專題1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(舉一反三講義)

【人教A版(2019)]

題型歸納

【題型1空間向量數(shù)量積的概念辨析】............................................................2

【題型2求空間向量的數(shù)量積1.......................................................................................................................4

【題型3空間向量的夾角(余弦值)的計(jì)算】.....................................................6

【題型4利用空間向量的數(shù)量積求?！?...........................................................8

【題型5空間向量垂直的應(yīng)用】.................................................................10

【題型6空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】..............................................................13

【題型7投影向量的求解】.....................................................................17

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角與數(shù)量積

1.空間向量的夾角

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量。，b,在空間任取一點(diǎn)O,作晶=o,OB=b,則NAOB叫做向量*b的夾角,

記作儲(chǔ)，b).

(2)范圍:OW〈a,b)

特別地，當(dāng)(a,b}=]時(shí)，a±b.

2.空間向量的數(shù)量積

己知兩個(gè)非零向量a,b,則M||例cos(a,h)叫做。，b的數(shù)量積,記作。協(xié).

定義即a-b=\a\\b\cos〈a,b).

規(guī)定：零向量與任何向號(hào)的數(shù)量也都為0.

①。_1_。?=＞。力=0

性質(zhì)

@a-a=a1=\a\1

①（ia）?力=2（。2），xGR.

運(yùn)算律

②05=Sa（交換律）.

③0（）+。）=口力+0以^￡律）.

3.空間向量夾角的計(jì)算

-?->

利用公式cos〈溫)=白消求cosG0,

求兩個(gè)向量的夾角:進(jìn)而確定G%〉.

4.空間向量數(shù)量積的計(jì)算

求空間向量數(shù)量積的步驟:

(1)洛各向量分解成己知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為己知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)代入a.b=同同85值?求解.

5.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

a-b

⑴利用公式同=/〉a和\a\=,可以解決空間中有關(guān)距離或長(zhǎng)度的問(wèn)題;

B|cosQ初

a-h

(2)利用公式cos〈a,?=可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問(wèn)題.

m

【題型1空間向量數(shù)量積的概念辨析】

【例1】(24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰?期中)關(guān)于空間向量G,b,c,下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是()

A.a-b=b-aB.(d+b)-c=d-c+b-c

C.Ad-b=A(a-b)D.(a-S)?c=a'(5'c)

【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知選項(xiàng)A,B,C正確；根據(jù)伍i)?[與小(小。表示的意義

可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【解答過(guò)程】由數(shù)量積運(yùn)算的交換律可得,-b=b-五，選項(xiàng)A正確.

由數(shù)量積運(yùn)算的分配率可得(d+byc=ac+b-c,選項(xiàng)B正確.

由數(shù)量積運(yùn)算的數(shù)乘結(jié)合律可得而b=l(d-S),選項(xiàng)C正確.

0⑤七表示與1共線的向量，五?@工)表示與2共線的向量，值不)工與小@工)不一定相等，選項(xiàng)D錯(cuò)

誤.

故選：D.

【變式1-1](24-25高二下?四川涼山?期中)對(duì)于任意空間向量25,c,下列說(shuō)法正確的是()

A.若G〃方且0/3則劃足B.a(5+c)=d-5+a-c

C.若&?石=G?3且則I=不D.(a-b)c=a(b-c)

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BCD,根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,若B=%則五〃反且以"，不能得到五〃3故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,a-(b+c)=a-b+d-cfB正確，

對(duì)于C,若G.B=G.d且dH6,則向同cos(五㈤=|五Mcos??,?iJ|b|cos(d,S)=|c|cos(d,c),無(wú)法得

出石=乙所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,(di”表示與共線的向量，而或Bi)表示與五共線的句量，所以0不》與不一定相等，

故D錯(cuò)誤，

故選：B.

【變式1-2](24-25高二上?山東，或海?期中)對(duì)任意的空間向量五,￡3下列說(shuō)法正確的是()

A.若d_L5,b1c,則2||FB.(a?b)c=d(b-c)

C.a-(b+c)=a-S+a-cD.若|G|=|同，則d=3

【解題思路】根據(jù)空間向量的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：若d工石,blc,則益與1不一定平行，如在正方體ABCO-中，

滿足而J■而，ADlAA^t此時(shí)荏_1通\故A說(shuō)法錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：(G?表示與1共線的向量，?可表示與2共線的向量,所以(G?3)5與?0)不一定相等，B

說(shuō)法錯(cuò)誤：

選項(xiàng)C：向量的數(shù)量積滿足乘法分配律，所以d-@+F)=五?3+五?dC說(shuō)法正確：

選項(xiàng)D：若㈤=|可，則G與9模長(zhǎng)相等，方向不一定，所以d與辦不一定相等，D說(shuō)法錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式1-3](24-25高二上?湖北襄陽(yáng)?階段練習(xí))設(shè)G,b,1都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的

是()

A.(a4-b)4-c=a4-(5+c)

B.(a+b)-c=a-c+S-c

C.(a-b)-c=(5?c)?a

D.(a+5)?(a+c)=\a\2+(S+c)?a4-5-c

【解題思路】本題考杳空間向量加減法和數(shù)量積的運(yùn)算律，根據(jù)運(yùn)算律判斷即可.

【解答過(guò)程】由向量加法的結(jié)合程知A項(xiàng)正確；由向量數(shù)量枳的運(yùn)算律知B項(xiàng)、D項(xiàng)正確；C項(xiàng)若乙1不

共線且之,匕，b,之不垂直，則（1b）?2二時(shí)"cosv；,b>?20[匕?2）?2=b|ccos<b,c>?a,故C不

一定正確.

故選：C.

【題型2求空間向量的數(shù)量積】

【例2】（24-25高二上?新疆博爾塔拉?期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/8CD-&B1GD1中，E是棱4也的

中點(diǎn)，則西?麗=（）

A.4B.5C.6D.472

【解題思路】根據(jù)西?麗=（西+瓦瓦）?（西+標(biāo)+而），計(jì)算可求數(shù)量積.

【解答過(guò)程】西?麗=（西+&氏）?（西+~AA[+而）=（￡77+而）?（西+~AA[+而）

=兩+砒?標(biāo)+2西?麗+荏?標(biāo)+而2="+22=5.

故選：B.

【變式2-1]（24-25高二上?海南?期中）已知五萬(wàn),1是空間中的三個(gè)單位向量，若五不=一支貝l|（G-c）-（5+c）

的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

8828

【解題思路】根據(jù)題意可求得|@-同=|，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析運(yùn)算.

【解答過(guò)程】因?yàn)殁庖辉~2=或_22?3+岸=￡則忖-5|=|,

（d-c）?（S+c）=—1+（a-b）-c,

又（五—S）?c=\a-b\|c|cos（a—o,c）<\d-b\=

故當(dāng)cos（d—=1,即1與五一可同向時(shí)，（五一族）?詼最大值最

所以（五一為.（b+1）=—^+（a—/?）<c<—

故選：D.

【變式2?2】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知正四面體0A8C的棱長(zhǎng)為1,如圖所示.若￡,尸分別是04

0C的中點(diǎn)，求：

⑴麗?初

⑵麗?福

⑶麗?CB.

【解題思路】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義求解各小題即可.

【解答過(guò)程】（1）由題意，E,/分別是04,0C的中點(diǎn)，

則可.而=3正?布=||IC||^5|cos（JC,^0）=1x1x1xcos60°=

(2)EF-AC=-AC-AC=-\AC\2=-.

22112

(3)EFCB=^AC-CB\AC\\CB\cos(AC,CB)=1x1x1xcosl20°=-：.

【變式2-3](24-25高二上?全國(guó),課后作業(yè))已知正四面體。4BC的棱長(zhǎng)為1,如圖所示.求:

⑴布?甌

(2)(04+05)-(C4+CS).

【解題思路】(1)根據(jù)題意易得|a|=\0B\=\0C\=1,(0A,0B)=(OAfOC)=(0B,0C)=60°,進(jìn)而根

據(jù)空間向量的數(shù)量積計(jì)算即可；

（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【解答過(guò)程】（1）在正四面體。中，|耐|=|而|=|覺(jué)|=1,

（OA,OB）=（OA,OC）=（0Bf0C）=60°,

則而-OB=\OA\\OB\cosz.AOB=1x1xcos60°=

⑵（OA+OBy（CA+CB）=（OA-（OA-OC+OB-OC）

=（OA+08）?（OA+。8-20C）=OA2+20A?OB-20A-OC+OB2-2OB-OC

=l2+2xlxlxCOS600-2X1X1XCOS60°+l2-2xlxlxCOS60°

=1+1-14-1-1=1.

【題型3空間向量的夾角（余弦值）的計(jì)算】

【例3】（24-25高二上?江蘇南京期末）已知空間向量G,5的夾角為點(diǎn)且|瀏=2,歷|=1,則五+2反與防勺

夾角是（）

A-B—C-D—

八?60'6=4口4

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算程以及模長(zhǎng)公式，結(jié)合夾角公式即可代入求解.

【脩答過(guò)程】由值,曲勺夾角為:，且@=2,|同=1得（2+2及不二,不+2廬=2xlx：+2=3,

\d+2b\=Va2+4b2+4a-b=j4+4+4x2x1x1=26，

設(shè)G+與3的夾角為6,則cosJ=2=洋

|a+z/?||D|ZV3Z

由于。e[O,TT],故。=7

故選：A.

【變式3-1]（24-25高二上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）已知平行六面體4BCD-4當(dāng)?shù)木弥?3,BD=4,可?

坑一宿?沅=5,則cos伍否，畫(huà)=（）

A.—B.--C.—D.--

12121515

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算法則和數(shù)量積的性質(zhì)化簡(jiǎn)條件可求麗*?而，結(jié)合向量夾角公式可求解.

【解答過(guò)程】如圖：

?.?福?沃-福屈=（而+西）-DC-（AB+BBT）-BC=（AD+AA^）-AB-（AB+AA^）?AD

=AD-AB+AAi-AB-ABAD-AAi^AD=AAi-AB-AAi-AD=初?（而-而）=AAi~DB=5,

所以cos(/M：麗)=AAi-DB

|詞西=T

故選:B.

【變式3-21(24-25高二上?山東煙臺(tái)?期中)已知空間向量五，b,1滿足㈤=2,向=3,|c|=夕且五+S+c=

0,則d與泓勺夾角大小為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】由5=-m+母，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有不=五2+26不+京，即可求G與右的夾角大小.

【解答過(guò)程】由題設(shè)4=-(a+b),則產(chǎn)=(a+S)2=a24-2d?b+S2=4+2x2x3xcos(a,b)+9=7,

所以cos值B)=_Ly.{d,b}6(0,n),可得,㈤==,BP(a,b)=120°.

故選：c.

【變式3-3](24-25高二上?北京,階段練習(xí))如圖所示，在平行六面體ABCD-4$1C]D]中，以頂點(diǎn)4為端

點(diǎn)的三條樓的長(zhǎng)度都為【，旦兩兩夾角為60。，則西與北夾角的余弦值為()

A?苧B?fC.更D

4-V

【解題思路】設(shè)向顯而=乙而=3,標(biāo)=乙根據(jù)向最的運(yùn)算法則，求得|而|=遍和麗口=魚(yú)，且前?

西=1,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)向量=a,AD=b,AA1=c,且|d|=\b\=|c|=1,{a,b）={a,c）=（b,c）=60°,

可得力C=d+h,BD]=b+c—a.

則AC?=（五+加）2=a2-|-J22a-b=l+l+2xlxlx1=3,所以|力。|二6,

2222

西2=(b+-d)=b+c+a+2bc-2a-c-2b-c=1+1+1+2x^-2-2=2,

所以IB。/'=VL

22

且而?BD；=(d+b)-(b+c—a)=d-b+a-c-d+b+b'C—d-b=lf

所以cos(前，西)=裔靛=康=當(dāng)

故選：B.

【題型4利用空間向量的數(shù)量積求?！?/p>

【例4】(24-25高二上?江西萍鄉(xiāng)?期末)已知2,5,5是空間中兩兩垂直的單位向量，則|36+族-24=()

A.V14B.14C.V2D.2

[解題思路】利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【解答過(guò)程】依題意得,\a\=\b\=|c|=1,a-b=a-c=c-b=0,

所以|3d+B—2可=J(3d+b—2c)=V9a2+b2+4c2+6a-S—12a-c—4b-c=V9+1+4=-\/14?

故選：A.

【變式4-1](24-25高二上?河南信陽(yáng)?期末)如圖，在三棱錐4BCO中，AB=AC=AD=2,ABAC=

90。,匕笈4。=乙GW=60。,M,N分別為8cA。的中點(diǎn)，則|MN|=()

A.2V2B.2C.V2D.I

【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算可得標(biāo)=［而-3萬(wàn)一3配，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算

可得|而

【解答過(guò)程】由題意得，|而|二|近|=|而|=2,（而，而）=90。，（AB,AD）=60°,（AC,AD}=60°,

：.AB-AC=0,而?而=2x2x3=2,AZ-AD=2x2x-=2.

22

=AN-AM=-AD--（AB+AC}=-AD--AB--AC,

22k}222

???1而1=布一海一述y

1s1—r1-,1?1-1--?1-1一1一

=AD2+-AB2+-AC2-2--AD?-AB-2?-AD?-AC+2--AB--AC

J4744222222

=Vi+i+i-i-i+o=1.

故選：D.

【變式4-2］（24-25高二上?江蘇南通?期末）已知平行六面體ABCD—48iGDi的所有棱長(zhǎng)均為1,^AB=

Z-A.AD=乙BAD=60°,則對(duì)角線4。的長(zhǎng)為（）

A.V6B.2C.V3D.V2

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得砧的表達(dá)式，兩邊平方即可求得.

【解答過(guò)程】由已知：平行六面體48。。一力1%6。1所有梭長(zhǎng)均為1,

^ArAB=Z.A^D=Z.BAD=60°,則中=不+而+近=一國(guó)+AB+AD,

又因?yàn)椋篈Ai-AB=[AA^\"|而|COSN4遇B=1x1x^=1,

同理可得：AAi-AD=AB-AD=1,

2

貝I」砧2=（-麗+AB+AD）=麗2+而2+而2―2國(guó)?AB-2AA[?AD+2AB-AD

=l+l+l-2x1-2x1+2xi=2,則序|=a.

故選：D.

【變式4-3]（24-25高二下?江蘇揚(yáng)州?期中）在平行六面體ABCD-AiBiGDi中"4。=90。,AB=AD=

AAr=1,Z.BAAX=Z.DAAX=60°.取棱當(dāng)?shù)牡闹悬c(diǎn)M,貝“麗|=（）

A.B.當(dāng)

C.四D.邈

23

【解題思路】取8c的中點(diǎn)N,連接MN,結(jié)合圖形由向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量枳的定義計(jì)算可

得.

【解答過(guò)程】取BC的中點(diǎn)N,連接MN,

由圖形可得宿=肉+前+麗，

所以|而=（AB+BN+麗）”

=府廣+網(wǎng)2+|麗（+2麗網(wǎng)cos90。+2|磯麗|cos60。+2|W||B7?|cos60°

=1+1,!_1+Q+2X1X1X-+2X1X-X-=—,

42224

所以麗|=9.

【題型5空間向量垂直的應(yīng)用】

[例5]（24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰期末）如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體力8C。-48傳也的對(duì)角線3D]

上（不含端點(diǎn)），能=九當(dāng)匕APC為直角時(shí)，入的值是（）

n

A.2B.IC.-D.-

23

【解題思路】用畫(huà)，沈，西表示正，無(wú)，再根據(jù)它們的數(shù)量積為零可求4的值.

【解答過(guò)程】由題設(shè)有用=用+而+反=一西+而+應(yīng)，

故于=XD^S=-A西+ADA+ADC,

而腐=入西-ADA-ADC+DA-西=（A-1）西+（1-A）DA-ADC,

同理，PC=（A-1）西+（1-A）DC-ADA,

因?yàn)?4PC為直角，故無(wú)?而=0,

故（4-I）2-22（1-A）=O,故3/-4A+1=0,

故4=1（舍）或4=%

故選：D.

【變式5-1］（24-25高二上?河北鄒鄲?期末）如圖，已知三楂錐。一48c的側(cè)棱04=08=2,。。=4,且

5X礪,無(wú)兩兩所成的角均為60°.若空間中的點(diǎn)D,后滿足（57-赤）?（加-麗）=0,麗2一（耐+沆）.

OE+OAOC=0,則|?！陓的最大值為（）

A.28+1B.44-V3C.2+gD.2遮+2

【解題思路】先利用余弦定理求出M9|，MC|,|9Q,再對(duì)己知式子化簡(jiǎn)可得方?!■而，AEJ.CE,從而可得

點(diǎn)、D,E分別在以A8,AC為直徑的球面上，進(jìn)而可求出|DE|的最大值.

【解答過(guò)程】因?yàn)?4=08=2,0C=4,且函，麗,歷兩兩所成的角均為60。，

所以|4B|=Jz2+22-2x2x2x1==2,

\AC\=\BC\=J22+42-2X2X4X|=2?

由防一而）.（而一而）=0,得育?麗=0,

所以育1方，

由荏2-（pA+ocyoE+0A-0C=0,得（反-OA）-（OE-0C）=0,

所以荏?至二0,所以而_L麗，

因此點(diǎn)。，E分別在以48,4C為直徑的球面上，兩個(gè)球的半徑分別為q=1,r2=V3,

設(shè)點(diǎn)。1，。2分別是48,AC的中點(diǎn),則|。1。2|=75,

所以O(shè)E的最大值為|。1。21十6+r2=2y/3+1,

故選：A.

【變式5?2】（2025高二.全國(guó).專題練習(xí)）如圖，正方體力8。。一4$傳]。1的棱長(zhǎng)是a,和。G相交于點(diǎn)0.

⑴求E?而；

（2）判斷而與E是否垂直.

【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量枳的定義直接計(jì)算即可；

（2）計(jì)算與與電的數(shù)量積，根據(jù)結(jié)果可得答案.

【解答過(guò)程】（1）正方體4BCO-4iaCiDi中，|而=&a,|而|=a,（E,而）=3

故C￡）i?CD=41axaxcos；=a2.

（2）由題意，而?而=0,而?麗*=0,而7?而=0,

A0?CD1=（AD+DO）?（CO】+CD）=[AD+^DC+DD^\-（CC1+CD）=[AD++AA^\?

陽(yáng)一硝祐2一避2=0,

故而與電垂直.

【變式5-3]（24-25高二上.全國(guó).課后作業(yè)）如圖，在三棱錐A-8CD中，DA,DB,DC兩兩垂直，且DB=

DC=DA=2,￡為BC的中點(diǎn).

（1）證明：AELBC；（用向量方法證明）

⑵求直線AE與。C所成角的余弦值.

【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算易得族=：而+：沆-a，BC=DC-DB,進(jìn)而結(jié)合空間

向量的數(shù)量積計(jì)算即可；

（2）利用空間向量的數(shù)量積的定義求解即可.

【解答過(guò)程】（1）證明：由題意，因?yàn)檐?反一方？=*麗+反）一/，麗=反一而，

所以荏.BC=QDF+-~DA^-（DC-而）=-DC-\DB-~DB+.DC-|D??礪一麗.

DC+DA'DB=0-24-2-0-9+0=0,

所以荏J.近，即力E_LBC.

（2）由（1）知，AE=-DB+-DC-DA

22t

所以荏.反=QD§+1DC-D7）-DC=^DC+^DCDC-DADC=0^2-0=2,

又|南|=J（嶺）2+22=V6,

所以儂話硒=篇=島*

即直線4E與DC所成角的余弦值為^

【題型6空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】

【例6】（24-25高二上?浙江臺(tái)州?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P—48C中，若48=4C=3,力尸=4,ZBAC=

ZPAC=ZBAP=60°,點(diǎn)。為棱8C上一點(diǎn)，且CD=280,點(diǎn)M為線段40的中點(diǎn)

（I）求PM的長(zhǎng)度；

（2）求異面直線PM與4C所成角的余弦值.

【解題思路】（I）根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用而，而，尤表示麗，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可;

（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運(yùn)算律求解即可.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镸為線段40的中點(diǎn)，CD=2BD,所以俞書(shū)而，BD=^BC,

所以麗=~PA+AM='PA+^AD='PA+^（AB+BD）=R44-

―?1r—??1_??、］~~?1/-,1—??1-A

z+AB

=PA+2rB+3(84+ACM=PA2\~3AB+3AC)

“而+PS+］福

又因?yàn)镼?AB=APAC=3x4xcos60°=6,AB-AC=3x3xcos60°=支

所以|麗|=］（_而+河+河2=J（而＞一?而而一g而配+）麗『+,而冠+四-）2=

V47

2?

（2）由（1）得麗.而=（一而+］通+：尼）.前=一而.而+1而.而+'（X?）2

1___12

=-\AP\\AC\cos^PAC+-\AB\\AC\cos^BAC+-|XC|

DO

=-4x3xi+-x3x3x-+-x32=-3,

2326

所以8s時(shí)硝=髓=賓=等,

即異面直線PM與AC所成角的余弦值為察.

47

【變式6-1］（24-25高二上?湖北,期中）如圖，在平行六面體4BCO-&B1GD1中，以頂點(diǎn)4為端點(diǎn)的三條

棱的長(zhǎng)度都為2，且NBA。=^BAA1=Z.DAAX=60".

（2）求直線BO1和直線CBi所成角的余弦值.

【解題思路】（1）設(shè)荏=落AD=b,彳有=*將兩用G、kF表示,利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

可求得線段8"的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)算得出函=3-九利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得直線和直線Ca所成角的余弦值.

【解答過(guò)程】（1）設(shè)說(shuō)=&，而=九國(guó)=3

由題意可知，|a|=同=\c\=2,（a,b）=（a,c）={b,c）=60。，

由空間向量數(shù)量積的定義可得db=d-c=b-c=22xcos：=2,

BD\=ADX-AB=b4-c—a,

2

則I西I=@+下-G)=,2+以+產(chǎn)一々=3x22-2x2x2+2x2=8,

故|西=2V2.

(2)西=西=耐一而=e-3,

則西|=J(c-b)2=y/c2+b2-2b-c=V4+4-4=2,

22

BD^-CB^=(c+b-a)(c-b)=c-b+a-b-ac=0f則1C&.

故直線BO1和直線C8i所成角的余弦值為0.

【變式6-2](2025高二?全國(guó)?專思練習(xí))如圖，正方體4BC0-4當(dāng)好劣的棱長(zhǎng)是a,CZ\和。加相交于點(diǎn)。.

⑴求E?而；

（2）求同與方的夾角的余弦值

（3）判斷而與E是否垂直.

【解題思路】（I）利用數(shù)量積的公式可得；

（2）先用彳瓦彳反標(biāo)表示看?，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得萬(wàn)?而、|彳磯進(jìn)而利用公式可得彳5與而的夾角的余

弦值.

（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得而?西=0,進(jìn)而可得而與可是否垂直.

【解答過(guò)程】（1）正方體中，CD1=y/2at（CI\>CD）=^

故CZ)i?CD=y/2axaxcos；=a2.

(2)由題意知，AB-AD=0tAB^AA^=0,AA[-AD=0,

而=而+而=而+；（而+京）,

\A0\=][而+*荏+砌2=8+；：而2+）否2=苧,

故而.而=一而.而=-［而+［（而+麗*）］?而=-a2,

AOCB_-a2V6

故cos(40,CB)=

i^iPi=和3

(3)由題意，AD-AD=0,AB-AA[=0,-AD=0,

而西=[而+癖+砌西-硝

=1Z472-1A§2=0,

故萬(wàn)與E垂直.

【變式6-3](24-25高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，在六棱柱48CDE/一4B1GD1E1F1中，底面4BCD"

是正六邊形，設(shè)4月=a,AF=B,AAX=c.

BC

(1)用d,B,乙分別表示工1工.

⑵若cosz_8力力i=cosZ.FAAr=^,AB=2,AA1=4,求:

(i)不?砸；

()i)|福

【解題思路】(1)連接4D,結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算以為基底表示向量即可；

(2)確定空間基底向量d工1的模長(zhǎng)與數(shù)量積，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)分別求解砧?初，|福|

即可得結(jié)論.

【解答過(guò)程】(1)如圖，連接力D,

BC

因?yàn)榱呅瘟CDEF為正六邊形，

所以而+萬(wàn)=］而，則而=26+2尻

所以砸=AD-AAi=2a-^2b-c,A^C=A^D+DC=A^D-AF=2a+b-ci

(2)因?yàn)榱呅?BC0EF為正六邊形，所以NB/IF=m，

又coszBHNi=cosz.FAA1==2,AAr=4,

所以⑷=\b\=2,\c\=4,a-b=|a|?|S|cosy=-2,a-c=b-c=\a\-\c\x^=2,

⑴砧砌=(2d+B-I)?(2d+2b-c)=4a2+2b2+c2+6ab-3b-c-4a-c

=164-8+16-12-6-8=14

(ii)因?yàn)楦?而+而+函=同一而+標(biāo)=2a+2b-a+c=a+2b+c,

所以=J(a+25+c)2=y/a2+4b2+c2+4a-b+4b-c-i-2d-c

=V4+16+16-8+8+4=2m.

知識(shí)點(diǎn)2向量的投影

1.向量；的投影

(1)如圖(1),在空間，向量。向向量。投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們?nèi)梢频酵粋€(gè)平面a

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量力共線的向量c,c=|a|cos<a,b>尚，向量c稱為向量。在

向量力上的投影向量.類似地，可以將向量。向直線/投影(如圖(2)).

(2)如圖(3),向量。向平面夕投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8作平面夕的垂線，垂足分別為A',

夕，得到廠向量廣N7”稱為向量"在平面月上的投影向量.這時(shí)，向量a,A