專題4.1指數(舉一反三講義)

【人教A版】

題型歸納

【題型1根式與分數指數冢的互化】...............................................................2

【題型2根式的化簡求值】.......................................................................3

【題型3指數幕的運算】.........................................................................6

【題型4指數幕的化簡、求值】...................................................................7

【題型5指數式的給條件求值問題】..............................................................9

【題型6指數哥等式及第的方程問題】............................................................11

【題型7指數幕等式的證明】....................................................................12

舉一反三

知識點1根式與分數指數幕

1.根式

(1加次方根的定義與性質

定義一般地，如果^=(1,那么x叫做a的〃次方根,其中n>\,且WGN*

(1)當〃為奇數時，正數的〃次方根是一個正數，負數的〃次方根

是一個負數，這時，。的〃次方根用符號以表示；

(2)當〃為偶數時，正數a的〃次方根有兩個，這兩個數互為相反

性質

數，記為±5；

(3)負數沒有偶次方根；

(4)0的任何次方根都是()，記作西=()

(2)根式的定義與性質

定義式子，工叫做根式,〃叫做根指數,a叫做被開方數

“(，?為奇數)(nn_/曰'

性質后=<、同(〃為偶數廣(廣混、)=4(〃€N，且Q1)

2.分數指數累

整數指數基指數分數指數呆

1/14

‘幕中

正整數指數暴：a”_正數的正分數指數寤：

的指

nt

a-a.......a(nGN*)數從=帝%>GN*,〃>1)

"冷整數

負整數指數累：拓展正數的負分數指數轅：

到了

"11

an==,——(a>0,wGN*,7/>1

a"=，(〃￡N*)有理戶百n

數

規(guī)定：0的0次方沒有意義；規(guī)定：0的正分數指數哥等于。；0的負分

非零整數的。次方都等于1數指數鼎沒有意義

【注】：分數指數塞是指數概念的又一推廣，分數指數哥是根式的一種新的寫法，不可理解為藍個。相

乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分數指數幕是表示相同意義的量，只是形式不同而已.

【題型1根式與分數指數靠的互化】

【例1】(24-25高一上?河北?階段練習)設。>0,則六的分數指數塞形式為()

13

A.Q「B.a"sC.a~D.QW

【答案】D

【解題思路】根據根式和指數昂的轉化即可得到答案.

【解答過程】

故選：D.

【變式1-1](24-25高一上?全國?假期作業(yè))下列根式與分數指數幕的互化錯誤的是()

A.\jayfd=Q2(a>0)B.X~=—y/x^(x>0)

__________3

12[(T)2=/(X>0)

C.x~y^=>0,y>0)D.

【答案】B

【解題思路】利用分數指數暴的運算法則求解.

3/111

【解答過程】對于A選項，*而==[成==a^(a>0),故A正確;

對于B選項，x4=(iy=^=(x>0),故B錯誤:

2/14

對于c,=4-V7=>°)?故c正確；

_____133

對于D,J(-x)2=(次=(必y=疵(3>0),故D正確.

故選：B.

【變式1-2](24-25高一上?全國?課后作業(yè))將下列根式化成分數指數塞的形式:

(1)7ay/a(a>0)；

(2)x4

⑶油

13

(4)027

【解題思路】(1)(2)(3)(4)將根式化為分數指數系，結合指數暴運算求解即可.

3

-

【解答過程】(1)原式=^

3

-

5

.

【變式1-3】(2025高一?全國?專題練習)把下列根式化成分數指數暴的形式，其中Q>0,b>0

⑴府：

3/14

(2停

(3)J(F)6

【答案】⑴」

(2)。動一5

(3城

【解題思路】根據指數累的概念和根式運算法則進行化簡.

【解答過程】(1)府=言

,八福J1,_1

(2)-^=-=—=a3b2

(3)因為a>0,

所以J(-a)6=J[(-a)丁=|(-a)31=|-a31=a3.

【題型2根式的化簡求值】

【例2】(24-25高一上?江蘇徐州?期中)已知Q<1,則J(a—l)2+^=()

A.-1B.1C.2a-1D.1-2a

【答案】B

【解題思路】根據根式的性質化簡求值即可.

【解答過程】因為QV1,所以J(a-I)?+必=|a-1|+a=1-a+a=1.

故選：B.

【變式2-1](24-25高一上?江蘇揚州?期中)若1VQV2,則，1一+/2-a)"的化簡結果是()

A.IB.-1C.3—2QD?2Q—3

【答案】C

【解題思路】根據題意結合根式的性質運算求解即可.

【解答過程】由l<a<2,得2-a>0,

所以J(1-a)，+J(2-a)，=l-a+|2-a|=l—a+2—a=3-2a.

故選：C.

【變式2-2](24-25高一上?江蘇連云港?期中)下列各式正確的是()

4/14

A.V—8=，(-8>B.J(3-TT)2=3—n

C.Vo77=|a|(n>l,neN*)D.(Va)n=a(n>l,neN*)

【答案】D

【解題思路】利用根式的運算性質即可判斷出正誤.

【解答過程】昨§二一2,幾時=網=海=2,故A錯誤；

7(3-TT)2=|3-TT|=TT-3,故B錯誤：

??%>Ln￡N*,???當〃為奇數時，府=a：當九為偶數時，/=|a|,故C錯誤；

(Va)n=a(n>l,nGN*)成立，故D正確.

故選：D.

【變式2-3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))化簡(1一a)[焉的結果是()

A.B.-C.D.-

【答案】B

【解題思路】先分析Q的取值范圍，再進行根式化簡.

【解答過程】由題意得，。一1>0,即Q>1,

所以(1—好正原=-匠1)4,小=-

故選：B.

知識點2指數幕的拓展

1.有理數指數塞的運算

(I)規(guī)定了分數指數塞的意義以后，指數的概念就從整數指數推廣到了直理數指數.整數指數塞的運算性質對

于有理數指數累也同樣適用，即對于任意有理數/?,s,均有下面的運算性質：

①a5=。'(心0,爐￡Q)；

②")'=仆>0小改)；

③(仍尸。分(a>0力>0Q).

(2)指數福的兒個常用結論：

①當心o時，a>o；

②當4和時，4。=1,而當4=0時，4。無意義；

③若"=叫。>0,且存1),則f

④乘法公式仍適用于分數指數暴.

2.無理數指數累及實數指數累

(I)無理數指數暴

一般地，無理數指數幕a〃(a>0,a是無理數)是一個確定的實數.這樣，我們就將指數塞。丫(e0)中指數x的取值

5/14

范圍從整數逐步拓展到了實數.

(2)實數指數箱的運算性質:

整數指數塞的運算性質也適用于實數指數賽，區(qū)別只有指數的取值范圍不同.

整數指數幕底數、指數實數指數幕底數、指數

的運算性質的取值范圍的運算性質的取值范圍

mnnrxr+!,

a-a=a"^ni,n￡Z、a￡Ra-a=a廠,s￡R,且6Z>0

(a"),n=an,n3「廠=4~尸,s￡R,且a>0

(c仍)"=a""weZ,aGR,bER(ah)''=a'b'R,且QO力>0

3.指數幕運算的一般原則

(1)指數轅的運算首先將根式、分數指數轅統一為分數指數二,以便利用法則計算，還應注意：①必須同底

數恭相乘，指數才能相力口.②運算的先后順序.

(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.

(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母乂含有負指數.

【題型3指數塞的運算】

【例3】(24-25高一上?江蘇宿遷?開學考試)下列各式中，計算正確的是()

A.7n4-7n4=2m4B.m4+in2=771s

C.(—2xy)3=—6x3y3D.(—ah2)3+(ab2)2=—ab2

【答案】D

【解題思路】根據同底數轅的乘法，合并同類項，積的乘方，同底數'幕的除法運算法則依次進行運算即可求

解.

【解答過程】對于A,TH4?64=m4+4=租8,故人錯誤；

對于B,m4+m2m5,故B錯浜；

對于C,(-2xy)3=-8x3y3,故C錯誤；

對于D,(-ab2)3-(ab2)2=-(ab2)3-(ad2)2=-ab2,故D正確；

故選：D.

【變式3-1](24-25高一上?浙江杭州?期中)下列各式中成立的是()

A.(5)=/而B.^(-3)4=V-3

c.y.+y3=(%+y：D.W5=V3

【答案】D

【解題思路】根據指數幕的運算性質逐項分析可得答案.

6/14

【解答過程】對于A,㈢Jn7m-7,故A錯誤；

對于B，4（-3六=■=遮，故B錯誤；

對于C,當x=l,y=2時，Vl3+23=V9=94=3z,（x+y）4=3^,

所以潺”工（x+yV，故C錯誤；

Ij1

對于D,7V5=（91）2=［（32）32=32XK=35=V3,故D正確.

故選：D.

【變式3-2］（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若代數式二W+（x€Z）有意義,則高年+/=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解題思路】根據式子有意義及xeZ可得x=2,進而結合指數靠運算性質求解即可.

【解答過程】由題可得|色_%之0，解得,4x4*又3€Z,所以無=2,

21211

則+訴=X3+2-6=X=2.

故選:B.

【變式3-3］（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若a,b>0,則"靄+［乂一0號一片，（a4

A___2_2RD,_____1___C__2___2UD____2___2

d2（a-+b~）2（『2+產）Ja~+b~'a~+b~

【答案】D

【解題思路】根據分數指數'幕的運算性質求解即可.

【解答過程】啡（-a--居）（a《-b4）］=+心廠1-L）］=-

故選:D.

【題型4指數幕的化簡、求值】

【例4】（24-25高一上?北京平谷?期中）化簡、計算

⑴計臬器-（￡-（?3）。+短.

（2）化簡：2艱（一3行戶）+（-6%+尸）（x,y>0）；

【答案】（1）2

7/14

⑵乃

【解題思路】由指數品的運算，代入計算，即可得到結果.

【解答過程】(1)原式二：一:-1+2=2.

2

(2)原式=[2x(-3)+(-6)卜冷=xy.

12

【變式4?1】(24?25高一上?廣東深圳?期中)(1)計算:Q)2-(;)+6-2x(^)

1

彼尸)2-a4b5

(2)化簡：—(a>0,/)>0)

Vab5

【答案】⑴1：(2)G

【解題思路】利用指數運算法則和根式運算法則計算即可.

2

2

3-?1?

+X

【解答過程】一

36

39,1939,1

-------+-x-=--------H—

21636421616

"J6/--e=i-5=-i-r=a

Va?爐而?施d5b5

【變式4-2](24-25高一上?天津南開?期中)計算:

(1)(一1.8)。+(|)2、府1一焉+回

,^(-2Vab)x(-8Vazb5)..

(2)若a=27,b=16,求'6/，’的值.

Va267x4Va2fe5

【答案】(1)19

(2)6

【解題思路】(1)利用根式與指數'幕運算法則計算即可得出結果；

(2)利用根式的性質和分數指數累的運算性質化簡式子，再代值計算即可.

223

【解答過程】(1)原式=1+(1)X償了_J_+97

2

-X3

4z3\33

/\32X2

+-X(-)1O+

9\2/

149O9

+-X-+

9427

1

16(ab)^(a2b5]^

(2)原式二

4(a2b'/(a2b5)；

8/14

1[2111]S7s1_1

=4a2332b2'364=4(vb~,

因為a=27,b=16,所以原式二4x27；xl6-；=6.

【變式4-3](2025高三?全國?專題練習)化簡求值：

QQ—Q1

(2)e)T+品+2.(e-1)。-8；x冠.

21

(3)(?7)”+(0.002)--10(75-2尸+(V2-V3)0；

o

(4)已知為5+工方=3,計算：，+x：-7]

x+x-1+r2+x~I

【答案】⑴湛

(2#

(3)-v

(4)4

【解題思路】(1)把根式轉化為分數指數哥化簡即可.

(2)(3)分數指數基的運算法則，結合分母有理化計算即可.

(4)多次進行完全平方運算，結合指數吊的運算法則即可求解.

1

【解答過程】(I)^7=9=4=罩=4=*=/

daa,成成滔混

⑵年)九患氏[針「+警+2-23=(歹+鋁+2-2=鴻

2的

-=—

33'

213二」

(3)(y)-+(0.002)4-10(75-2)-1+(V2-V3)°=(Q)廠+(焉廠一提+1=g+1。西-

10(點+2)?]

5-4

=l+10V5-10V5-20+l=-^.

2

11M—

-\

4一9

22X+X2)

/

%+%T=7,(x+%T)2=49,BPX2+X-2+2=49,

2

???X+x~2=47,

9/14

X2+X~2-747-7.

------;---r=---=4.

x+xT+H+xl7+3

【題型5指數式的給條件求值問題】

【例5】（24-25高一上?江蘇南京?期中）已知酒一。一之二遙，則。2一。-2=（）

A.3V5B.±3V5C.21V5D.±21后

【答案】C

【解題思路】利用完全平方公式，平方差公式結合指數運算可得.

-1

【解答過程】由成—=遍得（成一=a—24-a=5,即Q+QT=7,

故成+a~=J（成+a0）=Va4-2+a-1=炳=3,

故a—QT=（Q5+a-z）—af=3V5

故a?-a-?=（a+a-1）（a-a-1）=21V5,

故選:C.

2m+3n

【變式5-1]（24-25高一上?廣西北海?期中）若。巾=3,Q"=4,則aF-=（）

A.24B.12C.2V6D.2>/3

【答案】A

【解題思路】利用分數指數基運算法則得到答案.

333

2m+3n32H4-3

優(yōu)m3nx-33232382

Q-)2=X-X-X-X=

【解答過程】a~~2~(?z(24.

故選:A.

【變式5-2]（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）⑴已知2a=4,求（叱一后）+竊的值;

11

（2）已知Q2+Q-1=0,求3+。）?回）的值.

va8-2

【答案】⑴-V；⑵Y

【解題思路】（1）由2a=4得a=2,進而根據分數指數哥的運算性質求解即可；

（2）根據分數指數新的運算性質求解即可.

【解答過程】（1）由2a=4,得a=2,

則-必）+=可=2"-22=-V2=-y.

10/14

(2)因為Q?+a—1=0,則次=1—a,a4=(1—a)2=a2—2a4-1=2—3a,

=g2+a戶-a?_1-?_a_1

2a4-2a4-2-3a3*

【變式5-3](24-25高一上?江蘇南通?階段練習)已知=2巡(工＞0),求下列各式的值:

（2）^

顯+及

【答案】（1嚴

嶗

【解題思路】（1）將原式平方后可得/+“-2=14,再配方后可得%+%T=4,故可求原式的值;

（2）結合（1）中的結果配方可得￡+”《=乃，故可求原式的值.

【解答過程】（1）因為3-=2百，故工2+%-2=12+2=14,

故為2+%-2+2=16,而x>0,故X+%T=4,

痂_（x_x-l）（x+xT）_273x4_4遍

14="br=-?

（2）由（1）可得%+%T=4,故%+%T+2=6,

故"+x~=V6,故:+x:=4==平.

xi+x-T.763

【題型6指數幕等式及鬲的方程問題】

【例6】（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）方程3&-1=：的解是（）

A.-V2B.C.V2D.《

22

【答案】B

【解題思路】先將方程化為同底數幕的形式后，再求解即可.

【解答過程】由3夜》一1=1,得3企尸1=3-2,

所以近％-1=-2,>/2x=-1?

解得％=-y.

故選:B.

【變式6-1]（2025高一?全國?專題練習）方程3》T=[的解是（）

11/14

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】B

【解題思路】化簡指數方程為3￡」=3%即可解出.

【解答過程】???方程3》-1=/

.\3X-1=3-2,

X—1=-2,

J.x=-1,

因此方程3尸1=：的解是x=-l.

故選：B.

【變式6-2]（2024高一?全國?專題練習）方程5》T?103x=8、的解集是（）

A.{14}B.8C.卜,；}D.[4,1}

【答案】B

【解題思路】根據題意，先把1。3幺轉化為53X.23X,且8*=23*,然后再化簡求值即可.

【解答過程】原方程可化為：5*一】?53X.23、=23＞，即54XT=1,

解得：%=;.

4

故選：B.

【變式6-3]（2025高一?全國?專題練習）方程4-二白的解為（）

16

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】C

【解題思路】由4-1=白=4-2,再利用指數函數的單調性求解.

16

【解答過程】解：???4XT=3=4-2,

16

AA-1=-2,

*.x--1.

故選：C.

【題型7指數幕等式的證明】

【例7】（2025高三?全國?專題練習）設a,b,c都是正數，且3a==6。，求證：-=-+^

cab

12/14

【答案】證明見解析

【解題思路】令3a=2。=6。=9>0）,得到3=油，2=4,6=金.由3x2=6建立等量關系便得證.

【解答過程】令3a=2》=6，=￡（￡>0）,則3=已，2=《，6=5.

很顯然有日=上??」+：=1.

abc

【變式7-1]（2025高—全國?專題練習）已知a>0且aW1,（2a）,n=a,（3d）m=2a,求證；俱）=2".

【答案】證明見解析

【解題思路】根據題意，由器=弓=2,得到（|『二2,即可得到證明.

【解答過程】證明：???a