第15講解三角形中角平分線中線內(nèi)切外接圓問題

【知識梳理】

-:角平分線相關的定理

遇到角平分線問題一般有兩種思路：

思路一：角平分線定理：—=—

ACCD

思路一：等面積法：5AAsc=^AABD+SAAC￡）

-:有關三角形中線問題

遇到角平分線問題一般有兩種思路：

思路一：中線倍長法：延長中線，構造平行四邊形

思路二：利用平面向量：上圖中若。為8C的中點，則而牖+/），兩邊平方即得

三：有關三角形外接圓內(nèi)切圓問題

三角形外接圓：利用正弦定理'一二-2-=-^=2/?（其中R為三角形內(nèi)切圓的半徑）

sinAsinBsinC

三角形面積和內(nèi)切圓半徑的關系：S.8c=g（〃+人+c）.廣（其中，.為三角形內(nèi)切圓的半徑）

題型一：角平分線相關的定理及應用

【例1】（多選題）在乂3C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，〃，c,Z/4BC=|,內(nèi)角B的平分線

交AC于點。且BQ=G，則下列結論正確的是（）

A.-+-=IB.6的最小值是2

ac

C.。+3c的最小值是4石D.人AC的面積最小值是G

【答案】ABD

【分析】由三角形面積公式尋找。，C關系，再利用基本不等式判斷.

【詳解】解：由題意得：S&詠=+,

由角平分線以及面積公式得:acxsin[=!G/xsinJ+：GcxsinJ,

23262o

化簡得改=a+c,所以4+』=1,故A正確；

ac

:.ac=a+c22疝，當且僅當。=。時取等號，

Vac^2,..ac>4,

所以suc=；acsinZAHC=^acz6,當且僅當4=C=2時取等號，故D正確；

由余弦定理lr=a2+c2-2?ccosNABC=a2+c2-ac

=(a+c)~-3ac=(acy-3ac>42-3x4=4

所以〃22,即匕的最小值是2,當且僅當a=c=2時取等號，故B正確；

故選：ABD.

【例2】在/8C中，內(nèi)角4的平分線與邊4c交于點。且sinA=2sinC,A8=l,若ABC的面積

【答案】D

4A

【分析】根據(jù)三角形的面積公式建立方程，求出AD=-cos-,再由三角形面積范圍求出角A的范圍，利

用三角函數(shù)即可求解.

【詳解】sinB=2sinC.c=l,:.h=2c=2

,*S&ABD+S^ACD=S^ABC,

IAIA\

HP-xIxAOsin—F—x2x/ADsin—=—xlx2sinA

22222'

AA44A

即3A￡)sin不=2sinA=4sin5cos不，解得4。=3cos不,

?

又因為S”sc=5xlx2sinA=sin4e—J,

所以60°WAW120。，gp30°<4<60°,,

2222

,/…、A.22旦

?.AD=-cos—￡[一,---1,

3233

故選：D

【例3】AA3C中，D是BC上的點，AD平分NBAC,AM。面積是AAQC面積的2倍.

sinB

⑴求

sinC

(2)若AD=1,DC=—，求BD和AC的長.

2

【詳解】(1)5工的=:,四M疝-K4D,SiXAC[)=-ACADs\nZCAD,

■2

SNBD=2SSCD,NBAD=NCAD,..AB=2AC.

sinNBAC1

由正弦定理可知

sinZCAB2

(2)?.皿DC=WS…2:1,℃=日

：BD=6.設AC=X,則A8=2x,在△AB。與△AC。中，由余弦定理可知，

3

x

+BD~-AB~3-4rn2

2AD^RD黑萬COS/ADC=---------------------=

MDbU22ADCD72

ZADB+ZADC=兀,cosZADB=-cosZADC,

3_X2

A3~4X2_2____,解得x=l,即4C=1.

【例4】在中“8。，角A.A.。所對的邊分別為。,h,c,ZABC=\200,。交AC干點。,

且8D=1,則2〃+c的最小值為

解析：由題意知5：即=S"+48m,所以；acsinB=；cBDsinZABD+；aBDsin/CBD,即

JJJ

/.-acx—=-cxlx-4--axlxlOP.\>/3ac=c+2a，所以.?.G」+2，所以

22222ac

2…=美（2”（步卜登+?++卜今2〃+4）=苧

【題型專練】

1.在-48。中，角A氏C所對的勁分別為4,Ac.NABC=120o,N4BC的平分線交AC于點力,日出）=1,則

滿足的方程關系為；。+4c的最小值為.

【答案】a+c=ac9

【分析】空I:根據(jù)面積關系SA*=S，結合三角形面積公式化簡整理即可；空2:由a+c=ac

可得■L+'=l,利用,'乘|法”結合基本不等式運算求解.

ac

【詳解】空1:rSA8c=SABD+SCBD,則gacsin/ABC=gcxBOsin/A8Z)+；axB7)sinNCBO

即=Lex1X正+Lzxlx正，整理得4+CFC

222222

空2：ya+c=ac,貝讓+[=]

ac

…3(a+4c)=-+-+5>2l-x-+5=9,當且僅當”=@時等號成立

ac\acac

.??〃+4c?的是小值為9

故答案為：a+c=ac;9.

【點睛】利用基本不等式破解三角形中的最值問題時，當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考

慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值.

2.在△A8C中，角A,4,。所對的邊分別為a,b,c,Z?AC=-y,NB4C的平分線交BC于點。，

4)=1,則〃+c的最小值為

解析：=SMBC=5麗8/)+SABC/),所以?.?g%csinA=；cAOsin/8AO+；〃AOsinNC4O,即

—=-cx1x—+-/?x1x—,^bc=b+c,所以.'.1=!+1,所以

222222bc

b+c=(b+c)=14—+￡+122yli+2=4

cb

3.在平面四邊形48C。中，AB=2,BC=4,CD=2y/3,Z4BC=120°,ZADC=90°.

(1)證明：AC平分；

(2)求△A8O的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)yV3

【分析】(1)根據(jù)余弦定理及三角函數(shù)，再結合角平分線的定義即可證明；

(2)利用三角函數(shù)及二倍角的正弦公式，再結合三角形的面積公式即可求解.

(1)

在.A8C中，由余弦定理及已知，得

AC2=AB2+BC2-2AB-ACcosZABC=4+16+2x2x4x-=28,即AC=25/7.

2

在RhADC中，AQ=J(2⑺、(2可=4,

AD42x/7

所以cosNC4￡>=——=—尸=---,

AC2<77

在MAC中，由余弦定理得

AB2+AC2-BC24+28-162y/l

所以cosABAC=

2ABAC8萬7

所以cosZCAD=—=cosNBAC.故AC平分NBAD.

7

(2)

由(1)知，AD=4,AC=2y/7,cosZCAD=—

在&皿中,sinNCAD嗤嘴考.

sinNDAB=sin2ZDAC=2sinZDAC-cosNDAC=2x—x—，6,

777

所以△A3。的面積為

SABI)=^ABxADxsinZDAB=^x2x4x^^=y^.

所以△A8。的面積為與行

4.AABC中D是BC上的點.AD平分/BAC.BD=2DC.

(I)求苦!

sinZC

(II)若/班。=60，求NB.

ADBDADDC

試題解析:(I)由正弦定理得,因為AD平分/

sinZ.BsinNBA。sinNCsinZ.CAD

_sinZZ?DC1

BAC,BD=2DC,所ri以l-------=——=-

sinZCBD2

(II)因為NC=180-(ZBAC+ZB),ZBAC=60,

所以sinNC=sin(NR4C+N3)=-^cos/3+gsinNA由(I)知2sinN3=sinNC,

所以tanZZ?=—,ZB=30.

3

題型二：有關三角形中線問題

遇到角平分線問題一般有兩種思路:

思路一：中線倍長法

思路二：利用平面向量

［例1］在ABC中,AB=20、AC=瓜，邊上的中線人D=6,貝UABC面積S為()

屈口「

i.B.——6C.-a------nD.4——5

4423

【答案】C

【分析】作出輔助線，利用余弦定理求出乙4CE的余弦值，進而求出正弦值，利用面積公式求出答案.

【詳解】延長A。到點E使OEFD,連接CE,

E

則因為BC邊上的中線4)=逐，

所以AABD三AECD

所以CE=A3=20,AE=245,

以BC面積等于AACE的面積

在三角形ACE中，由余弦定理得：

28

8S4CE=AC2+C￡、AE二6+L8-20廠

2ACCE2xV6x2V2-4'

則sinNACE=J1--=—

V164

所以S亞=S”=‘AC住Esin4C￡>,創(chuàng)斯2>/2?——

>/1DV??*?VC22

故選：C

【例2】"C中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為〃，。，c,(〃+〃)2=。2+3".

(I)求角。的大?。?/p>

⑵若a=3,c=7,。為月4邊上的中點，求C。的長.

【答案】(1)C=]；(2)孚

【分析】(1)根據(jù)余弦定理，結合完全和公式進行求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理進行求解即可.

(I)

「a2+b2-c2a2+b2-[(a-i-b)2-3ab]a2+b2-(a2+b2+2ab-3ab)1

cosC=---------=---------------------=--------------------------=一,

2ah2ahlab2

因為Cw(O,兀)，所以C=T;

J

(2)

因為(。+人)"=/+3ab,a=3,c=l,

所以有(3+。y=49+90=6=8(舍去)，

49,

八BC2+AB2-AC2BD2+BC2-CD29+49-64彳+9-CZ>

cosB=---------------=----------------n----------=----------

2BCAB2BCBD2x3x72x3x1'

12

解得：CD二叵.

2

【例3】銳角一48c中，角4、B、。所對的邊分別為。、氏。，且」s=tan/3+tanC

ccosn

(1)求角C的大小；

⑵若邊c=2,邊A8的中點為。，求中線C。長的取值范圍.

TT

【答案】⑴9

4

⑵(肉+上].

【解析】

【分析】

(1)結合同角三角函數(shù)基本關系以及正弦定理化簡求解tanC=l,因為Cw(O,")，所以C=?；

（2）由余弦定理與正弦定理CD」=（（4+2VL必）=1+孝"，然后結合三角函數(shù)性質求解其取值范圍即

可.

⑴

sinAsinBsinC

因為一--=tanB+tanC,所以-----------=--------1-------

ccosBsinCcosBcosBcosC

sin/1sin^cosC+sinCcosBsin（B+C）sinA

sinCcosBcosficosCcosBcosCcosBcosC

又因4,4e（0,乃），所以siMwO,

又由題意可知cosAw0,

所以tanC=1,因為Ce（O,乃），所以C=

Q）

由余弦定理可得c~=a~+b2-2abcosC=a2+b~-\[2ab=4,

又CO=g（G4+C5）,

貝IJCO2=』（CA+C8）2二,^CA1+CB2+2CACB

44

=+b?+6ab）=品4+?6ab）=1+ab

abc

由正弦定理可得=272,所以=2缶iivl,

siiiAsinZ?sinCa

b=2&sinB=2揚in（年一人）

=2cosA+2sin>4

所以ab=4x/2siirA+4&siii4cosA=4\[2---。0s24+2&sin2A

2

0<A<-

由題意得?2/,71/C344冗

=4sin2A-?+2V2,?，解得:<A<7，

c3兀人兀42

0<-----A<—

42

乃3乃

則以一片1一7?'-下---

44J,

所以sin（2A-（e當,1

，所以必￡（4拒,4+2夜］,

所以。。丁卜,3+2上］所以中線CO長的取值范圍為（61+夜］.

【題型專練】

1.在AABC中，c分別是內(nèi)角A所對的邊，且滿足笑"+‘一=()

cosC2。+c

(1)求角4的值；

(2)若c=2,4。邊上的中線且，求AABC的面積.

2

【詳解】

cosBb八cosBsinB八..八.八一八

(I)-------+---------=0<=>--------+------------------=0,=>cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0

cosC2a+ccosC2sirb4+sinC

n2sin4cosB+cosBsinC+sin5cosc=0=>2sin4cosB+sin(B+C)=0.

?2

nsinA(2cosB+1)=(),sinA工(),「.cosB=一/.所以3=,

(2)解法一：中線倍長法：延長BD到E,使BD=DE,易知四邊形AECD為平行四邊形，

y^rr^rr

在MEC中，EC=2,BE=2BD=6，囚為乙46。二丁，而以NBCE=w，由余弦定理

BE2=EC2+BC2-2ECBC-cosZBCE，即3=2?+/-2-2acos(,d2-2r/4-l=0,

解得a=1，所以S'女=—acsinB=-1-2-

2222

2

解法二：BD=BA+BC，所以病=(而+砌，叫叫?=網(wǎng)可十4網(wǎng)?同cosB

(八丫(i、

gp—=c2+f/2+267ccosI20°,gp-=4+r/2+2^x4x--,/-2々+1=。，解得〃=1，所以

2J4I2)

S^BC=；acsgB=；?2.曰二當

乙乙乙乙

2.已知J8C的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足

2sin2A-2sin2B-sin2C-2sinfisinC=cos2C-cos2C.

(1)求角A；

(2)若AO是的中線，且4)=2,求人+c的最大值.

【答案】(Dy

(2)8

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化邊及余弦定理，結合三角函數(shù)特殊值對

應特殊角及角的范圍即可求解；

(2)根據(jù)已知條件及中線的向量的線性表示，再利用向量的數(shù)量積極及基本不等式即可求解.

(1)

由2sin2A-2sin2B-sin2c_2sinBsinC=cos2C-cos2c及二倍角的余弦公式,得

2sin2A-2sin2B-sin'C-2sin^sinC=cos2C-(cos2C-sin2C),

即2sin2A-Zsin?B-sin2c_2sinBsinC=sin2c,于是有,sin，8+sin?C-sin?A=-sin8sinC及正弦定

理，得"+c2-a2=-be,

由余弦定理'得=￡-be_1

2b^=~2

,?0<4<兀.?.A=—.

3

(2)

因為AO是二ABC的中線，所以AD=g(A8+AC),兩邊平方，得

AO，=；(A/+2AB4C+AC).由(I)知，A=y,AD=2,

所以2?=；卜+2'.".851+"2),

16=c2-bc+b~=(b+c)2-3/?c>(Z?+c)2-3x小匕；=—(Z?+c)2

<2y4

gp(Z?+c)2<64,所以8+c?8,

當且僅當〃=。=4時，等號成立，

所以〃+c的最大值為8.

題型三：有關外接圓，內(nèi)切圓問題(正弦定理，等面積法)

2

［例1］在A8C中，角A,4,C所對的邊分別為,a=\,(b-c)=\-bc,則必8c外接圓的面積是

()

A.三B.孚C.2nD.4冗

33

【答案】A

【分析】利用已知等式配湊出余弦定理的形式，可求得cosA,進而得到sinA,利用正弦定理可求得外接

圓半徑，由此可求得外接圓面積.

【詳解】a=\,：.(b-c\=\-bc=a~-be,+c2-a-=bc,

z.cosA=---------=—,又Aw0,九)，,sin4=—,

2bc2'72

2.二a二1二2Gr-

設ABC外接圓半徑為R,則一sinA一石一3，:.R罟，

3

2

..」ABC外接圓的面積S=兀尸=］

故選：A.

【例2】在48c中，角A,8,C所對的邊分別為。，〃，c,&(c—〃cosA)=a,〃=3&則/8c的外

接圓面積為()

A.4乃B.64C.87rD.9九

【答案】D

【分析】首先利用三角恒等變形化簡，并利用同角三角函數(shù)公式求得sinS=4,并利用正弦定理求外接圓

半徑，即可求得三角形的面積.

【詳解】由正弦定理可知,V5(sinC-sinBcosA)=sin4,

即'/2[sin(A+B)-sinBcosA]=sinA

A/2sinAcos13=sinA,因為sinA=0、cos8=三,

2

sinB=Vl-cos2B=—,根據(jù)正弦定理可知2R=3=6,得寵=3,

2sinB

則，48C的外接圓面積$=乃火2=9加

故選：D

【例3】在ABC中，內(nèi)角4仇。的對邊分別為為銳角:若2asinB=?,且

b+c=4底,SABC=46，則()

A.a=4

B.a=4出

C.二A8C的外接圓的半徑為4

D.A8C的外接圓的半徑為

【答案】BC

【分析】由正弦定理采用邊角互化得sinA=^,又由A為銳角得A=f,再由面積公式可得乩=16,由

23

余弦定理求出。的值，從而判斷A,B的正誤；

再由正弦定理求出/8C的外接圓的半徑，從而判斷C,D的正誤.

【詳解】解：因為2asin3=同,

由正弦定理可得2sinAsinB=VJsin8,sin8Ho

所以2sin4=6=sinA=@,

2

又因為A為銳角，

所以,

又因為S"C=4G,

所以g/ycsinA=46,

所以僅'=16,

又因為〃+c=4>/6,

由余弦定理可得：/=〃2+e2-2/T.cosA=S+c）2-3A=（4Gy-48=48,

所以〃二4",

故A錯誤，B正確；

由正弦定理可得2"=而］=市_=8=R=4，故c正確，D錯誤.

2

故選：BC.

【例4】已知_A8c中，AI3=3,AC=5,BC=7，。為_4BC外接圓的圓心，/為二相。內(nèi)切圓的圓心，

則下列敘述錯誤的是（）

A.“8c外接圓半徑為速B.ABC內(nèi)切圓半徑為日

3

C.AOBC=SD.AhBC=2

【答案】D

【分析】對A,由余弦定理求得8兇，即可得出sinA,再由正弦定理即可求出；對B,利用三角形面積關

系可求出；對C,由AO8C=4O（AC-AB）可求出；對口，由A/BC=A/?（4C-A8）可求出.

【詳解】在/阮中，co,八嘿3T，所以^邛,

CDBC714百

拽，故A正確；

設..A8C外接圓半徑為R,則~sin>463，貝次=

3

T

設.ABC內(nèi)切圓半徑為「，則S.8c=，（3+5+7）r=，x3x5xXI,解得「=走，故B正確；

2222

5

-AB-4出-AC.5二5G

囚刁04友14'0A77314'

~Y亍

7A/3<5下>體嗔30Q如「工施

=------x5x---------------x3x——=8，故C正確；

314314

設內(nèi)切圓與三角形分別切于D,E、F,則設AE=A,F=x,CE=CD=）\BD=BF=z,

x+y=5

J]95________

?x+z=3,解得x=3，），=5，z=],所以A/=JA尸2+/=],

y+z=7222

則cosNBA/=萬，cosZCA/=I,

所以4皿="（4。-48）=人/.4?！?八3=1*5乂；-1*3乂；=1,故D錯誤.

故選：D.

【例5］在目A8C中，sin|=?,8C=1,力C=5,貝ij

A.AB=2V5B.團ABC的面積為?

2

C.團ABC外接圓直徑是這D.國48c內(nèi)切圓半徑是U

22

【答案】ACD

【解答】解：,.?sin(=B,.??cosC=1-2sin2m=1-2x(y)2=1,

又BC=1,4C=5,???由余弦定理，

AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cosC=52+仔-2x5x1x《)=20,二AB=2遙，故A正確；

cosC=:且C為三角形內(nèi)角，sinC=V1-cos2C=:,所以△ABC的面積為S=BC-AC-sinC=1x

lx5xg=2,故8錯誤；根據(jù)正弦定理一：=2R(其中R表示外接圓的半徑)得：2/?=竽=竽，

osine.,

即A48c外接圓的直徑為竽，故C正確；

如圖.

B

設公力8。內(nèi)切圓圓心為。，半徑為廠,連接。力,0B,0C,

因為內(nèi)切圓與邊A8,BC,AC相切，故設切點分別為E,F,G,

連接0E,OF,OGt:0E=OF=0G=r,且OE1AB,OF1BC,(K；LAC,

根據(jù)題意:SMBC=\AC,BC-sinC=1x5xlx^=2,

利用等面積可得：

SA/1OC+S&BOC+SAA08=S^ABC，

即：^AC-r+^BC-r+^AB-r=2,

r=/B+2+BC=W^=學，故。正確?

故選ACD.

【題型專練】

3

I.在拉。中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，…,若cosA三，”1且"蛇的外接圓面積為

25。，貝的面積為（)

A.24B.25C.27D.28

【答案】D

【分析】根A4C的外接圓面積為25?？傻?8c的外接圓半徑R=5,再根據(jù)sinC=sin（4+8）,結合正

弦定理化簡可得c=acosB+bcosA=7&,再根據(jù)面積公式求解即可.

【詳解】易知A8C的外接圓半徑R=5.由cosA=1可得sinA=j-

3,所以a=2RsinA=8,

b=2RsinB=5五,由sinC=sin(A+8)=sinAcosB+sin8cos4,結合正弦定理可得

c=acoaB+/?cosA=7>/2,所以5Ax祐=g"sin8=Jx8x7及x*^=28.

故選：D

2.設“SC的內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,b,c,cos(￡?-C)+cosA=2^,且次:=3，則地C的外接圓

的周長為()

A.27rB.3兀C.4兀

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和兩角和與差的余弦公式化簡題中的等量關系，根據(jù)權?的乘積正弦定理求解

三角形的外接圓的半徑，從而得到三角形外接圓的周長.

【詳解】由cos（8-C）+cosA=j得cos（B-C）-cos（B+C）=§,

2

fiPcosSeosC+sinfisinC-cosBcosC+sinfisinC=—,

所以sin3sinC='，

3

bc

又因為慶=3，結合正弦定理=（其中R為AABC的外接圓的半徑）得

sinBsinC

bc=4R2sinBsinC=-/?2=3,

3

解得仁

則zMBC的外接圓的周長為2兀/?=3幾.

故選：B.

3.三角形有一個角是60。,夾在這個角的兩邊長分別為8和5,貝U（）

A.三角形另一邊長為6B.三角形的周長為20

C.三角形內(nèi)切圓面積為37rD.三角形外接圓周長為苧7T

【答案】BC

【解答】解：因為三角形有一個角是60。，夾在這個角的兩邊長分別為8和5,

A.由余弦定理得：三角形另一邊長為182+52—2x8x5xcos60。=7,故4錯誤；

8.三角形的周長為8+5+7=20,故8正確；

C設三角形內(nèi)切圓的半徑為r,由面積法得到：3x8x5xsin600=；x20xr,解得r=百，

所以內(nèi)切圓的面積為訂x卜行y-：樂，故c正確；

。.設三角形外接圓的半徑為R,則由正弦定理得到心=2R,

SinbU

解得R=及，所以三角形外接圓周長為2:R￥下，故。錯誤.

33

故選BC.

4.在.ABC中，8s8=半，AC=2,=m,則下列結論正確的是()

A.ABC外接圓的面積為94B.若m=36,則。=60。

C.以BC的面積有最大值3+20D.當()<〃區(qū)2時，有一解

【答案】AC

【分析】由正弦定理可判斷AB,由余弦定理和基本不等式可判斷C,由方程—士邑。+/一4=0的解的

3

情況可判斷D.

【詳解】由8sB巨可知sinB=!,

33

bJ

由正弦定理得：sinB-T-，所以R=3,

3

所以“BC外接圓的面積5=4店=9乃，A正確；

若〃2=36,由正弦定理得：其，

sinBsmC

解得：sinC=^，所以C=60?；?20。(均符合題意)，B錯誤；

由a2+c2-b22ac-b2月2722ac-4

由cosp3=——----->-----付----2------,

2ac2ac3lac

解得：acK6(3+2&),當且僅當。=c=#+2石時取等號，

所以S=」〃以由8?,乂6(3+2及八1=3+2正,C正確;

?a2+c2-b2a2+c2-4,4\/2a、八

cosB=---------=---------得<Bc------c+a~-4A=0,

laclac3

△二(一警)。4(/—4)=^^2,

A>0

此方程有唯一正解等價于△=()或，“c，又”0，

-4<0

解得：0<aK2或a=6,D錯誤.

故詵：AC

5.在中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。"，。若4=2五,1)=瓜,cosA=g，則()

3

A.ABC外接圓的半徑為彳B."WC外接圓的半徑為3

C.C=\/6D.C=2>/2

【答案】AC

【分析】由cos4的值，求出sin同，由正弦定理可判斷A,B;由正弦定理求出sinB,再由兩角和的余弦

公式求出cosC,貝ijB=C,則°=方=6可判斷C,D.

【詳解】因為cosA=1,A為三角形內(nèi)角，所以sinA=Vi二嬴7=平.設A8C外接圓的半徑為R,

JJ

則2R=/=3，所以A8C外接圓的半徑為；.由上一=正=3.

sinA2sin4sin4

[7________A

得$由8=——?因為，所以cosB=Ji-sin，B=-^".

33

因為cosC=-cos(A+8),所以cosC=2^x邁一』乂且=立.

所以8=C,則c=〃=?.

故選：AC.

A+R

6.A8C的內(nèi)角A.B.C的對邊分別為a,〃,c其面積為S,周長為￡.若asin、一=csinA,且c=2.

貝I")

AC=

iB.S的最大值為￡

c"c的外接圓半徑為苧

D.上的最小值為6

【答案】BC

【分析】由已知式子利用正弦定理結合二倍角公式化簡可求出角C，再利用正弦定理可求出A8C的外接

圓半徑，利用余弦定理結合基本不等式可求出S的最大值，利用正弦定理結果三角函數(shù)恒等變換公式可求

出L的范圍

【詳解】因為asinf-=csinA,

A+/?

所以由正弦定理得sinAsin。一=sinCsinA,

jr—「

因為sinA工0,所以sin---=s