2026屆江西省湖口縣第二中學高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．觀察數(shù)列，（），，（）的特點，則括號中應填入的適當?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.2．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第個圖形包含個小正方形，則的表達式為（）A. B.C. D.3．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.4．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是A.3 B.4C.5 D.65．已知，且直線始終平分圓的周長，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.166．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.47．在空間直角坐標系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.8．（）A. B.C. D.9．在平面直角坐標系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為（）A. B.C.1 D.10．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.311．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知動圓過定點，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，且點的橫坐標為，過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，則的面積為___________.14．等差數(shù)列前項之和為，若，則________15．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.16．數(shù)列的前項和為，則_________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且，，成等比數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，為坐標原點，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：20．（12分）如圖，已知正方體的棱長為，，分別是棱與的中點.（1）求以，，，為頂點的四面體的體積；（2）求異面直線和所成角的大小.21．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.22．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項公式為，∴.故選：D2、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，，，，總結一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題3、A【解析】建立空間直角坐標系，得到相關點的坐標后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設三棱柱的棱長為2，則，∴設為平面的一個法向量，由故令，得設直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，得到相關點的坐標后借助向量的運算，將空間圖形的位置關系或數(shù)量關系轉化為向量的運算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現(xiàn)錯誤4、B【解析】循環(huán)體第一次運行后；第二次運行后；第三次運行后，第四次運行后；循環(huán)結束，輸出值為4，答案選B考點：程序框圖的功能5、B【解析】由已知直線過圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過圓心得：，，當且僅當時取等.故選:B.6、C【解析】先取，得與之間的關系，然后根據(jù)導數(shù)的運算直接求導，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C7、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A8、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.9、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點、準線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準線的距離為.故選：D10、C【解析】根據(jù)題意設設，根據(jù)題意得到，進而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設，因為，所以，所以，則故選：C.11、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡得到，進而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，上頂點為，所以，，因為，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因為橢圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12、D【解析】結合雙曲線定義的有關知識確定正確選項.【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】不妨設點為第一象限內的點，求出點的坐標，可求得直線、的方程，求出點、的坐標，可求得以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設點為第一象限內的點，設點，其中，則，可得，即點，拋物線的焦點為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，直線的方程為，拋物線的準線方程為，聯(lián)立，可得點，點到直線的距離為，因此，.故答案為：.14、【解析】直接利用等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的性質求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.15、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：516、【解析】利用計算可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，;而不適合上式，.故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，即可求出，，進而求出結果；（2）由（1）得，結合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)運算性質，利用分組求和，即可求出結果.【小問1詳解】解：設的公差為，由，，成等比數(shù)列可知，即，化簡得.由可得，所以.將代入，得，，所以.小問2詳解】解：由（1）得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）設橢圓的方程為，將點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設點，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結合二次函數(shù)的基本性質可求得的最小值.【小問1詳解】（1）由題可設橢圓的方程為，由橢圓經過點，可得，解得或（舍）.所以，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知，設點，則，且，，，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.19、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導數(shù)可求得在上單調遞增，從而得到，由此可得結論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調遞增，，在上單調遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉化為函數(shù)最值的求解問題；通過構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結論.20、（1）（2）【解析】（1）由題意可知該四面體為以為底面，以為高的四面體，可得四面體體積；（2）連接，，可得即為異面直線和所成的角的平面角，根據(jù)余弦定理可得角的大小.【小問1詳解】解：連接，，，以，，，為頂點的四面體即為三棱錐，底面的面積，高，則其體積；【小問2詳解】解：連接，，，則即為異面直線和所成的角的平面角，在中，，，，則，故，即和所成的角的的大小為.21、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質定理可得出平面，可得出，再由，結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設點，利用空間向量法可得出關于實數(shù)的方程，求出的值，即可得出結論.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖：因為三角形是等邊三角形，所以，又因為面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的