解題策略06：橢同的標(biāo)準方程

?------本節(jié)導(dǎo)航

題型01判斷方程是否表示橢圓題型07橢圓中距離和差最值問題

題型02方程表示橢圓求參數(shù)范圍題型08橢圓中焦點三角形周長問題

題型03橢圓方程求基本量題型09橢圓中焦點三角形面積問題

題型04由基本量求橢圓方程題型10橢圓中焦點三角形內(nèi)切圓問題

題型05由幾何關(guān)系求桶圓方程題型11橢圓中參數(shù)方程的應(yīng)用

題型06桶圓上的點到焦點的距離問題題型12橢圓的軌跡方程求法

，/〃〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/'〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

題型01判斷方程是否表示橢圓

.經(jīng)典例您(24-25高二上?全國?課后作業(yè))(多選)已知曲線°泥+小=],則()

'44

A.若小〃>o,則曲線。表示圓，其半徑為六

B.若機>〃>(),則曲線。是橢圓，其焦點在x軸上

C.若曲線0過點(一五j),(b.?)，則c是橢圓

D.若制尸o,則曲線C不表示任何圖形

四步內(nèi)容

22

題意本題給出曲線方程%匚+生二=1(BPinx2+ny2=4),需根據(jù)“、〃的不同取值，

拆解44

分析曲線是圓、橢圓還是其他圖形，對四個選項逐一判斷.

考點

本題考查圓的方程、橢圓的定義與標(biāo)準方程，涉及圓錐曲線類型的判定，屬「圓錐

定位曲線基礎(chǔ)概念應(yīng)用題型.

思路

對每個選項，結(jié)合用、〃的條件將方程轉(zhuǎn)化為圓或橢圓的標(biāo)準形式，利用定義判斷；

構(gòu)建對于過點的選項，代入點坐標(biāo)求解〃?、〃后再分析?.

若小心()，曲線c可化為f+jq,其表示半徑為元的圓，A正確；

解法

當(dāng)心心0時，曲線?？苫癁?+4=1，表示橢圓，因為0<4<4,所以其焦點在軸上，

優(yōu)化M”mnJ

B錯誤；

對于C,依題意得:4'解得小=1,則曲線0為橢圓，C正確：

說+"=1（〃=2,C

48L

取小=4,〃=0,此時曲線c7=i，其表示兩條直線，D錯誤.

故選：AC.

圓的標(biāo)準方程：/+）,2=/（->0）,需/與y2系數(shù)相等且為正.

知識2222

橢圓標(biāo)準方程：焦點在x軸時烏+與二1焦點在），軸時與十二=1

2222

總結(jié)abab

（a>b>0）,焦點在分母大的軸上.

判定曲線類型需分類討論系數(shù)的符號、是否相等，注意系數(shù)為零的特殊情況.

考點i：圓的方程判定（/、v系數(shù)相等且正）.

考點2：橢圓標(biāo)準方程與焦點位置判定（分母為正且不等，焦點在分母大的軸上）.

考點3：曲線過點的應(yīng)用（代入點坐標(biāo)求系數(shù)）.

考點4：系數(shù)為零（"〃7=0）時的曲線類型分析（直線情況）.

.S?鍬牛力/（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）以下方程表示橢圓的是（)

A?^+^=1B.2x2-3y2=2

C--2X2-3/=-1D.小土=o

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓方程的知識求得正確答案.

【詳解】A選項，方程（+?=］,即/+城=25,表示圓，不是橢圓，A選項錯誤.

B選項，方程入2_31，2=2，即』-4=1，方程中間是減號，不是橢圓，B選項錯誤.

3

C選項，方程_法2.3/=/，即++4=1，

23

表示焦點在X軸上的橢圓，c選項正確.

D選項，方程5+4=0右邊不是］,不是橢圓，D選項錯誤.

n2n2+2

故選:C

>小祺牛力Z【多選題】（22-23高二上?安徽蕪湖?期口）已知關(guān)于x,y的方程4rZ+HF+QX+EHQO

表示的曲線為c以下說法正確的有（）

A.若力=B=O,。=七/，下=］，則C恒過定點（1,-1）

B.若/=B=1，D=E=-2,F=2,則C表不圓

C.若力>0，8>0，D=E=OfF=-\f則0表示橢圓

D.若［=］,B=-1'￡）=0，E=-2rF=-\,則C表示兩條宜線

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓，橢圓，直線方程依次分析即可得答案.

【詳解】解：對于A選項,當(dāng)4=8=o，D=E-\r產(chǎn)=1時,曲線。為：（￡-l）x+砂+1=0，即為￡&+j）-x+l=0，

顯然（1/）滿足方程七0+3_工+1=0,所以甘亙過定點（I/），故A正確；

對十B選項，當(dāng)/=8=1，D=E=-2,尸=2時，方程為/+y2.2x-2y+2=（x-l）2+（y-1）2=0，其表示點（］/），故B錯

誤；

對于C選項，當(dāng)o,“>（），￡）=E=O,r=.p方程為，N+8），2=1，

所以，當(dāng)力=8時，表不圓；當(dāng)忖，表小橢圓；故C錯誤；

對于D,當(dāng)力=1，B=-l，。=0,E=-2fF=-r方程為/_/.2川=0，

即為』=（），+i）2,化簡得廣也」，艮J表示兩條直線，故D正確.

故選：AD

小鍬牛力5（21?22高二?全國?課后作業(yè)）設(shè)方程①d（x-3）2+/+jQ+3）2+V=8；

②《-1）2十/十J（/i）2十F=2?其中表示橢圓的方程是-

【答案】①

【分析】根據(jù)橢圓的定義和方程表示的幾何意義分析判斷即可.

【詳解】對于①，方程，（-3）2+/+，0+3）2+y=8表示平面內(nèi)的動點（X））到

定點（3,0）與（-3,0）的距離之和等于§的點的軌跡,因為（3,0）與（-3,0）之間的距離為6,且6<8，

所以動點（工口）的軌跡是橢圓，所以方程①表示橢圓的方程，

對于②，方程1）2+,+JQ+1）2+/=2表示平面內(nèi)的動點（x,y）到

定點（1,0）與（-1,0）的距離之和等于2的點的軌跡，由于（1,0）與（“,0）之間的距離為2，

所以動點（工⑨的軌跡是一條線段，所以方程②表示的不是橢圓方程，

故答案為：①

題型02方程表示橢圓求參數(shù)范圍

.經(jīng)其例題］（25-26高二上?重慶?階段練習(xí)）方程上+衛(wèi)=［表示橢圓，則”的取值范圍是（）

2?-39-?

A-}<n<9B.；<〃<4或4<〃<9

C,；v〃<4D?4<〃<9

四步內(nèi)容

22

題意題目給出橢圓方程—一+工=1,要求根據(jù)橢圓的定義，確定參數(shù)〃的取值范

拆解2〃一39-n

圍.

考點本題考查橢圓的標(biāo)準方程，核心考點是橢圓定義中“分母為正且不相等”的條件，屬

廣圓錐曲線法礎(chǔ)概念的應(yīng)用胭型.

定位

22

橢圓的標(biāo)準方程與+5=1（。>0/〉0,。工〃）要求：

思路a2b2

構(gòu)建兩個分母均為正數(shù)；

兩個分母不用等（否則為圓）.

因此需列出關(guān)于〃的不等式組，求解其取值范圍.

,、2〃-3>0

由于方程工+工表示橢圓，所以%〃>0，

2n-39-n__…

解法，2〃-3聲9-〃

優(yōu)化解得;V〃<4或4V〃<9?

故選：B.

橢圓的標(biāo)準方程有兩種形式：

22

焦點在X軸上：=+5=1（CZ>/?>0）：

知識

a2b2

總結(jié)、廣r*

焦點在y軸上：-=^-+—=1（?>/?>0）.

a2b2

兩者的共同核心條件是分母均為正數(shù)且不相等（若相等則為圓.不屬干橢圓）.

考點1：橢圓標(biāo)準方程的形式（含f、V的分式和為1）.

考點2：橢圓的判定條件（分母為正且不相等）.

考點3：根據(jù)橢圓方程求參數(shù)范圍的不等式組構(gòu)建方法.

小領(lǐng)牛乃7（25-26高二上?安徽?期中）若曲線3+衛(wèi)=］表示焦點在曠軸上的橢圓，貝J的取值范圍

2a6,

是.

【答案】（0,3）

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準方程直接可得.

【詳解】由曲線上+上=］表示焦點在￡軸上的橢圓，

2a6,

所以0<2a<6,0<a<3，即々的取值范圍是（o,3）。

故答案為：（0,3）.

）H,獻牛為2（25-26高二上?江蘇南京?期中）已知方程上+上=1（加R）表示焦點在x軸上的橢圓,

4?加2+m

則小的取值范圍為（）

A.（-2,1）B.（1,4）C.（.2,4）D..2）

【答案】A

【分析】根據(jù)焦點在X軸上的橢圓標(biāo)準方程的特征，可得到關(guān)于陽的不等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，方程上+上=1表示焦點在X軸上的橢圓.

4-m2+m

則必有［4如>2+加，解可得：

i2+心。

即m的取值范圍是（.2,I）.

故選:A.

小鍬牛刃3（25-26高二上?重慶?期中）若方程3_上=］表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)〃?的取

mm?2/

值范圍為（）

'?0<w<2B-0<帆<2且

C0<rn<\D.］<fn<2

【答案】C

【分析】根據(jù)方程表示橢圓且焦點在P軸上，列出不等式求參數(shù)范圍.

（m>0

【詳解】由題意電2<0DO<W<1-

（制-2|>|創(chuàng)

故選:C

題型03橢圓方程求基本量

.經(jīng)典例殿1（24-25高二下?浙江?期中）已知橢圓c：A+\=l的左、右焦點分別為Q尸2尸是C上在第

二象限內(nèi)的一點，￡.|p/?2Llp/71l=2?則直線p3的斜率為（）

A.&B.3c.之D.&

3443

四步內(nèi)容

題意已知橢圓C:三+工=1,左、右焦點分別為耳，鳥，點尸在。的第二象限內(nèi)，且

1612

拆解

滿足IP乃ITP"1=2,需求直線P入的斜率.

考點

本題考杳橢圓的定義、橢圓的基本性質(zhì)（。,Ac的關(guān)系及焦點坐標(biāo)）、直線斜率的

定位計算，屬于橢圓定義與直線斜率的綜合應(yīng)用題型.

先根據(jù)橢圓方程求出出b,C，確定焦點6,鳥的坐標(biāo)；

思路利用橢圓定義|P4l+|Pgl=2a,結(jié)合已知條件|Pg|-|PGI=2,聯(lián)立求解

構(gòu)建IP"和IP初；

分析點P的位置，結(jié)合焦點坐標(biāo)，通過幾何關(guān)系（如勾股定理）確定點P的坐標(biāo)，

進而計算直線的斜率.

PF2

由條件可知,噓眠七;,得1尸4=5,際1=3,且加國可

解法

所以PQ□尸產(chǎn)2'且tanDPE2Q=:'

優(yōu)化

設(shè)直線尸尸,的傾斜角為伊則tan族-：，

所以直線oB的斜率為

故選：B

橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點耳，鳥的距離和為常數(shù)（＞16居1）的點的軌跡，滿

足|PKI+|PK\=2a.

知識橢圓的參數(shù)關(guān)系：a2=b2+c2^焦點在x軸上時，焦點坐標(biāo)為（±c,0）.

總結(jié)直線斜率公式：若兩點為（％,y）、（羽,以）（玉工修），則斜率攵

七玉

解題技巧：可結(jié)合橢圓定義與三角形幾何性質(zhì)（如勾股定理），快速確定點的坐標(biāo)，

簡化斜率計算.

考點1：橢圓基本參數(shù)（a,b,c）及焦點坐標(biāo)的求解.

考點2：橢圓定義C\PF］\+\PF2\=2a）的應(yīng)用.

考點3：直線斜率的計算（兩點「瓦斜率公式）.

考點4：橢圓中三角形的幾何性質(zhì)（勾股定理判斷百角三角形）.

）4鍬牛刀/（24-25高二上.山東煙臺階段練習(xí)）已知橢圓?上+?=i'＞（P的左、右焦點分別為

16b~

F］、尸,，點0為坐標(biāo)原點，點p為橢圓c上一點，點°為QR中點，若尸，的周長為6，則橢圓C的焦距為（）

A.2B.4C.6D.12

【答案】B

【分析】由中位線性質(zhì)得出焦點2~后的周長，從而求得半焦距c.

【詳解】因為0是尸尸,的中點，而0是產(chǎn)］用中點，所以|。0|=；|夕尸］|,

所以的周長是：PQ3周長的一半，

又「Qoa的周長為6，所以ppa周長是12,

川J|p*1+1尸尸21+1尸I尸21=2〃+2c=12，得4+°=6，

又片4，所以『2，2c=4?

故選：B.

.小錢牛丸2（24-25高二上?山東臨沂?期中）設(shè)°為坐標(biāo)原點，“出為橢圓0：上+正=］的兩個焦

，?2516

點，點p在。上，cos=］QP&=；，則|OP|=（

A.\l~2\B.1C.心D.生

22

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點坐標(biāo)以及橢圓的基本參數(shù)，再利月余弦定理求出阿『+|0臼2與|p川伊碼的

關(guān)系，然后通過向量關(guān)系求出|0舛

【詳解】對于橢圓cj+jl，可得片5,X

可求出片45-16=3,所以焦點4(-3,0)，F(xiàn)2(3,0)-

設(shè)|PQ|="%|=〃，在中，根據(jù)余弦定理|B&|2=)?2+〃2_2〃〃?COS"IP0?

已知r]B[=2C=6，COS-F|PF2=J,則62=〃/+〃2-2〃〃?X.

又因為點尸在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義〃什〃=2〃=10，

將(,為+〃)2=100展)1^hn2+n2+2mn=100,

用加2+〃2+2〃〃?=1()0減去6'=謁+〃2-2〃〃7工；可得:

m2+n2+2mn-(m2+n2-2mnx^)=100-36,2mn+2mnx=64,貝”加〃=20?

代入加2+/-2〃〃7、；=36中'可得m2+/=36+2〃〃?X；=36+2X20X；=6。.

因為。片;(PQ+PB)，^^\OPY=\(\PF\^\PF^^2PF\EPF2)-

----,------3

PF\Z)PF2=mncosF\P&=2()x5=12-

則|OP『=：(62+/+2PQ口產(chǎn)乃)=；(60+2x12)=；(60+24尸彳=21,

所以|。?|=五？

故選:A.

小祺牛力8（2024.山東泰安?模擬預(yù)測）已知點”在橢圓c/+E=]上&是該橢圓的兩個焦

點，則應(yīng)尸]倒+1”尸2R的最小值為（

A.9B.]2c-16D.[8

【答案】D

【分析】由已知可得應(yīng).|+后凡1=6,由基本不等式可得L“J匚1四尸2k9,則由

應(yīng)尸上+應(yīng)后|2=（|wl+lgl-MQI口應(yīng)尸2卜代入即可得到答案，

【詳解】由題知，。2=9，力2=[,即斫3，6=1，則LMQI+LWF2I=2Q=6，

因為IMFJ+IM尸汐/i嬴后麻？（當(dāng)且僅當(dāng)IMQUMBI時，等號成立），

所以I”尸11口1”產(chǎn)2k9,

所以lw|2+lMF2|2=（|MQ|+lM&|,_2lA/QlE]lM&k62-2x9=18

（當(dāng)且僅當(dāng)|河用=|忖&1=3時，等號成立）.

故選：D.

題型04由基本量求橢圓方程

（25-26高二上?江蘇無錫?期中）過點（四㈤，且與橢吒+'有相同的焦點的橢圓

標(biāo)準方程為（）

四步內(nèi)容

22

題意題目要求求過點（石,-6），且與橢圓三十±=1有相同焦點的橢圓標(biāo)準方程，需

拆解259

結(jié)合“相同焦點”和“過定點”兩個條件求解.

考點

本題考查橢圓的標(biāo)準方程、橢圓的焦點性質(zhì)（C的計算）及待定系數(shù)法求橢圓方程，

定位屬于橢圓性質(zhì)與方程求解的綜合題型.

思路先求已知橢圓的焦點，確定新橢圓的C和焦點位置；

設(shè)新橢圓的標(biāo)準方程，利用“過點”的條件代入方程；

構(gòu)建聯(lián)立和代點后的方程，求解/和

設(shè)所求橢圓方程為哈+^=1（M9），

解法將點（必用）代入，可得@+@=1，解得45（Q21舍去），

'2549-A-1

優(yōu)化

故所求橢圓的標(biāo)準方程為3+正_|.

20+4-1

故選：D.

22

橢圓焦點性質(zhì)：對于橢圓與+與=1Ca>b>OK。2=°2-從，焦點為（±c,o）；

a2b2

知識

2r2

若焦點在y地上，方程為v當(dāng)+0=i,焦點為（0,±c）.

總結(jié)a2b2

待定系數(shù)法求橢圓方程：當(dāng)已知焦點位置和焦點相關(guān)條件時，設(shè)出對應(yīng)標(biāo)準方程，

結(jié)合過點等條件列方程求解/和從.

考點1：橢圓焦點的計算（。之二/一層及焦點坐標(biāo)）.

考點2：橢圓標(biāo)準方程的待定系數(shù)法求解（結(jié)合過點條件）.

22

考點3：橢圓方程中參數(shù)的取值范圍（〃>〃>（）,a>c）.

>小被牛刀7（25-26高二上?湖南長沙?月考）過點共吃3）且與橢圓:+：=1有相同焦點的橢圓的

標(biāo)準方程為___________

【答案】是上=1

128

【分析】先根據(jù)已知橢圓方程求出器，設(shè)所求橢圓標(biāo)準方程為5=i（心Qoy利用焦點相同且過點⑷列

方程組求解.

【詳解】橢圓方程為上+金=|,

84

二do=8,Z）o=4,co=?o-^o=4,

柄圓的焦點在y軸上，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準方程為弋+^=1（。泌>0），

由兩橢圓焦點相同，則。2=￡=4，

2=+

2-+=

□所求橢圓標(biāo)準方程沏分2

故答案沏

小欽牛J92（25-26高二上?黑龍江?期中）若橢圓c的兩個焦點分別是門（20），巳（2,0），橢圓C上

一點2到兩焦點距離之和等于8,則該橢圓的標(biāo)準方程為（）

A.上+上=[B.上+上=]C,上+上=]

【答案】A

【分析】利用橢圓的定義求出利用〃2=/七2即可求解.

【詳解】由題意有：2a=8,a=4,c=2,H-c2=12'

故選:A.

小林牛刀3（25-26高二上?上海?期中）已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（.2￡,0）,（2丘0），且該

橢圓經(jīng)過點（2"「2），則橢圓的標(biāo)準方程為

【答案】上=i

168

【分析】根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準方程或者用待定系數(shù)法求標(biāo)準方程?

【詳解】解法一：因為橢圓的焦點在x軸I.,

所以設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為5+E=]Q?>0）.

a2b~

因為橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（_2五,0），（25,0），且點（2石「2）在橢圓上，

所以由橢圓的定義知2?！梗?石+2份2+（_2.0）2+J（2石-25>+（20）2=8'

所以斫4,又因為°=2%，所以6=,=2%.

因此所求橢圓的標(biāo)準方程為三+式_1.

168

解法二：因為橢圓的焦點在x軸上，

所以設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為W+4=|Q>b>0），

tn

因為橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是GCQ），（25,0），所以。=26，

從而/42=/=8―?，

又因為點（2五.2）在橢圓上，所以器+==1?②,

由①?解得忙=16或，。；=4（舍去），

Ib=8%=-4

因此，所求橢圓的標(biāo)準方程為上+上=「

1681

故答案為:布工

題型05由幾何關(guān)系求橢圓方程

位哀例題（25-26高二上?浙江?期中）已知橢圓的左右焦點分別為Q反，過尸，的

4rb~

直線交橢圓于44兩點，若尸］力口乃力=0，且I//7?1=3宿尸21=3，則橢圓的方程為（）

9mB-C.%D.裊、

四步內(nèi)容

22

題意已知橢圓之+［=1（。＞/?＞（））,左右焦點片，鳥，過鳥的直線交橢圓于A8兩

a"b~

拆解

點，滿足率?聲=0且|A乃1=3|4八卜3,求橢圓方程.

考點

本題考查橢圓的定義、向量垂直的性質(zhì)（數(shù)量枳為0）、橢圓的基本參數(shù)關(guān)系

定位及方程求解，屬于橢圓定義與向量、線段長度的綜合題型.

利用線段比例關(guān)系確定1AB\,結(jié)合橢圓定義得到I1,1|：

思路

由向量垂直（耳小月h=0）知鳥為直角三角形，結(jié)合勾股定理：

構(gòu)建聯(lián)立橢圓定義和勾股定理的方程，求解。，。，再由〃2=/一/得從，確定橢圓方

程.

連接5”由橢圓的定義有g(shù)al=2a」5尸2l=2a-l，1/尸11=2°」4尸21=2°3

因為布□否7=（?所以尸］力口廠2⑷

在RPFMB中，I/BR+U尸］［2』5尸］［2,即42+（2公3）2=（24.1）2,解得『3，

在RtB仍中，U尸2卬”1|2=|/］尸2%叫2+（2小3）2=（2C）2，

所以32+32=（22，解得‘2=；，所以心心聲9.汽，

所以橢圓的方程為9+9=1即金+次=1.

解法9299

優(yōu)化故選：B

J：A

3%X

知識橢圓定義：|P"|+|Pg|=2a（P為橢圓上一點）.

總結(jié)向量垂直性質(zhì)：若MX.M4=0，則NMA/V=90，可結(jié)合勾股定理.

橢圓參數(shù)關(guān)系：〃=/一/,已知4c可求從進而確定方程.

考點1：橢圓定義的應(yīng)用（|AZI+|ABI=2〃）.

考點2：向最垂直的數(shù)量積性質(zhì)（耳耳?6/=（）表示直角）.

考點3：橢圓基本參數(shù)〃,〃,c的關(guān)系及方程求解.

小祺牛乃1（25-26高三上?黑龍江?開學(xué)考試）已知橢圓0：三+'=］心加"的左、右焦點分別為

F］，￡），左右頂點分別為/,N，過產(chǎn).的直線/父。于力、4兩點（異于點M,N）,的周長為4石，且直線4W與

4V的斜率之積為_；，則橢圓°的標(biāo)準方程為（)

3=]B.

321

c上+JD.

1?R1

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求得a，設(shè)4&|,巧）由左也匕求得力進而求解.

【詳解】由力用8的周長為4石，由橢圓的定義得4折4退，解得聽可，

所以N低o》設(shè)《《必》則可得北孑（1-?>

則立"(同

￡=2,解得以2

jkA『“E.丁5=43=x?-333

所以橢圓C的方程上+是=1，

32

故選：A.

小錢牛刃S（24-25高二下?湖南湘西?期末）已知橢圓0上+足=［6>④的左、右焦點分別為入尸2

?。23，

過右焦點的直線/交C于月1兩點，且￡1+3嬴=小//□48=0,則橢圓C的標(biāo)準方程為——?

【答案】2必

63-1

【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系及垂直關(guān)系結(jié)合橢圓的定義及邊長關(guān)系計算求參得出橢圓方程即可.

【詳解】因為引+3蒜3所以以1=31定，

設(shè)I尸2川=〃，則1正2月=3〃，1力4=4〃，所以加|41=2〃-3〃，\F\B\=2a-fV

因為以□兀=0，所以匚尸”乃=90。，

在RPFM8中，I尸32+|4屈2=加出區(qū)即（24.342+（4〃）2=（2上〃）2,解得所3〃，

所以尸“出為等腰直角三角形，所以力為橢圓c的上頂點，所以。21=3，

所以滔-02+/_6,所以橢圓c的標(biāo)準方程為上+止

63

故答案為:酒=］

（24-25高三下?安徽阜陽?階段練習(xí)）已知橢圓C上+弓=］（心方＞o）的左、右焦點分

別為為（.6,0）產(chǎn)2（6,0），直線/與x軸的交點為例6%,0》過點尸/作QN」/尸點M|QN|=4，且Q/勺中點

P在橢圓C上，則橢圓C的方程為.

【答案”巨=1

94

【分析】由尸2是線段Q"的中點，尸是線段QN的中點，可得尸尸2〃/，進而得到PQ尸產(chǎn)2,結(jié)合橢圓定義求得

°，拉即可得解.

【詳解】

依題意乃是線段QM的中點，乂P是線段QN的中點，所以夕尸＞/〃，

因為乃NW，所以尸尸1匚尸尸2?

由P是線段Q%的中點，所以/田=%對=2.

因為點P在橢圓C上，結(jié)合橢圓定義，可得22+（2*2）2=（2石）工解得q=3（a=-l舍去），

所以7=/七2=%5=中所以橢圓C的方程為'+上=「

94

故答案為:2

94

題型06橢圓上的點到焦點的距離問題

（25-26高二上?河北衡水?期中）己知.，出分別是橢圓上+￡=］的左、右焦點，點?在橢

95

圓上運動，則沈尸之J的最小值為.

四步內(nèi)容

題意v-2,,214

已知橢圓一+—「居為左右焦點,點?在橢圓上運動，求

=1?-

拆解95|P用|P6|

的最小值.

考點

本題考查橢圓的定義（|尸片|+|戶乙|二2。）、均值不等式（基本不等式）的應(yīng)用，

定位屬于橢圓與不等式的綜合題型.

思路

先根據(jù)橢圓方程求出a,c,利用橢圓定義得到|PFl\+\PF21=2t/;

構(gòu)建設(shè)|。61二小，則|尸鳥|=2。一機，將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于根的函數(shù)；

結(jié)合均值不等式求該函數(shù)的最小值，注意驗證等號成立條件及〃2的取值范圍.

因為月，乃是橢圓：+?=］的左、右焦點，P在橢圓上運動，

所以，由橢圓定義可得|尸QI+IP&I=6?

所以點+點=義?）+"1）（亦+篇）=：（5+圖+鬻也（5+2⑵4

解法

優(yōu)化當(dāng)且僅當(dāng)2IPQI=I/>BI=4時，等號成立.

即r5+3的最小值為工

故答案為:工

2

橢圓定義：柄圓上任意一點到兩焦點的距離和為2a,即|PF；|+|PBI=2a.

知識均值不等式（基本不等式）：若x>0,>>0,則x+），N2而，當(dāng)且僅當(dāng)了=），時

總結(jié)取等號；對于分式型最值，常通過"乘1法''構(gòu)造均值不等式的應(yīng)用條件.

橢圓上點到焦點的距離范圍：|Pb|€［a-CM+c］,需注意變量的取值范圍對最值

的限制.

考點1：橢圓的定義（|P"I+|P81=2。）.

考點2：均值不等式（基本不等式）的應(yīng)用（“乘1法”構(gòu)造不等式；）.

考點3：橢圓上點到焦點距離的取值范圍（修-CM+C］）.

）小被牛力1（25-26高二上?湖北?期中）設(shè)橢圓上+上=［的左焦點為廣若⑷8是橢圓上的兩個動

2516

點，則口力8尸周長的最大值為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】由橢圓方程上+二=］知：0=5力=4,13，左焦點尸《3,0），

2516

設(shè)橢圓的右焦點為尸2（3,0）

由橢圓的定義知:14川+1力尸2國0,山川+槨&1=1（），

所以口力引凋長為1/尸1+匕尸1+1力1=10-14戶21+10」3尸21+1力屈=20-（1/尸21+槨尸21」/〃）

因為1%31+1835力川，當(dāng)且僅當(dāng).4,8尸2三點共線時等號成立，

所以U乃I+S乃I」力川K），當(dāng)且僅當(dāng)4,842三點共線時等號成立，

所以20-（1力產(chǎn)21+值七1」/川）?（），當(dāng)且僅當(dāng)4國出三點共線時等號成立，

即48戶周長的最大值為20“

十邑=］上一點，尸是橢圓的一個焦點，則|產(chǎn)產(chǎn)|

S

的取值范圍為（）

A.（0,3）B-［0,3］C-［2,4］D.6,4）

【答案】C

【分析】據(jù)橢圓的定義，求得|p/d的范亂

【詳解】由橢圓方程可知，長半軸長方3,短半軸長6=2"，則半焦距.1，

|/＞尸I的取值范圍為JCM+J即匕川

故選；C.

小被牛力5（25-26高二上?吉林長春?期中）已知橢圓c：f+牛=］的左、右焦點分別為q尸2.力為

橢圓。上的動點則出的取值范圍是.

【答案】國

【分析】由橢圓方程得折］力=卓產(chǎn);，由橢圓的定義得需=耨=前_1，再根據(jù)I47JL-3+J計算即

可求解.

【詳解】由題意可得橢圓cf+Ji，

4

所以。=16=m,片不了=

--

UF2IUF2IUF2I',

因為U尸2加藐必+』即"舊"，

所以六「口卜寸，即用口［1寸。

故答案為：匕31?

題型07橢圓中距離和差最值問題

經(jīng)翼例題（25-26高二上?重慶?階段練習(xí)）設(shè)/是橢圓上+正=］的左焦點，P是橢圓上的動點，4

951

是宜.線3x+4v+25=0上的動點，則Ip力l_lp/d的最小值為（

A.-LB.3C.2D.3

555

四步內(nèi)容

22

題意已知橢圓土+]_=1,左焦點尸，橢圓上動點P,直線3/+4），+25=0上動點A，

拆解

求IR4I-IP尸I的最小值.

考點

本題考查橢圓的定義（焦點距離和為2。）、點到直線的距離公式，屬于橢圓定義

定位與最值問題的綜合應(yīng)用題型.

利用橢圓定義將11轉(zhuǎn)化為與右焦點尸相關(guān)的距離；

思路

將|PA|-|P用轉(zhuǎn)化為含1PAl+|PF'|的式子；

構(gòu)建結(jié)合幾何性質(zhì)，IB4I+I刊T的最小值為右焦點F'到直線的距離，進而求解原式

的最小值.

,

由?+；=1口〃=3,b=^5Qc=^a^=2

設(shè),為該橢圓的右焦點，則/（2（）），所以Ip/H+IppLzquG，

于是31」尸閆=必1+1尸產(chǎn)’1.6,

顯然當(dāng)戶P,A二點共線，

且PA與直線3*+4盧25=0垂直時，1尸力1」0月有最小值，

解法最小值為贊

優(yōu)化

故選：A.

橢圓定義:橢圓上任意一點到兩焦點的距離和為2〃，即|「尸|十|尸產(chǎn)|=2。（尸尸

為橢圓的兩個焦點）.

點到直線的距離公式：若點（%,%）到直線T的距離為d,則

知識A+8），+C=0

IBv+C\

總結(jié)0

6+B2.

最值轉(zhuǎn)化技巧：對于形如|州|一|尸產(chǎn)|的最值問題，可利用橢圓定義將其轉(zhuǎn)化為含

\PA\+\PF'\的形式，再結(jié)合點到直線的距離求解最小值.

考點I：橢圓的定義（|列"+|所'|=2。的應(yīng)用）.

考點2：點到直線的距離公式的應(yīng)用.

考點3：最值問題的轉(zhuǎn)化策略（利用橢圓定義將距離差轉(zhuǎn)化為距離和）.

小祺牛力7（25-26高二上?陜西榆林?期中）已知西為橢圓上+上=1的右焦點，河為橢圓上的動點,

設(shè)點力則的最小值為

【答案】2

【分析】利用橢圓的定義可得出|"41+應(yīng)乃1=4+應(yīng)4口".1，分析可知當(dāng)點加為射線.力與橢圓的交點時，

應(yīng)/1+應(yīng)用1取最小值，即可得解.

【詳解】設(shè)橢圓c的左焦點為月，由題知尸]（-1,0）尸（1、0），

□IwFil+lMF2l=2f7=4,nlwF2l=4-lA/Fi1?

口1財力+應(yīng)&1=1忖41+4」加/]1=4+%/1-向用1，

□當(dāng)且僅當(dāng)A0.三點共線時等號成立，

□1時41+1用尸21=4+1加-山為卜4」仍1=4」（；+1）~+（?-0）=2'

則I必力I+1A/&I的最小值為2.

7.鍬牛力2（25-26底二上?遼寧朝陽?期中）已知橢圓c：5+4=l的左、右焦點分別為凡,乃，M為

橢圓0上任意一點，N為圓￡（43）2+&5）2=1上任意一點，則IA/NLIMQI的最小值為（）

A.729.5B.C.傷+5D-V32+7

【答案】A

【分析】利用橢圓的定義，將IMFJ轉(zhuǎn)化為4.應(yīng)31，結(jié)合圖形求得最小值.

【詳解】如圖，M為橢圓C上任意一點，則應(yīng)41+1加乃|=4，

又N為圓￡（叱3）2+65）2=1上任意一點，

以川1Li力J」Aml（4IA/FZI>IA/VVMA/FZI5，

當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、民共線且M、N在E、乃之間時等號成立.

而尸（）（）l=（）2（）2,

21,0，E3,5，MIEF2J3-1+5-0=^29

所以|MN|」MQ?的最小值為傷5

故選:A

小祺牛力M（25-26高二上?湖北襄陽?期中）已知.是橢圓仁3+a=1的左焦點，p為橢圓c上任

意一點，點M的坐標(biāo)為（5,4），則IPA/1+IPQI的最大值為.

【答案】13

【分析】易知點加在橢圓外，根據(jù)橢圓的定義可知1尸河1+1比/=24+1尸河口〃3憶8+1加&1，即可得解、

【詳解】

得斫4，b=2^c=2,則乃（2,0），

IP/M+SQ1=2。+尻必1」，22憶8+應(yīng).燈2卜

當(dāng)且僅當(dāng)尸在的延長線上時，等號成仁

且應(yīng)31=5（5-2）2+（4-0）2=5，

即|pMl+lp/7]|的最大值為3

故答案為：13

題型08橢圓中焦點三角形周長問題

假典例凝（25-26高二上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知橢圓￡：3+?=1的左右焦點分別為Q/y上頂

點為力，過/］且垂直于力產(chǎn)，的直線與￡父于4、c兩點,則「48C的周長為.

四步