南昌一中2025-2026學(xué)年度高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

試卷總分：150分考試時長：120分鐘

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.集合卜6N*|x-2<1}用列舉法表示為（）

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.10,1,2,3,4}D.{1,2,3,4）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意整理可得集合{X€N*K—2W1}={X€N*KW3},結(jié)合常用數(shù)集分析判斷即可.

詳解】由題意可得：集合{xeN”|x-2Wl}={x￡N?|x￡3}={l,2,3}.

故選:B.

【解析】

【分析】利用函數(shù)的定義一一分析選項即可.

【詳解.】對于A,B,C選項中的圖象，每一個工的取值均有唯一的一個y值與其對應(yīng),

符合函數(shù)定義，則A,B,C中圖象均為函數(shù)圖象；

對于D選項，每一個xE0,2的取值，都有兩個y值與其對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，

則D中圖象不是函數(shù)圖象.

故選：D

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3.已知集合/=f(x,y)|x,y6N*,y二x],B=((x,y)|x+y=8J,則/CB中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】采用列舉法列舉出4nB中元素的即可.

【詳解】由題意,力n8中的元素滿足，±3：只，且％ywN*,

由x+y=8N2x,得xW4,

所以滿足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故4AB中元素的個數(shù)為4.

故選:C.

【點睛】本題主要考查集合的交集運算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.

4.如果a/,c,d€R,則正確的是()

A.若心b,則工<：B.若a>b,則ac2>左？

ab

C.若a>b,c>d,貝lja+c>b+dD.若a>b,c>d,則ac>bd

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可逐?求解.

【詳解】對于A:取0=2為=一以*>"，故A錯，

對于B:若c=0,則碇2=加2,故B錯誤，

對于C:由同號可加性可知：a>b,c>d,則a+c>什d,故C正確，

對于D:若Q=2,b=l,c=-2,d=-3,則ac=-4,bd=-3,ac<bd,故D錯誤.

故選：C

5.設(shè)p:OV%Vl,q:(x-a)[x-(a+2)]<0,若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)Q的取值范圍是

()

A.{a|-1<a<0]B.{a|-1<a<0]

C.{a|aW0或aN1}D.{〃Ia<-1或a>0}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出條件q的取值范圍，再根據(jù)p是q的充分不必要條件列不等式組求得實數(shù)aE勺取值范圍.

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(詳解]解：rfl(x—a)[x—(a+2)]<0得a<x<a+2,

所以p：0<%<1,q:a<x<a-￥2,

若p是q的充分不必要條件，則解得一IWa40,

-i乙wx

所以實數(shù)Q的取值范圍｛a|-1WQW0｝.

故選：A.

6.若TxeR,ax2-3ax+9<0”是假命題，則a的取值范圍為()

A.[0,4]B.0,4)

C.(0,4)D.4,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】由“3x￡R,a%2-3a%+940”是假命題，可得“Vx￡R,Q/—3ax+9>0”是真命題，對a分類

討論，即口J求解.

【詳解】由FxWR,a/-3ax+9W0”是假命題，

得“VxER,ax2-3ax+9>0”是真命題，

當(dāng)a=0時，9>0,符合題意；

當(dāng)。工。時，則｛4=9忽黑〈0，解得。<"4?

綜上，a的取值范圍是0,4).

故選：B.

7.若正實數(shù)％y滿足％+2y=4,不等式加2+：m>：+W有解，則m的取值范圍是()

44

A.(一§,1)B.(-00,-0U(1,+8)

4.4

C.(-15)D.(-00,-1)U(^,+00)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求：十三最小值，再由不等式有解得爪2+￡機>[,即可求參數(shù)范圍.

【詳解】由2+二一=二好+二一)卜+2(、+1)]=工又[4+竺*+±]'工乂[4+2恪西?上]=±，

xy+16、*y+1八"〃6ixy+lJ61y]xy+lJ3

僅當(dāng)?shù)?自，即％=3)=^時等號成立，

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要使不等式+gm十W有解，只需加之>^=>3m2+m-4=(3m+4)(m-1)>0,

4

所以mG(-oo,--)U(l,+oo).

故選：B

8.已知關(guān)于%的不等式組僅有一個整數(shù)解，則<的取值范圍為()

\LXIyLK十/)X十/K<U

A.(-5,3)U(4,5)B.[-5,3)U(4,5]

C.(-5,3]U[4,5)D.[-5,3]U[4,5]

【答案】B

【解析】

(分析]解不等式/一2%-8>0,得％>4或％<一2,再分類討論不等式2/+(2k+7)x+7k<0的解集,

結(jié)合集合關(guān)系即可求得參數(shù)k的取值范圍.

【詳解】解：由％2一2%一8>0,可得工>4或》V一2,

由2/+(2k+7)x+7k=0,即(2x+7)(x+k)=0,得不=-gx2=-k,

當(dāng)A>"即一kv-：時，不等式2/+(2/c+7)x+7kV0解為一kVxV一三,

此時不等式組鼠2十葭;鼠口的解集為(一憶一，

乂因為不等式組僅有一個整數(shù)解，

則一5W-kV-4,解得4VAW5；

當(dāng)AV泉即一k>一(時，不等式2/+(21+7)%+7上<0的解為一：〈工〈一處

又因為不等式組僅有一個整數(shù)解，

則一3<一上式5,解得一5Wk<3；

綜上所述，k的取值范圍為[—5,3)U(4,5].

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.下列說法錯誤的是()

A.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點的集合為｛(x,y)|xy>0｝

B.方程。x—2+|y+2|=0的解集為｛-2,2｝

C.集合｛(x,y)|y=1-%｝與｛x|y=1-%｝是相等的

D.若，=氏eZ|-1<x<1｝,則一1.1eA

【答案】BCD

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【解析】

【分析】

根據(jù)集合的定義依次判斷選項即可得到答案.

【詳解】對選項A,因為町>0=；;或3<%

所以集合｛(%y)忱y>0｝表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一、三象限的點的集合，故A正確;

對選項B,方程V7=+Iy+2|=0的解集為｛(2,-2)｝,故B錯誤；

對選項C,集合｛(x,y)|y=1一行表示直線y=1一%上的點，

集合｛%|y=1一行表示函數(shù)y=1-%的定義域，

故集合｛(xy)|y=1-行與｛%|y=1-燈不相等,故C錯誤；

對選項D,A=｛xeZ\-l<%<1｝=｛-1A1｝，所以一1.1

故D錯誤.

故選：BCD

【點睛】本題主要考查集合的定義與表示，屬于簡單題.

1A

10.已知小>0,〃>0,關(guān)于％的不等式(2"7+小2-(〃一八一1<0的解集為一1,1，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.2m4-n=1B.m九的最大值為9

o

C.'+”的最小值為4D.37+3的最小值為3+2V2

mn

【答案】ABC

【解析】

【分析［依題意可得一1和?為關(guān)于％的方程(2加+t)/一5-亡)％-1=0的兩根且2租+￡>0,利用韋達定

理得到即可得到2m+n=l,從而判斷A：再利用基本不等式判斷B、C、D.

【詳解】因為關(guān)于x的不等式(2〃7十。￥一(〃一/卜一1〈0的解集為(一1')，

所以一1和g為關(guān)于x的方程(2m+t)x2-(n-t)x-1=。的兩根且2m+t>0,

（-1=

所以所以所以2m+n=l,故A正確:

1X

3-2m+ttn-t=-2

I2m+t>0

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又汨所以2nl+n=1N2V2m〃,解得nm三，當(dāng)且僅當(dāng)27n=幾，即m=%n=；時取等

號，

所以nm的最大值為《，故B正確；

1.m2m+nmn.n.ninnfnm

mnmnmn-dmn

當(dāng)且僅當(dāng)乙=竺，即血=九=2時取等號，所以3的最小值為4,故C正確；

mnJmn

因為2m+ri=1,所以2(m+1)+幾+2=5,

所以高+亳=X高+瞑)Pim+1)+5+2)]

中+鬻+需〕W(3+2席席"(3+2企),

當(dāng)且僅當(dāng)*=駟苧，即m=4-2，九=5或一7時取等號，

m+ln+22

所以高+總的最小值為式3+2?,故D錯誤.

故選：ABC

11.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[打，mk]={5n+k\neZ],

k=Q.1、2、3、4,給出如下四個結(jié)論，其中正確結(jié)論的是()

A.2021E[1]

B.-13G[3]

C.若整數(shù)a、b屬于同一“類”，則。一力￡[0]

D.若a-bW[0],則整數(shù)a、b屬于同一“類”

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用題中定義可判斷選項的正誤：設(shè)/、

ABa=5%+k,b=5zi2+Mn2eZ,kE

[0,1,2,3,4},利用“類”的定義可判斷C選項的正誤；設(shè)。=5%十七，力=5以十七，3、〃2WZ,k1、

推出?=%可判斷選項的正誤.

k2￡[0,1,2,3,4},D

【詳解】對于A選項，???2021=5x404+1,故2021W⑴，A對；

對于B選項，???-13=-3x5+2,故一13€[2],B錯；

對于選項，若整數(shù)Q、屬于同一“類"，可設(shè)

CbQ=5%+k,b=5n2+k,n2GZ,kG

{0,123,4},

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所以，a—b=5(nj—n2)?故a—b￡[0],C對；

對于D選項，設(shè)。=5%+的，b=5n2+k2>%、n2EZ,自、k26{0,1,2,3,4),

則G-b=5(%-n2)+kt-k2,因為七、k2G{0,1,2,3,4},則-4<k1-k2<4且自-k2EZ,

因為Q—力€[0],則七一攵2=0，即七=攵2，故整數(shù)Q、b屬于同一“類”，D對.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合A={-1,3,2TH-1},集合8={3,m?}.若8胃A,則實數(shù)m=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)集合子集的概念求解.

【詳解】因為8G4

所以租2=2771—1,即(m-1)2=0,

所以m=1,

此時4={一1,3,1},3={3,1},滿足題意.

故答案為：1

13.已知一lWx+yWl,l<x-y<5,則3x-y的取值范圍是.

【答案】[1,11]

【解析】

【分析】根據(jù)同向不等式相加不等號方向不變的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為lWx-yW5,所以2W2x—2y410,

又一1Wx+yW1,

由不等式的可加性得1<3x-y<11,

所以3x-y的取值范圍是[1,11].

故答案為：[Lll].

14.卜]表示不超過x的最大整數(shù)，ftn[3.1]=3,[5]=5,[-4.2]=-5,已知0<m<1且滿足

[TH+—1+[m4--1+\m4-—1+???+[?n+—1=22,則[289m]=

I2023]I2023J[2023JL2023J1」------

【答案】3

【解析】

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2030,

Bl+51

賽：,進而求得m的范圍，代入289m,求出整數(shù)部分，即可得出答案.

血+痂？1

【詳解】因為0Wm+募工機+?n<,??,<\Fm+.—202—21/<1.,

急k[+2023L2023]

且每一項都是整數(shù),

又pn+—]+[m+—1+\m+—1+???+\m+—]=22,

I20231I20231I2023.1L20231

所以[m+盛]=M+盛]=卜+嬴]="=[m+勰]=°，卜"+黑卜M+器]="=

M+篇?

,2000/

*邈所以急功<急

(十2023一

所以，3<3+差工289m<3+急<4，

所以,[289m]=3.

故答案為：3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知集合/={幻3-QWxW2+Q},8={x|%2-8%+7之0},全集U=R.

(I)當(dāng)a=3時，求4G&町；

(2)若{UB=R,求實數(shù)Q的取值范圍.

【答案】(1)(1,5]；

⑵a>5.

【解析】

【分析】(1)先解不等式得從再利用補集、交集的定義求解作答.

(2)利用給定條件可得(QB)C.4,再利用集合的包含關(guān)系求出實數(shù)a的取值范圍.

小問1詳解】

依題意，B={x\x2-8x+7>0]=(-oo,1]u[7,+OD),則QB=(1,7),當(dāng)Q=3時，A=[0,5]，

所以力n(QB)=[0,5]n(1,7)=(1,5]

【小問2詳解】

因4UB=R,則有(QB)5,由(1)知QB=(1,7),《二蹩；，解得心5,

所以實數(shù)a的取值范圍是aA5.

16.設(shè)命題p：對任意％W[0,1],r等式2%-32血2-46恒成立，命題q：存在％WR,使得不等式/一

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2xm—1<0成立.

（1）若p為真命題，求實數(shù)m取值范圍；

（2）若命題p與命題q—真一假，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】（1）1<m<3

(2)m<1或2<m33

【解析】

【分析】（1）求出析-3在[0,1]」.最小值后可求參數(shù)的取值范圍:

（2）求出q為真命題時參數(shù)的取值范圍，從而可求兩個命題一真一假時參數(shù)的取值范圍.

【小問1詳解】

若p為真命題，則（2x—3）mjn之力在一4m成立，

而x€[0,l],有（2x-3）mm=-3，所以一3N機2一4m,Iwm工3.

【小問2詳解】

若q為真命題，即存在XER,使得不等式/-2%+小一140成立,

只需A=4-4(7n-l)=8-4m20,故m工2.

若p為假命題，q為真命題，貝雪網(wǎng)

故m<1.

若q為假命題，p為真命題，則f&7彳3,故2<mW3.

Im/

綜上：m<1或2<mW3.

17.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處

理量最少為400噸，最多為600噸：月處理成本y（元）與月處理量3（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示

為卜=\x2-200x+80000,旦每處理一噸二氧化碳得到可利生的化工產(chǎn)品價值為100元.

（I）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使

該單.位不虧損？

【答案】（I）該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低

（2）該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼40000元才能使該單位不虧損

【解析】

【分析】（1）每月每噸的平均處理成本為三，利用基本不等式求解即得最低成本；

（2）寫出該單位每月的獲利/?（%）關(guān)于％的函數(shù)，整理并利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可作答.

【小問1詳解】

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由題意可知：y=1x2-200%十80000(400sxS600),

每噸二氧化碳的平均處理成本為：

yX8OOOO_2歸蹩2一200=200,

x=2+x2002x

當(dāng)且僅當(dāng)；=誓，即工=400時：等號成立，

???該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低：

【小問2詳解】

該單位每月的獲利：

fM=100x-Qx2-200x+80000)=-j(x-300)2-35000,

因400<x<600,函數(shù)/'(x)在區(qū)間［400,600］上單調(diào)遞減，

從而得當(dāng)％=400時，函數(shù)/(%)取得最大值，/(x).=f(400)=-40000,

max

所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼40000元才能使該單位不虧損.

18.已知函數(shù)f(x)=Q/—(a+l)x+1,a￡R,

(1)若。=1,當(dāng)%>1時，求y=?誓的最小值：

/X-1

(2)求關(guān)于無的不等式/(%)>0(。>0)的解集；

(3)當(dāng)QV0時不等式/(%)>0的解集中包含兩個整數(shù)，求Q的取值范圍.

【答案】(1)4(2)答案不唯一，具體見解析

(3)-1<a<

【解析】

【分析】(1)將Q=1代入得丫=以-1)+六一2,利用基本不等式求解即可；

(2)分0va<l,a>1,a=1三種情況求解即可；

(3)當(dāng)aV0不等式/(刈>0的解集為6，1),若解集中包含兩個整數(shù)則一2^^〈一1,求a即可

【小問1詳解】

若G=1時，

/(x)-2x+ll_X2-4X+12_(X-1)2-2(X-1)+9

y=；=；=；

x-\x-lx-1

=(%T)+2-224,

9

當(dāng)且僅當(dāng)(x—l)=F，即》=4時取得等號

?X1

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/。）-2工+11

故了二的最小值為4.

【小問2詳解】

若即Ovavl,解原不等式得%'或％V1,

若;VI,即a>l,解原不等式得vV｝或3>1,

若;=