上海市格致中學(xué)2025-2026學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2),則|z|=.

2.已知a￡(O,9，cosa=貝Usin^=.

3.如圖,已知M是正方體4BCD-的棱4B的中點(diǎn),則直線41M與CD所成角的余

弦值為.

4.已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前71項(xiàng)和為S〃，的=9,則S[7=—,

5.若.=-,x=TC是函數(shù)y=sin(tox-(p)(a)>0)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)3的值為_(kāi)__.

32

6.一水平位置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為?々的正三角形,則這個(gè)平面圖形的面

積是.

7.空間中有4個(gè)不同的平面兩兩相交，則它們交線的條數(shù)型手是條.

8.在△48C中，角A,從C所對(duì)的邊分別為a",c,且遮QCOSB=bsinA.則8的值為.

9.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體力BCD—4出。也中&E=2E4,設(shè)過(guò)點(diǎn)Di，C,E的平面與平面

的交線為￡7%則EF=.

10.數(shù)列｛%｝滿足刈=｛(32,〃為正整數(shù).若數(shù)列｛仇J是嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,y=/'(%)—sinx為偶函數(shù)，y=/(x)+2cos》為奇函數(shù)，則

f(x)的最大值為.

12.如圖，矩形力BCD中，48=2,8。=5￡尸分別為達(dá)8。、4。上的定點(diǎn)，且/8力￡*二

45°,^DCF=30°,分別將AABE^△CD產(chǎn)沿著AE、C戶向矩形所在平面的同一側(cè)翻折至△AB'E

與△CD'F處，且滿足8'。_L48,分別將銳二面角夕一/IE-。與銳二面角。一FC-8記為

仇與。2，貝kos%+cos2%的最小值為.

二、單選題

13.下列四個(gè)函數(shù)中，以TT為最小正周期的奇函數(shù)是()

A.y=sin2xB.y=cos2xC.y=tan2xD.y=sinx+COST

14.已知/,根是空間中兩條直線，它們?cè)谄矫鎍上的投影分別是匕M,則“m1廣是1M"

的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

15.已知。是△力8c的外心，且滿足2而=前+配，\AB\=3\AC\,則瓦5在近上的投影向

量為()

A.-~BCB.—BCC.-BCD.—BC

10101010

16.動(dòng)點(diǎn)M在正方體ABC。-41當(dāng)。1。1從點(diǎn)當(dāng)開(kāi)始沿表面運(yùn)動(dòng)，且與平面力的距離保持

不變，則動(dòng)直線A］M與平面4"G所成先正弦值的取值范圍是()

A［渭B.［瀉C.［瀉D.［鴻

三、解答題

17.如圖，48是圓。的直徑，P4垂直于圓。所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于4、B的任意一

點(diǎn).

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

p

c

(I)證明：BC1平面PAC；

(2)若PA=24C,求二面角P-BC-A的大小.

18.已知函數(shù)f(x)=4sin26+9?sinx4-(cosx4-sinx)?(cosx-sinx).

(1)化簡(jiǎn)函數(shù)、=/(%)，并求函數(shù)y=f(x)的值域；

(2)已知常數(shù)3>0,若函數(shù)y=f(ex)在區(qū)間卜;用上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)3的取值范圍.

19.如圖，已知四邊形48CD為梯形是平面ABCD外一點(diǎn)，且S4=AB=BC=2,

力。=3,P,Q是S。上的點(diǎn)，滿足。P:PQ:QS=3:2:4；點(diǎn)M為棱SA上的點(diǎn)，滿足34M=AS.

⑴求證：平面8MQ〃平面ACP；

(2)平面BMQ與棱SC相交于點(diǎn)E,求弱勺值.

cC

20.在平行四邊形。力8。中，過(guò)點(diǎn)C的直線與線段。4、。8分別相交于點(diǎn)M、N,若赤=赤,

ON=yOBx

(1)求證：％與y的關(guān)系為y=廣；

(2)設(shè)f(x)=占，定義函數(shù)/(x)=六一1(0<X41),點(diǎn)列Pj(孫/(々))(i=1,2,-,n,n>

2)在函數(shù)y=F(切的圖像上，且數(shù)列｛融｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，。為原點(diǎn)，令

而=西+甌+…+西,是否存在點(diǎn)Q(l,m),使得而1的？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，

若不存在，說(shuō)明理由；

(3)設(shè)函數(shù)y=GQ)為R上的偶函數(shù),當(dāng)xe[0,1]時(shí),C?=/(%),又函數(shù)y=G(x)的圖像關(guān)

于直線％=1對(duì)稱，當(dāng)方程Ga)=a%+T在xW[2k,2k+2](kWN)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍(結(jié)果用k表示).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《上海市格致中學(xué)2025-2026學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)13141516

答案ADCC

1.V5

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義，通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算即可求解.

【詳解】復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

則|z|=y/(―l)2+22=V1+4=V5.

故答案為：V5.

2.聚如

33

【分析】應(yīng)用二倍角公式結(jié)合角的范圍計(jì)算求解.

【詳解】06(0j)，cosa=[,則sin?'=]一:=?=%

因?yàn)閍w(0,9,所以江(0,》所以s嗚=專=當(dāng)

故答案為:￡

3匹

?5

【分析】首先根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再求解其余弦值.

【詳解】因?yàn)椤á耍灾本€力也與CD所成角即為直線與48所成角，

即乙41M力為所求角，cosZ-A^MA=

AtM

22

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，所以力M=1,AXM=V2+I=V5,

所以cos乙4=懸=[=今

所以直線4M與C。所成角的余弦值為咚.

故答案為：Y

4.153

【分析】借助等差數(shù)列求和公式與等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】S”=3+y17=17%=17x9=153.

故答案為:153.

3

5.-/0.5

2

答案第1頁(yè)，共11頁(yè)

【分析［根據(jù)條件，可得7=口=日，即可求解.

(A)3

【詳解】由題知5=口-5==，又3>0,則7="=?,

23335

解得3=|,

故答案為：|.

6.V6

【解析】根據(jù)直觀圖和原圖面積關(guān)系，求得原圖的面積.

【詳解】依題意，斜二測(cè)直觀圖的面積為S，=^x(甸2=/所以原圖的面積為s=

2&S'=2V2Xy=V6.

故答案為：V6

【點(diǎn)睛】本小題主要考杏斜二測(cè)直觀圖與原圖的面積關(guān)系，屬于基礎(chǔ)撅.

7.6

【分析】分4個(gè)平面交于同一條直線，3個(gè)平面交于同一條直線時(shí)，第4個(gè)平面與這3個(gè)平

面相交，任意3個(gè)平面都不交于同一條直線求解.

【詳解】當(dāng)4個(gè)平面交于同一條直線時(shí)，只有一條交線；

當(dāng)3個(gè)平面交于同一條直線時(shí)，第4個(gè)平面與這3個(gè)平面相交，得到3條交線，一共得到4

條交線；

當(dāng)任意3個(gè)平面都不交于同一條直線時(shí)，共得到6條交線.

綜上：它們交線的條數(shù)最多是6條.

故答案為：6

【分析】由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【詳解】?.,gacosB=bsinA,

/.由正弦定理得VSsin4cos8=sinBsinA,

又sinA芋0,故VScosB=sinB,

Atani?=\/3,

V0<5<n,

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

故答案為：T

9-fa

【分析】在48上的取點(diǎn)F且8r=2凡4,連接EF,&B,CF,則過(guò)點(diǎn)Di，C,E的平面與平面488送1

的交線為E幾由條件即求.

所以“〃力道，又易知&B〃DiC,

所以"7/5C,

故E/=加8=會(huì).

故答案為：號(hào)。

10.(2,3)

【分析】由題意列不等式卻可求解.

a>1

3-a>0，解得2VaV3,

(Q3T>2(3-a)+2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［2,3).

故答案為：(2,3).

11.V5

【分析】利用奇、偶函數(shù)的定義，列出方程組，求解即得函數(shù)解析式，結(jié)合輔助角公式和正

弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)最大值.

【詳解】因y=/(%)-sin》為偶函數(shù),則/'(一工)+sinx=f(x)-sinx?,

又y=fW+2cosx為奇函數(shù)，則/(-%)+2cosx=—/(x)—2cosx②，

由①一②,整理得/(%)=sinx-2cosx,則/(%)=sinx-2cosx=V5sin(x-cp),其中tang=

2,

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

故當(dāng)sin(x—根)=1時(shí)，即％=]+9+2/nr,/c￡Z時(shí)，/(x)的最大值為遙.

故答案為：V5.

12.-

16

【分析】如圖所示，作B'PJ■力E于P,夕在底面投影為。1，O'Q_L/T于Q,D'在底面投影為

。2,將立體圖形還原到平面圖形，設(shè)8M=，根據(jù)相似得到各線段的長(zhǎng)度，得到COS%+

cos?%的函數(shù)表達(dá)式，計(jì)算二次函數(shù)的最值得到答案.

【詳解】如圖①，作"PL4E于P,3,在底面投影為01，cos%=^=鬻，

同理，D，Q工FC于Q,D'在底面投影為。2,cos%=^=鬻，

B'D'1AB,故01。2148,還原到平面圖形如圖②所示：

易知P是AE中點(diǎn)，G是A8中點(diǎn)，BG=1,

設(shè)3M=x,&="=二

BPBG1

同理可求得0"=-QD=-CD=",空="二三＞=3-2x,

2y42QDHD|

2

2

cos%+COS02=%—1+(3_2x)2_4/_nx+8=4(x-1)+高

當(dāng)且僅當(dāng)％取得最小值

o16

故答案為：

1O

B'D'

【點(diǎn)睛】本題考查了二面角的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力,

其中通過(guò)立體和平面的轉(zhuǎn)化，將二面角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

13.A

【分析】A選項(xiàng)，y=sin2x滿足要求；B和D選項(xiàng)，不滿足奇函數(shù)；C選項(xiàng)，不滿足最小

正周期為兀

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】A選項(xiàng)，y=sin2x的最小正周期為§="，且為奇函數(shù)，A正確;

B選項(xiàng)，y=cos2x為偶函數(shù)，不合要求，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，y=tan2x的最小正周期為會(huì)C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，f(x)=sinx+ccsx定義域?yàn)镽,

且f(r)=sin(-x)+cos(-x)=-sinx+cosx,

故/(t)+-fM,故f(x)=sinx+cosx不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：A

14.D

【分析】在正方體中舉出反例即可求解.

如圖所示，在正方體中，4。，48在平面4BCD上的投影分別是A。，AB,AD1A8,但為。,

在正方體中在B,在平面BDD$i上的投影分別是8D,BR"也1AB,但BDII3,

即“m1，“推不出“'1

故“m19是“1m'”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

15.C

【分析】由2亞=麗+而知，A/IBC為直角三角形；根據(jù)瓦5在正上的投影向量為

答案第5頁(yè)，共11頁(yè)

(|瓦?|cosB)3計(jì)算.

【詳解】

設(shè)8c的中點(diǎn)為M,則近+前=2而?，所以;?5=而?，

所以外心。與中點(diǎn)M重合，故△ABC為直角三角形.

\§1\AB\=3x,\AC\=x,則同，cosB=^=,

\BA\=±=\BC\,設(shè)3為前方向上的單位向量，則3=高

而在配上的投影向量為(網(wǎng)cosB*=(會(huì)|園x言嘀=總和

故選：C.

16.C

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)II勺基本關(guān)系式即可求解.

【詳解】連接8]C,Bi44C,

因?yàn)锳/J/CDM/i=CD,所以四邊形力道修。是平行四邊形，

所以為C〃力/，又BiCC平面&DCi，&DU平面40G，所以&C〃平面小又6,

同理，8遇〃平面4山口,又BiCA々A=BVB1C,B1Au平面8mC,

所以平面4DG〃平面B4C,

則由M與平面4DG的距離保持不變，得點(diǎn)M的移動(dòng)軌跡為三角形&AC的三條邊,

當(dāng)M為力當(dāng)中點(diǎn)時(shí)，直線4M與平面40G所成角正弦值最大，

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

取G。的中點(diǎn)N,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

22

WO/I1M=1V2+2=V2,MN=AD=2,AlN=J(A1D1f+(以N'=述,

所以4IM2+MN2=4N2,WU&MN為直角三角形，

所以直線4M與平面ADC】所成角正弦值為sin。［=熟=奈=爭(zhēng)

當(dāng)M為C點(diǎn)時(shí)，直線A】M與平面&DC】所成角。2的正弦值最小，

此時(shí)為N=V6,NM=VL4M=2百，

所以COS仇=(伺;［嚷U陶=平’則Sg=jl-cos2%=

直線為M與平面4DG所成角正弦值的取值范圍是R,勺

故選：C.

17.(1)證明見(jiàn)詳解；

(2)a7~csin雪.

【分析】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)，可得再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得P/_LBC,再利

用線面垂直的判定定理，即可證明；

(2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得PC1BC,進(jìn)而可得，PC4即為二面角P-BC-/1的平面角，

再結(jié)合幾何關(guān)系，即可求得其大小.

【詳解】Q)因?yàn)?8是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓周上不同于?!、B的任意一點(diǎn)，

所以AC1BC,

又垂直于圓。所在的平面，8Cu底面圓。，

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

所以PAIBC,

又力Cu平面P4C,PAu平面尸力。，且P4、AC相交于點(diǎn)4,

所以8C_L平面P4C；

(2)[tl(1)得BC1平面PAC,PCu平面PAC,所以PCIBC,

又力C_LBC,平面PBC與平面48。相交于BC,

所以4PC/1即為二面角P-BC-4的平面角，

乂24垂直于圓。所在的平面，4。0氐面圓0,

所以P414C,

所以tan4PCA=N，又=2AC,

AC

所以tan"&4=2,所以sin"&4=等，

所以二面角P-BC-4的大小為arcsin學(xué).

18.(l)/(x)=2sinx+1,f(x)G[-1,3]

(2)(咽

【分析】(1)由二倍角公式、誘導(dǎo)公式、平方關(guān)系化簡(jiǎn)可得f(x)=2sinx+l,然后根據(jù)三

角函數(shù)的性質(zhì)即得；

(2)利用正弦函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，然后利用集合的包含關(guān)系得出不等關(guān)系后

可得參數(shù)范圍.

【詳解】(I)/(%)=2x1-cosQ+x)j-sin無(wú)+COS2A-sin2x=(2+2sinx)-sinx+1-

2sin2x=2sinx+1,

由于sin%e[-14]>則f&)G[-1,3]；

(2)V/(6JX)=2sino>x+1,

由一；+2/nr<；+2〃ir(k￡Z)得：一；+嗎<丫<二+嗎(k￡Z),

22、'2a)o)233、4

=f(3%)的遞增區(qū)間為J-/+等，/+等,kEZ,

??3=/3乃在[W片上是增函數(shù)，.??當(dāng)々=0時(shí)，卜三年匹卜券前,

(3>0

nn

~2ai~~2,解得0V3W

—>—4

2OJ~3

???3的取值范圍是(0,：].

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

19.(1)證明見(jiàn)解析

(2)2

【分析1(1)由線段的比例關(guān)系先證明四邊形MPC8為平行四邊形，再由線面平行的判定定

理得到CP〃平面8MQ和AP〃平面8MQ,然后由面面平行的判定定理可得；

(2)由線面平行的性質(zhì)定理得到BM〃QE,再由比例關(guān)系可得.

【詳解】(1)

連接MP,

在中，因?yàn)槿?|二弟

所以MP〃力0,且MP=|40=2,

又因?yàn)锳0〃8C,BC=2,所以MP〃BC且MP=

所以四邊形MPCB為平行四邊形，所以CP〃BM,

又因?yàn)镃PC平面BMQ,BMu平面8MQ,所以CP〃平面8MQ,

在ASA力中,因?yàn)镾P:PQ:QS=3:2:4,所以言號(hào)=芋

所以MQ〃力P,

又因?yàn)榱Α浮镀矫?時(shí)(2，MQu平面8MQ,所以力P〃平面8MQ,

又猶豫APCCP=P,且/P,CPu平面4CP,

所以平面5MQ〃平面ACP.

(2)因?yàn)镃P//BM,又因?yàn)锽MC平面SC。，CPu平面SCO,

所以BM〃平面S。。，

乂因?yàn)锽Mu平面BMQ,平面BMQC平面SCQ=QE,

所以8M〃QE,又因?yàn)镃P〃BM,所以QE〃CP,

所噫嚕=2.

答案第9頁(yè)，共11頁(yè)

20.(1)證明見(jiàn)詳解;

⑵Q。，-/)；

⑶卜高，。)

OM

【分析】(1)由線線平行的性質(zhì),可得丁二進(jìn)而化簡(jiǎn)可得;

OA

(2)由題意，得尸(%)=(所以入又?jǐn)?shù)列｛馬｝是以I為首項(xiàng)，:為公比的等比數(shù)列,

所以可得數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及等比數(shù)列的前九項(xiàng)和公式，可求得麗的坐

標(biāo)，又9J.而，結(jié)合向量的垂直關(guān)系，解方程即可；

(3)結(jié)合函數(shù)GQ)的性質(zhì)，可得G(x)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，在平行四邊形048。中，過(guò)點(diǎn)。的直線與線段。兒。8分別相交于點(diǎn)

OMON

M、N,由平行線的性質(zhì)，可得」

OANB

又麗=%耐，O^i=yOB,B|J|0M|=X\0A\,\0N\=y\0§\,

所以從而”擊

⑵又/(、)=含則尸(幻=志-1=子-1=3所以爪孫以

又?jǐn)?shù)列｛g｝是以1為首項(xiàng)，押公比的等比數(shù)列，所以%”=