鷹潭市重點(diǎn)中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.2．函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.3．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°4．已知，為雙曲線：的焦點(diǎn)，為，（其中為雙曲線半焦距），與雙曲線的交點(diǎn)，且有，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.6．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A. B.C. D.9．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，10．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集是_______________14．若正實(shí)數(shù)滿足則的最小值為________________________15．如圖，拋物線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，，，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式為________16．已知焦點(diǎn)為F的拋物線的方程為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)Q的距離的和的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.18．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識的增強(qiáng)，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價(jià)可以獲得最大利潤，現(xiàn)對這種健身器械進(jìn)行試銷售.統(tǒng)計(jì)后得到其單價(jià)x（單位：百元）與銷量y（單位：個(gè)）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：單價(jià)x（百元/個(gè)）3035404550日銷售量y（個(gè)）1401301109080（1）已知銷量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每個(gè)健身器械的成本為25百元，試銷售結(jié)束后，請利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價(jià)為多少百元時(shí)，銷售利潤最大？（結(jié)果保留到整數(shù)），附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，試證明：20．（12分）設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足，其中；命題q：若，且為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.22．（10分）設(shè)或，（1）若時(shí)，p是q的什么條件？（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運(yùn)算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)三棱柱的棱長為2，則，∴設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由故令，得設(shè)直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點(diǎn)睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時(shí)首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后借助向量的運(yùn)算，將空間圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算處理．在解決空間角的問題時(shí)，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為所求的空間角．解題時(shí)要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤2、D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A、C.當(dāng)時(shí)排除B【詳解】解：由可得所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A、C.因?yàn)闀r(shí)，，排除B.故選：D.3、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B4、B【解析】根據(jù)求得的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義以及勾股定理，即可求得的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點(diǎn)在雙曲線上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線的離心率為.故選：B.5、D【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是，故選D.6、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)、極值的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，，因?yàn)樵趨^(qū)間有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，所以令，解得，因此有，故選：A7、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因?yàn)?且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.8、D【解析】由題，由于過拋物線上一點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線的定義、余弦定理【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題9、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.10、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.11、D【解析】求出函數(shù)在時(shí)值的集合，函數(shù)在時(shí)值的集合，再由已知并借助集合包含關(guān)系即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合是，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合為，因函數(shù)的值域?yàn)椋谑堑?，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D12、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計(jì)算即可.【詳解】，故.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】將分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)即，等號成立，.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15、【解析】求出，，，，，，可猜測，利用累加法，即可求解【詳解】的方程為，代入拋物線可得，同理可得，，，，可猜測，證明：記三角形的邊長為，由題意可知，當(dāng)時(shí)，在拋物線上，可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：化簡得：，則數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，故答案為：16、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線為,如圖，作垂直于準(zhǔn)線于A，交y軸于B，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出，可得答案；（2）設(shè)，，，，，設(shè)，求出利用單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】設(shè)，若，則，若，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題，一般都需要通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時(shí)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.18、（1）；（2）確定單價(jià)為50百元時(shí)，銷售利潤最大.【解析】（1）根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而求出線性回歸方程；（2）設(shè)出定價(jià)，結(jié)合（1）求出利潤，進(jìn)而通過二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設(shè)定價(jià)為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時(shí)，最大.故確定單價(jià)為50百元時(shí)，銷售利潤最大.19、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化和構(gòu)造新函數(shù)在不等式證明中可以起到關(guān)鍵性作用.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有二正根，由，得由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則由于，所以等價(jià)于設(shè)函數(shù)，在單調(diào)遞減，又，從而所以，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理20、(1)(2)【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；寫出命題所對應(yīng)的集合，命題p：，命題q：，由是的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件，則A是B的真子集，列不等式組可求解【詳解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又為真，則，得：，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為；由得：命題p：，命題q：，由是的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件，A是B的真子集，所以，即故實(shí)數(shù)m取值范圍為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法，復(fù)合命題的真假，命題與集合的關(guān)系，屬于簡單題21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，通過即可證明；（2）通過，

可證平面，即得，進(jìn)而通過平面得，結(jié)合即證.詳解】證明：（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面正方形，∴是中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.平面，

平面，∴平面.（2），點(diǎn)是的中點(diǎn)，.底面是正方形，側(cè)棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.22、（