專題01指數(shù)塞的拓展，指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點(diǎn)

整數(shù)指數(shù)宮的概念及其運(yùn)算性質(zhì)

根式的概念和運(yùn)算法則

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念和運(yùn)算法則

知識(shí)清單

有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

，無(wú)理數(shù)指數(shù)毫

實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

由根式的意義求范圍

利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值

指數(shù)幕的拓展及運(yùn)算性質(zhì)

有限制條件的根式的化簡(jiǎn)

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的互化

題型精講指數(shù)幕的化簡(jiǎn)與求值

整體代換法解決條件求值問(wèn)題

解指教方程

指數(shù)幕的等式證明問(wèn)題

辱的綜合應(yīng)用問(wèn)題

「練基礎(chǔ)

強(qiáng)化訓(xùn)練練提升

J練創(chuàng)新

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)

1.理解根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)某的含義，并且能進(jìn)行兩者之間的互化。

教學(xué)目標(biāo)2.掌握根式的性質(zhì)，并能運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式的運(yùn)算。

3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)會(huì)化簡(jiǎn)較復(fù)雜的運(yùn)算式子。

1.重點(diǎn)：掌握無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)指數(shù)基的計(jì)算。

教學(xué)重難點(diǎn)

2.難點(diǎn)：掌握根式的性質(zhì)，并能運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式的運(yùn)算.

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01整數(shù)指數(shù)累的概念及運(yùn)算性質(zhì)(重點(diǎn))

1、整數(shù)指數(shù)募的概念

(1)=a?a?????a(nGZ*);

n加

(2)a°=(a*0);

(3)an—(a0,nEZ*).

2、運(yùn)算法則

(1)am-an=

(2)(am)n=awn；

(3號(hào)=am~n(m>n,aH0)；

(4)(ab)m=.

【即學(xué)即練】

I.(2025高二上?黑龍江?學(xué)業(yè)考試)已知Q>0,則盛=()

A.應(yīng)B.Q3C.Q2D.a

2.(24-25高一上?江西贛州?開學(xué)考試)下列運(yùn)算正確的是()

A.a2-a3=a6B.(-2a2)3=-6a6

C.(3a+l)(3a-l)=9a2-lD.(2a3-a2)-e-2a=2a-1

知識(shí)點(diǎn)02根式的概念和運(yùn)算法則(重點(diǎn))

1.幾次方根的定義

若(nEN\n>l,y6/?),則x稱為y的幾次方根.

幾為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)y的奇次方根有,是—,記為；負(fù)數(shù)y的奇次方根有,是—,記為—：

零的奇次方根為,記為.

注為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)y的偶次方根有,記為：負(fù)數(shù)偶次方根；零的偶次方程為一，記

為.

2.兩個(gè)等式

(1)當(dāng)n>l且TIEN?時(shí)，(時(shí)=a；(2)M=『何為奇多

I)1|可(九為幽)

【即學(xué)即練】

1.(24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))下列各式正確的是()

A.al)=\B.7(Z2)7=-2C.可=—2D./=Q

2.(24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))求下列根式的值.

(1)7(-2)4;

(2)如_兀)5;

(3)y(x+l)4.

知識(shí)點(diǎn)03分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的概念和運(yùn)算法則(重難)

為避免討論，我們約定Q>0,ri,mEN\且m,ri互質(zhì)，分?jǐn)?shù)指數(shù)轅可如下定義：

(l)an=_____；

m

(2)6=(Va)m=;

上1

(3)(1?=—

an

【即學(xué)即練】

I.(24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))VTV^(a>0)的分?jǐn)?shù)指數(shù)凝表示為()

A.Q2B.Q2C.Q4D.都不對(duì)

2.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))若m=VL則卜仃.4信=()

A.64&B,3275C.64D.128或

知識(shí)點(diǎn)04有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算(重難)

1.有理數(shù)指數(shù)零的運(yùn)算性質(zhì)

設(shè)a>0,b>0,a.pEQ,則有：

⑴.。夕=aa+fi.

(2)(心)。=曉&

(3)(a/?)a=aaba;

當(dāng)Q>0,p為無(wú)理數(shù)時(shí)，aP是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)仍適用.

2.指數(shù)幕的一般運(yùn)算步驟

有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先進(jìn)行.負(fù)指數(shù)基化為.底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定貨號(hào)，底數(shù)是

小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要注意公式：a2—b2=(a—b)(a4-/?),(a±b)2=a2+2ab4-b2^(a±b)3=a3±

3a7b+3ab2±b3,a3—b3={a-b)(a2+ab+b2＞),a3+b3=(a+b)(a2—ab+b?)的運(yùn)用,能夠簡(jiǎn)化運(yùn)

算.

【即學(xué)即練】

1.(24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))(I)化簡(jiǎn)：("之人。力＞o).

妍匕4

2-2

(2)已知x--=2瓦＞0),求；7：.

\7X+X

2.（24-25高一上.全國(guó)?周測(cè)）⑴求值：畝+（四一2尸+0.75八g）%（6丁?

（2）設(shè)加^=2,且m>0,求紇安的值.

mx+m~x

知識(shí)點(diǎn)（）5無(wú)理數(shù)指數(shù)累（重難）

一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)幕〃（a>0,a為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)尋的運(yùn)算性質(zhì)同樣適

用于無(wú)理數(shù)指數(shù)零.

定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)轉(zhuǎn)之后，棄的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍.

【注意事項(xiàng)】

無(wú)理數(shù)指數(shù)幕的兩注意

（1）它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；（2）它是有理數(shù)指數(shù)哥無(wú)限逼近的結(jié)果.

【即學(xué)即練】

I.計(jì)算：

(1)(2^)°5-(3.14)°-(3獷+1.5-2

+y/y/a~7V^(a>0)

2.(24-25高一上?全國(guó)?周測(cè))已知函數(shù)/?3)=￡(X>0)

(1)若/(%)+/(%T)=3,求3+XT的值；

(2)若g(%)=/(x)+念,求函數(shù)y=g(x2)-3g(x)的最小值.

知識(shí)點(diǎn)06實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)（難點(diǎn)）

將指數(shù)累從整數(shù)指數(shù)哥拓展到實(shí)數(shù)指數(shù)幕后，有以下運(yùn)算性質(zhì)成立:

設(shè)a>0,r,sGRt則

（1）aras=：

⑵（"）'=；

（3）（aby=?

【即學(xué)即練】

3

1.（2024秋?廣西柳州.高一柳州高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）⑴化簡(jiǎn)：（其中a>0）；

2n

aT

（2）化簡(jiǎn)：（。一切6）（-4。廠1）+12（。-6?匕）'（其中a,方>0）.

題型精講］

題型01由根式的意義求范圍

【典例1］求使等式J（a-3）（1-9）=（3-a）V7不I成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為

方法技巧

由根式的意義求范圍

對(duì)于奇次方根而言，其被開方數(shù)為全體實(shí)數(shù)，對(duì)于偶次方根而言，其被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，若根式位于

分母位置，此時(shí)其被開方數(shù)不能為0,根據(jù)各限制條件列不等式組即可求得參數(shù)的取值范圍.

一【變式1?1］若？4a2一4。+彳=VTF,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a￡RB.a=0C.a>-2D.a<-2

【變式1-2］滿足方程Jx+5_4V7TT+Jx+10_67741=1的實(shí)數(shù)解工的個(gè)數(shù)為.

【變式1?3】求使等式J（Q-3）（a2-9）=（3-成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型02根式的化簡(jiǎn)與求值

【典例2】(2024秋.江蘇南通.高一統(tǒng)考階段練習(xí))化簡(jiǎn)：?兀-41+&-3)3=()

A.IB.-JC.7-27rD.2n-7

方法技巧

根式的化簡(jiǎn)與求值的策略

1.此類問(wèn)題應(yīng)熟練應(yīng)用=詼沆(a>0,771,71GN\_Qn>1).

2.當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開萬(wàn)數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕寫出，然后再用

性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【變式2?1］若丫=生萼三+16*則町+y的立方根為.

【變式2-2］使得等式=*成立的實(shí)數(shù)a的值為.

【變式2?3】計(jì)算下列各式的值：

(1)(-3^)4+(0.002)4-10x(V5-2)-1+(V2-V3)°;

⑵10。3W+/g25+/g4+7'0972.

題型03有限制條件的根式的化簡(jiǎn)

【典例3】(X—J10一=J10+4"?求a+b=----

方法技巧

多重根式的化簡(jiǎn)策略

對(duì)于多重根式的化簡(jiǎn)，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全n次方，再解答，或者用整體思想來(lái)解題.化簡(jiǎn)

分母含有根式的式子時(shí)，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可.

212

【變式3-1】已知a>匕>0,a24-b2=4ab,則^-----的值為.

【變式3-2］若xyH0,則等式Jx2y3=-%八萬(wàn)成立的條件是

A.x>0,y>0B.x>0,y<0

C.x<0,y>0D.x<0,y<0

【變式3?3】設(shè)awR,且最一Q-：=2，求。一。一1=.

題型04根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化

【典例4】已知函數(shù)f（x）=「二；：：。，則/（/（五）》

方法技巧

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化策略

根式是分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的另一種形式，因此兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化.

⑴根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)索時(shí)，根指數(shù)為分母，被開方數(shù)的指數(shù)為分子，即

〃^=。"（。>0,孫〃為正整數(shù)，〃>1）;

⑵分?jǐn)?shù)指數(shù)哥化根式時(shí)，分母為根指數(shù),分子為被開方數(shù)的指數(shù)，即

="（4>0,〃?,〃為正整數(shù)，〃>1）,負(fù)指數(shù)取倒數(shù)后再轉(zhuǎn)化.

【變式4?1】（多選）下列運(yùn)算（化簡(jiǎn)）中正確的有（）

A.(加)?(a-2)-3=Q2

B.(xa-1y)a-(4y~a)=4x

C?[(1-V2)2]5-(1+V2)-1+(1+V2)°=3-2V2

D.2a3b3?(—5a3b3)4-(4Va4b5)=—

【變式4-2】化簡(jiǎn)：

⑴怎尸-8：+上萬(wàn)+9

⑵3版(a>0)

【變式4-3】計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）:

(1)(’2|)°+2-2x(23)2_(001產(chǎn)；

⑵(2寸+0.1-2+Q然_3d+青

(3)(?-22?-3)(—4a-1b)*(12。-4b-23；

(4)2Va2+4Va?b-3\/b^-

題型05指數(shù)事的化簡(jiǎn)與求值

【典例5］已知a=-.=芥則里鬻J上

方法技巧

指數(shù)幕的化簡(jiǎn)與求值策略

指數(shù)轅的四則運(yùn)算是i類常見題型，其運(yùn)算順序是：有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，無(wú)括號(hào)的先作指數(shù)運(yùn)

算，再作加減乘除這四則運(yùn)算（先乘除，后加減）.

進(jìn)行指數(shù)哥的綜合運(yùn)算的具體方法有:幕的運(yùn)算性質(zhì)法、轉(zhuǎn)化法、湊公式法.

1.幕的運(yùn)算性質(zhì)法

即利用書本上所講述的三條寤的運(yùn)算性質(zhì)達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的歸的

2.轉(zhuǎn)化法

在指數(shù)累的綜合運(yùn)算中，往往需要用到轉(zhuǎn)化的思想，常見的轉(zhuǎn)化技巧有：

①小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)零；

②如果指數(shù)是負(fù)數(shù),底數(shù)是分?jǐn)?shù),那么對(duì)調(diào)底數(shù)的分子和分母并將負(fù)指數(shù)變?yōu)檎笖?shù)；

③把分?jǐn)?shù)指數(shù)第、負(fù)指數(shù)’曷看成一個(gè)整體，借助有理式中的乘法公式及因式分解進(jìn)行變形根式的化簡(jiǎn)結(jié)

【變式5?1】下列各式中成立的是()

A.O=m7n7B.^(―4)4=V-3

C.\jx3+y3=(x4-y)*D.=V3

【變式5?2］若/(幻=我一;H，則滿足/⑺V0的"勺取值范圍

【變式5?3】下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化中，正確的是()

A.C)B.，=也

=

C.(xy工0)D.^I'y^~^2(y<0)

題型06整體代換法解決條件求值問(wèn)題

［典例6】若最+口號(hào)=3，則/+a1=

方法技巧

整體代換法解決條件求值問(wèn)題

對(duì)于“條件求值''問(wèn)題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換''或"化簡(jiǎn)后代換''方法求值.對(duì)哥

值的計(jì)算，一般應(yīng)盡可能把新化為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)凝，再考慮同底新的運(yùn)算法則以及乘法公式.

【變式6?。已知%>0,則色&竺2的值為.

X-X-1

【變式6?2】已知正數(shù)m、幾滿足3m.9n=9,則三+三的最小值為()

mn

A.2V6B.4+2V3C.8+4百D.8+2有

【變式6-3］若實(shí)數(shù)a、b、c滿足全+愛=1,*+次+.=1，貝k的最小值是.

題型07解指數(shù)方程

【典例7】W卜列方程.

(1)2,"U：

(2)4'+2m—3=0.

方法技巧

指數(shù)方程的類型及求解費(fèi)略

求解指數(shù)式方程的關(guān)鍵是通過(guò)指數(shù)運(yùn)算進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，指數(shù)式方程常見的類型有:

(1)〃"')=優(yōu)<=>/(x)=g(x);

(2)F(ax)=O.

類型(1)通過(guò)同底法可解，類型⑵常利用換元法求解.

一【變式7-11(2025?上海靜安?二模)指數(shù)方程4，-6x2，-16=0的解是.

【變式7-2］解下列指數(shù)方程:

⑴32r=(3『

(2)9'+3用-4=0；

(3)62X+4=33X-2V+8.

題型08指數(shù)幕的等式證明問(wèn)題

【典例8-1】證明下列恒等式.

2LJ_X_L_z_2.

(1)(ax-y)z-x.(ay-z)x-y.(az-x)y-z=]g>0);

(2)aVcVmb+^-aVb'Vrn^-bVcVma1^=1(m>0).

??.iiii

【典例8-2】已知ax3=by3=cz"及,+y+W=1，求證(ax2+by2+cz2)3=a，+b'+c3.

方法技巧

指數(shù)幕等式的證明策略

1.證明等式A=B的常用思路：

思路一：A=C,B=CA=B.

思路二：A-B=()A=B.

思路三：aA=aBA=B.

思路四：2=1A=B.

2.有關(guān)條件等式的證明方法：

對(duì)條件等式的證明問(wèn)題，首先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形，對(duì)連等式有時(shí)要引進(jìn)字母參數(shù)，設(shè)而不求，通過(guò)

轉(zhuǎn)化證明等式的左右兩端相等，要注意引用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì).

【變式8】已知2"?3"=2’口^二伉求證：(。一l)(d-l)=S-l)(c-l).

題型09幕的綜合應(yīng)用問(wèn)題

【典例9】已知f(x)==±,g(x尸

D3

(1)求證:f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù);(已知y=x《在R上是增函數(shù))

(2)分別計(jì)算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成

立的一個(gè)等式，并加以證明.

方法技巧

鬲的綜合問(wèn)題破解策略

解決有關(guān)鼎的綜合問(wèn)題時(shí)，首先要善于觀察、分析，并對(duì)它進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸?、處理、變形，以?chuàng)設(shè)運(yùn)用

公式和幕的有關(guān)性質(zhì)的條件，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值即可；其次，要注意方程思想、整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化、

換元等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

【變式9］己知f(x)=ax-a'x,g(x)=ax+a'x(a>1).

(1)求［f(X)F-［g(X)F的值;

(2)設(shè)f(x)-f(y)=4,g(x)-g(y)=8,求/的值.

強(qiáng)化訓(xùn)練

練基礎(chǔ)

1.12024秋?北京?高一?？计谥?將海?魚化成分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式是()

A.2、B.2器C.23D.2*

125

2.(24-25高一上?全國(guó)?周測(cè))若3m=5,3,=6,則下列式子值為力的是()

36

/八m-n+lrrQ9

A.C)B.325m-6nC.33m-2nD.3m3-M

3.(24-25高二下?天津河?xùn)|?期末)己知p：6=〃,q：2a=2匕則〃是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.(2025高二下?湖南婁底?學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/。)=占，則對(duì)?任意實(shí)數(shù)x,有()

A./(-%)+/(x)=1B.f(-x)-f(x)=Q

C./(-x)-/(X)=3D./(-X)+/(X)=0

5.（24-25高二下?廣西?階段練習(xí)）若5m=2,5n=3,則5十的值為（）

A.迫B.這C.出

399

6.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）若a,b>0,則**（-屋”仆）（屋卜-C）]二（）

A]R_]r2_2

22D，22U，22

A?2（a-+b-）2（-2+廠2）Ja~+b~~a~+b~

7.（多選）（2025?河北衡水?高一校考階段練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)m方，c滿足等式9a4+166=81-24Q2遍,

9a2_i6VF=8c，則c的值可能為（）

A.--B.--C.-D.-

2288

8.（多選）（2025?山東泰安?高一泰安一中?？计谥校┤粽龑?shí)數(shù)外?滿足Q+28=L則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.工+；有最小值9

ab

B.2。+4b的最小值是2班

c.時(shí)有最大值;

4

D.02+垓的最小值是:

9.（2025?廣西柳州?高一柳州高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若4=128,則％的值為

10.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若Q<2,則他一2『=.

II.（2025?江蘇?高一專題練習(xí)）已知最+。弓=遍（。>0），求下列各式的值：

（l