湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第三章圖形的相似》單元檢測(cè)卷及答案

一、單選題

I.如圖，在VABC中，D,E分別是48和AC上的點(diǎn)，。石〃BC,.且AQ=3,DB=2.則

下列式子的比為，3的是（）

AEcBD廠EDcEC

A.-----B.-----C.-----D?-----

ECABBCAC

2.如圖，將VA8C沿8C方向平移至J）月/，點(diǎn)A,B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是力，E,F,

使得應(yīng)::EC=2:3,則VABC與.GEC的面積之比為（）

A.5:3B.25:4C.25:9D.5:2

3.如圖，VABC與廠是點(diǎn)0為位似中心的位似圖形，BC:EF=2:3.若OB=8,則跖

4.如圖，在.A4CD中，對(duì)角線AC8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF7/AB交BC于

點(diǎn)F.若CO=16,則石尸的長(zhǎng)為（）

AD

/^^O\E/

A.6B.4C.—D.8

3

5.如圖，V/1BC與位似，點(diǎn)。為位似中心，若OA:OD=2:1,VAAC的面積為64,

則力所的面積為（）

A.16B.32C.128D.256

6.如圖，已知N1=N2,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABCSZXADE的是（）

。父

ABACABB

A.----=-----B.----=一—C.ZB=ZZ)D.NC=NAED

ADAEADL1E

7.如圖，在矩形A8C。中，AB=2，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,AE±BD,ED=3BE,

則8c的長(zhǎng)為()

金

A.275R-2GC.4D.2

8.如圖，在VA8C中，ZACB=90°，點(diǎn)。在線段C4上，CD=2,AD=7,/BDC=3/BAC,

則BC=().

B

CDA

A8括R96「9石n8石

?-------D?--------------JLz?-------

7755

二、填空題

9.如圖，點(diǎn)G是VAHC的重心，AG1GC,4C=10,那么EG的長(zhǎng)為

10.如圖，VA8C中，DE//I3C,40=1,。區(qū)=1,DE=2,則3c的長(zhǎng)度

II.如圖，點(diǎn)以E分別在VA8C的邊C4、曲的延長(zhǎng)線上，AADES,ACB,如果AB=8,

12.已知，如圖，四邊形A8C。中，ZC=ZADB=90°,AB=5,BD=3,如果△A3。與△BCD

相似，那么3c的長(zhǎng)為.

13.如圖，點(diǎn)石是菱形ABC。的邊A4上，將VA/花沿。七折疊，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸恰好在邊

BC上,若BE=6,BF=5,則。石的長(zhǎng)為.

AEB

三、解答題

14.在如圖的方格紙中，與△Q4B是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形.

(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第二象限血出△048的一個(gè)位似△。人修，使它與△外〃的位

似比為2:1：

(3)分別寫出A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,層的坐標(biāo)：&,B,

(4)已知5OAB的面積為2.5,則四邊形ABB?人的面積為

15.如圖,在VABC中，VA8C的高ADBG,交于點(diǎn)E,連接GO.

⑴試說(shuō)明ADCsBG。的理由;

(2)若CG=3,48=IO,C8=9,求OG的長(zhǎng).

16.如圖，在平行四邊形A8CO中，E為6c邊上一點(diǎn)，連接OE尸為線段OE上一點(diǎn)，且

ZAFE=ZB.

⑴求證：公ADFSADEC；

(2)若48=1。，AD=8瓜AF=4yf3,求。石的長(zhǎng).

17.已知：如圖，在四邊形A8CO中，AD//I3C,44_L3C,點(diǎn)M是邊3c的中點(diǎn)，且

ZADB=ZBDM.

(1)求證：BD2=ADBC;

(2)以BO為一邊作NO3/=NA3。，BF交DM于點(diǎn)、E,交。。于點(diǎn)尸.求證：

2ADDM=DFDC.

18.已知：如圖，V4BC中，ZACB=90°,C。為八8邊上的高，/ABC的平分線晅分別

交。。，AC十點(diǎn)F,E.

⑴求證：CBF^,,ABE；

(2)若A8=10,BC=6,

①求。尸的長(zhǎng)度：②直接寫出VC8歹的面枳.

參考答案

1.C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)AO=3,DB=2,得A8=5,又因

4FADFD?

為得出-ADES-ABC.故嚷=嘿=熬=：,即可作答.

ACABBC5

【詳解】解：???AO=3,DB=2,

:.AB=AD+DB=3+2=5,

,?DE//BC,

??.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

AADECOAABC,

.AEADED3

,?就一瓦一記一S'

故選：C

2.C

【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)、相似三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平移的性質(zhì)得到，從而可得到，利用相似三角形的面枳比等于相似比的平方可得答案.

【詳解】解：??,將VA8C沿8C方向平移至.￡）所，

..DE//AB,

ABCS-GEC,

VABC的面積：0EC的面積=BC2:EC2，

BE:EC=2:3?

8C':￡C=5:3,

???VA8C與GEC的面積之比=25:9,

故選：C.

3.A

【分析】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)位似圖形的定義得到BC//EF,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理

即可得到結(jié)論.

【詳解】解：ABC與雙獷是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

.NABCs.DEF,BC〃EF,

:^OBC^/\OEF,

OBBC

：.——=——,

OEEF

...—8=—2,

OE3

.\OE=12,

:.RE=OE-OR=4,

故選：A.

4.B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行四邊形

的性質(zhì)、線段中點(diǎn)定義可得出CE=!AC,證明△CMS^CAB,利用相似三角形的性質(zhì)求

解即可.

【詳解】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AOC=-ACAB=CD=\6,

2t

???點(diǎn)七為OC的中點(diǎn),

：.CE=-OC=-AC,

24

EF//AB^

???ACEFSACAB,

.EFCEHI.EF1

ABAC164

EF=4,

故選：B.

5.A

【分析】本題考查了位似變換，利用位似的性質(zhì)得到△A8CS￡J)EF,所以

Al)f)A

痣=黑=2:1=2,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.

DEOD

【詳解】解：???VA8C與4)所位似，點(diǎn)。為位似中心,

/.公ABCs公DEF,

?^=^=2:1=2,

DEOD

:.S?BCAB

=4,

S&DF.F~DE

旦=4

SDEF

??SDEF=16.

故選：A.

6.B

【分析】本題主要考查了用似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那

么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)

三角形相似：③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.本題先根據(jù)

Z1=Z2,得出N84C=/A4￡,再根據(jù)相似三角形的判定方法解答即可.

【詳解】解：7N1=N2,

AZBAC=ZDAEf

ARAC

A、添加黑==，可用兩邊及其夾角法判定4cs△ADE,故本選項(xiàng)不符合題意；

ADAE

AR

B、添加黑=￡：，無(wú)法判定△A8CsZkAO￡,故本選項(xiàng)符合題意；

C、添加〃=〃，可用兩角法判定△AACSZXA力石，故木選項(xiàng)不符合題意；

D、添加NC=ZA即，可用兩角法判定△A5CSZVV）凡故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

7.B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，設(shè)8E=x，則OE=3x,

BD=4x,再證明△A4EsZkD4K,利用相似比得到AE="x,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得A8,

根據(jù)45=2,求得x=l,從而得到BO的長(zhǎng)，然后利用勾股定理計(jì)算出AO的長(zhǎng)，根據(jù)矩形

的性質(zhì)即可得出BD=AD.

【詳解】解：「四邊形A8CO為矩形，

:.OB=OD,N8AO=90。，AD=BC,

?；ED=3BE,

..?設(shè)8E=x,則設(shè)E=3x,

/.BD=4x,

-AEYBD,

:,ZAED=ZAEB=9Q0,

Za4E=90o-ZB=ZADE

△ABEsaDAE,

AEDEAE3x

二——=——即Hrt——=——,

BEAExAE

AE=6X（負(fù)值臺(tái)去），

AB=y/AE2+BE2=2x>

,/AB=2,

x=1,

A80=4,

,BC=AD=ylBD?-AB?=2右，

故選：B.

8.C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中列

出關(guān)于x的方程并求的值是解題的關(guān)鍵.作平分線比:交AC于點(diǎn)石，設(shè)=r則

DE=l-x,通過(guò)證明▲"￡>￡：可得BD?=ADDE=7I-x),根據(jù)勾股定理即可求

得人.的值，即可解題.

【詳解】解：如圖，作NABD平分線比?交AC于點(diǎn)E,

設(shè)AE=x,則?:二AO—AE=7—x,

/.ZDBE=/ABE=-/ABD,

2

?JZ.BDC=3ZBAC=ZBAC+ZABD,

/.ZBAC=-AABD

2t

???ZDBE=ZABE=ZA,

AE=BE=x>

又NBDE=ZADB,

??ABDESADB,

—,^BD1=ADDE=7（7）,

ADBD''

BC1=BD1-CD2=BE2-CE2,

7（7-.r）-22=x2-（2+7-x）2,

解得犬=1浣96

4J

9G

BC=>JBD2-CD2=上7月4

I25J~5~

故選：c.

9.10

【分析】本題主要考查三角形的重心及直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握三角形的重心及

直角三角形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵；由題意易得8G:GO=2:l,OG=aAC=5,然后問(wèn)

題可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)G是VAAC的重心，

，8G:GO=2:1,點(diǎn)。是4c的中點(diǎn)，

VAG1GC,AC=\O,

???DG=-AC=5,

2

工8G=2GO=10：

故答案為10.

10.4

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，可證明△ADE得到黑二空，

DEAD

再代俏計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：???O￡〃4C,

???△ADEsM^BC,

.BCAB

,.---=---,

DEAD

VAD=1,DB=\,

/.AB=AD+BD=2,

又；DE=2,

.BC2

??=—，

21

J.BC=4,

故答案為：4.

11.6

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可.

【詳解】解：???.ADEs^ACB,

.ADAE

??,

ACAB

解得：AC=6.

故答案為：6.

s9T12

12.聲二

【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的思想.

根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分類進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：VZADB=90°,48=5,80=3,

，由勾股定理得AD=dAB）-BD，=4，

???△A8O與△8C。相似,

???當(dāng)8c與50為對(duì)應(yīng)邊時(shí)，黑=鐺,

15U/\15

??.BC=變=2

AB5

當(dāng)BC與A。為對(duì)應(yīng)邊時(shí)，＞

ADAB

.“BDAD3x412

..DC=------=----=—；

AB55

912

**?8C的長(zhǎng)為不或《~,

JJ

故答案為：（9或12

JJ

13.6限

【分析】延長(zhǎng)EF相交于點(diǎn)“，過(guò)。作DG_LA8于G,DH人BC于H,先根據(jù)折疊

性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得=HF另CF,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到

2

AD=AB=BC=CD,CD//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可證明DM=EM,

設(shè)AE=x,則叮=x,證明MCFs,EBF,利用相似三角形的性質(zhì)列方程求得4E=9,進(jìn)

而可求得。/=5,DH=1。6,利用菱形的面積可得0G=DH=I0&，證明

RQD4G絲Rt」OC”（HL）可得人G=CH=5.然后在Rt2\/X店中利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)OC、斯相交于點(diǎn)M,過(guò)。作。GJ.A8于G,DHtBCTH,

則ZDGA=ZDGE=ZDHC=90°,

由折疊性質(zhì)得A￡=EF，ZAED=ZFED,DF=AD=CD,

CH=HF=-CF

2t

???四邊形ABC。是菱形，

AAD=AB=BC=CD,CD//AB,

???ZMDE=z71ED.

；?ZMDE=/MED

ADM=EM,

設(shè)AE=x,則EF=x,

?:BE=6,BF=5,

；?BC=CD=AB=AE+BE=x+6,

：.CF=BC-BF=x+i,

*：CD//AB,

/.MCFs,EBF,

.CM_CFMF

''~BE~~BF~~EF^

絲=止!得=9（x+l）=9x+9,

655V755

EM=DM=CD+CM=—x+—

55t

MF=EM-EF=-x+—,

55

636

由x+1得工=9（負(fù)值已舍去），

5x

AAE=9,CH=IcF=-x（9+1）=5,6=6+9=15,

22v7

工DH=A/CD2-CH2=V152-52=10底，

丁S箜依的=AB.DG=BC.DH,

??DG-DH-l（）＞/2，又AZ）—CD,

???Rt^DAG^Rt^DCH（HL）,

：,AG=CH=5,

在Rt^QGE中，GE=AE-AG=4t

JDE=>lDG2+GE2=J(10何+4?=66.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、折疊

性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，是較難的一道填空壓軸題，熟練掌握相

關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加合適的輔助線是解答的關(guān)鍵.

14.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

⑶(-4,-2),(-2,-6)

(4)7.5

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握位似中心的確定方法、位似圖形的

畫法以及位似圖形的面積比與相似比的關(guān)系.

(I)利用位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交十位似中心來(lái)確定點(diǎn)P的位置；

(2)根據(jù)位似比和位似中心在第三象限畫出位似圖形；

(3)根據(jù)位似變換的坐標(biāo)變化規(guī)律求出人,層的坐標(biāo)；

(4)利用位似圖形的面積比等于相似比的平方求出四邊形的面積.

【詳解】(1)解：如圖：P即為所畫；

-2

十o)\

ZQTZ/rj

A

(2)解：如圖：△例層即為所畫;

(3)解：已知A(-以原點(diǎn)。為位似中心，位似比為2:1,且在第三象限,

「?4的坐標(biāo)為(-2x2,Tx2)=(-4,-2),生的坐標(biāo)為(一1x2,-3x2)=(-2,-6),

故答案為：《-2),(-2,-6)；

(4)解：與AQAB的位似比為2：1,

...它們的面積比為4:1,

SdQAB=2.5,

SOAB=2.5x4=10,

二?四邊形A844的面枳為S(〃出—S^=10-2.5=7.5.

故答案為：7.5.

15.(1)見(jiàn)解析

(2)DG=y

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)理解題意，根據(jù)A。.8G是VA8C的高，得出NA￡>C=N8GC=90。，再結(jié)合NC=/C,

貝iJ’ADCsebGC,即可作答.

(2)結(jié)合-ADCs&BGC，故段=段,又因?yàn)镹C=/C,所以△CDGS^CAH,再把數(shù)值

ACBC

代入空二段進(jìn)行計(jì)算，即可作答?

ABBC

【詳解】(1)解:4AoeS-BGC的理由如下：

QA。,8G是VA8C的高，

..ZADC=ZBGC=90°

?/ZC=ZC,

;.ADCs二BGC.

(2)解：由(1)得出AADC^BGC,

CDAC

----=-----,

CGBC

.CDCG

"~AC~~BC

vZC=ZC,

..△CDGs/\C48，

.DG二CG

??CG=3,/W=10,4C=9,

DG3

/.——=-，

109

DG=—.

3

16.(1)見(jiàn)解析

(2)20

【分析】本題考杳的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判

定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NC+N8=180。，ZADF=NDEC,根據(jù)題意得到

ZAFD=ZC,根據(jù)相似三角形的判定定理證明；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：證明：四邊形4BC。是平行四邊形，

.?.NC+N8=180。，ZADF=ZDEC.

1.?ZAFD+ZAFE=180°,ZAFE=/B,

ZAFD=ZC,

MDFsADEC；

(2).,四邊形人BC。是平行四邊形，

..CD=AB=\0,

gDFsADEC,

：.——AD=——DE,

AFDC

.八"ADCD873x10...

..DE=-----------=----產(chǎn)一=20.

AF45/3

17.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及比例

式的證明，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小.

(1)首先證明8M=OM,結(jié)合4?！ā啊?，可以證明N4DA=NO4C=NMOB,再根據(jù)

8M=OM=CM證明VNBC是直角三角形，即可得出Al。8sAzMC,由相似的性質(zhì)可得

ADBD.,,,

—=—?得出結(jié)論A；

Bl)oC

(2)由(1)可知8C=2DM,再證明RJObBsRt，/)8c可得一=—■，所以BD?=DF.DC，

DFBD

又因?yàn)锽D?=AD-BC,所以B。2=AD-BC=AD-(2DM)=2AD-DM.

【詳解】(1)證明：人。BC,

，ZADB=4DBM、

又：4DB=4BDM,

ZADB=Z.DBC=/MDB,

BM=DM,

???點(diǎn)A/是邊5C的中點(diǎn),

，BM=DM=CM,

/./DCM=/CDM,

,:ZDCM+4DBM+NCDM+