進(jìn)入決賽的概率為2xqxI--x-x-=-,

4I5

所以甲進(jìn)入決賽的概率

(2)甲初賽答對(duì)2題的概率2;'。2=/4,

2(11I

甲初賽答對(duì)1題，復(fù):賽答對(duì)2題的概率為2x.x1-鼻x-x-=-,

2(2、I(2

甲初賽答對(duì)1題，復(fù)賽答對(duì)1題的概率為2乂十1-可x2x-x1--=-,

所以甲至少答對(duì)2道題的概率54+52+：1=73.

16.(1)Y

6

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求解即得.

(2)由(1)的結(jié)論，利用正弦定理邊化角即可推埋得證.

【詳解】(1)在VA8C中，由駕+'辿及正弦定理，得2+叵=《1￡1,

sinCsinZ?becbbe

整理得。2=/+c2-6c.由余弦定理得cos8=9==生=立，而＜兀，

2ac2

所以

6

(2)由siiiA=JGsinC及正弦定理，得a=Gc,由(1)知〃="+，一Gac,

因此從=c2,即力=c,所以VA8C是等腰三角形.

17.(1)(0,6)

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

⑵2或萬(wàn)

⑶答案見(jiàn)解析

【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域構(gòu)造不等式求解即可；

（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；

（3）分和Ovavl判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求解：

【詳解】（1）由題意得L八

6-x>0.

解得0<xv6,即/（"的定義域?yàn)椋?,6）.

（2）由『（4）|=|log“4-log“2|=|log?2|=1,

得log*=l或log2〃=-1,解得。=2或;.

（3）當(dāng)。>1時(shí)，y=bg/,在（0,6）上為增函數(shù)，

又），=6-x在（0,6）上為減函數(shù)，y=log“（6-x）在（0,6）上為減函數(shù)，

則/（力=log^-log,（6-x）是增函數(shù)，

由/（<）>/（24-3）,得0<2.r-3<xv6,

解得十<3,即〃力>心一3）的解集為佟3；

當(dāng)0<a<I時(shí)，y=logflx在（0,6）上為減函數(shù)，

又），=67在（0,6）上為減函數(shù)，所以y=loga（6r）在（0,6）上為增函數(shù),

可得〃i）=log/Toga（67）是減函數(shù)，

由，（力>/（2工一3）,得0cx<2x—3<6,

o9A

解得3cx<不，即/（x）>/（2x-3）的解集為3,-.

綜上：當(dāng)。>1時(shí)，解集為停3}

當(dāng)0<〃<1時(shí)，解集為0,g）.

18.（1）①證明見(jiàn)解析；②存在，2=1

⑵立.

7

【分析】（1）①用正弦定理求得各邊長(zhǎng)度，再用勾股定理逆定理判定垂直；②構(gòu)造平行四邊

形，進(jìn)而求得2;（2）構(gòu)造出二面角的平面角，再通過(guò)解三角形求解角的余弦值

【詳解】（1）①證明：如圖，在V4BC中，記/1B的中點(diǎn)為G,連接G。.

由題意，GO是VABC的中位線,

因?yàn)?。=2夜，/8=60。，所以GO二拉，NEGD=120。,

GDED

在△￡（%>中，由正弦定理得

sinZ.GEDsinZ.EGD

即,^WsinZGED=-.

sinAGEDsin120°2

因?yàn)镹EGD=120°,且ED>GD,所以NGED=45°.

因?yàn)镺E是AC的垂直平分線，所以VAOE是等腰直角三角形，所以?！?40=。。=石.

在翻折后，DE上FD,DELDC.

因FC=",有F￡>2?=pg?,所以△?。〤是等腰直角三角形.

故FDLED,FD1DC,EO與。C相交于。，且功,DCu平面8CDE,所以ED_L平面

BCDE.

因?yàn)?Eu平面3CQE,B￡u平面8CDE,所以FD1.8E.

②解：由①知在四棱錐產(chǎn)-BC。石中，DE,DF,QC兩兩垂直，

延長(zhǎng)石。至點(diǎn)Q,使得DQ=ED=6則NQQC=45。.

延長(zhǎng)㈤至點(diǎn)尸，使得PD=FD=g,則"P0=45。.

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)镹B￡O=135。，/OQC=45。，所以CQNBE,

CQ不在平面BE尸內(nèi)，BEu平面BE尸,

所以CQ〃平面BE尸，

因?yàn)镹EFO=45。，4>P0=45。，所以PQ//E/"

PQ不在平面班廠內(nèi)，EFu平面BEF,

所以PQ“平面8E/L

因?yàn)镃Q與PQ相交于Q,且CQ,PQu平面CPQ,

所以平面CPQ〃平面3EF.

因?yàn)镃Pu平面CPQ,所以CP//平面BEF.

此時(shí)而=加，即4=1.

(2)

過(guò)。作ZW_La1于M,過(guò)用作MN_LCE,交CF于N,連接QN.

則4DMN即為二面角廠-EC-。的平面角.

因?yàn)椤闐_L&),ED1CD,尸。與CO相交于。，且平面FCD所以瓦〃平面FCE).

又因?yàn)椤闐u平面8CE。，所以平面3C￡O_L平面廠CD.

所以CO是直線C/在平面8CED的投影，故NR7。即為C尸與平面8COE所成角，所以

ZFCD=60°.

因?yàn)槭琎=/)C=6，所以/c=J5.

因?yàn)椤=OC=石，ED1CD,且M為C石的中點(diǎn)，所以CM=OM=。.

因?yàn)镋F=CE=y/b,FC=G?故cosZ.ECF==--.

2x/64

在ACMN中，ZGW=90°,cos/MCN=旦,CM旦

42

所以小孚CN=28.

在△CDV中，/DCN=60°,CN=26,CD=6所以￡W=3.

在△OMN中，DN=3,DM=—,MN=—

22

642_

DM、MN?-DN2^+彳―_嶼

由余弦定理得cos4DMN=

2DMMN2*旦x叵丁

22

即二面角?EC-。的余弦值為五.

7

19.(l)y

47r

⑵①471；②7

【分析】（1）解不等式可得A,結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度的定義即可求解;

（2）①由已知解方程可得/（1）在［0,2可上有4個(gè)零點(diǎn)，設(shè)sinx=￡的兩根為%,%（王＜與）,

如二-五的兩根為3—結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解；②由①結(jié)合已知

條件可知8的長(zhǎng)度為玉一%+/-玉=4兀-2（演十王），由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合基本

不等式可知8洶-cosx3＞--j,由兩角差的余弦公式可得cos（x