專題01輕松破解求函數(shù)解析式的十大題型

題型歸納

題型一：代入法求函數(shù)的解析式...................................................................1

題型二：待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式...............................................................2

題型三：配湊法求解析式.........................................................................3

題型四：換元法求解析式........................................................................3

題型五：方程組法求解析式.......................................................................4

題型六：由函數(shù)圖象求解析式.....................................................................4

題型七：由函數(shù)的奇偶性求解析式.................................................................6

題型八：由對稱性求解析式.......................................................................8

題型九，賦值法求解析式.........................................................................9

題型十：與求解析式有關(guān)的開放題.................................................................9

題型專練

題型一：代入法求函數(shù)的解析式

已知/‘(X)的解析式，求/(g(x))的解析式時(shí)，只要宜接將X用g(x)代替，代入即可求得解析式.

1.已知函數(shù)/(，=2X+1運(yùn)(X)=。+1,ffl/(g(x))=,g(/(x))=.

Y<][Vx,x>0

2.(24-25高一上?浙江杭州?期中)(3)已知函數(shù)/")=、'，一，,g(x)=41，則/(g(x))=_

2x-l,x>l[二,工<0

x+2(x<-2)

3.已知函數(shù)/(x)=?x2(-2<x<2).

2x(x>2)

⑴比較/(/(一3)),/(/(百))的大??；

⑵求〃/+2)的值.

I/10

題型二：待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式

I

已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)求解析式時(shí)，先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，將已知

條件代入，再利用恒等式的性質(zhì)是立關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的系數(shù).

4.(24-25高一上?陜西商洛?期末)已知/(x)是一次函數(shù)，/(/W)=9x-4,且/(0)>0,函數(shù)g(x)滿足

g(/(.r))=9x2,則()

A.f(x)=-3x+2B./(x)=3x+l

C.g(x)=x2-4,r+4D.g(x)=,v2-2x4-l

5.侈選)(24-25高一上?山西?期中)已知一次函數(shù)/(x)滿足/'(/a))=8Lx+80,則/(口的解析式可能為()

A./(x)=9x+8B./(x)=-9x-8C./(x)=9x-i-10D./(x)=-9x-10

6.(24-25高二下?黑龍江牡丹江?期末)已知一次函數(shù)>=/*)滿足3/(l+x)-2/("x)=10x+3,則

/?=.

7.(25-26高一上?全國?課堂例題)求下列函數(shù)的解析式

⑴已知函數(shù)/(》)是一次函數(shù)，滿足/(/(x))=16x-20,求/卜)；

(2)已知g(x)是二次函數(shù),且g⑵=7,g(-2)=-7,g(0)=-3,求g(x).

8.(2025高二下?湖南株洲?學(xué)業(yè)考試)已知二次函數(shù)/(力滿足/(x-1)-/(x)=4x-3,且/(x)的圖象經(jīng)過

13

點(diǎn)A(2,--).

⑴求/(x)的解析式；

(2)若對VxwR,不等式〃切《〃”恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圜

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題型三：配湊法求解析式

00?百

已知復(fù)合函數(shù)/(g(x))的解析式，求/(X)的解析式，可采用“配湊法”，即從/(g(x))的解析式中湊出

g(x),再將解析式兩邊的g(x)換成X,便得/*)的解析式.

9.已知/(G+2"+1,則/(')=()

A.X2-4A+5(X>2)B.X2-4X+3(X>2)

C.x2-4x+3(x>0)D.x2-4x+5(x>0)

r-112

10.(2025高一?全國?專題練習(xí))若函數(shù)/G—)=——+!>則/1(x)=()

XXX

A.-4B.-4(x^1)C.X2D.

11.(24-25高一上?江蘇連云港?期中)已知函數(shù)/(x+l)=F+x,且函數(shù)/(x+1)的定義域?yàn)閇-1』，則()

A./(x)=x2+3x+1,xe[-2,0]B.f(x)=x2+3x+l,xe[0,2]

C./(x)=x2-x,XG[-2,0]D.f(x)=x2-x,xe[(),2]

12.三知函數(shù)=則函數(shù)y=/(x)的解析式是()

A./(x)=x2+2x+2,x>0B./(x)=x2+2x4-2,x>-l

C./(x)=x2-2x+2,x>()D.f(x)=x2-2x+2,x>-l

13.(24-25高二下?遼寧鞍山?期末)已知/(x+J=f+攝+4,則/(x)=()

A.x2+2B.2-2C.X+-(|X|^2)D.X2+2(|X|>2)

XX

14.若函數(shù)/卜=則/(》)=.

題型四：換元法求解析式

0^00

已知復(fù)合函數(shù)/(g(x))的解析式，求/&)的解析式，可采用“換元法”，令g(x)=t，用t表示出X,代

入f(g*))的解析式，得到/⑺的解析式，再將t換成X,便得/(X)的解析式.

15.(24-25高一上?云南昆明?期中)已知/(1-力=3工+2,則〃力的解析式為()

A./(x)=-3x4-5B./(x)=-3x+3

C./(x)=-5x-3D./(x)=3x+3

16.(24-25高一上?湖南?期中)若函數(shù)/(3工—1)=3/-1,則/(1)=()

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A.1(x-l)2-lB.1(x-l)2-lC.1(x+l)2-lD.1Cx+l)2-l

17.(2025高一?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(1—力==匚(工/0),則/(x)=()

X

A./[、廠心工。)B./[z—C

(x-1)(x-\)

44

C.-~^T(x*。)D.；~^T(xxl)

(1)(1)

題型五：方程組法求解析式

在已知中，含有關(guān)于兩個不同變量的函數(shù)，而這兩個變量有著某種關(guān)系，這時(shí)可根據(jù)兩個變量的關(guān)

系，建立一個新的關(guān)于兩個變量的式子，由兩個式子建立方程組，通過解方程組消去一個變量，得到目標(biāo)

函數(shù)的解析式，這種方法叫做解方程組法或消元法

18.(2026高三?全國?專題練習(xí))若函數(shù)/(X)滿足/卜)-2/(斗》+2,則/")=.

19.(24-25高三上?遼寧?期末)已知函數(shù)〃力滿足/(》)+/(￡)=1+x,則/(》)=.

20.(24-25高一上?云南文山?期中)已知定義在R上的函數(shù)/(*滿足/(x)-3/(r)=12x-2,則函數(shù)/(x)

的解析式是.

21.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)滿足/(x)+2/(r)=F-6x+7,則函數(shù)/(%)=.

22.(24-25高三上?安徽合肥?期中)已知函數(shù)/(力對任意x滿足3/(力-〃2r)=4x,則/(X)=.

23.已知函數(shù)/(x)滿足則/(x)=.

題型六：由函數(shù)圖象求解析式

0?由e

方法一：先確定函數(shù)類型(如一次，二次，分段函數(shù)等)，再根據(jù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)(頂點(diǎn)、交點(diǎn)、特殊

點(diǎn))，代入設(shè)出的解析式，列方組(組)求解系數(shù)，最后驗(yàn)證.

方法二：圖象特征法，取圖象上的特定點(diǎn)代入各解析式排除錯誤的選項(xiàng)，并結(jié)合圖象中呈現(xiàn)出的定義

域、值域、對稱性、單調(diào)性以及奇偶性等確定出正確的函數(shù)解析式.

24.(2025?天津?高考真題)已知函數(shù)y=/(x)的圖象如下，則/")的解析式可能為()

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25.（24-25高一上?浙江杭州?期末）如圖所示的基函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式可能為（）

Cv=1

D*y=x

26.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特

征.我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）

1

時(shí)c.D.

27.（24-25高一上?四川雅安?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）的大致圖象如圖所示，則/（X）可能是（

B.f(x)=—

[7x-1

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c.D.〃x)二號

28.(24-25高一上?四川?期中)若函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示，則/(X)的解析式可能是()

u/(力山+I

D-/(x)lkll

題型七：由函數(shù)的奇偶性求解析式

00幅

利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式的步驟：

第一步：設(shè)出所求區(qū)間的自變量x20/x?0,取相反數(shù)一x?O/—xNO；

第二步：將一xWO/—xNO代入題干已知的表達(dá)式中；

第三步：利用奇偶性/'(—x)=—/(x)//(—x)=/(x)求出/⑺的表達(dá)式.

注意：求函數(shù)值時(shí)由內(nèi)到外依次求值

29.(24-25高二下?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，當(dāng)》<()時(shí)，/⑴二一―》，則當(dāng)x>0時(shí),

/?=.

30.(24-25高一下?山西?期中)若/(x),g*)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

3/i.v)+g(x)=x2+12x+3,則函數(shù)力(1)=/(x)-g(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

31.(24-25高一下?貴州畢節(jié)?期末)已知函數(shù)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)20時(shí)，/(x)=x2-x.

⑴求函數(shù)/(力的解析式;

(2)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,；)上的單調(diào)性，并用定義法給出證明：

⑶令g(x)=/(x)+l，求不等式g(2')<g(l+2)的解集.

I1/

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32.(24-25高二下?江西?期末)已知定義域都為R的函數(shù)與g(x)滿足：/(可是奇函數(shù)，g(x)是偶函

數(shù)，/(x)-g(x)=x2+2x+9.

(1)求函數(shù)/W與g(x)的解析式；

(2)若g(x)+，“/(x)+4]K0在(-2,內(nèi))上恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

33.(24-25高一上?天津?期中)定義在R上的函數(shù)/(4)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(力=/一2工-3.

⑴求/⑵和/(-1)的值;

(2)求函數(shù)/(X)的解析式；

(3)作/")的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間和值域(直接寫出單調(diào)區(qū)間和值域).

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題型八：由對稱性求解析式

00&嫉

利用函數(shù)圖象對稱中心，對稱軸求其解析式時(shí)要注意熟記以下結(jié)論：

定理1若函數(shù)定義域?yàn)镽，則函數(shù)八4+?與、=八分_幻兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線

b-a對稱(由a+x=b-x可得)

F

推論1.函數(shù)y=/。一幻與函數(shù)歹二/(。一幻的圖象關(guān)于直線x=a對稱。

函數(shù)y=f(x)與y=f(2a—x)的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。

推論2.函數(shù)y=/(加r-4)與函數(shù)y=/S-〃狀)的圖象關(guān)于直線x對稱.

2m

推論3函數(shù)y=/(Q+x)與函數(shù)y=/(〃一x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱。

函數(shù)》=/*)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱。

定理2若函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)镠,則函數(shù)y=/(〃+x)與＞=。一/3-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

推論1.函數(shù)y=/3+x)與函數(shù)y=-/(b—x)圖象關(guān)于點(diǎn)(——,0)對稱。

推論2.函數(shù))，=/(不)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對稱的解析式為曠=-/(2。一工)推論3.函數(shù)、，="乂)與丫=

2b—f(2a—x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中心對稱。

推論3.兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)

(1)曲線歹二/(X)與歹=一/(工)關(guān)于x軸對稱。

(2)曲線y=f(x)與y=/(-x)關(guān)于y軸對稱。

(3).函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱

(4)曲線y=/(x)與y=/(2a-x)關(guān)于直線x=。對稱。

(5)曲線f(x.y)=0關(guān)于直線x=b對稱曲線為f(x,2b-y)=0。

(6)曲線/(元歹)=0關(guān)于直線x+y+c=0對稱曲線為f(-y-c-x—c)=0。

函數(shù)y=f(x)與a—x=f(a—y)的圖像關(guān)十直線x+y=a成軸對稱。

(7)曲線f(x,y)=0關(guān)于直線工一^+。=0對稱曲線為了('一「,工+。)=0。

函數(shù)y=f(x)與x—a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x—y=a成軸對稱.

8.曲線/(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對稱曲線為/(2。-x,2b-y)=0.

34.與曲線p關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線為()

x-1

11

D-^-―

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35.(24-25高三上?吉林長春?開學(xué)考試)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù))，=/(2x-l)的圖象關(guān)于直線x=l對

稱的是()

A.y=f(-2x-\)B.y=f(-2x+\)

C.y=/(-2x+3)D.y=2-f(2x-1)

36.(2023高三?全國?專題練習(xí))若DXGR,/(x+l)=/("x),當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=/-4x,則下列說法正

確的是()

A.函數(shù)/")為奇函數(shù)B.函數(shù)/(X)在(L+8)上單調(diào)遞增

C./Wmin=-4D.函數(shù)/(x)在(—,1)上單調(diào)遞減

37.(24-25高三下?山東?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃力=(》+2)(2/+以+沖的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，則

a+2b=.

38.(24-25高一上?上海浦東新?期末)若函數(shù)/(》)=合的圖像關(guān)于直線對稱，則”的