專題5.3誘導(dǎo)公式(舉一反三講義)

【人教A版】

題型歸納

【題型1誘導(dǎo)公式一】...........................................................................2

【題型2誘導(dǎo)公式二、三、四】...................................................................3

【題型3誘導(dǎo)公式五、六】.......................................................................4

【題型4三角函數(shù)的化簡、求值——誘導(dǎo)公式】....................................................5

【題型5三角函數(shù)恒等式的證明一誘導(dǎo)公式】....................................................7

【題型6誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】...................................................................8

【題型7同角基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】.................................................10

舉一反三

知識點(diǎn)1誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式

(1)誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六七八

不33

角+a(A￡Z)江+a-a7t—a尹a］兀+a

5J-aa~2^~

遨sina-sina-sinasinacosacosa-cos?-cosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sinasina-sina

砌tanatana-tana-tanacota-cot?-cotacotcc

余切colacot?-cota-cot?tana-tan?-tan?tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限.函數(shù)名改變，符號看象限.

(2)誘導(dǎo)公式的作用

誘導(dǎo)公式作用

公式一將任意角轉(zhuǎn)化為0?2元的角求值

公式二將。?27r的角轉(zhuǎn)化為0?乃的角求值

1/12

公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值

公式四將]?兀的角轉(zhuǎn)化為0?]的角求值

公式五實(shí)現(xiàn)正弦與余弦、正切與余切的相互轉(zhuǎn)化

公式六實(shí)現(xiàn)正弦與余弦、正切與余切的相互轉(zhuǎn)化

2.一組重要公式

(l)$in(njr+a)=(-1)"sina(n?Z).

①當(dāng)〃=2k(k￡Z)時，由誘導(dǎo)公式有sin(2A7r+a)=sina=(-1)"sina(%￡Z).

②當(dāng)n=2k+1(kWZ)時,由誘導(dǎo)公式有sin[(2k+1)兀+a]=sin(2E+兀+a)=sin(兀+a)=-sina

=(-l)2A+,-since(A：GZ).

(2)cos(nit+?)=(-1)ncosa(n￡Z).

①當(dāng)〃=2k(A￡Z)時，由誘導(dǎo)公式有85(2依+6()=8$6(=(-1)"(：0$0/￡2).

②當(dāng)〃=2A+1(%￡Z)時，由誘導(dǎo)公式有cos[(24+1)兀+a]=cos(2A7r+7r+a)=cos(7r+a)=-cosa

=(-1)2*+,-cosa(JteZ).

類似地，有：

(3)sin(〃兀-a)=(-1)”?sina(〃￡Z).

(4)cos(〃兀一a)=(-1)"cosa(n￡Z).

3.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.

(2)化值：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

4.用誘導(dǎo)公式求值

用誘導(dǎo)公式求值時，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有

與一a與5+a,5+a與5-a,與a等，常見的互補(bǔ)關(guān)系看一。與普+0,與

,一夕，，+夕與苧一。等.

【題型1誘導(dǎo)公式一】

【例1】(24-25高一上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí))sin誓=()

A.B.1C.D.R

2222

【答案】D

【解題思路】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)值即可得解.

(解答過程】sin牛=sin(674n+舒=sing=當(dāng)

2/12

故選:D.

【變式1?1】(24-25高一下?陜西渭南?期中)sin390。的值為()

A.gB.烏C.1D.

2222

【答案】C

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可.

(解答過程】sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=

故選:C.

【變式1-2](24-25高一上?廣東廣州?期末)cosl47(r=()

V3D1C1n近

AA.——B.--C.-D.-

2222

【答案】D

【解題思路】根據(jù)二角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡得到COS1470。=COS30。，即可求解.

【解答過程】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得COS1470。=cos(4x360。+30。)=cos30。=冬

故選：D.

【變式1-3](24-25高一上?廣東?期末)tan(-300°)=()

A.V3B.1C.—

J

【答案】A

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡計算即可.

【解答過程】tan(-300°)=tan(-300°+360°)=tan60°=V3.

故選：A.

【題型2誘導(dǎo)公式二、三、四】

【例2】(24-25高一上?廣東汕頭?期末)cos甘)=()

A.B.--C.j

222

【答案】A

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡計算即可.

[解答過程]COS(等)=cos(4n+=COSY=COS(IT—"=—cos]=—

故選：A.

3/12

【變式2-1］（24-25高一下?安徽?開學(xué)考試）cos855。的值是（）

A.1B.C.4

222

【答案】D

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式求值.

【解答過程】cos855°=cos(720°+135°)=cosl35°=cos(180°-45°)=-cos45°=-y.

故選：D.

【變式2-2］（24-25高一上?云南德宏?期末）sin2025°的值是（）

A.-立B.立C.更D.

2222

【答案】A

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值.

【解答過程】sin2025°=sin（5x360°+225"）=sin2250

=sin（180°+45°）=-sin450=-y.

故選：A.

【變式2?3】（24-25高一上?廣東汕頭?期末）cos330°+tan600°=（）

【答案】D

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡即可求出.

【解答過程】cos330°4-tan600°=cos(360°-30°)+tan(360°+180°+60°)

=cos(-30°)+tan(180°+60°)

=cos300+tan60°=-y+V3=苧，

故選：D.

【題型3誘導(dǎo)公式五、六】

【例3】（24-25高一下?廣東湛江?階段練習(xí)）若cos（a+小="則sin（a（）

B

A-I--lC-iD.V

【答案】D

【解題思路】借助誘導(dǎo)公式計算即得.

4/12

【解答過程］sin(0-3=sin(a+1一)-=sin(a+--cos(a+g)=-'

故選：D.

【變式3-1］（24-25高一下?遼寧沈陽?期中）sin（0-3=（）

A.sinSB.-sin0C.cos3D.-cos。

【答案】D

【解題思路】由誘導(dǎo)公式化簡，即可得到結(jié)果.

【解答過程］sin（0_1）=-sinQ-8）=-cosO.

故選：D.

【變式3-2］（25-26高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）若cos6一a）=右則sin（a+］=（）

A，--50B-5JC--5DU'-5

【答案】B

【解題思路】通過對所求式子進(jìn)行變形，利用已知條件得出答案即可.

［解答過程】cosC-a）=|,.'.sin（"+'）=sin［^-Q-a）=cosg-a）=|.

故選：B.

【變式3-3］（25-26高一上?全國?單元測試）已知cos（2x-胡=-g則sin停一2%）=（）

A.手B.一夸C.1D.

2222

【答案】C

【解題思路】因?yàn)椋ǎ?2%）+（2%-弓）=一會利用誘導(dǎo)公式求解.

【解答過程】因?yàn)镃OS（2X-F）=-%

則sinQ—2xj——sin（2x—三）——sin［（2Y—弓）4-——cos（2x—日）-j.

故選:C.

【題型4三角函數(shù)的化簡、求值——誘導(dǎo)公式】

【例J4］（25-26高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）cos（~^）+siny=（）

A.1+4B.1C.-1+"D.-1

2222

5/12

【答案】D

【解題思路】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡求值即可.

【解答過程】cos(一等)+siny=cos手+siny=-cos：-sin]=-1-y.

故選：D.

【變式4-1](25-26高一上?全國?課后作業(yè))已知aW(0,?且工、+~^=6,則。=()

\2/cosz(2025n+a)sin@-a)

A.-B.-C.-D.—

36412

【答案】A

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡已知等式，可得cosa=g結(jié)合角的范圍，即得答案.

【解答過程】因?yàn)?,/”,、+-^~\=6,

cos^(2025n+a)

所以一V+」---6=0.解得」一=2或」一=一3,故cosa=；或cosa=一劣，

cos,aCOSCTcosacosa23

由于aE(0,富則cosa=[,所以a=g,

故選：A.

【變式4-2](24-25高一上?全國?課后作業(yè))化簡COS2(180。+a)tan(—a+180°)—2sin(-180°+a)cos(—a).

【答案】sinacosa

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可求解.

[解答過程】原式=cos2a(—tana)—2(—sina)cosa=cos2a(—+2sinacosa=sinacosa.

【變式4-3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))化簡下列各式并求值：

(l)2siny+3cos(-IT)+tan￡；

(2)cos(-495°)sinlll0O+sin3900cos(-780°).

【答案】(1片一1;

(2苧

【解題思路】直接利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【解答過程】(1)2sin^+3cos(-n)+tan7=2sin(2n+7)4-3cosn+

2623

=2sin^-3+-1.

233

(2)cos(495°)sinlll00Isin390°cos(780°)

6/12

=cos(-360°-135°)sin(3x360。+30°)+sin(360°4-30°)cos(-7200-60°)

=cos(-135°)sin300+sin30°cos(-60°)=(-x1x1

【題型5三角函數(shù)恒等式的證明——誘導(dǎo)公式】

【例5】(24.25高一上?上海?課堂例題)證明：tan(2nr)sin(；2葭)c嘴上)cosgx)=加％.

sin(x+彳)ws(j-x)

【答案】證明見解析

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡即可.

-tanx(-sinx)cosx(-cosx)

【解答過程】左邊=--------------：---------=tanxcosx=sinx=右邊,

-cosxsinx

(

所以tan(2n-x)sin(-2ir-x)cos(6TT-x)cosTT-x)=sinx.

sin(x+y)cos售r)

【變式5?1】(24?25高一上?上海?課后作業(yè))已知sin(a+/?)=1,求證：tan(2a+。)+tan0=0.

【答案】證明見解析.

【解題思路】由已知可得a=2kTT+]-6(kwZ),代入等式左邊，再利用誘導(dǎo)公式推理即得.

【解答過程】由sin(a+/?)=1,得a+夕=2/nr+1(kWZ),則。=2kn+：—夕(kEZ),

因此tan(2tz+/?)+tan/?=tan[2(2/cu+]—夕)+。]+tan/?

=tan(4/cn+n—20+0)+tan/?=tan(4/cir+n-/?)+tan/?

=tan(iT-6)+tan/?=—tan/?+tan/?=0.

所以原等式成立.

【變式5-2】(2。25高一?全國?專題練習(xí))求證：吧竽零半黑型=一tana

【答案】證明見解析

【解題思路】對等式左邊用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡證明

【解答過程】左邊3。=一tana=右邊,所以原等式成立.

-cosasma

【變式5?3】(24?25高一上?全國?課后作業(yè))⑴求證：⑶館…)嗎[2…)雪供…)=_

sir(a+y)cos(a+y)

/r、?8n、sin(母+a)+3cos(a-與)m+3

(2)設(shè)tan(a+3)=m，求證.，殺——2^-=—.

'sin——a)-cos(gI7)m+i

【答案】(l)證明見解析；(2)證明見解析.

【解題思路】(I)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡等式中結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一側(cè)，即可證結(jié)論.

,缶〃處、"+包X/1\上;七_(dá)tan(-a)sin(-a)cos(-a)_(-tana)(-sina)cosa_sin2a_sin2a_sina

[解口理程]()左見siii[2n——-siti[-(-a)]cus[-(1-u)J---csasiuu~-cusa

7/12

tana=右邊，所以原等式成立.

/八七、十.t-,4.sinl7r+(T+cr)]+3cosK?+y)-3zr|-sin(y+a)-3cos(cr+y)tan(a+y)+3巾+3七夕匕匚[、[石3—3+

⑵方法，：左邊一加4,二…叩屋翱一』勒)3扇)一崢“」"右邊，所以原等式成立

方法2：由tan(a+與)=血，得tan(a+1)=m,

所以，等式左邊」;7十廣寫\二^2?=瞽右邊,等式成立.

sin[27r+n-(a+y)]-cos[2^+7r+(a+-)Jsin(a+y)+cos(a+y)an(a+y)+lni+1

【題型6誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】

【例6】(24-25高一上?云南?期末)已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—1,2),則cos傳+a)=()

A一醇B一匹C*D更

d55J5U'5

【答案】C

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解可得.

【解答過程】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,2),所以0P=J(-l)z+22=遙,

所以cos償+a)=sina=專=等.

故選:C.

【變式6-1](25-26高一上?全國?課前預(yù)習(xí))已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為46,一|),則()

44

A.tan(n—a)=-B.sin(n+a)="

C.cosQ-a)=-1D.sin(y+a)=|

【答案】C

【解題思路】根據(jù)交點(diǎn)求出sina=-1,cosa=gtana=-p結(jié)合選項驗(yàn)證即可.

554

【解答過程】由題得sina=-：,cosa=[tana=-：.所以tan(n-a)=-tana=：,A錯誤；

5544

sinfir+a)——sina—|,B錯誤；cos(1—a)-sina一—|,C正確；sin得+a)——cosa——D錯誤.

故選：C.

【變式6-2](24-25高一下?河南?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角a,￡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，始邊與工

軸的非負(fù)半軸重合，終邊。40B分別與單位圓交于點(diǎn)/,B,已知5＜。＜五，乙408=%且點(diǎn)

4LLZ

A的縱坐標(biāo)為"

8/12

（2）求點(diǎn)8的坐標(biāo).

【答案】（1反

(2)B(T，|

【解題思路】（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)可直接寫出sina、cosa、tana,然后由誘導(dǎo)公式化簡代數(shù)式后代入對應(yīng)值即可

求得結(jié)果;

（2）利用誘導(dǎo)公式即可得到sinB、cos/?,即可得到點(diǎn)8的坐標(biāo).

【解答過程】（1）由題意可知：則n)1lsi.na=4cosa=3tana=-4

所以等『=*='=：

cost--al-smatana4

（2）由題意可知夕=a+%

sin/?=sin(a+/)=cosa=|

4

cos/?=cos(a+-J=—sina5-

【變式6-3］（24-25高一下?河南南陽?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a和鈍角0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)

重合，始邊與“軸的非負(fù)半釉重合，終邊分別與單位圓交于4B兩點(diǎn),且。

9/12

(1)若點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為5求sina+cos/?的值;

⑵求韋詈鸚的值.

cos(n-/?)+sin+aj

【答案】(1)0

Q)-l

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求值即可.

【解答過程】(1)由題意：夕=]+a，

所以sina+cos/?=sina+cos6+a)=sina-sina=0.

(2)sin(n+a)一郎(56)_sin(n+a)-cas(^+a)__sina+cosa__

cos(n-^)+sin管+a)cos(n--a)+sin管+a)sina-cosa

【題型7同角基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】

【例7】(24-25高一上?江蘇鹽城?期末)己知tan(n+e)=2,則()

cos^e+sm?cos^e

A二B.乎C.4D.6

33

【答案】D

【解題思路】首先利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件，得到tan8=2,再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將

溪黑%進(jìn)行化簡，將CM”玳入即可求解.

【解答過程】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得tan(ir+0)=tan0=2,

即世g=2,所以sinO=2cos0.

cosO

...1sin3/?+sin0_sin0(sin20+l)_2cos0[(2cos^)2+l]_2(4cosz0+l)

、cosM+sin8cos2。cos20(cos0+sind)zos20(cos0+2cos0)3cos20*

因?yàn)閟in。=2cos。，則siMe=4cos20,而又因?yàn)閟iM。+cos20=1,

所以4cos2。+COS20=1,COS20=I，

將8s2。W代入得：造黑焉=筆等=畢)=6;

bcos(/十sin“cotex”osu3x-

故選:D.

【變式7-1](24-25高一上?廣東清遠(yuǎn)?期末)若cos信+6)+sin(e+^)=-",則吟的值為()

\2/\2/5l-tan(TT-e)

.3^10口3亞710710

【答案】B

10/12

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式，弦切互化和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解;

【解答過程】因?yàn)閏os(]+8)+sin+g)=-詈，所以sing+cos。=皆,(sinJ+cos。)？=

即sin?。+cos20+2sin6cos8=得sinOcosO=—三

11V

所sin(n+6)_-sin/_-sMIcosg_磊_

l-tan(n-O)l+tan0cosO+sinO亞20,

5

故選：B.

【變式7-2】36高一上?貴州銅仁?階段練習(xí))已知出)=嘴篝黑竽

(1)化簡/'(a)：

(2)若a是第三象限角，且sin(a-5ir)=熱求/'(a)的值;

(3)若a=-2220。，求f(a)的值.

【答案】(1)一cosa

陪

⑶

【解題思路】(1)利用誘導(dǎo)公式可化簡/(a)的表達(dá)式;

(2)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出cosa的值，由此可得出/(a)的值;

(3)利用誘導(dǎo)公式可化簡得出/"(a)的值.

【解答過程】(1)/(a)=.(…)ss(,"os(Y)=si-