江西省南昌三校2026屆高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．接種疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法，我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進接種工作．某地為方便居民接種，共設置了A、B、C三個新冠疫苗接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.2．如圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的的值為（）A. B.2C. D.33．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有4．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點間的距離不超過；③若是曲線上任意一點，則的最小值是其中正確結論的個數(shù)為（）A. B.C. D.5．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2021這2020個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（）A. B.C. D.6．已知O為坐標原點，，點P是上一點，則當取得最小值時，點P的坐標為（）A. B.C. D.7．丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.8．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，9．函數(shù)的導數(shù)為（）A.B.CD.10．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.111．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.12．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點在以，為焦點的橢圓上運動，則的重心的軌跡方程是___________.14．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________15．設，若直線與直線平行，則的值是________16．已知等差數(shù)列滿足，請寫出一個符合條件的通項公式______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和18．（12分）設數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）在（1）的條件下，設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點.（1）求的標準方程；（2）的右頂點為，過右焦點的直線與交于不同的兩點，，求面積的最大值.20．（12分）已知拋物線，直線與交于兩點且（為坐標原點）（1）求拋物線的方程；（2）設，若直線的傾斜角互補，求的值21．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結果【詳解】由題知,基本事件總數(shù)為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數(shù)為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:2、B【解析】根據(jù)程序流程圖依次算出的值即可.【詳解】，第一次執(zhí)行，，第二次執(zhí)行，，第三次執(zhí)行，，所以輸出.故選：B3、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C4、C【解析】結合已知條件寫出曲線的解析式，進而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個半圓和一個正方形面積之和，結合數(shù)據(jù)求解即可；對于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點間的距離的最大值即可判斷；對于③，將問題轉化為點到直線的距離，然后利用圓上一點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故②錯誤；因為到直線的距離為，所以，當最小時，易知在曲線的第一象限內的圖像上，因為曲線的第一象限內的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.5、C【解析】由題設且，應用不等式求的范圍，即可確定項數(shù).【詳解】由題設，且，所以，可得且.所以此數(shù)列的項數(shù)為.故選：C6、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結果.【詳解】設，則則∴當時，取最小值為-10，此時點P的坐標為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎題.7、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B8、D【解析】通過命題的否定的形式進行判斷【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎題.9、B【解析】由導數(shù)運算法則可求出.【詳解】，.故選：B.10、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設，，可得或.經(jīng)驗證不重合，滿足題意，故選：C.11、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據(jù)復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.12、C【解析】由函數(shù)的圖象可知其單調性情況，再由導函數(shù)與原函數(shù)的關系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，從左向右函數(shù)先增后減，故時，從左向右導函數(shù)先正后負，故排除AB；當時，從左向右函數(shù)先減后增，故時，從左向右導函數(shù)先負后正，故排除D.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出點和三角形的重心，利用重心坐標公式得到點和三角形的重心坐標的關系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點不共線得到.【詳解】設，，由，得，即，，因為為的重心，所以，，即，，代入，得，即，因為，，三點不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.14、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點是關于軸對稱，進而得到；設，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點的縱坐標相等，、的橫坐標互為相反數(shù)，、兩點是關于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設，，代入橢圓方程解得：設為橢圓的右頂點，，四邊形為平行四邊形對點：解得：根據(jù)：得：故答案為：15、【解析】先通過討論分成斜率存在和不存在兩種情況，然后再按照兩直線平行的判定方法求解即可.【詳解】由已知可得，當時，兩直線分別為和，此時，兩直線不平行；當時，要使得兩直線平行，即，解得，.故答案為：16、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結合等差數(shù)列的性質可得，則，從而可寫出數(shù)列的一個通項公式【詳解】因為是等差數(shù)列，且，所以，當公差為0時，；公差為1時，；…故答案為：3（答案為唯一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項即可作答.(2)由(1)的結論求出，再借助裂項相消法計算作答.【小問1詳解】因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且是與的等差中項，則有，即，解得，所以.【小問2詳解】由(1)知，，則，即有，所以.18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用與的關系求數(shù)列的遞推關系，即得證明結論，并根據(jù)等比數(shù)列求通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果求出，再分和，求.【詳解】（1）當時，，，當時，，與已知式作差得，即，又，∴，∴，故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是第二問弄清楚數(shù)列與的前項和的關系，在分段求數(shù)列的前項和.19、（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件，結合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程（2）設出直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達定理，弦長公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉化求解即可【詳解】（1）解：由題意解得，，所以橢圓的標準方程為（2）點，右焦點，由題意知直線的斜率不為0，故設的方程為，，，聯(lián)立方程得消去，整理得，∴，，，，當且僅當時等號成立，此時：，所以面積的最大值為【點睛】本題考查橢圓的性質和方程的求法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運用韋達定理化簡整理和運算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）.【解析】（1）利用韋達定理法即求；（2）由題可求，，再結合條件即得.【小問1詳解】設，，由，得，故，由，可得，即，∴，故拋物線的方程為：；【小問2詳解】設的傾斜角為，則的傾斜角為，∴由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點A作原點建立空間直角坐標系，借助空間位置關系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點，則，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐中，平面，，以點