第17講圓錐曲線的綜合問題（4大考點母題突破+強化訓練）[考情分析]1.圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點內(nèi)容，常見的熱點題型有范圍、最值問題，定點、定直線、定值問題及探索性問題.2.以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．知識導圖考點分類講解母題突破1：范圍、最值問題規(guī)律方法求解范圍、最值問題的常見方法(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系．(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．(4)利用基本不等式．【例1】(2023·全國甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，|AB|＝4eq\r(15).(1)求p；(2)設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，求△MFN面積的最小值．思路分析?聯(lián)立方程利用弦長求p?設(shè)直線MN：x＝my＋n和點M，N的坐標?利用eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，得m，n的關(guān)系?寫出S△MFN的面積?利用函數(shù)性質(zhì)求S△MFN面積的最小值解(1)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，所以|AB|＝eq\r(5)×eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝4eq\r(15)，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(負值舍去)．(2)由(1)知y2＝4x，所以焦點F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，因為eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2).設(shè)點F到直線MN的距離為d，所以d＝eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))，|MN|＝eq\r(1＋m2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋m2)eq\r(16m2＋16n)＝eq\r(1＋m2)eq\r(4n2－6n＋1＋16n)＝2eq\r(1＋m2)|n－1|，所以△MFN的面積S＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×2eq\r(1＋m2)|n－1|×eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))＝(n－1)2，而n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2)，所以當n＝3－2eq\r(2)時，△MFN的面積最小，為Smin＝(2－2eq\r(2))2＝12－8eq\r(2)＝4(3－2eq\r(2))．【變式1】（2023·遼寧撫順·模擬預測）設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，確定，根據(jù)向量之間的關(guān)系得到，得到，，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，設(shè)，顯然當時，，當時，，要想求解直線OM的斜率的最大值，此時．

設(shè)，，，則，即，解得．，故，即，，故，當且僅當，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為．故選：B.【變式2】（2024·陜西·模擬預測）已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，拋物線的準線與軸的交點為．(1)若點的橫坐標大于1，當直線與拋物線的另一個交點恰好為線段的中點時，求直線的方程；(2)求內(nèi)切圓的圓心到坐標原點距離的最大值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）設(shè)，依題意得到關(guān)于的方程組，進而求得的坐標，結(jié)合即可得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，證得內(nèi)切圓的圓心在軸上，再利用角平分線定理得到，分析的取值情況，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）由題意，知，設(shè)，則，又，所以線段的中點坐標為，代入拋物線方程，得，聯(lián)立，解得或，所以或，又，所以或，所以直線的方程為或，即或.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理，得，所以，所以，所以，即內(nèi)切圓的圓心在軸上，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由角平分線定理，得，過點作拋物線準線的垂線，設(shè)垂足為，則，即，故當最大時，最小，所以只有當直線與拋物線相切時，取得最小值，此時直線斜率存在，設(shè)切線為，聯(lián)立，消去，得，則，解得，則的最小值為，易知，則，解得，所以內(nèi)切圓的圓心到坐標原點距離的最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.【變式3】（2024·全國·模擬預測）第一象限的點在拋物線上，過點作軸于點，點為中點．(1)求的運動軌跡曲線的方程；(2)記的焦點分別為，則四邊形的面積是否有最值？【答案】(1)(2)在上沒有最值．【分析】（1）設(shè)，得到，求出，，得到軌跡方程；（2）根據(jù)四邊形為梯形，表達出面積，求導得到單調(diào)性，在上沒有最值.【詳解】（1）設(shè)，，則有，其中，因為是的中點，所以，則，即，，故的運動軌跡曲線的方程．（2）因為與平行，所以四邊形是梯形，

其上底為，下底為，高為，所以其面積，又，所以，令，則，所以即關(guān)于單調(diào)遞增，

又當時，；時，，所以在上沒有最值．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法，（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．母題突破2：定點(定直線)問題規(guī)律方法動線過定點問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m,0)．(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．【例2】（2024·江西·一模）已知橢圓的左右頂點分別為A、B，點C在E上，點分別為直線上的點.(1)求的值；(2)設(shè)直線與橢圓E的另一個交點為D，求證：直線經(jīng)過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法一：設(shè)，根據(jù)斜率公式得，然后根據(jù)點C在橢圓上化簡即可求解；解法二：設(shè)，利用三點共線的向量形式求得，，結(jié)合點C在橢圓上化簡即可求解；（2）解法一：聯(lián)立直線MA與橢圓E方程，利用韋達定理得，同理得點的坐標為，分類討論求得直線的方程，即可求得直線經(jīng)過的定點；解法二：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓E方程，結(jié)合韋達定理利用求得，從而求得直線經(jīng)過的定點.【詳解】（1）解法一：設(shè)，由題可知，，又，由，在上，則，，.解法二：設(shè)，則，∵A、C、M三點共線，∴，同理：，∴，又在曲線E上，∴，代入上式得：.（2）解法一：由題可知，直線MA的方程為：，聯(lián)立方程可得：，=45>0，，，又，，，同理可得點的坐標為，（i）當直線垂直于x軸時，，即，，，此時直線的方程為；（ii）當直線不垂直于x軸時，，故直線的方程為，令，則，整理得，此時直線經(jīng)過定點綜上，直線經(jīng)過定點.解法二：由，又，∴，由題可得直線顯然不與x軸平行，設(shè)直線的方程為：，由得，，又，由得或（舍去），∴直線：，∴直線經(jīng)過定點.【變式1】（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的左頂點為，，為上的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點.若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】過定點，【分析】根據(jù)題意，平移坐標系，得到直線與橢圓方程，聯(lián)立之后結(jié)合韋達定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】將坐標系左移2個單位長度（即橢圓右移），則橢圓方程變?yōu)?，?設(shè)直線為直線，平移后為直線，聯(lián)立齊次化得，整理可得，兩邊同除以，得，則，解得.把代入直線中，得，當時，，所以過定點，則直線過定點.【變式2】（23-24高三下·四川綿陽·階段練習）已知點在拋物線上，為拋物線上兩個動點，不垂直軸，為焦點，且滿足．(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過定點；(2)設(shè)（1）中定點為，當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）代入點的坐標可得拋物線方程，聯(lián)立方程，利用垂直和平分求出垂直平分線的方程可得答案；（2）先求出弦長和高，表示出三角形的面積，利用導數(shù)求解可得答案.【詳解】（1）將點代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得，，由韋達定理得，根據(jù)拋物線定義：，可得，此時，解得或，設(shè)的中點坐標為，則，可得的垂直平分線方程為：，將代入整理得：，故的垂直平分線過定點．（2）由（1）可得，且點到直線的距離，則的面積為，可得，

設(shè)，設(shè)，則令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當時，的面積取最大值，此時，即．此時.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題求解方法：先把目標式表示出來，根據(jù)目標式的特點選擇合適的方法進行求解，常用方法有：①二次函數(shù)法：利用換元法，目標式化成二次型，結(jié)合二次函數(shù)求解；②基本不等式法：把目標式化成能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求解；③導數(shù)法：求解導數(shù)，利用導數(shù)求解最值.【變式3】（23-24高三下·江西·開學考試）設(shè)拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點、．當直線垂直于軸時，．(1)求拋物線的標準方程．(2)已知點，直線、分別與拋物線交于點、.①求證：直線過定點；②求與面積之和的最小值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②.【分析】（1）利用弦長求解，即可求解拋物線方程；（2）①設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達定理找到坐標關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點；②利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得與面積之和的最小值．【詳解】（1）解：由題意，當直線垂直于軸時，直線的方程為，聯(lián)立可得，則，所以，即，所以拋物線的方程為.（2）證明：①若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，同理可知，直線也不與軸重合，易知點，設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，因此，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，則，同理可得.所以.因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點.解：②記點，，，所以，，當且僅當時，等號成立，故與面積之和的最小值為.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.母題突破3：定值問題規(guī)律方法求解定值問題的兩大途徑(1)由特例得出一個值(此值一般就是定值)→證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)．(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值．【例3】（2024·遼寧撫順·一模）已知雙曲線的中心為坐標原點，其右焦點到漸近線的距離為，離心率為，(1)求雙曲線的標準方程；(2)記雙曲線的左、右頂點分別為，點為雙曲線的右支上異于點的動點，直線與直線相交于點，直線與雙曲線的另一個交點為，直線垂直于點，問是否存在點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由，【答案】(1)(2)存在點使為定值3，的坐標為【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合點線距離公式與雙曲線的離心率得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到，再由三點共線與三點共線得關(guān)于的方程，分析得，從而得到直線過定點，進而求得點，由此得解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的右焦點為，雙曲線的標準方程為，則其漸近線為，由已知可得，結(jié)合，可得，所以雙曲線的標準方程為，（2）由已知，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，①則，且由這個方程的判別式可得，設(shè)，則，由已知可得，設(shè)，由三點共線可得，由三點共線可得，消去并整理得，又，所以上式可化為，即，整理可得，若，則，代入①式可得，因為點不與點重合，所以，即，所以，所以，即，所以直線過定點，因為直線垂直于直線，垂足為點，所以點在以為直徑的圓上，所以存在點使為定值3，此時點的坐標為，【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.【變式1】（23-24高三下·江西·開學考試）已知橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點.(1)若點為上一動點，求的最大值與最小值；(2)若，求的斜率；(3)在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)(3)存在定點【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義可得，則，當點與的左、右頂點重合時取到最值；（2）設(shè)，根據(jù)平面共線向量的坐標表示可得，結(jié)合求出點B的坐標，利用兩點表示斜率公式計算即可求解；（3）假設(shè)滿足條件的點存在，易知直線的斜率不存在時；設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示可得，當直線的斜率存在時，設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示出，代入，化簡計算即可求解.【詳解】（1）設(shè)的左焦點為，則，由橢圓的定義知，，所以，當且僅當點與的左頂點重合時取等號，即的最大值為；，當且僅當點與的右頂點重合時取等號.即的最小值為.（2）設(shè)，則由，得，所以，即，又在上，所以，即解得即.故直線的斜率為.（3）假設(shè)滿足條件的點存在，設(shè)，則，當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，把代入，得，所以，，，所以為定值，所以，解得，存在定點，使得為定值；當直線的斜率不存在時，易得滿足為定值.綜上，存在定點，使得為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【變式2】（2024·湖南邵陽·二模）已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點.(1)若經(jīng)過點，且，求；(2)若經(jīng)過點，且兩點在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點，使得為定值.若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）先利用點在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討論，存在時，設(shè)出直線方程，利用韋達定理法表示出，再代入直線方程表示出，最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率，再代入弦長公式求出弦長；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線方程，利用韋達定理法表示出，要使為定值，則，解出后得到點的坐標，再用弦長公式表示出三角形的面積，最后利用換元法和分離常數(shù)法結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.【詳解】（1）

把代入得：，又.又，解得.雙曲線方程為.若直線的斜率不存在時，，此時不妨設(shè).，舍去.若的斜率存在，設(shè)方程為，代入，化簡得，，設(shè)，則，.，得，即.則..（2）

假設(shè)存在，使得為定值.設(shè)方程為，代入，化簡得.由題意..由題意.要使為定值，則，解之得.存在，使得為定值.此時令，..由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在遞減，在時取得最大值1.的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）求弦長時，可用弦長公式，韋達定理表示出兩根之和和兩根之積；（2）對于直線過定點問題時，可采用向量垂直數(shù)量積為零，求出關(guān)于參數(shù)的方程，再討論定點問題；（3）求圓錐曲線中三角形的面積最值問題時，可用弦長公式表示出面積，再結(jié)合換元法或基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最值.【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知，分別為有心二次曲線的左、右焦點，為曲線上任意一點，直線，分別交曲線于點（異于點），設(shè)，，求證：為定值．【答案】證明見解析【分析】將，代入曲線方程,，然后結(jié)合定比分點公式化簡整理求.【詳解】設(shè)，，．因為，所以，將，代入曲線方程，得，，得．兩邊同除以，并整理得，所以，即．又，即，兩式相加，得．同理，所以為定值．定比分點公式：若，則稱點M為AB的定比分點，若，，則.母題突破4：探究性問題【例4】（2024·重慶·模擬預測）已知點和直線，點到的距離.(1)求點的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點的直線與點的軌跡交于，兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用直接法求得軌跡方程；（2）設(shè)，，分別表示，及，進而表示，可知，當時，為定值，即面積為定值.【詳解】（1）設(shè)點，由，當時，，不成立，所以，則，即；（2）設(shè)，，則，，又點在橢圓上，則，則，同理，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，則，則，所以當時，為定值，即面積為定值.

【變式1】（22-23高三下·浙江紹興·開學考試）在平面直角坐標系中，已知橢圓C：.(1)設(shè)是橢圓上的一個動點，求的取值范圍；(2)設(shè)與坐標軸不垂直的直線交橢圓于兩點，試問：是否存在滿足條件的直線，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)點，將轉(zhuǎn)化為坐標表示，求取值范圍；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)中點為D，若是以B為直角頂點的等腰直角三角形，則，，解出直線方程.【詳解】（1）設(shè)點，則，，因為，所以當時，，當時，，所以.（2）設(shè)直線l：（），，，，消去y得，，由題，，，，，，若是以B為直角頂點的等腰直角三角形，則，，所以，①設(shè)中點為D，則，因為，所以，即，②由①②，得，或，，滿足，所以存在直線l使得是以B為直角頂點的等腰直角三角形，直線方程為或.【變式2】（2024·福建泉州·模擬預測）已知中心在原點、焦點在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過E的右焦點F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長為6．(1)求E的方程；(2)若面積為3的的三個頂點均在E上，邊過F，邊過原點，求直線的方程：(3)已知，過點的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點P，Q，l上是否存在點S滿足，且？若存在，求點S的橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)不存在，理由見解析【分析】（1）依題意設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)條件即可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線與雙曲線相交，由弦長公式及三角形面積公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)直線與雙曲線相交，由條件得出點S的軌跡可判斷結(jié)果.【詳解】（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，

因為E中心在原點、焦點在x軸上，所以設(shè)E的方程為，

令，解得，所以有

①

又由離心率為2，得

②，由①②解得，所以雙曲線E的標準方程是．（2）設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線過原點及對稱性，知，

聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，

所以，且，

所以，解得，

所以直線的方程是或．

（3）若直線l斜率不存在，此時直線l與雙曲線右支無交點，不合題意，故直線l斜率存在，設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，依題意有，因為恒成立，所以，故，解得：，

設(shè)，，則由韋達定理，得，設(shè)點S的坐標為，由，得，則，變形得到，將，代入，解得，將代入中，解得，消去k，得到點S的軌跡為定直線：上的一段線段（不含線段端點，，設(shè)直線與雙曲線切于，直線與漸近線平行時于交點為）．

因為，，且，取中點，因為，所以，所以，故，即S的軌跡方程為，表示以點H為圓心，半徑為的圓H，設(shè)直線與y軸，x軸分別交于，，依次作出直線，，，，且四條直線的斜率分別為：，，，，因為，所以線段是線段的一部分

經(jīng)檢驗點，均在圓H內(nèi)部，所以線段也必在圓H內(nèi)部，因此線段也必在圓H內(nèi)部，所以滿足條件的點S始終在圓H內(nèi)部，故不存在這樣的點S，使得，且成立．

【點睛】直線與圓錐曲線相交，常利用“設(shè)而不求”的方法解決弦長，面積，數(shù)量積，斜率等問題.【變式3】（2024·廣東佛山·二模）已知以下事實：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標軸是其兩條漸近線．(1)（?。┲苯訉懗龊瘮?shù)的圖象的實軸長；（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．(2)已知點是曲線的左頂點．圓：（）與直線：交于、兩點，直線、分別與雙曲線交于、兩點．試問：點A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)（ⅰ）2；（ⅱ）．(2)存在，點A到直線距離的最大值為2，．【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；（2）方法一：設(shè)，，，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進而求出兩點的縱坐標，結(jié)合，即可求得參數(shù)之間的關(guān)系，代入，即可求得答案；方法二：設(shè)，，，，，利用，的方程求出，，的表達式，即可得的坐標，從而求出的方程，可推出過定點，即可求得答案；方法三：設(shè)，，，，，可得，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程化簡得出，變形后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，求出n，即可推出過定點，即可求得答案..【詳解】（1）（ⅰ）由題意可知雙曲線的實軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點為，故實軸長為；（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得，所以，，①，因為：，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過點A，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當且僅當，即時取得，此時方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得，為此方程的一根，另外一根為，則，代入方程得，，同理可得，，即，，則，所以直線的方程為，所以直線過定點,所以．當且僅當，即時取得，解得,綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法三：設(shè)，，，，，則，依題意，直線不過點A，可設(shè)：，曲線的方程改寫為，即，聯(lián)立直線的方程得，所以，若，則，代入直線方程，無解；故，兩邊同時除以得，則，得，在直線：中，令，則，所以，恒過，所以，，當且僅當，即時取得，此時，符合題意，且方程為，解得，，，綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為．【點睛】難點點睛：本題考查雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中的難點是求解最值問題，解答時要注意利用直線方程和雙曲線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進行化簡，難點就在于化簡的過程十分復雜，計算量大，并且基本上都是有關(guān)字母參數(shù)的運算，需要有較強的計算能力.強化訓練1.（2024·江蘇·模擬預測）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點和坐標原點，點為橢圓上異于的一動點，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)過橢圓的右焦點的直線與交于兩點，記的面積為，過線段的中點作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.①求的取值范圍；②求證：為定值.【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達式，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；②利用中點坐標公式求得，得出斜率表達式即可得，可得為定值.【詳解】（1）由題意知，解得，所以的方程為；（2）①易知，設(shè)直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在時單調(diào)遞增；所以可得；即的取值范圍為.②易知，可得；所以；因此為定值.2.（22-23高三上·河南焦作·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與橢圓僅有個不同的公共點，且橢圓上一點到的距離之和為．(1)求的方程；(2)經(jīng)過定點的動直線交于，兩點，，若恒成立，求點到點的最小距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓與橢圓交點個數(shù)可知，結(jié)合橢圓定義和橢圓之間關(guān)系即可求得橢圓方程；（2）易知在橢圓內(nèi)部；當直線斜率為時，不是定點，不合題意，由此可設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論；根據(jù)可知，由斜率公式和韋達定理的結(jié)論可化簡得到或；分析可知滿足題意，由此確定；設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值的求解問題，由此可得結(jié)果.【詳解】（1）以為直徑的圓與橢圓僅有個不同的公共點，，由橢圓定義知：，解得：，，解得：，的方程為：.（2）若點在橢圓上或橢圓外，此時，不合題意，在橢圓內(nèi)部，即；當直線斜率為時，為橢圓左右頂點，此時恒成立，則不是定點，不合題意；當直線斜率不為時，設(shè)，由得：，，則；設(shè)，，則，；，，，.或；當時，，此時恒成立，則不是定點，不合題意；當時，滿足；綜上所述：定點的坐標為；設(shè)，則，當時，，即點到點的最小距離為.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系或求得變量的值；④利用變量間的關(guān)系或變量值確定定點坐標.3.（2024·陜西西安·一模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線，其焦點為F，過點F的直線l交拋物線S于A和B兩點，，角（如圖）．(1)求拋物線S的方程；(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點，若存在，求出該兩點所在直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及給定弦長求出即得.（2）假設(shè)存在符合要求的兩點，并設(shè)出兩點坐標，再利用對稱思想列式求解判斷即得.【詳解】（1）拋物線的焦點，直線方程為，設(shè)，由消去得：，則，，，于是，解得，所以拋物線S的方程為.（2）由（1）知直線：，假設(shè)在拋物線S上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點，設(shè)這兩點坐標為，于是直線的斜率，解得，線段的中點在直線上，則，而應(yīng)在線段上，必有與矛盾，所以在拋物線S上不存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點.【點睛】思路點睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式（或），若不過焦點，則必須用一般弦長公式.4.（2024·安徽阜陽·一模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，動直線過點，當直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點到直線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程．(2)當直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為．是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，進而可得，根據(jù)兩點斜率公式表達斜率，進而代入化簡即可求解.【詳解】（1），故當直線過且與雙曲線有且僅有一個公共點時，與的漸近線平行．設(shè)直線，則點到直線的距離為，所以雙曲線的標準方程為．（2）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，由得．成立，則，．，．故存在實數(shù)，使得成立．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線相交的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．5.．（2024高三·全國·專題練習）如圖，過橢圓上的定點作傾斜角互補的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點，求證：直線的斜率是定值.【答案】證明見解析【分析】設(shè)直線的方程為，，將橢圓方程化為，與直線方程聯(lián)立，齊次化并整理，再利用韋達定理求出，再結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得直線不過點，且直線的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，，因為，所以橢圓方程可化為，聯(lián)立，齊次化并整理可得，由韋達定理得，又因為，所以，所以，故直線的斜率為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．6．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點.(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）將直線方程與橢圓方程齊次化，利用韋達定理可得直線EF的方程為，可得結(jié)論；（2）由（1）中的結(jié)論由韋達定理可得直線EF的方程為，得出證明.【詳解】（1）設(shè)直線EF方程為，即，從而.又橢圓過點，可得整理可得所以即則顯然這是一個關(guān)于的一元二次方程.對于問題（1），由韋達定理得所以，故，則所以直線EF恒過定點.（2）對于問題（2），由韋達定理得所以，則，所以直線EF恒過定點.7．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知雙曲線：的左右焦點為，，其右準線為，點到直線的距離為，過點的動直線交雙曲線于，兩點，當直線與軸垂直時，．(1)求雙曲線的標準方程；(2)設(shè)直線與直線的交點為，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）由右焦點到右準線的距離以及通徑長度，結(jié)合之間的平方關(guān)系即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達定理得，用以及的坐標表示出點以及的方程，根據(jù)對稱性可知，只需在的直線方程中，令，證明相應(yīng)的為定值即可求解.【詳解】（1）由題意，所以雙曲線的標準方程為.（2）由題意，當直線斜率為0時，直線，當直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，，，所以，直線的方程為：，所以的方程為，由對稱性可知過的定點一定在軸上，令，又，所以，所以直線過定點.8．（2022高三·全國·專題練習）已知點P是橢圓C:上的動點，，求的最小值.【答案】【分析】首先得出的表達式，再對其分類討論求最小值即可解決.【詳解】設(shè)，則則==，當時，，在時取最小值，當時，，在時取最小值，當時，，在時取最小值綜上，9．（2024·北京豐臺·一模）已知橢圓()的焦距為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的周長為16．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為．是否存在定點，使得？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)根據(jù)焦距可求c，根據(jù)已知四邊形周長及a、b、c的關(guān)系可求出a、b，從而可求橢圓標準方程；(2)由題可知，若存在定點，使得，等價于以為直徑的圓恒過定點．從而只需從直線l斜率不存著時入手求出該定點D，斜率存在時驗算即可．【詳解】（1）由題意得解得∴橢圓的方程為．（2）若存在定點，使得，等價于以為直徑的圓恒過定點．當直線的斜率不存在時，為直徑的圓的方程為①，當直線的斜率為0時，令，得，因此為直徑的圓的方程為②．聯(lián)立①②，得猜測點的坐標為．設(shè)直線的方程為，由得．設(shè)，則∴綜上，存在定點，使得．10．（2024·河北滄州·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若雙曲線上動點Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點，其中O為坐標原點，求證：的面積S是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程結(jié)合點到直線的距離公式可求雙曲線方程；（2）討論直線的斜率是否存在，且當直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，線段的長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）由已知得漸近線方程為，右焦點，，，，解得．，，，雙曲線C的標準方程為；（2）①當直線經(jīng)過雙曲線的頂點時直線的斜率不存在，此時直線方程為，此時易得，點到直線的距離為，所以此時；②當直線的斜率存在時，設(shè)直線為，由得，因為直線于雙曲線相切，所以且，整理得且，即，由得，則，同理得到，所以點到直線的距離所以，所以的面積為定值.

【點睛】方法點睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進而求出面積是解題關(guān)鍵.11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知橢圓：，是的一個焦點，是上一點，為的左頂點，直線與交于不同的兩點，．(1)求的方程；(2)直線，分別交軸于，兩點，為坐標原點；在軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，H的坐標為和．【分析】（1）將點坐標代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，解方程組即可求解；（2）設(shè)點，表示出直線的方程，從而得到點的坐標，同理得到點的坐標，再由得到，坐標代入后結(jié)合題中條件進一步計算求出點的坐標即可求解.【詳解】（1）由題意可知，橢圓C的半焦距，由得，把D的坐標代入C的方程得，由解得所以C的方程為．（2）假設(shè)在軸上存在點H，使得．設(shè)，由，可知，所以，即，所以．因為直線交橢圓C于P，Q兩點，則P，Q兩點關(guān)于y軸對稱．設(shè)，，（，且），由題意得，則直線RP的方程為，令，得，直線RQ的方程為，令，得，因為，所以，又因為在C上，所以，即，所以，得．當時，由，得，，，所以，，所以，又，為銳角，所以，所以，滿足題意，同理當時，也滿足題意．所以，在軸上存在點H，使得，且H的坐標為和．12．（2024·山東濟南·一模）已知雙曲線C：的左右頂點分別為，，過點的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點.(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；(3)設(shè)G為直線與直線的交點，，的面積分別為，，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3)3.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準確運算，即可求解；（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因為直線與雙曲線的右支交于兩點，可得，解得，又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.（2）解：由雙曲線，可得，，由（1）可得，，則.所以.（3）解：由（2）可知，所以直線與直線的方程分別為和，聯(lián)立兩直線方程可得交點的橫坐標為，于是，故的最小值為，當且僅當時取等號成立.

【點睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、代數(shù)方法：當題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個目標函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.13．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知橢圓經(jīng)過點，下頂點為拋物線的焦點．(1)求橢圓的方程；(2)若點均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（ⅰ）求證：直線過定點；（ⅱ）當時，求直線的方程．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標，即可得到，再由橢圓過點，求出；（2）（?。┰O(shè)直線的方程為，、，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理得，代入后化簡得的值，代入直線方程可得定點坐標；（ⅱ）設(shè)直線恒過定點為，由，可得，結(jié)合（?。┲许f達定理求出、，即可求出，從而求出直線方程.【詳解】（1）拋物線的焦點為，所以橢圓的下頂點，則，又橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓方程為；（2）（?。┊斨本€的斜率不存在時，設(shè)，則，所以，則，與矛盾，所以直線的斜率存在，由已知直線斜率同號，因此直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，由，可得，所以，，則，，所以，即，所以，解得或，當時直線方程為，令，可得，所以直線恒過定點，不合題意，當時直線方程為，令，可得，所以直線恒過定點，符合題意．綜上可得直線恒過定點.（ⅱ）設(shè)直線恒過定點為，此時，解得，由，可得，又，，所以，，所以，解得，滿足，所以，所以直線方程為.

【點睛】方法點睛：處理圓錐曲線上直線過定點問題的方法．設(shè)出直線方程為，設(shè)交點坐標為，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達定理得，代入題中關(guān)于交點的滿足的的條件可得出關(guān)系，從而代入直線方程后得定點坐標．14．（2024·貴州黔東南·二模）已知雙曲線的漸近線方程為的焦距為，且.(1)求的標準方程；(2)若為上的一點，且為圓外一點，過作圓的兩條切線，（斜率都存在），與交于另一點與交于另一點，證明：（i）的斜率之積為定值；（ii）存在定點，使得關(guān)于點對稱.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用漸近線方程可得，再由焦距為以及即可求得，，可得的標準方程為；（2）（i）設(shè)切線方程為，利用直線和圓相切可得，再由韋達定理整理可得的斜率之積為定值，且定值為2；（ii）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，同理可求出，化簡得，所以，因此關(guān)于點對稱.【詳解】（1）因為的漸近線方程為，所以，則，所以，因為，所以，得.因為，所以，可得，所以，故的標準方程為.（2）證明：（i）設(shè)，如下圖所示：設(shè)過點的切線的斜率為，則切線方程為，即，所以，即，因此的斜率是上式中方程的兩根，即.又因為所以所以的斜率之積為定值，且定值為2.（ii）不妨設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，聯(lián)立，得.因為，所以，則，同理可得，所以.因為，所以.所以，得.因為都在上，所以或（舍去），所以存在定點，使得關(guān)于點對稱.【點睛】方法點睛：處理圓錐曲線中定點、定值時，經(jīng)常聯(lián)立直線和曲線方程利用韋達定理對表達式進行整理化簡，便可得出結(jié)論.15．（23-24高三下·浙江·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線與拋物線交于M，N兩點在第一象限）.(1)當時，求直線的方程;(2)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點（異于點O，M，N），（i）證明:△MND的重心的縱坐標為定值，并求出此定值;（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；縱坐標為0；（ii）.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，由韋達定理和已知關(guān)系即可求解.（2）（i）由O，M，D，N四點共圓，設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，由方程根的思想即可求解.或O，M，C，N四點共圓，由，，也可求解.（2）（ii）記的面積分別為，分別聯(lián)立方程先求出，所以，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進一步化簡為，再結(jié)合導數(shù)進而求解.【詳解】（1）解:設(shè)直線聯(lián)立，消去，得，所以，，則，則，又由題意，直線的方程是;（2）（1）方法1:設(shè)因為O，M，D，N四點共圓，設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，即，所以即為關(guān)于的方程的3個根，則，因為，由的系數(shù)對應(yīng)相等得，，所以的重心的縱坐標為0.方法2:設(shè)，則，因為O，M，C，N四點共圓，所以，即，化簡可得:，所以的重心的縱坐標為0.（2）記的面積分別為，由已知得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，所以，所以，由（1）得，，所以，即，因為，點到直線MN的距離，所以，所以在第一象限，即，依次連接O，M，D，N構(gòu)成凸四邊形OMDN，所以，即，又因為，即，即，所以，即，即，所以，設(shè)，則，令，則，因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.16．（2024·云南昆明·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿足.(1)求的平分線所在的直線的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異的兩點，若存在，請找出這兩點；若不存在請說明理由；(3)已知雙曲線與橢圓有共同的焦點，且雙曲線與橢圓相交于，若四邊形的面積最大時，求雙曲線的標準方程.【答案】(1)(2)不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點，理由見解析(3)【分析】（1）結(jié)合橢圓定義與角平分線性質(zhì)計算即可得；（2）利用反證法，假設(shè)存在，設(shè)出該直線，聯(lián)立后借助韋達定理找出矛盾點即可得假設(shè)不成立；（3）設(shè)出雙曲線的標準方程后，表示出四邊形的面積后借助基本不等式計算即可得.【詳解】（1）設(shè)的平分線與軸交于點，由，則，由，有，故，故，則，解得，故，由角平分線的性質(zhì)可得，所以，解得，故，則有，即直線的方程為；

（2）假設(shè)存在兩點關(guān)于直線對稱，則，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，即，所以的中點坐標為，因為的中點在直線，所以，所以，所以的中點坐標為，與點重合，矛盾，所以不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點；（3）由題意知，，設(shè)與橢圓共焦點的雙曲線的標準方程為，設(shè)它們的一個交點坐標為，它們的交點為頂點的四邊形面積記，所以，當且僅當取得等號，因為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標準方程為.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.17．（2024·廣東廣州·一模）已知為坐標原點，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過點.(1)求的方程：(2)若直線與交于，兩點，且，求的取值范圍：(3)已知點是上的動點，是否存在定圓，使得當過點能作圓的兩條切線，時（其中，分別是兩切線與的另一交點），總滿足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)焦距以及經(jīng)過的點即可聯(lián)立求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，進而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算化簡得，根據(jù)弦長公式，結(jié)合不等式即可求解，（3）根據(jù)圓心到直線的距離可得，進而根據(jù)數(shù)量積運算可判斷，結(jié)合對稱性即可求解；或者利用切線關(guān)系得,根據(jù)斜率相乘關(guān)系，代入韋達定理化簡可得半徑.【詳解】（1）由題意可得，解得，故雙曲線方程為（2）當直線斜率不存在時，設(shè),將其代入雙曲線方程，又，解得，此時，當直線斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè),聯(lián)立，故，則，化簡得，此時，所以，當時，此時，當時，此時，，故，因此，綜上可得.

（3）解法一：當直線與相切時，圓心到直線的距離，設(shè)設(shè),類似（2）中的計算可得，所以，由雙曲線的對稱性，延長交雙曲線于另一點,則，且，根據(jù)軸對稱性可得,且直線與也相切，即即為,符合題意，

當或斜率不存在時，此時，，顯然滿足題意，故存在這樣的圓，半徑為解法二：

設(shè)，，由于為圓的切線，平分，且,所以,設(shè)過點與圓相切的直線方程為（直線斜率存在時），，將兩根記為，，同理可得故，故存在這樣的圓，半徑為當或斜率不存在時，此時，，顯然滿足題意，故存在這樣的圓，半徑為【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將用k表示出來