第三節(jié)視覺系統(tǒng)的幾何特性

在任何特定的理論中，只有其中包含數(shù)學(xué)的部分才是真正的科學(xué)?！档?/p>

相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次坐標射影幾何2D變換3D變換相機內(nèi)參數(shù)1、點的齊次坐標二個齊次坐標如相差一個非零因子，則這二個齊次坐標相同2、無窮遠直線上的點如點為無窮遠直線上的點，則t=01.齊次坐標3、直線的齊次坐標表示直線方程可表示為規(guī)范化直線參數(shù)向量后，直線的齊次坐標可表示為：1.齊次坐標4、通過二點的直線

如果為二圖象點，則通過該二點的直線的參數(shù)向量為：Lx1x21.齊次坐標5、平行線可以相交1.齊次坐標笛卡爾坐標系下，兩條直線的方程為：齊次坐標系下，兩條直線的方程為：可以解出w=0，即兩條直線相交于無窮遠點。6、二次圓錐曲線的齊次坐標表示為：1.齊次坐標2.2D變換2D變換的基本組合2D變換2D平移變換可描述為：或者：2D旋轉(zhuǎn)、平移變換可描述為：2D變換2D旋轉(zhuǎn)、平移、尺度變換可描述為：2D仿射變換可描述為：2D透視變換可描述為：2D變換的層次3.3D變換3D變換的層次三維剛體變換其中p點在第一個視場中的坐標p1通過旋轉(zhuǎn)和平移，變換到第二個視場中的坐標p2旋轉(zhuǎn)矩陣

用直角坐標系中的歐拉角描述空間角

光軸俯仰角(pitch)：繞x軸的旋轉(zhuǎn)角

光軸偏航角(yaw)：繞y軸的旋轉(zhuǎn)角

光軸扭轉(zhuǎn)角(twist)：繞z軸的旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)矩陣數(shù)值解不穩(wěn)定性單位正交矩陣旋轉(zhuǎn)軸坐標系的旋轉(zhuǎn)可視為逆時針繞單位矢量的旋轉(zhuǎn).直接使用旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角來產(chǎn)生令人滿意的數(shù)值解

旋轉(zhuǎn)矩陣基于齊次坐標系，3D旋轉(zhuǎn)可以由坐標軸n和轉(zhuǎn)角θ描述，或者等效描述為：旋轉(zhuǎn)矩陣對于向量v旋轉(zhuǎn)90度,等效于做一次叉乘：當(dāng)轉(zhuǎn)角θ很小時，可以簡化為單位四元數(shù)單位圓上任意一點對應(yīng)一個旋轉(zhuǎn)角單位球上任意一點對應(yīng)兩個旋轉(zhuǎn)角

四元數(shù)四維單位球可以表示三維空間中的三個旋轉(zhuǎn)角

一個旋轉(zhuǎn)矩陣對應(yīng)四維單位球上一點四元數(shù)

設(shè)旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量為

繞該軸逆時針旋轉(zhuǎn)角θ的單位四元數(shù)為：

則旋轉(zhuǎn)軸單位矢量可以表示為：四元數(shù)四元數(shù)乘法定義剛體變換可以很方便地用七個元素表示4.射影幾何一般的成象系統(tǒng)通常將三維場景變換成二維灰度或彩色圖像，這種變換可以用一個從三維空間到二維空間的映射來表示：四維空間五維空間，更高維空間透視投影透視投影(perspectiveprojection)是最常用的成像模型，可以用針孔（pinhole）成像模型來近似表示．透視投影方程：點在圖像平面中的位置：正交投影（orthogonalprojection）指用平行于光軸的光將場景投射到圖像平面上,因此也稱為平行投影（parallelprojection）投影方程為：

正交投影

5.相機內(nèi)部幾何參數(shù)單應(yīng)矩陣（Homographymatrix）內(nèi)部矩陣（Intrinsic

matrix）2D像素與3D場景點關(guān)系Oc：鏡頭光心Cs：圖像坐標系原點Sx,Sy

：像素間距Xs,Ys

：圖像平面2D像素與3D場景點關(guān)系Oc：鏡頭光心Cs：圖像坐標系原點Sx,Sy

：像素間距Xs,Ys

：圖像平面Rs：3D旋轉(zhuǎn)Ms：單應(yīng)矩陣攝像機的內(nèi)部參數(shù)從世界坐標系到計算機圖像坐標系的變換Pu(Xu,Yu)XiYiOiYXZXWYWZW(XW,YW,ZW)P(X,Y,Z)或PPu(Xu,Yu)Pd(Xd,Yd)Xi-Yi平面世界坐標系攝像機坐標系OWOXiYi假想的圖像坐標軸XiYiXiYi與實際圖像一致的圖像坐標軸XiYiOi實際圖像的左上角順時針轉(zhuǎn)９0°平移ú?ùê?é=yxccTXiYiOicxcyPd(Xd,Yd)Pd(Xd,Yd)(0,0)(M-1,N-1)XfYfOfPd(Xf,Yf)Pd(Xd,Yd)XiYiOiXiYi數(shù)字化攝像機的內(nèi)部參數(shù)(M-1,N-1)XfYfOfPd(Xf,Yf)(0,0)dx......X方向上相鄰像素間距

......X方向上實際的像素間距Ncx......X方向上的像素數(shù)Nfx......X方向上采樣的像素數(shù)ddNNxxcxfx'=xd￠sx......模糊度因子

(x向尺度補償因子)dxxd￠考慮sx攝像機的內(nèi)部參數(shù)相機內(nèi)部參數(shù)矩陣K1.攝像機常數(shù)：投影中心到攝像機平面的距離，近似于透鏡焦距長度