專題4.1平面直角坐標系(舉一反三講義)

【浙教版2024]

颼題型歸納

【題型1判斷點所在的象限】....................................................................1

【題型2坐標與距離】..........................................................................4

【題型3坐標與象限、坐標軸】.................................................................6

【題型4坐標與位置】..........................................................................7

【題型5與坐標軸平行】.......................................................................10

【題型6象限角平分線上的點】.................................................................12

【題型7根據(jù)平移前的點求平移后的點】.........................................................15

【題型8根據(jù)平移后的點求平移前的點】.........................................................18

【題型9根據(jù)平移前后關系求值】..............................................................22

【題型10根據(jù)平移確定點的位置】.............................................................23

【題型11關于x軸、y軸對稱的點的坐標】......................................................26

【題型12作圖一一軸對稱變換】...............................................................28

【題型13利用軸對稱設計圖案】...............................................................32

舉一反三

知識點！平面直角坐標系及有關概念

1.平面直角坐標系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標系.通常兩條數(shù)軸分別置于水平位置和豎

直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向.

2.坐標軸

水平的數(shù)軸稱為￡軸或撞軸，豎直的數(shù)軸稱為上軸或縱軸.二者統(tǒng)稱為坐標軸，兩坐標軸的交點。稱為平

面直角坐標系的題點.

3.象限

坐標平面被兩條坐標軸分成四個部分：右上部分叫做第二象限，其他三個部分按逆時針方向分別叫做第二

象限、第三象限、第四象限..

知識點2建立平面直角坐標系

建立平面直角坐標系的步驟

1.(1)分析條件，選擇適當?shù)狞c作為原點;

（2）過原點在兩個互相垂直的方向上分別作出x軸、），軸；

（3）確定正方向和單位長度.

常見的建立坐標系的方式：以等腰三角形底邊的中點為原點，底邊及底邊上的高所在直線為坐標軸.

2.知識點3平面直角坐標系內(nèi)點的坐標

點的坐標表示

1.平面內(nèi)的點可以用一個有序數(shù)對來表示.對于平面內(nèi)的任意一點P,過點P分別向x軸、），軸作垂線，垂

足在x軸、），軸上對應的實數(shù)q力分別叫做點尸的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對（a,b）就叫做點P的坐標.坐

標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應的.

2,點的坐標的幾何意義

（I）點P（Q,b）到％軸的距離為|力|；（2）點P（Q,b）到y(tǒng)軸的距離為同.

點的坐標特征

3.（1）各象限內(nèi)點的坐標特征：第一至第四象限內(nèi)的點的坐標符號依次為（+,+）、（:+）、（-，一）、出一

（2）非象限內(nèi)點的坐標特征：x軸上的點的縱坐標為0；），軸上的點的橫坐標為0；原點的橫坐標、縱坐標

都為0;原點既在工軸上，又在上軸上.

（3）與坐標軸平行的直線上的點的坐標特征：與K軸平行的直線上的所有點的縱坐標相同，與y軸平行的

直線上的所有點的橫坐標相同.

知識點4用坐標表示平移

（1）點的平移：點的平移引起坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標中，將點（工，y）向右（或左）平移。個單位長

度，可以得到對應點（x+a,y）或（孫y）；將點（x,y）向上（或下）平移b個單位長度,可以得到對應點（x,y+b）

或（x,yb）.

（2）圖形的平移：在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個正數(shù)。，相應

的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移。個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個正數(shù)〃，

相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度.

知識點5軸對稱與坐標變化

（1）關于x軸對稱的兩個點的坐標，橫坐標桓同，縱坐標互為相反數(shù);反過來,橫坐標相同、縱坐標互為相

反數(shù)的兩個點關于工軸對稱.

（2）關于），軸對稱的兩個點的坐標，縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù);反過來,縱坐標相同、橫坐標互為相

反數(shù)的兩個點關于上軸對稱.

【題型1判斷點所在的象限】

【例1】(2425七年級上?山東聊城?期末)在平面直角坐標系中，點P(/+2,-3)在第象限.

【答案】四

【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)結(jié)合點的坐標特點得出所在象限，四個象限的符號特點分別是：第一象限

(+,+),第二象限(一,+),第三象限(一,一)，第四象限(+,-).

【詳解】?.?無2>。，

X24-2>0,

.?.點P(/+2,-3)的位置在第四象限.

故答案為：四.

【點睛】本題考查了點的坐標，非負性的應用，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符

號特點分別是：第一象限(+,+)，第二象限(一,+)，第三象限(一,一)，第四象限(+,-).

【變式11】(2425七年級下?北京?期中)在平面直角坐標系xOy口，點P(l,—2)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】此題主要考查了點的坐標，解答本題的關鍵是掌握好四個象限的點的坐標的特征；

根據(jù)象限點的特征，第一象限正正，第二象限負正，第三象限負負，第四象限正負，即可求解.

【詳解】解：因為點尸(1,-2)的橫坐標是正數(shù)，縱坐標是負數(shù)，

所以點P在平面直角坐標系的第四象限.

故選：D

【變式12](2425七年級下?廣東廣州?期末)無論〃?取什么數(shù)，點(-1-1nli+1)一定在第象限.

【答案】二

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)先判斷-1一血2工-1,|加+121,再結(jié)合象限內(nèi)點的坐標特點可得答案.

【詳解】解：m2>0,

???-m2<0,

:.-1—m2<—1,

V|m|>0,

???|77l|+1>1,

點(一1-m217nl+1)一定在第二象限，

故答案為；二

【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，象限內(nèi)點的坐標特點，掌握“第一象限（+,+）;第

二象限（，+）;第三象限（，）；第四象限（+,）”是解本題的關鍵.

【變式13］（2425七年級下?四川瀘州?期中）如果點P（a,b）在第二象限,則點Q（a-3,-瓦）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】本題考查了平面直角坐標系點的坐標，確定出a、b的符號情況是解題的關鍵.

根據(jù)點P（a,b）在第二象限，確定出。、匕的符號情況，然后再求出點8的橫坐標與縱坐標的符號情況即可進行

判斷.

【詳解】解：???點P（Q,b）在第二象限，

二a<0,b>0

**?a—3<0,—b<0；

故點Q（a-3,-b）在第二象限；

故選：C

【題型2坐標與距離】

【例2】（2425八年級上?河南焦作?期中）點P的坐標為（3a—2,8—2Q）,若點P到兩坐標軸的距離相等，則

。的值（）

A.2B.-2或6C.-6D.2或一6

【答案】D

【分析】本題考查了點的坐標的特征，解題關鍵是明確到兩坐標軸的距離相等的點的橫縱坐標相等或互為相

反數(shù)，根據(jù)題意列出方程即可求解.

【詳解】解：P的坐標為（3Q—2,8—2a）,若點尸到兩坐標軸的距離相等，

貝I」3a-2=8-2a或3Q—2+8—2Q=0,

解得，Q=2或Q=-6,

故選：D.

【變式21】（2425七年級下?河北保定?期中）如圖，用手蓋住點P,點P到“軸距離為2,至0軸的距離為5,

則點P的坐標是（）

A.（-2,-5）B.（一5,—2）C.（2,-5）D.（5,—2）

【答案】B

【分析】根據(jù)平面內(nèi)點到工軸距離等于縱坐標絕對值，至的軸距離等于橫坐標絕對值求解即可得到答案，

本題考查了，平面內(nèi)點到坐標軸的距離，解題的關鍵是：熟練掌握平面內(nèi)點到坐標軸的距離.

【詳解】解：???點到工軸的距離為2,到），軸的距離為5,且點在第三象限，

>——5,x=-2,

???這個點的坐標是：（-5,-2）,

故選：B.

【變式22］（2425七年級下?廣西南寧?期末）如果點P（x,y）的坐標滿足x+y=xy,那么稱點P為“美麗點”，

若某個“美麗點”P到y(tǒng)軸的距離為2,則點P的坐標為（）

A.（2,-2）B.（-2,§C.G，-2）或（2,2）D.（2,2）或（一2,§

【答案】D

【分析】直接利用某個“美麗點''到y(tǒng)軸的距離為2,得出工的值，進而求出y的值求出答案.

【詳解】解：???某個"美麗點”P到y(tǒng)軸的距離為2,

：?x=±2,

???x+y=xy,

???y±2=±2y,

解得y=2或y=p

則P點的坐標為：（2,2）或（一2,1）.

故選:D.

【點睛】此題主要考查了新定義，點的坐標，點到坐標軸的距離，正確分類討論是解題關鍵.

【變式23］（2425七年級下?河南溪河?期中）點C在％軸的下方，y軸的右側(cè)，距離”軸3個單位長度，距離y軸

5個單位長度，則點C的坐標為（）

A.(-3,5)B.(3,-5)C.(5,-3)D.(-5,3)

【答案】C

【分析】本題考查了求點的坐標，點C在％軸的下方，y軸的右側(cè)，得此點在第四象限，根據(jù)距離X軸3個單位

長度，可得點的縱坐標，根據(jù)距離y軸5個單位K:度可得點的橫坐標，熟練掌握點到坐標軸的距離是解題的

關鍵.

【詳解】解：???點C在”軸的下方，y軸的右側(cè)，

，點C在第四象限，

???點C距離不軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，

???點C的坐標為（5,-3）,

故選:C.

【題型3坐標與象限、坐標軸】

【例3】（2425七年級下?北京?期中）在平面直角坐標系中，如果點「（-2,。-1）在第二象限，那么。的取值

可能是（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】本題考查了象限內(nèi)點的坐標的特征和解一元一次不等式，根據(jù)第二象限的點縱坐標大于0可得a-

1>0,進而解不等式即可.

【詳解】解：丁點P（-2,a-l）在第二象限，

**?G-1>0?

.*.G>1,

選項中滿足Q>1的值為2,

故選：D.

【變式31】（2425七年級下?廣東東莞?期中）己知點/?（2。-4,。+3）在.丫軸上，則。=.

【答案】2

【分析】本題考查了點的坐標，熟練掌握），軸上的點橫坐標為0是解題的關鍵.根據(jù)1y軸上的點橫坐標為0

可得2。-4=0,然后進行計算即可解答.

【詳解】解：???點2（2。-4,。+3）在），軸上，

???2a—4=0,

解得；a=2,

故答案為：2.

【變式32](2425七年級下?河南商丘?期中)在平面直角坐標系中,己知力(a,0),8(-3,0),48=7,則

a=.

【答案】4或-10

【分析】本題考查/坐標與圖形性質(zhì)，熟知”軸上點的坐標特征是解題的關鍵.

根據(jù)點力和點B的坐標，得出4、B兩點都在不軸上，再結(jié)合AB=7即可解決問題.

【詳解】解：???4(a,0),1(一3,0),

B兩點都在％軸上，

又「AB=7,

.*.a=—3—7=-10或a=-3+7=4,

即a=-10或4.

故答案為：-10或4.

【變式33](2425七年級下?江西南昌?期中)已知病=4,|n|=1若力(m,n)在第一象限，則m+,的值為一.

【答案】3

【分析】本題考查平方根，絕對值的運算以及象限內(nèi)點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)已知條件求出機，n的

值.

先根據(jù)租2=4求出zn的值，再根據(jù)|九|=1求出"的值，最后結(jié)合點在第一象限確定m,九的具體取值,

進而求出m+九的值.

【詳解】由題意可得：m=±V4=±2,n=±1,

點力(771,幾)在第一象限，

m>0,n>0,

???m=2,n=1,

?n+n=2+1=3.

故答案為：3.

【題型4坐標與位置】

【例4】(2425九年級上?福建廈門?期末)已知點P(m2,n),點Q(2m-3,n),下列關于點P與點。的位置關

系說法正確的是()

A.點P在點Q的右邊

B.點P在點Q的左邊

C.點P與點Q有可能重合

D.點尸與點Q的位置關系無法確定

【答案】A

【分析】本題考查平面直角坐標系中點的坐標特征，配方法的應用，根據(jù)題意，點P(m2,n),點Q(2m-3,〃),

兩點縱坐標相等，得PQ是平行于工軸的一條直線，點P與點Q根據(jù)橫坐標大小即可確定左右的位置，再由作

差法得到62一2租+3=(m—iy+2>o,這個式子正負即可確定，從而得到答案.

【詳解】解：,?,點P(m2,n),點Q(2m-3,n),兩點縱坐標相等,

???PQ是平行于y軸的一條直線上，點尸與點Q根據(jù)橫坐標大小即可確定左右的位置.，

vm.2—(2m-3)=m2—2m+3=(m—l)24-2>0,

Am2>2m—3,

???點P在點Q的右邊，

故選：A.

【變式41】(2425八年級上?貴州畢節(jié)?期末)綜合實踐課上，小星將自己手工完成的部分地圖，以貴陽市所

在的點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若圖中點8的坐標為(1,4),則點。的坐標可能為()

C.(-34)D.(-4,-2)

【答案】C

【分析】本題考查了點的坐標以及所在的象限，熟練掌握各象限內(nèi)的點的坐標特點是解題關鍵.判斷出點C位

于第二象限內(nèi)，根據(jù)第二象限內(nèi)的點的橫坐標小于0、縱坐標大于。即可得.

【詳解】解：???以貴陽市所在的點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，圖中點8的坐標為(1,4),

???由圖可知,點C位于第二象限內(nèi),

???點C的橫坐標小于0、縱坐標大于0,

觀察四個選項可知，只有(-3,1)是第二象限內(nèi)的坐標,

故選：C.

【變式42】(2425七年級"福建福州?期中)如圖，這是小康設計的一個美麗的楓葉圖案，將它放在平面直

角坐標系中，若點力，B的坐標分別為(0,2),(-1,0),則點C的坐標為.

【答案】(4,一3)

【分析】本題主要考查了用坐標確定位置，和由點的位置得到點的坐標.依據(jù)已知點的坐標確定出坐標軸的

位置是解題的關鍵.根據(jù)48的坐標確定出坐標軸的位置，點C的坐標可得.

【詳解】解：???A，8兩點的坐標分別為(0,2),(-1,0).

???得出坐標軸如圖所示位置：

???點C的坐標為(4,一3).

故答案為:(4,-3).

【變式43】(2425七年級下?福建屋門?期末)一個平面直角坐標系的橫軸和縱軸的單位長度相同，該平面直

角坐標系中的點M。，1),/V(5,2)的位置如圖所示，則該平面直角坐標系的原點可能是(；

M

《??

??

BD

C

A.點AB.點BC?點。D.點D

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和坐標與圖形可確定原點可能位置.

【詳解】解：由M(l,1)和N(5,2)知，M、N都位于第一象限，且N到x軸的距離為M到x軸的距離的2

倍，N到了軸的距離為M到A-軸的距離的5倍，

又平面直角坐標系的橫軸和縱軸的單位長度相同，

???則該平面直角坐標系的原點可能是點A,

故選：A.

【點睛】本題考查點的坐標、坐標與圖形，理解題意，正確得到原點可能位置是解答的關鍵.

【題型5與坐標軸平行】

【例5】(2425八年級上?遼寧錦州期中)已知A(Q,3),B(—2,b),若點A位于第二象限，4B=3且直線IIx

軸，則a+b=()

A.-5B.-2C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考杳坐標與圖形的性質(zhì)，各象限內(nèi)點的坐標特點，解答本題的關鍵是明確平行于x軸的直線上

的點的縱坐標都相等.

根據(jù)直線力811%軸，可知點A和點8的縱坐標相等，求出〃的值，根據(jù)AB=3及點A位于第二象限，得出

“，然后即可得出答案.

【詳解】解：??N(Q,3),8(-2,8),直線力B||x軸，

???兩點的縱坐標相等，

Afc=3,

=3,

Ac=-2—3=—5或a=-2+3=1,

???點A位于第二象限，

/.a=-5,

Ac+b=—54-3=-2

故選:B.

【變式51】(2425八年級上?福建三明?期中)過點A(—2,l)和8(-2,-1)作直線，則直線48()

A.與x軸平行B.與y軸平行C.與y軸相交D.與x軸、y軸相交

【答案】B

【分析】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，熟記平行坐標軸的直線的特征是解本題的關鍵.

根據(jù)4B兩點的橫坐標相等，得出直線力B平行于y軸.

【詳解】解：???點力(-2,1),點8(-2,-1),

，點/、B橫坐標相同，

??.直線88||y軸，

故選:B.

【變式52】(2425七年級下?貴州黔東南?期木)已知直線MN平行丁/釉，若點M的坐標為(-1,3),且點N

到)，軸的距離等于4,則點N的坐標是()

A.(-1,4)或(一1,-4)B.(4,3)或(一4,-3)

C.(-1,4)或(1,-4)D.(4,3)或(一4,3)

【答案】D

【分析】設N(a,b),根據(jù)平行于％軸的直線上的點的縱坐標相等求出b,再根據(jù)點到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的

絕對值求出匿然后寫出點N的坐標即可.

【詳解】解:???點M(-1,3)與點N(a”)在同一條平行于x軸的直線上，

???N到y(tǒng)軸的距離等于4,

???a=±4,

???點N的坐標為(4,3)或(—4,3).

故選：D.

【點睛】本題考查了點的坐標，主要利用了平行于x軸的直線上點的坐標特征，點到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的

絕對值.

【變式53](2425七年級下?四川德陽?期末)在平面直角坐標系中，第四象限內(nèi)的點P到x軸的距離是3,到

y軸的距離是2,已知PQ平行于x軸且PQ=3,則點Q的坐標是1)

A.(5,-3)B.(―1,—3)

C.(5,-3)或(-1,一3)D.(6,-2)或(0,-2)

【答案】C

【分析】本題考查點到坐標軸的距離，各象限內(nèi)點的坐標的符號痔征，與坐標軸平行的直線上的點的坐標特

點.

根據(jù)第四象限內(nèi)點的特點及點到坐標軸的距離定義，即可判斷出點P的坐標.然后根據(jù)PQ平行于x軸且PQ=

3,得到點。的坐標.

【詳解】解：???點尸到4軸的距離是3,

???點P的縱坐標為±3,

???點P到y(tǒng)軸的距離是2,

???點。的橫坐標為±2,

???點尸在第四象限,

???點尸坐標為(2,-3),

???PQ平行于％軸且PQ=3,

點Q的坐標是(5,—3)或(—1,—3).

故選：C

【題型6象限角平分線上的點】

【例6】(2425八年級上?浙江寧波?期中)在平面直角坐標系中，已知點M(m,3nl-8),若點M在兩坐標軸

的角平分線上，則，〃的值為()

A.±2B.±4C.-2或一4D.2或4

【答案】D

【分析】本題考查了點的坐標，分點W在第一、三和第二、四象限的角平分線上兩種情況，結(jié)合角平分線上

點的坐標特征求解即可.

【詳解】解：當點M(m,3m—8)在第一、三象限的角平分線上時，

Am=3m-8?

解得，m=4,

當點M(7%37H-8)在第二、四象限的角平分線上時，

=3?n—8,

解得，m=2,

綜上，點M在兩坐標軸的角平分線上時，機的值為2或4,

故選:D.

【變式61】（2425八年級下?四川宜賓?期末）點P（a+3,2Q-2）在第二，四象限角平分線上，則。=.

【答案】

?5

【分析】此題考查象限角平分線上點坐標特點，一、三象限角平分線上點的縱橫坐標相等；二，四象限角平

分線上點的縱橫坐標互為相反數(shù).第二、四象限角平分線上點的坐標互為相反數(shù)，據(jù)此列出關于4的方程

求解.

【詳解】解：???點產(chǎn)（。+3,2。-2）在第二，四象限角平分線上，

G4-34~2Q—2—0,

A3a+1=0

故答案為：—1

【變式62】（2425九年級上?全國?課后作業(yè)）已知，在平面直角坐標系中有一點P（2-m,3m+6）

（1）若點P在第一象限的角平分線上，則；若點P在第四象限的角平分線上，則血=；

（2）若點尸在第二象限，則〃?的取值范圍是；

（3）多解渚點。不可能在第象限；

（4）將點夕先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到點8,若點8的橫，縱坐標互為相

反數(shù)，則爪=.

【答案】—1—4771>2二—

【分析】本題主要考查平面直角坐標系中點的坐標特征、點的平移、相反數(shù)等知識點，熱練掌握平面內(nèi)點的

坐標特征、角平分線上點的特征是解題的關鍵.

（1）當點P在第一象限的角平分線上2-m=3m+6求出機即可；當點尸在第四象限的角平分線上可得2-

m+3m4-6=0求出即可；

（2）根據(jù)第二象限上的點的橫坐標小于零，縱坐標大于零列不等式組求解即可；

（3）根據(jù)各象限內(nèi)的坐標特點分別列不等式組求解即可判定；

（4）先求出點。平移后點4的坐標，然后再根據(jù)點8的橫，縱坐標互為相反數(shù)求解即可.

【詳解】解：（1）當點尸在第一象限的角平分線上，可得2-m=3m+6,解得：m=-1；

當點P在第四象限的角平分線上，可得2-巾+3血+6=0,解得：m=-4.

故答案為；-1，-4.

(2)當點P在第二象限，可得：,解得：m>2.

故答案為：m>2.

(3)當點P在第一象限，可得：仔一上解得：一2<根<2,

當點P在第二象限，可得：解得：m>2,

當點。在第三象限，可得；一上方程組無解，即點。不可能在第三象限，

13m4-6<0

當點尸在第四象限，可得：f2T解得：m<-2.

故答案為：三.

(4)將點P(2-犯3m+6)先向左平移2個單位長度，再向上平移I個單位長度后得到點8的坐標為

(2-m-2,3m+6+1),即8(一犯3?九+7),

???點8的橫，縱坐標互為相反數(shù)，

.*.-m+3m+7=0,解得：m=一：.

故答案為：一：

【變式63](2425七年級上?山東威海?階段練習)已知點4(2Q+3,—Q),F(a-2,1)

(1)若點人在第一象限的角平分線上時，求a的值；

⑵若點A到y(tǒng)軸的距離是B到％軸的距離的3倍，求8點坐標：

(3)若線段4811y軸，求點43的坐標及線段48的長.

【答案】(l)a=-l

(2)(-2,1)或(-5,1)

(3M(-7,5),B(-7,l)；4

【分析】本題主要考查坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關鍵在于理解點到坐標軸的距離與點坐標之間的關系.

(1)根據(jù)第一象限的角平分線上點的橫縱坐標相等得出關于〃的方程，解之可得；

(2)根據(jù)點力到y(tǒng)軸的距離是8到x軸的距離的3倍得出關于〃的方程，解之可得。再寫出坐標即可；

(3)由IIy軸知橫坐標相等求出。的值，再得出點48的坐標，從而求得力8的長度.

【詳解】(1)己知點A(2a+3,-a),

???點A在第一象限的角平分線上，

.,.2a4-3=-a,

解得：a1.

(2)???點力到y(tǒng)軸的距離是8到％軸的距離的3倍，

且B到％軸的距離為1,

2a+3=3或2a+3=-3,

解得a=?；騛=-3,

???B點坐標為(一2,1)或(-5,1).

(3)???線段4B||y軸，

.,.2a+3=Q—2,

解得Q=一5,

?,?點4(-7,5),5(-7,1),

???線段45的長為|5-1|=4.

【題型7根據(jù)平移前的點求平移后的點】

【例7】(2425七年級下?山東濰坊?期末)如圖，若在棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點(2,0),“炮”

位于點(-1,3),則將棋子"馬''向上平移2個單位長度后的點的坐標是.

【分析】本題考查平面直角坐標系的建立、用坐標表示表示位置及平面直角坐標系中點的平移，由題意，建

立平面直角坐標系，求出“馬”位于點(2,0),再由點的平移即可得到答案，熟記平面直角坐標系坐標表示位

置及點的平移是解決問題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)“帥”位于點(2,0),“炮”位于點(-1,3),建立平面直角坐標系，如圖所示：

「馬”位于點(4,2),

???將棋子"馬''向上平移兩個單位長度后位于點(4,4),

故答案為；(4,4).

【變式71】（2425八年級下?福建泉州?期末）將點力（-2,—4）先向左平移3個單位長度，再向上平移5個單

位長度得到點大,則點4在象限.

【答案】二

【分析】本題考查了坐標與圖形的變化平移，熟記平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標

上移加，下移減是解題的關鍵.根據(jù)平移的性質(zhì)，向左平移Q,則橫坐標減a；向上平移b,則縱坐標加b.

【詳解】解：???4（-2,-4）先向左平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度得到點A,

-2—3=—5,—4+5=1,

???點A的坐標是（一5,1）,

.?.點A在二象限

故答案為：二.

【變式72】（2425八年級下?山東臨沂?期中）在平面直角坐標系中，平行四邊形頂點小B、C的坐標

分別是（一1,1），（2,1）,（1,-1）,將平行四邊形A3C。沿％軸向右平移3個單位長度，則頂點。的對應點5的

坐標是.

【答案】（1,一1）

【分析】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形變化一平移，先畫出平行四邊形

ABCD,得出。（-2,-1）,然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得點5的坐標.

【詳解】解：如圖，

由圖可知，0（—2,-1）,

???將平行四邊形沿％軸向右平移3個單位長度，則頂點。的對應點5的坐標是（1,一1）.

故答案為：

【變式73］（2425七年級下?北京?期中）如圖所示,已知4（一1,2）,C（3,4）三點坐標.將三角形力BC

平移至三角形為B1C］處，點A,B,。的對應點分別為點為，a，g,其中點G的坐標為（0，-1）.

⑴①在圖中畫出平移后的三角形4B1G；

②其中三角形ABC上一點P(a,b)平移后對應點V的坐標為；

(2)求三角形A8C的面積；

⑶設點。在y軸上，且三角形4QG與三角形4BC的面積相等，求點Q的坐標.

【答案】⑴①見解析;②3-33-5)；

(2)8；

(3)(0,-5)或(0,3).

【分析】本題考杳作圖平移變換，涉及到三角形面積公式以及方程的應用，熟練掌握平移的性質(zhì)是解答本題

的關鍵.

(1)①根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可：

②由題意知三角形48C向左平移3個單位長度，向下平移5個單位長度得到三角形4當加，結(jié)合平移的性

質(zhì)可得答案；

(2)直接利用割補法求三角形的面積即可；

(3)設點Q的坐標為(0,6)，根據(jù)題意可列方程為^乂回一(一1)|乂4一8,求出m的值，即可得出答案.

【詳解】(I)解：①如圖，三角形為當。1即為所求：

②由題意知，三角形ABC向左平移3個單位長度，向下平移5個單位長度得到三角形為81G，

???三角形ABC上一點P(a,b)平移后對應點P'的坐標為(a-3,b-5)：

故答案為:(a—3,d—5)：

(2)三角形ABC的面積為4x2+：x4x2=8；

(3)設點Q的坐標為(0,m),

???三角形&QQ與三角形48c的面積相等，

/?—x\m—(—1)|x4=8,

解得m=-5或3,

???點Q的坐標為(0,-5)或(0,3).

【題型8根據(jù)平移后的點求平移前的點】

【例8】(2425七年級下?山西朔外?期中)如圖，在平面直角坐標系中，第二象限有一點4將點力水平向右

平移3個單位長度得到點4,過點4分別向％軸、y軸作垂線,垂足分別為B,C.若AB=5,AC=2,則點A的

坐標為()

A.(-1,5)B.(-3,5)C.(-1,2)D.(2,5)

【答案】A

【分析】本題考杳了平移變換以及點的坐標，根據(jù)題意得出4（2,5）,進而根據(jù)平移得由點A的坐標，即可求

解.

【詳解】解：TAB=5,4C=2,

???4（2,5）,

???第二象限有一點兒將點4水平向右平移3個單位長度得到點4,

故選:A.

【變式81］（2425七年級下?貴州期末）在平面直角坐標系中，將點P（x,y）向右平移3個單位，再向上平移2個

單位長度后與點Q（l,2）重合，則點P的坐標為.

【答案】（4,0）

【分析】逆向思考，把點（1，2）先向左平移3個單位，再向下平移2個單位后可得到P點坐標.

【詳解】在坐標系中，點Q（1,2）先向左平移3個單位得（4,2）,再把（4,2）向下平移2個單位后的

坐標為（4,0）,則P點的坐標為（4,0）.

故答案為（4,0）.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化平移：在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減

去）一個整數(shù)a,相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標

都加（或減去）一個整數(shù)a,相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度.（即：橫坐標,

右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減.

【變式82］（2425七年級下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）如圖，在平面直角坐標系中，△A'B'C'是由△力BC平移

得到的，平移前點A的坐標為（-5,4）.

(1)畫出平移前的△/8C,并寫出點B和點。的坐標；

(2)已知點P(a,b)為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A8'。'內(nèi)的對應點P'的坐標為；

⑶求△ABC的面枳.

【答案】⑴畫圖見詳解，5(-3,0),C(0,2)

(2)(Q+4,b—3)

(3)8

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，圖形變換，

(I)先得出4'(一1,1)，再結(jié)合力(-5,4),可知夕U是由△48C先向右平移4個單位，再向下平移3個單

位得到的，據(jù)此畫出即可求解：

(2)根據(jù)△48(，是由△ABC先向右平移4個單位，再下平移3個單位得到的，即可求解；

(3)利用割補法即可求解.

【詳解】(1)如圖可知:l'(Tl),

V71(-5,4),

???將448c先向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到△A'B'U,

如圖，AZIEC即為所求;

由圖可知：B(-3,0),C(0,2)；

(2)解：解：根據(jù)題意得：△48'C，是由A/BC先向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到的，

???點「3而)在^A8'C'內(nèi)的對應點P'的坐標是(a+4/-3).

故答案為：(Q+4,b—3)；

(3)解：a/lBC的面積=4x5—：x2x4-：x2x3-：x5x2

=20-4-3-5

=8.

【變式83】(2425八年級下.山東聊城.階段練習)將點4(a,b)先向左平移2個單位長度，再向下平移3個

單位長度得到點8(-小a),則點8的坐標是.

【答案】(一|，

【分析】根據(jù)平移得到關于a,b的方程，求Hla，b的值即可?解題.

【詳解】將點A(a,b)平移后點的坐標為(a—2,b-3),

,9_,fa=-l

ab2

由題可得：［~V~,解得：15,

(b-3=ab=-

2

?,?點8的坐標是,—：)，

故答案為：(―|，—g).

【點睛】本題考杳平移，二元一次方程組，掌握平移規(guī)律是解題的關鍵.

【題型9根據(jù)平移前后關系求值】

【例9】(2425七年級下?全國?課后作業(yè))(1)把點向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長

度到一個位置P2后坐標為「2(。為)，則加，小小〃之間存在的關系是；

(2)將點P(-3,y)向下平移3個單位，向左平移2個單位后得到點Q(x,-1),則xy=.

【答案】a=m+3,b=n-2—10

【分析】(1)根據(jù)點平移的規(guī)律，得到平移后點的坐標，乂因為已知平移后點坐標七(見匕)，得到等量關系

即可求解；

(2)根據(jù)點平移的規(guī)律，得到平移后點的坐標，又因為已知平移后點坐標Q(x,-1),得到等量關系即可求解

x,y值，即可求解xy的值；

【詳解】解：(1)???點Pi(mm)向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度，得到點坐標為(m+3,7i-2),

「2(%力)為平移后點的坐標；

.*.a=m+3力=n—2；

故答案為：a=m+3,b=n-2.

(2)(將點P(-3,y)向下平移3個單位,向左平移2個單位后得到點坐標為(-5/-3),Q(%-1)為平移后

的點坐標，

???{/二：解得：{；!?■

*.xy=-10.

故答案為：-10.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右加，左減；縱坐標上加，下減.

【變式91】(2425七年級下?全國?專題練習)將點P1(2,m)向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長

度后，得到點P2(n,-1),則點Q(m,n)的坐標為.

【答案】(2,3)

【分析】本題考查了點的平移，根據(jù)點的平移規(guī)則，左減右加，上加下減，求出m,n的值，即可.

【詳解】解：由題意，n=2+l,m-3=-l,

??Ti—3,m=2,

???Q(2,3),

故答案為：(2,3).

【變式92】(2425七年級下?吉林通化?階段練習)將點P(-4,y)向下平移3個單位長度，再向左平移2個單

位長度后得到點Q(x,—2),,則x+y=.

【答案】-5

【分析】本題考杳點的平移，掌握點的坐標平移特點”左減右加，上加下減”是解題的關鍵.

【詳解】解：由平移可得：一4一2=%,y-3=-2,

解得％=-6,y=1,

?'?x+y=—6+1=—5,

故答案為：一5.

【變式93】(2425七年級下?遼寧鞍山?期中)對于平面直角坐標系xOy中的任意一點M(%y),給出如下定義:

記。=x+y,匕=一%+y,將點P(a,b)與點Q(b,a)稱為點M的一對衛(wèi)星點.例如，點P(l,-5)與點Q(-5,1)

為點M(3,-2)的一對衛(wèi)星點.將點C(2m-1,-血+l)(m>0)向右平移機個單位長度，向下移動切個單位,

得到點若點。的一對衛(wèi)星點重合，則771=.

【答案】；

【分析】本題考查了坐標與圖形變化平移，新定義，根據(jù)衛(wèi)星點的定義列方程求解即可.

【詳解】解：由題意得，C'(3m-l,-2m+l),

此時，Q=3m-1+(—2zn+1)=m?b=—(3m-1)+(—27n+1)=-5m+2,

則。'點的衛(wèi)星點為(血,一5m+2)利(一5m+2,m),

???這兩個衛(wèi)星點重合，(即兩點的橫、縱坐標分別相等)，

.*.771=-5771+2,

解得，7九

?3

故答案為：

【題型10根據(jù)平移確定點的位置】

【例10】(2425七年級下?北京朝陽?期末)在平面直角坐標系.10)，中，將一個橫、縱坐標都是整數(shù)的點，沿

平行(或垂直)于坐標釉的直線平移1個單位長度，稱為該點走了I步.點4(1,0),8(2,4),C(3,l)各走了

若干步后到達同一點P,當點。的坐標為時，三個點的步數(shù)和最小，為.

【答案】(2,1)6

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點求解即可.

【詳解】如圖所示，

當點。的坐標為(2,1)時，

點A先向上走1步，再向右走1,

點B向下走3步，點C向左走1步，

???此時二個點的步數(shù)和最小，為6步.

故答案為:(2,1),6.

【點睛】此題考查了坐標與圖形，點的平移，解題的關鍵是熟練掌握網(wǎng)格的特點.

【變式101](2425八年級下?全國?期中)將點P(3m-l,m+2)向上平移I個單位得到點Q,且點。在x軸

上，則點尸的坐標為()

A.(-5,0)B.(-7,-1)C.(-10,0)D.(-10,-1)

【答案】D

【分析】本題主要考查了點的平移，點在坐標軸上的特點，根據(jù)將點P(3m-1,7九+2)向上平移1個單位得

到點。，點。在x軸上，可得出m+3=0,進而可求出〃?的值，進一步即可求出點〃的坐標.

【詳解】解：將點「(3加一1,6+2)向上平移1個單位得到點Q,

則Q(3m—1,m4-3)

???點。在x軸上，

工加+3=0,

Am=—3,

/.3m—1=-10?m+2=—1

?,?點P(-10,-l),

故選：D.

【變式102](2425七年級下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末)點。(加+2,2m+l)向右平移1個單位長度后，正好

落在），軸上，則產(chǎn)（勿+2,2m+l）在第一象限.

【答案】三

【分析】根據(jù)向右平移橫坐標加，y軸上的橫坐標為0列方程求解出/"的值，可得出點尸的坐標，根據(jù)象限

的特征即可得出結(jié)果.

【詳解】?:點P（〃?+2,2^+1）向右平移1個單位長度后，正好落在），軸上，

???m+2+1=0,

???ni=—3,

:.m4-2=-1,2m+1=—5?

二點P的坐標為（I,5）,

故答案為：三.

【點睛】本題考杳了坐標與圖形變化平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移

減.

【變式103]（2425七年級下?湖北隨州?期末）如圖,在第一象限內(nèi)有兩點P（m-2,n）,Q（m,n-3）,將線段PQ

平移使點P，。分別落在兩條坐標軸上，則點P平移后的對應點的坐標是.

【答案】（0,3）或（一2,0）.

【分析】設平移后點P、Q的對應點分別是P'、Q'.分兩種情況進行討論：①P'在y軸上，Q'在％軸上；②P'在

x軸上，Q'在y軸上.此題主要考查圖形的平移及平移特征.在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某

點的平移規(guī)律相同.平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.

【詳解】解：設平移后點f、Q的對應點分別是P'、Q'.

分兩種情況：

①〃在y軸上，Q'在％軸上；

則P'橫坐標為0,Q'縱坐標為0,

v0—（n-3）=-n+3,

???n-n+3=3,

???點P平移后的對應點的坐標是(0,3)；

②P'在％軸上，Q'在y軸上.

則P'縱坐標為0,Q'橫坐標為0,

v0—m=—m,

ni—2—m=—2,

???點P平移后的對應點的坐標是(-2,0)；

綜上可知，點P平移后的對應點的坐標是(0,3)或(-2,0).

故答案為:(0,3)或(一2,0).

【題型11關于x軸、y軸對稱的點的坐標】

【例111(2425八年級上?山東荷澤?期中)在平面直角坐標系中，如果三個頂點的坐標分別是力(-2,0),

5(-1,0),6(-1,2),aABC關于y軸成軸對稱的圖形是△為當?shù)年P于％軸成軸對稱的圖形是△

4282c2，則點力2的坐標為-

【答案】(2,0)

【分析】本題考查關于X軸、)，軸對稱的點的坐標的特點，先利用兩點關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標

互為相反數(shù)，再利用兩點關于x粕對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù).

簡記：關于誰對稱誰不變.

【詳解】解：點｛-2,0)關于)，軸的對稱點的坐標是&(2,0),點.41(2,0)關于x軸的對稱點的坐標為4(2,0).

故答案為：(2,0).

【變式111](2425八年級上?山東濟寧?階段練習)在平面直角坐標系中，點A(-5,2)關于y軸的對稱點的坐

標是()

A.(-5,-2)B.(5,2)C.(-2,5)D.(-2,-5)

【答案】B

【分析】本題考杳了坐標系中對稱的點的坐標變化規(guī)律，理解橫縱坐標的變化規(guī)律是解題關鍵.根據(jù)關于y

軸對稱點的坐標特征：橫坐標取相反數(shù)，縱坐標不變即可求解。

【詳解】解：4(一5,2)關于丁軸的對稱點的坐標為：(5,2),

故選:B.

【變式112](2425八年級上?甘肅白銀?階段練習)已知4(°-2,-1)與點8(-1而+2)關于；1軸對稱，則a+

b=.

【答案】0

【分析】根據(jù)關于X軸對稱，橫不變，縱坐標互為相反數(shù)，列式解答即可.

本題考查了X軸對稱的特點，求代數(shù)式的值，熟練掌握對稱是解題的關鍵.

【詳解】解:4(。-2,-1)與點8(-1"+2)關于工軸對稱，

故a—2=-1,b+2=1,

解得a=l,b=-1,

故a+b=l—1=0,

故答案為：0.

【變式113］(2425八年級上?河南鄭州?期中)在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點M(0,m)且平行于x軸的直

線可以記作直線y=平行于丁軸的直線可以記作直線％=我們給出如下的定義：點P(x,y)先關于x

軸對稱得到點再將點P1關于直線y=m對稱得點P',則稱點P'為點尸關于x軸和直線y=m的二次反射

點.已知點P(2,3),Q(2,2)關于x軸和直線y=7九的二次反射點分別為P】，Q［，點M(2,3)關于直線％=m對

稱的點為M］，則當二角形