1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章“空間向量與立體幾何”1.3.2空間向量運(yùn)算

的坐標(biāo)表示，內(nèi)容包括：掌握空間向量線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）及數(shù)量積的坐標(biāo)表示；理解空間向

量共線、平行的判定條件及向量的模、夾角公式；推導(dǎo)并應(yīng)用空間兩點(diǎn)間距離公式；通過(guò)建立空間直角

坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運(yùn)算，解決立體幾何中的平行、垂直、角度和距離問(wèn)題，體會(huì)向量

法在立體幾何中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì).

2.內(nèi)容解析

木節(jié)課以空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示為主線.通過(guò)建立百角坐標(biāo)系,將幾何問(wèn)題代數(shù)化.內(nèi)容涵蓋向量加

減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則，以及共線、共面向量的判定條件.重點(diǎn)推導(dǎo)并應(yīng)用向量模長(zhǎng)、夾角和兩

點(diǎn)間距離公式，強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算在立體幾何中的實(shí)踐價(jià)值.通過(guò)類(lèi)比平面向量，引導(dǎo)學(xué)生理解三號(hào)空間中向量

運(yùn)算的幾何意義，培養(yǎng)空間想象與邏輯推理能力.例題研討（如正方體中點(diǎn)連線證明、校長(zhǎng)計(jì)算）和小組互

動(dòng)練習(xí)（如課本習(xí)題1-5）鞏固知識(shí)，突出向量法在簡(jiǎn)化W體幾何問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)，為后續(xù)研究直線、平面位

置關(guān)系及距離、夾角問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為；掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）會(huì)用坐標(biāo)表示空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算.

（2）會(huì)利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決?些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.

2.目標(biāo)解析

（I）要求學(xué)生掌握空間向量線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）及數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法.通過(guò)建立空間直

角坐標(biāo)系，學(xué)生需理解向量坐標(biāo)與兒何意義的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如向量a=（x,y,z）對(duì)應(yīng)空間中從原點(diǎn)到點(diǎn)（x,y,z）的有

向線段）.教學(xué)中需強(qiáng)化運(yùn)算規(guī)則，過(guò)例題（如課本例1、例2）引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀過(guò)渡到代數(shù)運(yùn)算，培養(yǎng)

符號(hào)化表達(dá)能力.

（2）聚焦向量坐標(biāo)運(yùn)算在立體幾何中的應(yīng)用，需引導(dǎo)學(xué)生將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.例如：平行/垂直

判定：角度/距離計(jì)算：利用夾角公式或距離公式解決實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)中需結(jié)合具體模型（如長(zhǎng)方體、正方體），

設(shè)計(jì)階梯式練習(xí)（如課本習(xí)題1-5）,強(qiáng)化“建系一寫(xiě)坐標(biāo)一運(yùn)第一反推結(jié)論”的解題流程，體會(huì)向量法的

簡(jiǎn)潔性與普適性.

學(xué)情分析

學(xué)生已掌握空間直角坐標(biāo)系的基本概念、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及立體幾何初步知識(shí)（如異而直線、二面

角），能完成簡(jiǎn)單向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，并具備利用向量證明線面平行/垂宜的經(jīng)驗(yàn).但三維空間中向量運(yùn)

算的幾何直觀較弱，易混淆空間向量與平面向量的坐標(biāo)規(guī)則（如數(shù)量積公式中的z分量），且在立體幾何問(wèn)

題中常出現(xiàn)“建系隨意性大”“坐標(biāo)書(shū)寫(xiě)不規(guī)范”等問(wèn)題.

預(yù)估困難：

1.空間想象障礙：難以將長(zhǎng)方體、棱錐等幾何體與坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)，導(dǎo)致向量坐標(biāo)提取錯(cuò)誤.

2.運(yùn)算準(zhǔn)確性低：符號(hào)錯(cuò)誤（如（a~b,"c）誤寫(xiě)為（a,b,c））、公式混淆（如誤用平面距離公式）.

3.綜合應(yīng)用斷層：無(wú)法將“證明線面垂直”等幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“向量數(shù)量積為零”的代數(shù)條件.

解決策略：

1.動(dòng)態(tài)演示：利用幾何畫(huà)板展示正方體中向量坐標(biāo)與頂點(diǎn)位置的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化空間對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.對(duì)比辨析：設(shè)計(jì)“平面向量vs空間向量”專(zhuān)題練習(xí)（如計(jì)算a=（l,2）與b=（l,2,3）的模長(zhǎng)；，突出維度

差異.

3.模板訓(xùn)練：提供“建系一標(biāo)點(diǎn)一寫(xiě)向量一列式一結(jié)論"五步模板，規(guī)范解題流程.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)范性與幾何問(wèn)題代數(shù)化的思維轉(zhuǎn)換.

^^教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

新課導(dǎo)入

問(wèn)題引入

回顧平面向量運(yùn)算之加法與減法的坐標(biāo)表示：

己—。?vi>?b—

a卜*i4-v/>

-Jii+iJ+yj?y-J

=<j,-f.r）i-f-Cjfi4-Jr?>J?

要求1：已知a=（Q1，Q2，Q3），0=（仇,匕2/3），類(lèi)比以上方法，求Q+b的坐標(biāo)

預(yù)設(shè)：a+》=（q+4，/+打，4+&）

要求2：直接寫(xiě)出a-b的坐標(biāo)

預(yù)設(shè)：a—）=（q-4，%一2,/—4）

已如a（x?y）?

A4V=A（H-l=Ilyj?

P

Aa-（Xr.Xy）,

要求3：已知a=31*2泮3）,類(lèi)比以上方法，求入a的坐標(biāo)

預(yù)設(shè)：&1=（%4，＞1〃2,九4）

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，建構(gòu)空間向量加減法坐標(biāo)規(guī)則，滲透遷移思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)建議：通過(guò)平面向量與空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的對(duì)比分析，設(shè)計(jì)遞進(jìn)式問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納運(yùn)算規(guī)

律，強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算的幾何直觀.

新知探窕

探究|：根據(jù)同學(xué)們剛剛的回顧與類(lèi)比，即可完成下列表格

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

〃二(3'%)為=(%2,%)4=（5/，4）/=（工2，%*2）

線加a+l=(X+W，y+%)

47+/?=(^+x2,y1+y2,zI4-z2)

性法

運(yùn)減

4一〃=（王一工2，）［一%）4-/?=(%一七,凹一>2'Z|-Z2)

算法

數(shù)j

2tz=(Xvl,2>1,7lz1)

Aa=(2xp)

乘

數(shù)量積

ab=x]x2+y}y2a^b=xlx2+yiy2+zlz2

運(yùn)算

直線方

A(%,yJ,B(x2M,A(看,X,Z]),5(w,為,馬)

向向量

則AB=OB-OA=^x1_玉，為_(kāi))'i)AB=OB-04=(%,-xpy2-y\,z2-z1)

師生：學(xué)生回憶平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的內(nèi)容和學(xué)習(xí)過(guò)程，師生共同繪制表，確定表頭及研究?jī)?nèi)容，然后

學(xué)生獨(dú)立思考，完成表格中對(duì)應(yīng)的內(nèi)容后，小組交流，最后學(xué)生代表呈現(xiàn)表格并證明其成立.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，學(xué)生類(lèi)比完成表格的制定，體會(huì)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)

表示是平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的“推廣''以及研究?jī)?nèi)容和研究方法的一致性.

要求：下面我們證明空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

學(xué)生：類(lèi)比平面向量數(shù)量積的求法，得出證明過(guò)程.

預(yù)設(shè)：設(shè)｛，；/,&｝為空間的個(gè)單位正交基底，則a=，b=b\i+b2j+母,

所以a力=3"+//+%攵＞(4i+優(yōu)/+44).

利用向量數(shù)量積的分配律以及i-i=j-j=kk=\,ij=jk="=b,

■■

得a?b=岫+a2b2+ci3b3.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“探究”中的問(wèn)迤，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主研究.教學(xué)中應(yīng)放手讓學(xué)生展開(kāi)探究活動(dòng)，得出

結(jié)論并給出證明.

牛刀小試:

練1：已知點(diǎn)4(3,-1,0)，若向量通=(2,5,-3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()

A.(5,4,-3)B.(1,-6,3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：設(shè)B(x,y,z),又力(3,-1,0),所以而=a-3,y+l,z)=(2,5,—3),

%—3=2(x=3

則y+1=5,所以］y=4,

z=-3\z=-3

即8(5,4,-3).故選：A

練2：若五=(2,0,—1),5=(0,1,-2),則2+)=()

A.(2,0,-3)B.(2,-1,1)

C.(-2,1,-1)D.(24,-3)

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：若。=(2,0,-1),5=(0,1,-2),則Z+*=(2,l,-3).故選：D.

練3：若d=(2,0,—1),b=(0,1,-2),則26一3=()

A.(4,-1,0)B.(-4,1,-4)C.(-4,1,0)D.(4,-1,-4)

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：因?yàn)槲宥?2,0,—1),所以2：=(4,0,-2),

又6=(0,1,—2),所以2Q—6=(4,0,—2)-(0,1,-2)=(4,—1,0).故選：A.

練4：已知五=（0,—1,2）,5=（3,2,-1）,則造石的值為（）

A.4B.0C.-4D.-1

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：因?yàn)椋?(0,—1,2),1=(3,2,-1),

a-6=0x3l(I)x2l2x(1)=022=4.故選；C.

練5：若2+辦=(一2,-1,2),a-S=(4,-3,-2),則6不等于()

A.-5B.-1C.5D.7

解析：a+d=(-2,-1,2)①，五一3=(4,-3,-2)②，

①+?得：2G=(2,-4,0),即日=(1,-2,0)

所以族=(-2,-1,2)-a=(-2,-1,2)-(1,-2,0)=(-3,1,2)

d'b=-3—2+0=—5?故選：A

探究2：我們知道平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可以幫助我們解決平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等度量

問(wèn)題.那么，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是否也可以解決空間中平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等

度量問(wèn)題？

學(xué)生：帶著問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)興趣，繼續(xù)探究本節(jié)課的新課內(nèi)容

思考：如何用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算刻畫(huà)平面向量的平行和垂直？類(lèi)比平面向量，完成下列表格：

平面向量的特殊位置之平行空間向量的特殊位置之平行

。///?(/?w())o。=4ba/!b(b())oa=Ab

0N)，2-/y=0

<=>Xj=彳/，X=%)‘2,4=^2

學(xué)生：類(lèi)比與思考，完成以上表格.

思考；設(shè)4=（內(nèi)，凹，4）,〃=（巧，，2,22），4/"當(dāng)人聲0時(shí)：%=他能否表示為

?a2=AZ?,,（AGR）

%二地?

"=生=幺

b、b2

預(yù)設(shè)：力w004,4,用至少一個(gè)不為（）?

因此，只有乙,打，么均不為。時(shí)，。〃力=+=腎=：?特殊地，力=0與任意向量平行.

“1。2”3

例如：當(dāng)人與平面Qq平行時(shí)，4=0.此時(shí)會(huì)無(wú)意義.

思考：如何用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算刻畫(huà)平面向量的平行和垂直？類(lèi)比平面向量，完成下列表格:

平面向量的特殊位置之垂直空間向量的特殊位置之垂直

aA-b<=>ab=0aLb<=>ab=0

9+y/'2=°=x1x2+y1y2+ziz2=0

學(xué)生：類(lèi)比與思考，完成以上表格.

牛刀小試：

練8：已知兩個(gè)向量G=(2,—1,3),b=(4,m,n),Hd//b,則m+n的值為()

A.1B.2C.4D.8

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：v?//J,.-.^=^-=1,m=—2?n=6,m+n=4.故選：C.

3—12

練9：已知向量訪=(a,2,1),元=[2,—1,1),若(記一記)J?日，則Q=()

A.-2B.4C.-2D.5

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：由南=(a,2,1),元=(2,—1,1),可得而一元=(a—2,3,0),

又由(記一為J■五，則得(記一涇)?亢=0,

又濟(jì)=(2,—1,1),所以2(。-2)-3=0,解得Q=g.故選：A.

練io：已知a=(-2,1,3),族二(一1,1,1),若a_L(a—/iW，則實(shí)數(shù);I的值為()

A.-2B.--

3

C.-D.2

3

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：由向量a=(-2,1,3),)

得或=4+1+9=14,5-5=2+14-3=6

若G1(a—Ab),則d-(a—Ab)=a2—Aa-b=(4+1+9)-4(2+1+3)=0?

解得;1=].故選：c.

練11：已知空間向量訪=（一1,無(wú),2）,n=（l,3,y）,其中工>0,y>0,若沅記，則xy的最大值是

（）

A.—B.-C.—D.—

661224

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

因?yàn)榭臻g向量訪=n=（1,3,y）,且萬(wàn)_L亢，

所以近-n=—l+3x+2y=0,即3x+2y=1.

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y=；,即X==：時(shí)取等號(hào).所以孫的最大值是白故選：D

26424

思考：如何用空間向量的坐標(biāo)表示長(zhǎng)度和夾角？

平面向量的長(zhǎng)度和夾隹空間向量的長(zhǎng)度和夾角

+>iy+zz

cos（〃,/“=ab_xxx22cos（a,/?）=ab_xAx2+y}y2\2

刑戰(zhàn)+y；出+￡

4（不）"4）1（々,必衣2）

A（xl9yl）,B（x29y2）f

=，L+（），2-=J（々-XJ2+（%-X）2+（Z2-ZJ2

\AB\=AB\AB\=AB

思考：你能證明空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？

預(yù)設(shè)：如圖1.3-7建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,設(shè)6（X],y,Z[）,鳥(niǎo)（/，必衣?）是空間中任意兩點(diǎn)，則

片2=。E一。6=（工2—X],為一H，Z2—Z1）.

于是

P\P?=—X尸+（必一X）2+a2—4）2

所以

電=|^^|=加工2-%）2+（%一%）2+（22-4）2.

這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.

牛刀小試：

練⑵設(shè)G=(3,5,-4),6=(2,-1,-2),則2—25=；\a-2b\=

解析：a-25=(3,5,-4)-2(2,-1,-2)=(3,5,-4)-(4,-2,-4)=(-1,7,0)；

\a-2b\=VI+49+0=5夜.

練13：已知向量五=(x,l,—2),b=(2,1,2),|d|=V5??b=.

解析：a=(x,l,-2),由|2|=jN+12+(一2-=圾,解得x=o,

則有2=(0,1,-2),又族=(2,1,2),則鼠B=0x2+1x1+(-2)x2=-3.

故答案為：-3.

練14：已知力(3,3,3),8(666),。為原點(diǎn)，則函與函的夾角是()

A.0B.nC.-nD.2n

2

解析：因?yàn)槿f(wàn)5?而=3x6+3x6+3x6=54.

且網(wǎng)=373,\OB\=6百，

所以cos甌甌=贏=息力=1；

因?yàn)槟X，詬)6[0制,所以(UZ話(huà))=0,^(OA,BO)=n.故選:B.

練15：若向量,=(l,A,l),b=(2,-1,-2)且二與B的夾角余弦為或，則2等于()

6

A.2B.V2C.-V2?￡V2D.-V2

解析：cos(d㈤=晶=等鬻薔4=7^^=今顯然/<0，

'1同,回Vl+A2+lV4+l+43VA2+26

兩邊平方后化簡(jiǎn)得2於=儲(chǔ)+2,解得a=-V2,正值舍去.故選：D

應(yīng)用新知

例2：如圖1.3-8,在正方體ABCD-A/CQ中，E，產(chǎn)分別是8%。圈的中點(diǎn).求證EF_L.

分析：要證明石/_1_。4,只要證明EF_LOA，即證日乙以二。.我們只要用坐標(biāo)表示￡尸，七招，并

進(jìn)行數(shù)量積即可.證明垂直和利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角的問(wèn)題，并通過(guò)向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問(wèn)題.

證明：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標(biāo)系QQ，Z,則

所以EE=(_g1}}

2^2?

又A（i,o』），￡＞（o,o,o）,所以二（i,o,i）.

?—fl11A?一?

所以七戶(hù)?。4=（一5，—￥2）（1,0,1）=0.所以所_1。4,即

設(shè)計(jì)意圖：目的是使學(xué)生體會(huì)“根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量表示相關(guān)元素，并通過(guò)向

量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問(wèn)題”的基本思路.本題中，正方體的特征很明顯，以此為背景建立空間

直角坐標(biāo)系難度不大.教學(xué)中，還可以讓學(xué)生嘗試建立不同的坐標(biāo)系解決問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)“適

當(dāng)”的含義.

例3：如圖1.39在校長(zhǎng)為1的正方體ABC?！?4G。中，M為8G的中點(diǎn)，6，”分別在棱

A4,G2上，Bg=；AM，

（1）求AM的長(zhǎng).

（2）求8耳與。［所成角的余弦值.

分析：（1）利用條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)A，M的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求

出AM的長(zhǎng).（2）與。6所成的角就是8耳，所成的角或它的補(bǔ)角.因此，可以通過(guò)8g,

短耳的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果.根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量表示相關(guān)元素，并通過(guò)向量及其

坐標(biāo)的運(yùn)算求解問(wèn)題.

解析：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標(biāo)系。。z,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0,0）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為

停用?于是+（1-0）2+6一。）邛.

（2）由已知，得3（110）,0（0,0,。），

,DF=fo,1,11-(0,o,o)=fo,1,1

所以3￡=(I,(,I)_(I,I,O)=(O,一：,IX

於V17-Vn

網(wǎng)=kDnF.=~,

所以8百。6=0x0+（—,xL|+lxl二”，

I44J16

15

所以cos<BE.,DF）=產(chǎn)口駕=石16=.

|BE,|-|D^|V17xV1717

4X4

所以，BE1與?！彼山堑挠嘞抑禐?/p>

設(shè)計(jì)意圖：目的是使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)例2中求解問(wèn)題的基本思路.對(duì)于問(wèn)題⑴，在建立空間直角坐標(biāo)系后,

要注意引導(dǎo)學(xué)生利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.對(duì)于問(wèn)題（2）,要注意引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示向

量的數(shù)量積運(yùn)算中涉及的向量.教學(xué)時(shí)，還可以提示學(xué)生用綜合法解決本題目，進(jìn)而與教科書(shū)中

的方法進(jìn)行比較.

方法總結(jié)：

1.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟

(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)利用已知條件寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；

(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的

角.

2.利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長(zhǎng)度的一般步麻

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)：

(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng).

重點(diǎn)題型

題型一：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算之根據(jù)平行關(guān)系求參

1.已知空間三點(diǎn)做-2,0,2),創(chuàng)―1,1,2),C(—3,0.4),設(shè)〃〃=

(I)若卜卜3,dIBC，求c;

(2)若向量Aa+〃與a+A6平行，求上.

解析：(1)點(diǎn)A(—2,0,2),鞏―1,1,2),C(-3,0,4),ABC=(-2,-l,2),

由°〃8。，設(shè)c=(-2x,-x,2x),且工工0,

.?.'『=4x2+x2+4x2=9x2=9,解得x=±l,

?二=(2,1,-2)或c=(-2,-l、2)；

(2)向量1,A,2),a+kb=(l-k,l,2k),

k-l=A(\-k)

由向量入+人與a+助平行，則,A=%,

2=2Ak

解得攵=1或Z=—l.

方法小結(jié)：根據(jù)平行關(guān)系求參的步驟

(1)向量化：將空間中的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的平行關(guān)系；

(2)向量關(guān)系代數(shù)化：寫(xiě)出向量的坐標(biāo)；

(3)對(duì)于4=3,川，Z1),b=(X2,”，Z2),根據(jù)沏=仙2,川=小，Z1=XZ2.￡R)或\=[=%2,加

人2y

Z2都不為0)建立關(guān)于參數(shù)的方程(組).

(4)解方程(組)即可得解.

題型二：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算之根據(jù)垂直關(guān)系求參

2.已知空間三點(diǎn)八(-2,0,2),6(7,1,2),C(-3,O,4),設(shè)々=43，〃=4C.

若〃與版-2〃互相垂直，求A:

解析：〃=A8=(l,l,0),8=AC=(-l,0,2),

若版+力與Aa-助互相垂直，則(版+〃)?(版-2〃)=。，

?*,k2a-kerb-2b=0?

gpA:2-(l24-l2+O2)-A:-(-l+()+())-2-[(-l)2+O2+22]=(),

化簡(jiǎn)得2公+A-1O=O,解得％=-|或Z=2；

小結(jié)：根據(jù)垂直關(guān)系求參的步驟

(1)向量化：將空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的垂直關(guān)系；

(2)向量關(guān)系代數(shù)化：寫(xiě)出向量的坐標(biāo)；

(3)對(duì)于。=(內(nèi)，yi?zi),b=(X2f”，Z2),根據(jù)XlX2+yiy2+z|Z2=0建立關(guān)于參數(shù)的方程(組.).

(4)解方程(組)即可得解.

直題感知

1.(高二下?江蘇南通?期中)設(shè)%、yeR,向量<=(x,l,l),1=(1,y,l),三=(3,-6,3)且d_L3b//c,

則儂+b|=()

A.2V2B.2V3C.4D.3

解析：因?yàn)镚13則G?0=3x—6+3=0,解得x=l,則G=(1,1,1),

因?yàn)槲?，則J=5,解得y=—2,即》=(1,-2,1),

J-o

所以，d+b=(2,-1,2),因此，\d+b\=V4+1+4=3.故進(jìn)：D.

2.(24?25高二下?甘肅白銀?期末)(多選)已知向量五=(%1,3),點(diǎn)M(l,0,-3),N(2,3,6),則下列選項(xiàng)

正確的是()

A.\MN\=3V3B.|MiV|=V91

C.若五_L而，則工二一30D.若五〃而，則￡=g

解析：因?yàn)辂?(1,3,9),所以|而|=+9+81=同,故A錯(cuò)誤，B正確；

若4上而I,則而?d=x+3+27=0,得％=-30,故C正確；

若a〃而，則：=[=：,得x=點(diǎn)故D正確.故選：BCD.

3.(24-25高二下?福建龍巖?期中)已知向量G=(9,9,6),b=(1,1,0),則向量G在向量B上的投影向量的模

為.

解析：因?yàn)橄蛄縂=(9,9,6),b=(1,1,0),

所以向量2在向量族上的投影向量同cos(d,可而=潦不=皈

其模為9同=9，1故答案為：9V2

4.(24?25高二下?甘肅白銀?期末)已知空間中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)力8(3,4-工").則|而|的最

小但為()

A.2B.4C.3D.6

解析：因?yàn)?(1一匕2—居幻，F(xiàn)(3,4-x,x),

所以而=(3,4-x,x)-(1-X,2-x,x)=(2+x,2,0),

所以|而|二」(2+幻2+422,當(dāng)且僅當(dāng)％=—2時(shí)取等號(hào).故選：A

5.(24?25高二上,寧夏吳忠?期中)己知向量6=(1,1,770,5=(1,0,1)，且G1%

⑴求|五+2司的值;

(2)求向量d+2族與G-石夾角的余弦值.

解析：(1)因?yàn)橄蛄?=(1,1,m),b=(1,0,1),且G1則d?族=1+m=0,解得m=-l,

所以，&=(1,1,一1),則&+2G=(1,1,—1)+2(1,0,1)=(3,1,1),

故區(qū)+2b\=V9+1+1=VTl.

(2)a-b=(1,1,-1)-(1,0,1)=(0,1,-2),所以-b\=JO2+12+(_2)2=媽

又由(1)知a+2h=(3,1,1),\a+2b\=VTi

所以，cos(a+2b,a-b)==7=^7==一答,

''卷|a+2"bp|［a黨-b|)vllxx/555

因此，向量五+25與d—B夾角的余弦值為一等.

課堂筆記

1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

z

已知空間向量G,b,其坐標(biāo)形式為2=（可，y「zj,b=（x2,y2?z）

向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示

加法a+ba+b=___________________________

減法a-ba—b=____________________________

數(shù)乘XaAd=_____________________,AGR

答案：（再+4，乂+%，4+22）（%一%2，乂一%，21—22）（AXpAyplzJ

2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

已知空間向量G,b,其坐標(biāo)形式為2=（巧，y/zj,b=（x2,如z2）

向量運(yùn)算向量表示