2.3.4兩平行直線間的距離教學(xué)設(shè)計

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程234兩平行直線間的距離，

內(nèi)容包括：本節(jié)主要學(xué)習(xí)兩條平行直線間的距離，先明確其定義為兩條平行直線的公垂線段的長度；接著推

導(dǎo)距離公式：若兩條平行直線為/】：Ax+By+C1=0,/2：Ax+By+C.=0,則它們之間的距離為

d二尸，,推導(dǎo)中通過在一條宜線上取點，將平行線間距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想;

VA2+B2

強調(diào)使用公式需先將兩直線方程億為x、y系數(shù)相同的一般式；最后通過實例說明公式的應(yīng)用，幫助理解和

學(xué)握訂算方法。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是直線與圓方程章節(jié)的重要內(nèi)容，承接點到直.線距離知識，又為后續(xù)復(fù)雜圖形距離計算奠定基

礎(chǔ)。內(nèi)容以“定義一公式一應(yīng)用”為主線：先明確公垂線段長度的定義，建立距離的幾何直觀；再

|C-Cd

通過轉(zhuǎn)化思想，將平行線距離轉(zhuǎn)化為點到直線距離，推導(dǎo)得出公式d='1J,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與化歸

J」+B?

的數(shù)學(xué)思想；強調(diào)公式使用前提是兩直線方程化為x、y系數(shù)相同的一般式，這是避免錯誤的關(guān)鍵；最后結(jié)

合實例鞏固應(yīng)用，培養(yǎng)運算能力。教學(xué)難點在于理解轉(zhuǎn)化的合理性及公式推導(dǎo)邏輯，需通過幾何圖形演示突

破。其價值不僅在于掌握計算方法，更在于提升數(shù)學(xué)思維能力。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：掌握兩平行更線間距離?公式，理解推導(dǎo)的轉(zhuǎn)化思想，能熟

練應(yīng)用公式計算。

教學(xué)目標可解析

L教學(xué)目標

（1）理解兩條平行線間的距離公式的推導(dǎo).

（2）掌握量平行線的距離公式,能應(yīng)用兩平行線距離公式解決兩平行直線的有關(guān)距離問題.

（3）通過兩平行線距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運用等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解

決問題的能力.

2.目標解析

（1）該目標聚焦公式推導(dǎo)的理解，要求學(xué)生明晰將平行線距離轉(zhuǎn)化為點到直線距離的邏輯，把握推導(dǎo)

中等價轉(zhuǎn)化的思路，理解每一步推導(dǎo)的合理性，是掌握公式和運用思想的基礎(chǔ)。

（2）此目標強調(diào)公式的掌握與應(yīng)用，需學(xué)生熟記公式形式，明確使用前需統(tǒng)一x、y系數(shù)的前提，能

將具體問題轉(zhuǎn)化為公式適用形式，解決實際距離計算問題。

（3）該目標側(cè)重能力培養(yǎng)，通過推導(dǎo)過程讓學(xué)生體會等價轉(zhuǎn)化（化未知為己知）、數(shù)形結(jié)合（幾何意

義與代數(shù)運算結(jié)合）的運用，提升用數(shù)學(xué)思想解決問題的意識與能力。

學(xué)情分析

學(xué)生己學(xué)宜線方程的一般式、點到直線的距離公式，對直線位置關(guān)系有初步認識，多數(shù)能熟練計算點

到直線的距離，但對轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用不夠靈活。

預(yù)估困難：

（1）難以理解將平行線間距離轉(zhuǎn)化為點到直線距離的合理性；

（2）易忽略公式使用前提（直線方程系數(shù)統(tǒng)一）；

（3）對公垂線段幾何意義理解模糊。

解決方法：

（I）用兒何畫板演示公垂線段，通過對比點到直線距離與平行線距離的關(guān)系突破轉(zhuǎn)化難點；

（2）設(shè)計錯題辨析，強調(diào)方程標準化步驟；

（3）分組推導(dǎo)公式，強化邏輯理解。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：理解平行線距離到點到直線距離的轉(zhuǎn)化邏輯，掌握公式適

用條件及公垂線段幾何意義。

^^教學(xué)過程設(shè)計

新課導(dǎo)入

情境引入

七夕之夜，銀河如一條璀璨的光帶橫亙在星空，牛郎與織女分別站在銀河的兩側(cè)隔河相望。傳說中，

銀河在坐標平面上可以看作是由兩條平行直線構(gòu)成的，牛郎所在一側(cè)的直線方程為3x+y—4=（）,織女所

在一側(cè)的直線方程為3x+y+5=0.

牛郎思念織女，他想知道自己和織女之間的最小距離是多少?

同學(xué)們，幫忙設(shè)計一下牛郎與織女之間的最小距離到底該怎么求呢

教師：要完成這個任務(wù)，需要認真學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容一兩平行直線間的距離

設(shè)計意圖：以七夕傳說為背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，將實際距離問題轉(zhuǎn)化為平行線距離計算，自然引出課題。

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生觀察直線方程特點，回憶點到直線距離公式，思考如何轉(zhuǎn)化求解，鼓勵小組討論。

新知探究

教師：前面我們已經(jīng)得到了兩點間的距離公式、點到直線的距離公式.關(guān)于平面上的距離問題，兩條平行直

線間的距離也是值得研究的.

定義：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.

探究：直線L：x+y—1=0上有A(1,O)、B(0,1)、C(—1,2)三點，直線k：x+y—2=0與直線L平行，那

么點A、B、C到直線k的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？

學(xué)生：根據(jù)點到直線的距離公式求得三個距離，并總結(jié)其中的規(guī)律

預(yù)設(shè)：A、B、C到直線L距離分別為夸，規(guī)律：距離均相等，平行線之間的距離處處相等.

探究：已知兩條平行直線11，12的方程，如何求1］與％間的距離？

學(xué)生：同桌之間進行交流討論，并結(jié)合以上探究的答案，進行總結(jié)分析出方法。

預(yù)設(shè)：根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線Il上取任一點P(xo，y°),,點P(x°,yo)到直線k的距離就是直

線h與直線12間的距離，這樣求兩條平行線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離。

教師：前面我們已經(jīng)得到了兩點間的距離公式、點到直線的距離公式.關(guān)于平面上的距離問題，兩條平行直

線間的距離也是值得研究的.

解決:牛郎所在一側(cè)的直線方程為3x+y—4=0,織女所在一側(cè)的直線方程為3x+y+5=0.牛郎與織女之

間的最小距離是多少？

學(xué)生：根據(jù)以上分析思路和方法，嘗試解決牛郎織女的問題

預(yù)設(shè)：在牛郎所在一側(cè)的直線上取點P（0,4）,則點P到織女所在一側(cè)的直線的距離為：

|3x0+4+5|9V10

d=----，，—=-----

V32+I210

牛郎與織女之間的最小距離是：騫.

師生：根據(jù)以上例題歸納總結(jié)：“轉(zhuǎn)化法”求求兩平行直線的距國

思路：將“兩平行直線間的距離”轉(zhuǎn)化為“點到直線的距離”

第一步：取點：在兩條平行直線中的一條上（I取一點，比如：與坐標，由的交點等；

第二步：求點到直線距離：利用點到直線的距離公式求取的點到另一條平行直線上的距離，即可求解.

探究：求證：兩條平行直線Ar+8y+G=O與4工+3），+。2=0間的距離為

HG—G|

J42+1.

師生：共同分析：兩條平行直線間的距離即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點到另一條直線的距離.

學(xué)生：思考并與同桌交流，結(jié)合分析，共同得出證明過程，做好分享準備.

預(yù)設(shè)：證明：在直線41+8），+。|=。上任取一點。（%,），0）,點尸（見,），0）到直線土+8），+。2=。的距離

就是這兩條平行直線間的距離，即d=［一‘.』.

J-2+序

因為點P*o，No）在直線At+8y+G=O上，所以Aro+3yo+G=。，即九^+叫二一冊因此

d=陽―胡沖］==歸「6|.

+—2J*+R2J*+R2>

設(shè)計意圖：通過兩平行線間距離公式的推導(dǎo)，體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化忠、想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

建模的核心素養(yǎng)。

教師：板書公式：

兩條平行直線Ax+第，+G=0與Ar+By+G=0的距離公式：

>JA2+B2

師生：總結(jié)該公式得特點及注意事項：

（1）應(yīng)用公式前，必須把直線方程要化成一般式；

（2）兩直線方程中要求x,y的系數(shù)要對應(yīng)相同，若不同要先化為相同，再應(yīng)用公式求距離.

牛刀小試

練I：兩平行直線kx+y-l=0和%：%+'-3=0之間的距離為（）

A.V2B.2C.2V2D.3

解析：平行直線kx+y—l=O和勿％+丫-3=0之間的距離d=\撐=&.故選：A

練2：兩條直線，i：x-2y-4=0與，2：%-2y+1=0之間的距離是（）

A.5B.1C.\/5D.—

解析：由兩平行線之間的距離公式可得d=J，?的故選：C

"+（-2）2

練3:平行線％-2y+3=0與x-2y-2=0之間的距離為（）

A.V5B.—C.-D.5

52

解析：由已知所求距離為d==瓜故選：A.

練4：（多選）下列直線與直線，：％-y+2=0平行，且與它的距離為加的是（）

A.x-y+4=0B.x-y4-3=0C.x—y+1=0D.%—y=0

解析：對于A,d=^!=V2,符合題意，故A正確；對于B,d=不符合題意，故B錯

v2V22

誤.

對于C,d=^=F，不符合題意，故C錯誤；對于D,4=詈=或，符合題意，故D正確.

故選：AD

應(yīng)用新知

例7已知兩條平行直線4：2”一7y一8=0,/2:6x-21y-l=0,求人與乙間的距離.

師生：共同分析：在4上選取一點，如4與坐標軸的交點，用點到直線的距離公式求這點到勺距離，即乙

與4間的距離.

學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備，

預(yù)設(shè)：先求人與X軸的交點A的坐標.容易知道，點A的坐標為（4,0）.

點4到直線/,的距離d=叵號/粵』二產(chǎn)="言屈，

-J6+2F3屈159

所以4與乙間的距離為底.

跟蹤練習(xí)：求兩平行直線小3x+5），+l=0和以6x+10y+5=0間的距離.

師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；

預(yù)設(shè)：/13x+5y+l=0等價變形為/）：6x+10j+2=0

又，2：6x+10y+5=0

由兩平行直線間的距離公式可得：

IG-CJ_|1-2|_1

所以，平行直線八與/2的距離為：

師生：根據(jù)以上例題歸納總結(jié)："公式法''求求兩平行直線的距原

第一步：準備直線一般式方程：在將兩平行直線化為一般式，并確保兩平行直線的A、B對應(yīng)相等.

第二步：將A、B、CHC2四個值代入兩平行直線的距離公式即可求解.

重點題型

題型一：求兩平行直線的距離

例題：求兩平行直線/i：3x+5y+1=0和小6x+10），+5=0間的距離.

預(yù)設(shè)：/i3x+5y+l=0等價變形為小6x+10y+2=0

又［2：6x+10j+5=0

由兩平行直線間的距離公式可得：

7A2+B2762+8210

所以，平行直線/與右的距離為：口.

10

方法總結(jié)：“公式法”求求兩平行直線的距離

第一步：準備直線一般式方程：在將兩平行直線化為一般式，并確保兩平行直線的A、B對應(yīng)相等.

第二步：將A、B、G、G四個值代入兩平行直線的距離公式即可求解.

四個值代入兩平行直線的距離公式即可求解.

題型二：求含參的兩平行直線的距離

例題、已知兩條直線（：3x-4y+6=0與/2：6%+〃少+〃?=0（〃蚱1^）相互平行，則這兩條直線間的距離為

（）

2

A.2B.4C.-D.不確定

―3m=-24

預(yù)設(shè)：由兩直線平行可得、“=>，〃=-8,所以《：34-4?6=（）與/2：3x-4y-4=0（〃?wR）,

3m工36

|6+4|

故兩直線間的距離為J32十（_4/=2,故選：A

方法總結(jié)：先利用平行關(guān)系求出參數(shù)值，然后再利用“公式法”求兩平行直線間的距離.

題型三：利用兩平行直線間的距離求參數(shù)值（范圍）

例題、（I）若直線2x-y-3=0與44-2），+。=。之間的距離為右，則。的值為（）

A.4B.V5-6C.4或一16D.8或一16

預(yù)設(shè)：將直線2x—y—3=0化為4/一2y一6二0,

則直線2—。與直線4—y…。之間的距離仆與署一筌

1〃+6|

根據(jù)題意可得:即|。+6|=10解得。=4或。=一16,

所以。的值為a=4或。=-16.故選：C

（2）若直線2x+y-3=0與直線4x+2y+a=。之間的距離不大于則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.a<4B.-16<a<4C.-4<?<16D.aK16或a24

預(yù)設(shè)：直線2x+y-3=0化為4x+2.y-6=0,則兩直線之間的距離d<y[5,即卜+6區(qū)10,解得

-16?aK4.所以實數(shù)a的取值范圍為一16工“工4.故選：B.

方法總結(jié)：利用兩平行直線的距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程（不等式），解方程（不等式）即可得解.

題型四：兩平行直線間的距離的最值問題

例題、(1)已知〃且滿足3〃?+4〃=6,3a+4〃=l,則，(〃-爐+(〃一的最小值為

A.GB.V2C.1D.1

預(yù)設(shè)：(機〃)為直線3x+4)，=6上的動點，(。/)為直線3x+4y=l上的動點，

^m-af^n-b)2可理解為兩動點間距離的最小值，

61

顯然最小值即兩平行線間的距離；d-I''-1.故選C

V9+I6

方法總結(jié)：兩平行直線上兩動點間的距離存在最小值：最小值為兩平行之間間的距離

(2)已知兩條直線4：(2+2)x+(l—；l))，+2%-5=(),/2：(^+l)-^+(l-2A:)y+A:-5=O,且“〃?，則兩平行

線距離最大為.

預(yù)設(shè)：/,:A(x-y+2)+2.r+y-5=0,由［二，-5=0,解得［=3‘故右過定點4㈠).

、)-

2v'+］=0V—3

/2：A(X—2)，+1)+X+)，—5=0,由q+),_510,解得二2,故12過定點6(3,2),

故4，4距離的最大值為

方法總結(jié)：兩過定點的直線平行，則兩平行直線間距離存在最大值：即為兩定點之間的距離.

真題感知

1.(23-24高二上?全國?課后作業(yè))兩條平行直線5xI12y1=0,5xI12y10=0之間的距離為

()

Bc

A?9-n-nD.I

解析：由兩平行線間的距離公式可得：d」篇翳=：故選：C

2.(23-24高二上?福建泉州?階段練習(xí))兩平行直線11：3x+4y-2=0,Z2:6x+8y-5=0的距離等于

()

A.3B.0.1C.0.5D.7

解析：11：3%+4丫-2=0即為6%+8、-4=0,則4=中咨=占.故選：B.

v6z+8^10

3.(23-24高二上?全國?課后作業(yè))直線;一菅=1與y=1+1之間的距離為()

人wn014V13

A.o.C.手D.24

1313

解析：兩直線變形為3%-2、-12=0與3%-2、+2=0,4=懸熹=苗=^^故選：B

4.（23?24高二上?廣東?期末）下列直線與直線1:2%+y+l=0平行，且與它的距離為遙的是（）

A.x-2y+6=0B.2%+y+6=0

C.2x+y-4=0D.x-2y-4=0

解析：設(shè)所求直線的方程為2x+?+a=0,由題意可得翳=花，解得a=6或一4,

V4+1

故所求直線的方程為2x+y+6=0或2x+y-4=0.故選：BC

5.（24-25高二上?江蘇揚州?期中）若直線3%+4y-3=0與直線6%+my-1=0平行，則它們之間的距

離為（）

112

A.1B.-C.-D.-

255

解析：依題意可得37n-4x6=0,解得TH=8,則直線方程為6x+8y-1=0,

而方程3x+4y-3=0,g|J6x+0y-6=0,所以兩條平行線間的距離為d=總祟皂.故選：D.

6.（23?24高二上?河南