吉林省松原市2025-2026學(xué)年上學(xué)期期末測試九年級數(shù)學(xué)試題一、單選題1．為了節(jié)能減排，國家積極倡導(dǎo)使用新能源汽車，新能源汽車發(fā)展也取得了巨大成就．下列新能源汽車的車標(biāo)既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限3．一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù) B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根4．拋物線的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．5．如圖四邊形內(nèi)接于，連接．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，連接，，且，相交于點(diǎn)，則()A． B． C． D．二、填空題7．事件：“太陽從東方升起”是事件（填“必然”或“隨機(jī)”）．8．若是方程的一個根，則的值為．9．反比例函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與關(guān)于原點(diǎn)O位似，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，，若的半徑為3，則的長為．三、解答題12．閱讀下列方程的解題過程，并解決下列問題．解：移項得，①兩邊同除以2得，②配方得，③即，∴或④∴，⑤(1)上述解題過程有誤，開始出現(xiàn)錯誤的步驟是________（填序號）；(2)請你寫出正確的解答過程．13．如圖是一個商場抽獎用的可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成3個完全相同的扇形，分別涂有“藍(lán)、綠、黃”三種顏色，轉(zhuǎn)盤指針固定不動．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤待其停止后，觀察指針?biāo)竻^(qū)域的顏色，若指針落在區(qū)域分界線上則重新轉(zhuǎn)動．按上述規(guī)則任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（第一次停止后再進(jìn)行第二次轉(zhuǎn)動），用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次指針?biāo)鋮^(qū)域顏色不相同的概率．14．柳州窯埠古鎮(zhèn)計劃用長32米的木質(zhì)柵欄，靠一面墻圍一個矩形的螺螄粉主題小吃攤位（墻的長度為18米），要求圍成的攤位面積為120平方米，求這個矩形攤位垂直于墻的邊長為多少米？15．如圖，樹在路燈的照射下形成投影．若樹高，路燈高度，樹與路燈的水平距離．求樹影的長．16．圖①、圖②均為的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖，并保留必要的作圖痕跡．(1)在圖①中，分別在邊、上找到點(diǎn)、，連接，使，且相似比為；(2)在圖②中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使．17．如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的長．18．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接為延長線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，為，求的長．19．如圖，在中，，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，取的中點(diǎn)，以為邊向其下方作正方形．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為，正方形與的重疊部分圖形的面積為．(1)當(dāng)與邊重合時，的值為______；(2)當(dāng)正方形與的重疊部分圖形是五邊形時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)當(dāng)所在直線平分正方形的面積時，直接寫出的值．20．綜合與實踐如本題圖1，在左邊托盤中放置一個固定的重物，在右邊托盤中放置一定質(zhì)量的砝碼（可左右移動），可使得儀器左右平衡．改變托盤與點(diǎn)的距離，記錄相應(yīng)的托盤中的砝碼質(zhì)量，得到如下表：托盤與點(diǎn)的距離1015202530托盤中的砝碼質(zhì)量3020151210(1)依據(jù)實驗得出，與的對應(yīng)點(diǎn)，請您在本題圖2中畫出函數(shù)圖像，并求出函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)砝碼質(zhì)量為時，求托盤與點(diǎn)的距離；(3)當(dāng)托盤向左移動時，為使得儀器在移動前后均保持左右平衡，托盤中的砝碼質(zhì)量需增加至移動前的兩倍，求在移動前托盤中的砝碼質(zhì)量．21．【操作感知】如圖①，在菱形中，點(diǎn)為對角線和的交點(diǎn)．保持菱形不動，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，當(dāng)時，邊分別與邊、交于點(diǎn)、點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，其理論依據(jù)為______；【探究發(fā)現(xiàn)】如圖②，將圖①中繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使，邊分別與邊、交于點(diǎn)、點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，其他條件不變，求證：四邊形是菱形；【探究應(yīng)用】在圖②中，若，，則四邊形與四邊形的面積比為______．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，對稱軸為直線，點(diǎn)和點(diǎn)都在該拋物線上，它們的橫坐標(biāo)分別為、．(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)連接，當(dāng)軸時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若線段平行于兩坐標(biāo)軸夾角的平分線時，求的值；(4)連接，以、為鄰邊作平行四邊形，當(dāng)拋物線在平行四邊形內(nèi)部的圖象隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．參考答案1．B解：A．中圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．中圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C．中圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．中圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．2．B解：∵反比例函數(shù)中，，∴圖象經(jīng)過第二、第四象限．故選：B．3．D【詳解】一元二次方程中的，則其根的判別式為，因此，方程沒有實數(shù)根，故選：D．4．C解：令，，∴拋物線的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：C．5．C解：∵，，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，故選：C．6．D【詳解】四邊形是平行四邊形，，，∴，∴，，∵∴，故選：D．7．必然解：根據(jù)事件分類，必然事件是指在每次試驗中必然會發(fā)生的事件．太陽從東方升起是確定的自然現(xiàn)象，屬于必然事件．故答案為：必然．8．2026解：∵是方程的一個根，∴，變形得，，∴．故答案為：2026．9．或解：當(dāng)時，則有，即，∵，即y隨x的增大而增大，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，∴當(dāng)時，的取值范圍是或；故答案為或．10．解：∵和是以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴與的位似比為，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即為．故答案為：11．【詳解】如圖所示，連接∵，∴，∴∴∵的半徑為3∴的長．故答案為：．12．(1)③(2)見詳解（1）解：上述解題過程有誤，錯在步驟③，錯誤的原因是只在等號的左邊加上一次項系數(shù)一半的平方，而右邊沒有加．（2）解：，移項得，兩邊同除以2得，配方得，即，或，，．13．解：列表如下：藍(lán)綠黃藍(lán)（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，綠）（藍(lán)，黃）綠（綠，藍(lán)）（綠，綠）（綠，黃）黃（黃，藍(lán)）（黃，綠）（黃，黃）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次指針?biāo)鋮^(qū)域顏色不相同的結(jié)果有6種，兩次指針?biāo)鋮^(qū)域顏色不相同的概率為．14．這個矩形攤位垂直于墻的邊長為10米解：設(shè)矩形攤位垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，依題意得，整理得，解得，．當(dāng)時，平行于墻的邊長為米米（不符合實際，舍去）；當(dāng)時，平行于墻的邊長為米米（符合實際）．答：這個矩形攤位垂直于墻的邊長為10米．15．解：根據(jù)題意得：，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴．16．(1)見解析(2)見解析（1）解：如圖，點(diǎn)、即為所求；（2）解：如圖，即為所求．17．(1)見解析(2)【詳解】（1）∵四邊形是矩形∴∵∴∴∴∴；（2）∵，是的中點(diǎn)，∴∴∵在矩形中，，，∴∵∴，即∴．18．(1)證明見詳解(2)10（1）證明：連接，如圖，∵為的直徑，∴，∴．∵，∴．∵，∴，即，∴．∵是的半徑，∴是的切線；（2）由（1）可得：∴為直角三角形∵的半徑為3，為∴∴∴19．(1)(2)(3)（1）解：如圖，由題意可知，；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，解得，；（2）解：設(shè)線段與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，當(dāng)時，由（1）可知，此時在上方或與重合，如圖，由（1）可知，，，，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，，∴；當(dāng)時，則在下方，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)H，由（1）可知，四邊形是矩形，∴，，∴，∵，又∵，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，要構(gòu)成五邊形，則，即，解得，，，∴，綜上所述，；（3）如圖，所在直線要想平分正方形的面積，則必須經(jīng)過正方形的中心點(diǎn)，此時點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，解得．20．(1)函數(shù)圖像見解析，(2)(3)（1）解：描點(diǎn)并連線，函數(shù)圖像如圖所示．由圖像可得y與x之間是反比例函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)，∵當(dāng)時，，∴，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）解：當(dāng)時，代入得，，解得，∴當(dāng)砝碼質(zhì)量為時，托盤B與點(diǎn)O的距離是．（3）解：設(shè)移動前托盤B中的砝碼質(zhì)量為，托盤B與點(diǎn)O的距離，由題意得：，解得．∴在移動前托盤B中的砝碼質(zhì)量為．21．操作感知：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；探究發(fā)現(xiàn)：見解析；探究應(yīng)用：．解：操作感知：∵菱形，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）．故答案為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；探究發(fā)現(xiàn)：證明：∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；探究應(yīng)用：∵，，∴四邊形是平行四邊形，作交于H，則，，即四邊形與四邊形的面積比，∵在菱形中，，，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴四邊形與四邊形的面積比．故答案為：．22．(1)(2)(3)(4)（1）解：拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，對稱軸為直線，，，，則拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為；（2）解：當(dāng)軸時，點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)和點(diǎn)都在該拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得，解得；（3）解：∵點(diǎn)和點(diǎn)都在該拋物線上，它們的橫坐標(biāo)分別為、代入解析式得，，，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，則，，線段平行于兩坐標(biāo)軸夾角的平分線，，為等腰直角三角形，，即，解得；（4）解：∵∴當(dāng)時，，解得或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，且在軸左邊時，即時，平行四邊形，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為，點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，當(dāng)時，，點(diǎn)恒在拋物線上方，此時拋物線在平行四邊形內(nèi)部的圖象隨的增大，先增大后減小，與題意不符，故該情況不存在；如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，且在軸左邊時，即時，平行四邊形，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為，點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)，即時，點(diǎn)在拋物線上方，此時拋物線在平行四邊形內(nèi)部的圖象隨的增大而減小，符合題意