1.4:空間向量的應(yīng)用

【考點(diǎn)歸納】

考點(diǎn)一、求平面的法向量

考點(diǎn)二、證珥線(xiàn)面、面面幫亍

考點(diǎn)三、證明線(xiàn)面、面面垂垂直問(wèn)題

考點(diǎn)四、兩條異面直線(xiàn)所成的角

空間向量的應(yīng)用

考點(diǎn)五：線(xiàn)面角

考點(diǎn)六、兩個(gè)平面的夾角

考點(diǎn)七、距離問(wèn)題

考點(diǎn)八：空間線(xiàn)段的存在性問(wèn)題

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一空間中直線(xiàn)、平面的向量表示

I.直線(xiàn)的方向向量：在直線(xiàn)/上取非零向量〃，我們把與向量“平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)/的方向向量.

2.平面的法向量：如圖，若直線(xiàn)/_La,取直線(xiàn)/的方向向量a,我們稱(chēng)a為平面a的法向量；過(guò)點(diǎn)/且以a為

法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P\aAP=O}.

知識(shí)點(diǎn)二線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面'面面平行的向量表示

1.設(shè)〃1，〃2分別是直線(xiàn)4，，2的方向向量，則/|〃/20〃“〃20尖￡1<，使得〃1=加2.

2.設(shè)〃是直線(xiàn)I的方向向量，〃是平面a的法向量，/<Za,則/〃a0〃_L〃o〃〃=O.

3.設(shè)〃1,〃2分別是平面a,夕的法向量，則a〃少m/￡R,使得〃1=癡2.

1

知識(shí)點(diǎn)三線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直的向量表示

1.設(shè)U]tU2分別是直線(xiàn)l\,h的方向向量，則/1_1_/20“J〃20〃1“2=0.

2.設(shè)〃是直線(xiàn)/的方向向量，〃是平面a的法向量，1僅,則使得〃=力】.

3.設(shè)川，“2分別是平面a,6的法向量，則a_L）妗〃iJ_〃2?〃「〃2=0.

知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離

已知直線(xiàn)/的單位方向向量為〃，力是直線(xiàn)/上的定點(diǎn)，。是直線(xiàn)/外一點(diǎn)，設(shè)向量善二。，則向量存在直線(xiàn)/上的投

影向量為而=（。?制7,則點(diǎn)。到直線(xiàn)/的距離為小一（〃〃）2（如圖）.

知識(shí)點(diǎn)四點(diǎn)。到平面Q的距離

“尸制（如圖）.

設(shè)平面a的法向量為〃，4是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，尸是平面a外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面a的距離為

向

知識(shí)點(diǎn)五兩個(gè)平面的夾角

平面a與平面/7的夾角：平面。與平而夕相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱(chēng)為平面

a與平面日的夾角.

知識(shí)點(diǎn)六空間角的向量法解法

角的分類(lèi)向量求法范圍

設(shè)兩異面直線(xiàn)h,h所成的角為仇其方向向量

兩條異面直

分別為〃,v則cos8=|cosv）|="磯

線(xiàn)所成的角t

IMI研

設(shè)直線(xiàn)與平面。所成的角為亂直線(xiàn)48的方

直線(xiàn)與平面向向量為〃，平面a的法向量為。，則sin〃=|cos

所成的角《〃，加|="M

設(shè)平面a與平面外的夾角為。，平面。，用的法向量

兩個(gè)平面的

分別為"1，"2,則COS6=|cos〈〃1，〃2〉|=畫(huà)

夾角

Mni\

【例題詳解】

2

題型一、求平面的法向量

【例1】.（24-25高二上?全國(guó)）如圖，在四棱錐中，底面48。力為矩形，4_L平面力AC。，E為PD的

中點(diǎn)，AB=AP=\,AD=0，試求直線(xiàn)尸。的一個(gè)方向向量和平面PC。的一個(gè)法向量.

【答案】直線(xiàn)PC的一個(gè)方向向量為（1,6,-1）,平面PC。的一個(gè)法向量為（0』,行）（答案不唯一）

【分析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，定即為直線(xiàn)尸C的一個(gè)方向向量，表示而即可求出平

面尸CD的一個(gè)法向量.

【詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P（0,0,l）,C（l,>/3,0）,

所以麗=即直線(xiàn)尸C的一個(gè)方向向量為（1,叵-1）.

設(shè)平面PCD的法向量為萬(wàn)=（M乂z）.

因?yàn)?：0,內(nèi),0）,所以的=（0,x/5,-l）.

，所味（x3=0

令y=l,則z=VL

所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=（0,1,V3）.

3

【跟蹤訓(xùn)練1】.(2S-26高二上?仝國(guó))《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鰲膈.在鱉膈/旭8

中，力平面8CO,28Z)C=90。，BD=AB=CD.若建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面力CO的一個(gè)法向

量.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】設(shè)6O=/8=CO=1,法一：根據(jù)已知標(biāo)注出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得況=(1,0,0),而=(0,1,-1),求出平面

的法向量；法二：過(guò)點(diǎn)8作用W_L/Q于點(diǎn)M,則M為力。的中點(diǎn)，再由線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)定理得8Ml平面

ACD,寫(xiě)出麗7的坐標(biāo)，即可得.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)8O=/8=CQ=1,

法一：。(0』,0),C(l,l,0),J(0,0,l),則覺(jué)=(1,0,0),JD=(0,l-l),

DCm=x=0

設(shè)平面4C。的法向量為而=(x,y,z),則有

ADni=y-z=0

令y=l,得z=l,則比=(0,1,1)為平面47。的一個(gè)法向量.(答案不唯一)

法二：過(guò)點(diǎn)8作8M_L4)于點(diǎn)/，則M為力。的中點(diǎn),

QAB1平面BCD,CDu平面BCD,

:.AB1CD,

???Z5Z)C=90°,

/.CD1BD,又BDcAB=B,8。,48u平面4BO,

\C/T平面彳8。，BMu平面4BQ,

：.CD1,又且CD,AOu平面4C。，

4

.?.ZM7_L平面易得。(OJO),4(0,0,0),1(0,0,1),

f11，故擊?！?/p>

:.M\0,-,-

I22)

???平面/CO的一個(gè)法向量為兩（答案不唯一）.

【跟蹤訓(xùn)練2.（2024高二上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-48C。中，平面214_L平面力8。。，肝力B是邊

長(zhǎng)為1的正三角形，48C。是菱形，/48C=6（T，E是尸。的中點(diǎn)，尸是的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)

系，求平面。底尸的一個(gè)法向量.

【分析】首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得尸F(xiàn)_L平面力8C。，進(jìn)而結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得bJL/B,再建立尸-孫n

nFE=0,孑

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面QE"的一個(gè)法向量為萬(wàn)=（》/*）,從而利用,_，即可得到答案.

萬(wàn)?五。=0

【詳解】連接尸￡。尸，因?yàn)椤鱄8是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PA=PB,尸為的中點(diǎn)，

所以比148,又因?yàn)槠矫嫫矫媪?c￡）,平面E48c平面=,P/u平面產(chǎn)48,

所以/T7J.平面44co.

連接4C,因?yàn)?乙仍。=60°,所以VMC是等邊三角形，又尸為初的中點(diǎn)，所以CF_L48.

綜上可知，直線(xiàn)網(wǎng)IC,小兩兩垂直，

所以建立以廠(chǎng)為原點(diǎn)，心/C,。分別為戈軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系"-xyz,如圖所示：

5

貝lj產(chǎn)(0,(),0),07,當(dāng),。閨。闿

44

所以無(wú)=,￥，￥，麗=7,冬0,

設(shè)平面OE/的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(x,y,z),則

〔有8n

——y+——z=0y=-z

nFE=04

_，即廠(chǎng)4，化簡(jiǎn)得，G，

n-FD=0x=——y

-x+-^-y=02

令尸2,則x=?z=—2,BPH=(73,2-2)

所以平面。￡尸的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(6,2,-2)(答案不唯一).

題型二、證明線(xiàn)面、面面平行

【例2】.(2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，在三棱柱/出C-45G中，〃，尸，。分別是8C,49*G的中點(diǎn)，線(xiàn)“工

C4=CB=4.求證：P0//平面8CC￡.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】以點(diǎn)〃為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到向量而=(。，3,班)和平面4CG4的法向量為*=(1,0,0),求

得而萬(wàn)=0,得到A0J.晨進(jìn)而證得產(chǎn)。//平面8CC4；

因?yàn)镠，P分別是AC4A的中點(diǎn)，所以〃P//WC,

6

因?yàn)?4C_L〃C,可得〃P_L8C,又因?yàn)橥?，平面?C,

以點(diǎn)〃為原點(diǎn)，以〃尸,“CHg所在直線(xiàn)分別為x軸，J軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，可得”（0,0,0）,力（4,2,0）,。（0,2,0）,5（0,-2,0）,如（0,0,20）,C,（0,4,273）,尸（2,0,0）,0（2,3詞,

所以向量網(wǎng)二（0,3,6）,且平面3CCS的法向量為祉=（1,0,0）,

則聞?=0,所以夙

乂因?yàn)?竺仁平面8CG4,所以產(chǎn)?！ㄆ矫?CG4.

【跟蹤訓(xùn)練1】.（2024高二上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在直角梯形/BCP中，AP//BC,AP1AB,

AB=BC；AP=2,O是貓的中點(diǎn)，E,￡G分別為的中點(diǎn)，將沿C。折起，使得夕。1平面

2

ABCD,試用向量方法證明力?！ㄆ矫鍱PG.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出40的方向向量和平面以七的法向量即可求解.

【詳解】由題意可知底面X8C0為正方形，

因?yàn)槠矫?4CO,D4,QCu平面力4CQ,所以O(shè)4OCDP兩兩垂直，

如圖以。為原點(diǎn)，以次，皮,而為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z,

則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為：

尸（0,0,2）,0（020）,G（l,2,o）,E（0,l,l）,尸（0,0,1）,力（2,0,0）,

AP=（-2,0,2）,而=（0,-1,0）,而=（1』,-1）,

7

設(shè)平面的法向量為萬(wàn)=（x/,z）,

?-￡F=-y=O/、

則—,取x=l可得平面所G的一個(gè)法向量為k二1,01，

[n-EG=x+y-z=0

因?yàn)镵9=-2+0+2=0，又加3在平面EFG外，

所以XP〃平面ER7.

【跟蹤訓(xùn)練2】.（22-23百二上?天津薊州?階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體.488-48cA中，AB=4,BC=3,CCy=2.

⑴求證：平面4GB〃平面NC%

。）線(xiàn)段8c上是否存在點(diǎn)R使得力///平面NCR?若存在,求出點(diǎn)"的位置：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵存在，P為線(xiàn)段8c的中點(diǎn)

【分析】（1）根據(jù)題意，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面4G8與平面力C"的法向量，由法向

量平行，即可證明面面平行；

（2）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由乖與平面4cA的法向量垂直，代入計(jì)算，即可求解.

【詳解】（1）證明：以。為原點(diǎn)，DA.DC,力R所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則43,0,0),8(3,4,0),C(0,4,0),43,0,2),5,(3,4,2),C,(0,4,2),D,(0,0,2),

則福=(-3,4,0),=(0,4,-2),/記=(—3,4,0),福=(-3,0,2).

設(shè)平面4GB的法向量為〃=(x,y,z),

8

則走.

[n-A}B=4y-2z=0

取x=4,則y=3,z=6,所以平面4G8的一個(gè)法向量為;;=(4,3,6).

設(shè)平面4cA的法向量為而=(a,b,c),

mAC--3a+46=0

則彳—

m-ADl=-3a+2c=0

取Q=4,則/)=3,c=6,所以平面/C￡>]的，個(gè)法向量為〃?=(4,3,6).

因?yàn)槎?3,即而//K所以平面4GB〃平面4C2.

(2)設(shè)線(xiàn)段5c上存在點(diǎn)/>使得4?！ㄆ矫鍺CR,8]P=lB]C[0<t<\).

由⑴得病=(0,4,0),麻=(-3,0,-2),平面1cA的一個(gè)法向量為蔡=(4,3,6),

所以乖=4瓦+B[P="瓦+「Bp=(-3t,4,-2t).

所以盛麗=-3/x4+4x3+(—2f)x6=0,解得/=L

2

所以當(dāng)p為線(xiàn)段8c的中點(diǎn)時(shí)，4P〃平面AC".

題型三、證明線(xiàn)面、面面垂垂直問(wèn)題

【例3】.(25-26高二上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))如圖，在直三棱柱”C-44G中，側(cè)面488/是正方形，AB=BC=2,

。，E分別為棱/IC,CG的中點(diǎn)，用.用向量法證明：平面8￡4_L平面

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)題干條件及線(xiàn)面垂直的判定定理可證明44，平面8CG4,利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得3/,B\B,B￡

兩兩垂直，故以點(diǎn)片為坐標(biāo)原點(diǎn)，44，5.C.,4田分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用證明面面垂直

的向量法即可證明.

【詳解】證明：在直三棱柱44G中，8q_L44.

9

又BE工AiBrBB、cBE=B,u平面ACC?，,4瑪?！平面ACC?.

?.,44,u平面8CCM，5￡u平面8CC￡,Z.A}B}1BB],4BJB￡,J8/,BtBt8￡兩兩垂直.

以點(diǎn)片為坐標(biāo)原點(diǎn)，以44，B￡,83分別為x,ytz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz.

則由題可得4(0,0,0),4(2,0,0),42,0,2),8(0,0,2),￡(0,2,1),0(11,2),

/.BF=(0,2,-l),荏=(一2,2,—1),4^=(-2,0,0),麗=(—1,1,2).

設(shè)平面8瓦4的法向量為方二($,如4)，

[而萬(wàn)=0/2^-z,=0Jz|=2%

則4----，即4OA，即1ny

[j￡-/7=0[-2xl+2yl-zl=0[x[=0

令必=1,則馬=2,???平面8歐的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(0J2).

設(shè)平面44。的法向量為歷二(%,為4)，

C44?而=°[-2x=0[x=0

貝葉竺，即?2即.2

[A]D-m=0[-x2+y2+2z2=0[y2=-2z2

令Z2=l,則以=-2,???平面同及。的一個(gè)法向量為所=(O,-2』).

???濟(jì)?萬(wàn)=0x0+lx(-2)+2xl=0,???平面8￡4_L平面力圈。.

【跟蹤訓(xùn)練T】.（2425高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱/AC-44G中，側(cè)面，4?為4是正方形,

AB=BC=2,D、E,F分別為棱ACfCC}9A￡的中點(diǎn)，且BE14用.

10

⑴求蘇?麗的值；

（2）用向量法證明：平面8口，平面44。.

【答案】⑴麗.麗=一1

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意可得，±1BE,所以以用為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以44,8?,8乃為心y，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，即可求解;

（2）通過(guò)證明平面8口與平面4瓦。的法向量的數(shù)量積為0,即可證明.

【詳解】(1)在直三棱柱/BC-45G中,BBJ核,

又BE1A&I，BBQBE=B,BB、,BEu平面BCCXB,,

所以力4_L平面8CG4，因此44,4伉4G兩兩垂直.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-D'Z,

則5(0,0,2),E(0,2,l),D(l,l,2),F(l,0,0).

所以麗=(1,一2,-1),麗=(1,1,0),

所以麗?麗=-1.

(2)由(1)知4(2,0,2),4(2,0,0)麗=(0,2,-1),

11

JE=(-2,2,-1),^5；=(-2,0,0(-1,1,2),

設(shè)平面84的法向量為方=(%,如zj,平面的法向量為比=(%,%,z?),

麗萬(wàn)=0［2y.-z.=0/、

則一，即:'八，令乂=1,則力=0』,2；

AEn=01-2演+2%一馬=0

［福?仇=0即(-2/=0,

［麗麗=()'、［-x2+y2+2z2=0,

令z?=l,則加=(0,-2,1),所以點(diǎn)。=0,

所以平面平面44。.

【跟蹤訓(xùn)練2】.（23-24高二下?湖北?期中）在18C中，B=；、AB=2BC=4,點(diǎn)D、E分別為邊力C、的中點(diǎn),

將△4EO沿。E折起，使得平面平面8CQE.

⑴求證：DC1AE：

⑵在平面/CD內(nèi)是否存在點(diǎn)W,使得平面,4￡U平面,480?若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵存在點(diǎn)M,M點(diǎn)在直線(xiàn)/1N（乂點(diǎn)在直線(xiàn)8上且。汽=；。。）上

【分析】（1）利用已知可得力E1ED,結(jié)合面面垂直可得力E_L平面8CZ）E,可證結(jié)論.

（2）以點(diǎn)E為原點(diǎn),以EB、ED、￡4所在直線(xiàn)為小歹、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-.*產(chǎn)，求得平面力的一個(gè)

法向量，若而〃灰，求得平面4EM的一個(gè)法向量，可判斷此情況不成立，若赤與反不共線(xiàn)，設(shè)AMn8=N,

連接￡加，利用麗.麗=0，可求得結(jié)論.

【詳解】（1）在VZ8c中，?.?點(diǎn)。、E分別為邊AC、48的中點(diǎn)，

:.DE〃BC^B=巴,;.AEA.ED.

2

又「平面平面8CDE,平面力EOCI平面8COE=ED,/Eu平面力￡。，

:.4E1平面BCDE.

又；DCu平面BCDEy：.DC_LAE.

12

<2)由(1)知，AE±ED,AE±EB,EB±ED.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，以EB、ED、￡4所在直線(xiàn)為x、八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系￡-孫z.

則E(O,O,O)、8(2,0,0)、C(2,2,0)、。(0,1,0)、4(0,0,2).

或=(0,0,2)、彳方=(2,0,-2)、而=(0,1,,

設(shè)初=(xj,z)為平面的一個(gè)法向量,

m-AB=0[2x-2z=0

取z=l,則加=(1,2,1).

m-AD=0[y-2z=0

假設(shè)在平面4c。內(nèi)存在點(diǎn)M,使得平面4￡W_L平面力8。.連接4U.

若而〃反，則設(shè)4M=〃反=(2〃,〃,0).設(shè)平面力的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(〃,/),c).

限琢=()J2/以+/力=0

取0=1,則用=(1,-2,0).

n-AM=012c=0

???平面48。的法向量而=(1,2,1).由蔡福工()知，此情況不成立.

若萬(wàn)7與嵐不共線(xiàn)，設(shè)4wns=.v，連接EN.

設(shè)麗=4成=2(2,1,0)=(22,2,0),貝IJ麗=麗+麗=(22,2+1,0).

當(dāng)前啟力=(2；1,/1+1,0)(—2,1,0)=0,即％=,時(shí)，BD1EN.

又?；AE上BD,：.BD上平面4EN,即平面川兌>_L平面力硒，也即平面力屈W_L平面48。.

所以在平面內(nèi)存在點(diǎn)M,當(dāng)〃點(diǎn)在直線(xiàn)/N(汽點(diǎn)在直線(xiàn)。。上且。"=；。。)上時(shí),

平面力EMJ.平面480.

題型四、兩條異面直線(xiàn)所成的角

【例4】.(24-25高二上?山西?期末)如圖，在三棱柱力員?-44G中，側(cè)面/網(wǎng)4為菱形，側(cè)面。叫G為矩形，平

面4884_L平面C網(wǎng)G，4BQBA、=F,七為5c的中點(diǎn)，4叫=60°,48=2,若點(diǎn)G到直線(xiàn)E廠(chǎng)的距離為2,

則異面直線(xiàn)"'與4G所成角的余弦值為()

13

A..x/23五

B.r口考

3T4

【答案】D

【分析】取的中點(diǎn)證得力。J?平面C84G，進(jìn)而建系，利用異面直線(xiàn)夾角向量法求解即可;

【詳解】取的中點(diǎn)O,連接40,則力0184,因?yàn)槠矫嫫矫鍯84G，

且平面ABB.4與平面CBBG交于BB、,所以力。1平面CBBg.

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以（石，方的方向?yàn)锳釉、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC=2“（4>0）,

則4（—2,0,行），3

，G（-l,2a,0）,所以麗=一萬(wàn)，一。，,西=（-2,Q,0）,

ST

所以點(diǎn)G到直線(xiàn)后戶(hù)的距離d=2,

+3

坐）,4G-（i，2,-C）,

解得a=l.因?yàn)槭幸?/p>

所以辰亞福卜備■二￥

即異面直線(xiàn)功與4a所成角的余弦值為平.

故選：D

【跟蹤訓(xùn)練T】.（24-25高二上?山東德州?期末）如圖，在二棱錐*4。中，V44C為等邊二角形，△/PC為等腰

14

直角三角形，PA=PC,平面P,4C_L平面力8。,八為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)：4C與〃。所成角的余弦值為（）

A.巫B.在C.也D.省

4444

【答案】C

【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合題意可證得0/1,OB,“兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,0B，（聲的方

向分別為x,V,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出％,PD，再由異面直線(xiàn)所成角的向量公式代

入即可得出答案.

【詳解】取力。的中點(diǎn)。，連接OF,OB，因?yàn)槭?=2。，所以4CJLO尸.

又平面P/1C1平面48C,平面以CPI平面ABC=/C,OPu平面P/C,

所以。P_L平面彳8C.又AB=BC,所以4c10B,

可得。4,OB,0P兩兩垂直，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

次，林,方的方向分別為x，V，n軸的正方向，

建立空訶直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)4=4,則川2垃,0,0）,C（-2拉,（）,（）），隊(duì)石,瓜0）,P（0,0,272）,所以

^C=（-4x/2,0,0）,而=（右,而,-2桓）,

N；-zryrAC'PD-8&

所以“"CW：同兩二訪(fǎng)工=一彳,

又異面直線(xiàn)所成角的取值范圍為0,^,

所以異面直線(xiàn)"與PQ所成角的余弦值為爭(zhēng)

15

A

X^4，。\\「!//

\1/

因

，*

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練2】.（24-25高二上?吉林?期末）在直三棱柱48￡-18。中，Z5CJ=90°,?,耳分別是44,8G的

中點(diǎn)，BC=CA=CC、,則力R與姐所成角的余弦值是（）

A.叵B.1C.我D.晅

1021510

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得所成角的余弦值，從而求得所求.

【詳解】以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以無(wú)，CA，不為X軸，V軸，Z軸的正方向,

建立空司直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)BC=C4=CG=2,

則4(020),A(1,1,2),8(2,0,0),7^(1,0,2),

???西=(1,-1,2),甌=(-1,0,2),

3_V30

???直線(xiàn)g和直線(xiàn)此所成角的余弦值為

珂畫(huà)限x亞10

題型五：線(xiàn)面角

【例五】.（2S-26高二上?河北衡水?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四楂錐。-力AC）中，底面力府7）是正方形，AR=7,E是PD

16

的中點(diǎn).

⑴證明：HP//平面力CE：

⑵若平面HQL平面48C。，APtPD,4P=PD,求直線(xiàn)PC與平面力CE所成的角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵等

【分析】(1)連接輔助線(xiàn)，利用中位線(xiàn)定理可得"V/8P,根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量麗的坐標(biāo)，平面4CE的法向量坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)與平面所成侑的向量公式求

解線(xiàn)面侑的正弦值即可.

【詳解】(1)如圖，連接8。與4c相交于點(diǎn)尸，連接￡尸，

V正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD和AC交于點(diǎn)尸,，BF=FD,

又PE=ED,:,EF〃BP,

乂Mu平面4CE,87＞二平面力?！?「.4尸//平面力?！辏?

(2)如圖，因?yàn)槠矫媪κ?。_!.平面N8C。，平面/IPOn平面=過(guò)點(diǎn)A在平面尸力。內(nèi)作力。的垂線(xiàn)/,可

得垂線(xiàn)/垂直于平面43C。，

又因?yàn)閯t以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量怒，血方向分別為x,V軸的正方向，/為z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0),5(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),

又由力P_LPO,40=2,AP=PD,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(01,1),點(diǎn)E的坐標(biāo)為0，|，；)，

一3］、一一

設(shè)平面力。￡的法向量為汾=(x/,z),由/E=0,-,-,AC=(2,2,0)t

17

-Tr--31

AEm=—y+—z=A0

有,取x=l,>=-l,z=3,可得平面力CE的一個(gè)法向量為所二(L

ACm=2x+2y=0

一,、IF麗雨2庖

又由〃=（-2,-m，有8s（°，外=麗石，

故直線(xiàn)PC與平面ACE所成的角的正弦值為四.

33

【跟蹤訓(xùn)練1】.（25-26高二上?新疆?期中）在四棱錐尸—/J8C。中，PD工底面/BCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,

力8=2,DP=6

⑵求PD與平面44所成的角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

喈.

【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直得到PO180,利用直角三角形得到以）_1.力。，從而可得線(xiàn)面垂直，進(jìn)而可證線(xiàn)線(xiàn)垂

直;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線(xiàn)面角的向量公式可得答案.

【詳解】（1）證明：「尸。"!"底面48C。，BDu平面48c。，

PD1BD,

取48中點(diǎn)E,連接。E,

,/AD=DC=CB=1,AB=2,

ZZ)/iS=60°,又?；AE」AB=AD=l,

2

:.DE=\,：.DE=-AB,

2

為直角三角形，且45為斜邊，

.??BD1AD,

又PDcAD=D,尸0u平面HO,ROu平面R1。，

18

.?.8。_1平面尸/億＞,又21匚平面尸/1。，

BD1PA；

（2）由（1）知，PD,AD,〃。兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

BD=7AB'-AD?二百，

則D(0,0,0),J(l,0,0),5(0,5^,0),P(0,0,x/3),

「?麗=（o,o,-6）刀=。。-&刀=（-i.6o）,

nPA=x-x/3z=0

設(shè)平面48的一個(gè)法向量為萬(wàn)=（x,y,2）,則則可取力=（石J|）,

ii-AB=-x+VJy=0

茄臼二6

設(shè)PD與平面PAB所成的角為凡則sinG=|cos匹外卜

PD同5

.??PD與平面218所成的角的正弦值為YL

5

【跟蹤訓(xùn)練2】.（24-25高二下?江蘇南京?期末）如圖，在直三棱柱為BC—44G中，AB=AC=AA}=2,/歷1C=9O。，

E,/分別為GC,8C的中點(diǎn).

（1）求證：4B”C；

⑵求直線(xiàn)力避與平面4E戶(hù)所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

6

【分析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得力4，平面/1次？，則力C_L必，而"」力9則由線(xiàn)血垂直的判定可得4c，半

19

面454，則46_L/1C,而46_L川不則46_L平面再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論;

（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

【詳解】（1）證明：連接力與，

因?yàn)槿庵?C-44G為宜三棱柱，所以44,平面48C,

又力Cu平面A8C,所以4C_L型,

又ZC一48MBe441=4，AB,44u平面力8%,所以/C_L平面48%,

又43u平面/網(wǎng)，則46_LZC,

因?yàn)樵谥比庵?8C-4與G中，初…,所以四邊形488/為正方形，

所以4B_L44，

因?yàn)?Cc481=4，AC.力用（=平面力。4，所以平面/C4，

又4Cu平面44，則力乃_L8c.

（2）因?yàn)橹比庵?8G中，乙%C=90。，

所以48,AC,兩兩垂直，

所以以A為原點(diǎn)，分別以48,AC,彳4所在的直線(xiàn)為x，V，z粕建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則40、0,0),4(0,0,2),4(2,0,0),￡(0,2,1),尸(1,1,0),

所以港=(2,0,—2),標(biāo)=(0,2,1),萬(wàn)=(1,1,0).

20

\n-AE=2t）+c=（

設(shè)平面/1EF的一個(gè)法向量為G=（“AC）,則＜_

[n-AF=a+b=0

令〃=1可得5=（[-1,2）.

設(shè)43與平面力"所成角為e,

所以曲夕=卜。塘,48〉卜?福|="+4x"+l+4=T，

即A}B與平面AEF成角的正弦值為日，

所以J.5與平面AEF成角的余弦值為叵.

6

題型六、兩個(gè)平面的夾角

【例6】.（25-26高三上?湖北武漢）如圖1,在V/BC中，N〃=9（T，。、上兩點(diǎn)分別在力4、AC上，使

AHAf_

寒=笠=?！?8。=2.現(xiàn)將\『力8。沿?！?折起得到四棱錐力一8。瓦），在圖2中力C=Mt.

DBbC

圖1圖2

⑴求證：4。_1平面8?；遥?/p>

⑵求平面/9￡?與平面力。所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）出

78

【分析】（1）證明出力力_LOE,ADLCD,再利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，而、DE，耳的方向分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面

ACE與平面ACD所成角的余弦值：

21

【詳解】（1）在圖1的VHSC?中，——=—=DE=BD=2

DBECt

3

所以，DE//BC,且力。=4,BC=-DE=3,

2

因?yàn)镹4?C=9（T,所以，/川9￡=9"，則力。J_OE,DE1.BD,

在△8CQ中，NCBD=90°，BD=2,BC=3,則CD=JBC?+BD，=g，

在圖2的△力CO中，/。=4,CD=x/13，AC=y/29,

滿(mǎn)足=所以/1O_LC'D,

因?yàn)榱_LCQ,ADIDE,CDC\DE=D,CD、DEu平面BCED,

所以4）_L平面8CEO.

（2）因?yàn)榱Α?平面8CEO,DEIBO,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，麗、瓦、刀的方向分別為％、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,4）、C（2,3,0）、D（0,0,0）,E（0,2,0）,JC=（2,3,-4）,JE=（0,2,-4）,

/、-AC=2x.+3y,-4z.=0

設(shè)平面/CE一個(gè)的法向量而=不必百），則一'''',

m-AE=2yl-4zl=0

取4=1,可得所=（-1,2,1）,

設(shè)平面4CO的一個(gè)法向量為萬(wàn)=（%，%，z?）,而=（0,0,4）,DC=（2,3,0）,

則_2,取々=3,則方=3,-2,0）,

n-DC=2x2+3y2=0

設(shè)平面WCE與平面ACD所成角為0,

則的6=|3沅刮=晶=舄底=嚕，

因此，平面4CE與平面力。所成角的余弦值為也.

78

【跟蹤訓(xùn)練1】.（25-26高三上?黑龍江）如圖，在四棱錐尸-力8C。上，底面48co為直角梯形,AD//BC,

22

?1

NnOC=90。，平面/平面力8C〃，0為力。的中點(diǎn)，M是棱尸C上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），PA=PD=2,6C=一月。=1,

2

CD=芯.

⑴求證：平面尸Q3JL平面4。;

⑵若二面角"-4。-。大小為30。，求器的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）1

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，首先證明四邊形，C。。為平行四邊形，從而得到再利用4。。=90展證明

8。_110.最后利用平面尸/3_1_平面/8。的條件，證明8?！??平面21。，進(jìn)而證明平面POB_L平面P/O；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量表示點(diǎn)的位置，通過(guò)向量的點(diǎn)積和夾角公式，求解二面角M-80-C大小為30”

時(shí)，震的值.

【詳解】（1）證明：?.FO〃8C,BC=\AD,。為力。的中點(diǎn)，

.?四邊形A。。。為平行四邊形，??.CO//RQ,

又???N4OC=90。，/.ZAQB=90°,即80_L4O,

又,平面產(chǎn)力Q_L平面/8c。，平面mOc平面46。。=力。，8Qu平面48cO,?平面產(chǎn)/。，

vBQu平面PQB，.二平面PQB_L平面產(chǎn)力。：

（2）解：:21=尸。，。為力。的中點(diǎn)，.二P0_L/1。，

?平面P/O_L平面/8CZ）,平面P4）C平面44co=力。，尸。匚平面尸力。，「."？/平面48。。，

以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

23

易知平面A0C的法向量為萬(wàn)=（0,0,1）,

又「0=石，..尸（0,0,61C（-l,Ao）,PC=（-l,V3->/3）,e?=（0,0,V3）,

^PM=APC=（-z,V3z,-x/32）,2e（0,l）,

/.0M=2P+PA7=（-2,>/32,X/3->/32）,又函=（0,x/J,0）,

—A,X+y/3Zy+jz=0

設(shè)平面M8Q的法向后為濟(jì)=（x,J，,z），即

Gy=0

令x=5,得碗=

\］一/tj

?.?二面角/一80-C為30。,

-----3一PM3

4PC4

【跟蹤訓(xùn)練2】.（25-26高二上?河北?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐尸-”8中,PA1平面ABCD,AB1AD,記平

面尸力8c平面尸CQ=/,///平面45CQ.

（1）證明：AB//CD.

（2）證明：平面產(chǎn)力4_1_平面產(chǎn)力力.

（3）已知21=%。=48=3,CD=2,求二面角的正弦值.

【答案】（1）證