6.3.3余角和補(bǔ)角教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是2024年新人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第六章《幾何圖形初步》中的6.3.3余角和補(bǔ)角，本節(jié)課的

主要內(nèi)容是余角和補(bǔ)角的概念和性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

在之前對(duì)幾何圖形初步的學(xué)習(xí)中，學(xué)生己認(rèn)識(shí)直角、平角及掌握比較角大小的方法.本節(jié)課在此基礎(chǔ)上

引入余角和補(bǔ)角的概念，余角是指若兩個(gè)角的和等于90。（直角），這兩個(gè)角就互為余角；補(bǔ)角是指若兩個(gè)

角的和等于180。（平角），這兩個(gè)角就互為補(bǔ)角.余角和補(bǔ)角反映的是角與角之間的數(shù)量關(guān)系，這是學(xué)生首

次深入探究?jī)蓚€(gè)圖形的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)探究余角、補(bǔ)角的性質(zhì)以及解決相關(guān)幾何問(wèn)題奠定基礎(chǔ).同時(shí)，這

也有助于進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力和知識(shí)運(yùn)用能力.需要強(qiáng)調(diào)的是，互為補(bǔ)角和互為余角的概念

僅關(guān)乎角的數(shù)量關(guān)系，與角的位置并無(wú)關(guān)聯(lián).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：掌握余角和補(bǔ)角的概念及性質(zhì).

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解余角和補(bǔ)角的概念，能在圖中找到一個(gè)角的余（補(bǔ)）角，能求一個(gè)角的余（補(bǔ)）角.

（2）掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，能運(yùn)用余角與補(bǔ)角的性質(zhì)解決問(wèn)題.

2.目標(biāo)解析

對(duì)于目標(biāo)（1）,通過(guò)對(duì)余角和補(bǔ)角概念的學(xué)習(xí)與圖形觀察分析，學(xué)生能理解余角和補(bǔ)角的概念，能準(zhǔn)

確在圖中找出一個(gè)角的余（補(bǔ)）角，能依據(jù)概念正確求一個(gè)角的余（補(bǔ)）角.

對(duì)于目標(biāo)（2）,通過(guò)對(duì)余角和補(bǔ)角性質(zhì)的探究推理過(guò)程，學(xué)生能掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用

余角與補(bǔ)角的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題，包括在復(fù)雜圖形中識(shí)別和運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行角度的推理計(jì)算等.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)情方面，學(xué)生已掌握角、直角、平角的定義，也會(huì)比較角的大小及計(jì)算角的和差.但本節(jié)課是對(duì)角與

角關(guān)系的深入拓展，此前學(xué)生接觸的圖形多有共同頂點(diǎn)或公共邊，而余角、補(bǔ)角作為數(shù)量關(guān)系，兩角位置

可分離，這易導(dǎo)致學(xué)生概念混淆.并且學(xué)生剛踏入幾何學(xué)習(xí)門(mén)檻，對(duì)幾何圖形的?般研究方法尚未完全掌握,

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)思考過(guò)程存在困難，圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換更是薄弱環(huán)節(jié).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解余角、補(bǔ)角概念中與位置無(wú)關(guān)這一要點(diǎn)；通過(guò)余角、

補(bǔ)角的性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用，初步掌握?qǐng)D形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化..

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）新知引入

【問(wèn)題1】在一副三角尺中，每個(gè)三角尺都有一個(gè)角是直角，那么另外兩個(gè)銳角的和有什么特點(diǎn)？

45°+45°=90°30°+60°=90°

答：另外兩個(gè)銳角的和為90c.

【問(wèn)題2】觀察剪刀從張開(kāi)到合攏的過(guò)程，N1與N2的和有什么特點(diǎn)？

答：N1與N2的和為180。.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)選取學(xué)生熟悉的三角尺與剪刀為載體，既通過(guò)實(shí)物將抽象的角的和差關(guān)系具象化，

幫助學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)情境、降低認(rèn)知門(mén)檻，又以“兩角和為90°”“兩角和為180°”的問(wèn)題結(jié)論為

后續(xù)余角、補(bǔ)角^念鋪墊，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、歸納規(guī)律，在感知知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中儂煉觀察與提煉

數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，契合數(shù)學(xué)從具體到抽象的認(rèn)知邏輯.

（-）新知講解

知識(shí)點(diǎn)1余角和補(bǔ)角的概念

1?余角的概念：如果兩個(gè)角的和等于90。（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互余，其中

一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.

符號(hào)語(yǔ)言：

VZ1+Z2=9O°,???/1與N2互為余角.

反之也成立：

???/】與N2互為余角，???N1+N2=9O°.

2.補(bǔ)角的概念：如果兩個(gè)角的和等于180。（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互補(bǔ)，其中

一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.

符號(hào)語(yǔ)言：

VZ3+Z4=180%

???N3與N4互為補(bǔ)角.

反之也成立：

???N3與N4互為補(bǔ)角,

???N3+N4=180°.

【小結(jié)】1.判斷兩個(gè)角是否互余（補(bǔ)），唯一標(biāo)準(zhǔn)是它們的度數(shù)和是否為90°（180°）,與它們的位置無(wú)關(guān).

因此，互余（補(bǔ)）是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，而不是位置關(guān)系.

2.余角、補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)角、三個(gè)或三個(gè)以上的角力間不能說(shuō)百余或互補(bǔ).

例如，當(dāng)Nl+N2+N3=90。時(shí)，不能說(shuō)Nl,Z2,Z3互余.

【小試牛刀】圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補(bǔ)角？

80。和100°.

知識(shí)點(diǎn)2余角和補(bǔ)角的性質(zhì)

解：理由如下:

VZ1與N2,Z3都互為余角,

???N2=90°—Nl,

Z3=9O°-Z1,

???N2=N3.

【小結(jié)】同角的余角相等.

【思考2】N1與N2互余，/3與N4互余，如果N1=N3,那么N2和N4相等嗎？為什么？

解：理由如下：

???N1與N2互余，N3與N4互余，

.*.Z2=90°-Zl,/4=90。-N3,

VZ1=Z3

/.Z2=Z4.

【小結(jié)】等角的余角相等.

【思考3】如圖，如果N1與N2,N3都互補(bǔ)，那么N2與23的大小有什么關(guān)系？

解：???/1與N2互為補(bǔ)角,

???N2=I8O°-Z1,

又N1與N3互為補(bǔ)角，

???/3=180。一N1,

AZ2=Z3.

【小結(jié)】同角的補(bǔ)角相等.

【思考4］己知：N1與N2互為補(bǔ)角，N3與N4互為補(bǔ)角.如果N1=N3,那么N2與N4相等嗎？為

什么？

，N2=180。一/I,

又N3與N4互為補(bǔ)角，

???/4=180。一N3,

VZ1=Z3

???Z2=Z4.

【小結(jié)】等角的補(bǔ)角相等.

【小結(jié)】

類(lèi)型性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言

①如果Nl+N2=90°,Zl+Z3=90°,

同角(等角)那么N2=N3.

余角

的余角相等②如果Nl+N2=90°,Z3+Z4=90°,

且N1=N3,那么N2=N4.

①如果Nl+N2=180°,Zl+Z3=180°,

同角(等角)那么N2=N3.

補(bǔ)角

的補(bǔ)角相等②如果Nl+N2=180°,Z3+Z4=180°,

且N1=N3,那么N2=N4.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)先明確余角、補(bǔ)角的概念及符號(hào)語(yǔ)言，結(jié)合小結(jié)強(qiáng)調(diào)“數(shù)量關(guān)系”核心與“成

對(duì)出現(xiàn)”特點(diǎn)，再通過(guò)小試牛刀鞏固概念；接著以“思考”問(wèn)題捱推導(dǎo)余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，層層遞進(jìn).

整體設(shè)計(jì)既幫助學(xué)生精準(zhǔn)掌握知識(shí)定義與邏輯，又通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化、問(wèn)題探究，4段煉數(shù)學(xué)表達(dá)與推理能

力，同時(shí)銜接新知引入內(nèi)容，構(gòu)是完整的知識(shí)認(rèn)知體系.

(三)典型例題

例1(1)若Na=26。，則Na的余角是64。，補(bǔ)角是154。；

(2)若N1的補(bǔ)角是115。32。則N1的度數(shù)為64。2上，N1的余角為25。32，：

(3)若/力的度數(shù)是37°24\NB的度數(shù)是52。36:則N4與4B互為余角.

【針對(duì)練習(xí)】

(1)若/力=35。，則/力的余角為55。,補(bǔ)角為/45。,它的補(bǔ)角比余角大90?；

(2)若N1的余角等于51。191則/I等于38。41'，Z1的補(bǔ)角等于141。19'；

(3)若Na的度數(shù)是125。48-的度數(shù)是54。12'則Na與互為補(bǔ)角.

例2一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之和為130。，求這個(gè)隹的度數(shù).

解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為廿.

根據(jù)題意，得90-x+180r=130.

解得x=70.

答：這個(gè)角的度數(shù)為70。.

【小結(jié)】解此類(lèi)題，先明確余角(和為90。)、補(bǔ)角(和為180°)定義，設(shè)原角為產(chǎn)，用(90-x)。、

(180-x)。表示余角、補(bǔ)角，再依“和為已知度數(shù)”列一元一次方程求解；注意區(qū)分余角、補(bǔ)角，避免列

方程出錯(cuò).

【針對(duì)練習(xí)】已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的2倍大40。，求這個(gè)角的度數(shù).

解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為工

依題意，得180。一工=2(90°-x)+40°.

解得x=40。.

答：這個(gè)角的度數(shù)為40。.

例3(雙角平分線模型)如圖，點(diǎn)4O,8在同一條直線上，射線O。和射線OE分別平分NZOC和

ZBOC,圖中哪些角互為余角？

分析：互為余角的兩個(gè)角的和是90。，而已知條件中隱含互為補(bǔ)角的條件，再利用角平分線的條件，便

可以發(fā)現(xiàn)互為余角的角.

解：因?yàn)辄c(diǎn)力，O,8在同一條直線上,

所以N/1OC和N80C互為補(bǔ)角.

乂因?yàn)樯渚€OQ和射線。上分別平分N/OC和N8OC,

所以NCOQ+ZCOE=^ZAOC-^ZBOC

=^(ZAOC+ZBOC)

=90°.

所以，NCOQ和NCOE互為余角,

同理，4OD和NBOE,ZAOD^ZCOE,NCO。和/8OE也互為余角.

【針對(duì)練習(xí)】(雙直角模型)如圖，。是直線MN上一點(diǎn)，OC平分/4OM,且N8OC=90。，則。8是

否平分N4ON?請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：04平分N4OV.理由如下：

因?yàn)椤'平分所以N4OC=NCOM.

因?yàn)?。是直線MN上一點(diǎn)，所以N〃ON=180。.

所以/C0M+ZBON=AMON-Z5(9C=180o-90°=90°.

因?yàn)?40C+ZAOB=ZBOC=90°,ZAOC=ZCOM,

所以N408=N8OV.所以O(shè)B平分/AON.

【針對(duì)練習(xí)】如圖，N4O。和N80。都是直角.

(1)圖中與NBOC互余的角有/AOB和乙COD

(2)/40。與/8。。互補(bǔ)嗎？為什么？

解：（2）N/IOZ）與N80C互補(bǔ).理由如下:

因?yàn)镹4OC和N8OO都是直角，

所以/408+ZBOC=NC0D+ZBOC=90°.

又/HOD=ZAOB-\~/BOC+/COD,

所以//。力+4BOC=/AOB+N80C+NCOO+N80C=180°.

所以/力。。與N80C互補(bǔ).

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)通過(guò)不同類(lèi)型題目分層設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)計(jì)算類(lèi)例題與練習(xí)，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用余角、

補(bǔ)角定義進(jìn)行角度換算，鞏固核心概念；方程求解類(lèi)例題，引導(dǎo)學(xué)生將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程，提升邏

輯建模能力；幾何模型類(lèi)例題，結(jié)合角平分線、直線與直角條件，拓展知識(shí)應(yīng)用場(chǎng)景，培養(yǎng)幾何推理能力.

整體設(shè)計(jì)以練促學(xué)，既強(qiáng)化知識(shí)掌握，又逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理能力，實(shí)現(xiàn)從概念到應(yīng)用的過(guò)渡.

（四）當(dāng)堂鞏固

1.若N4=50。，則N4的補(bǔ)侑為（C）

A.40°B.140°C.130°D.50°

2.若一個(gè)角的余角是66。25，,則這個(gè)角的度數(shù)為（A）

A.23。35'B.23。75'C.113。35'D.113。75'

3.將一副三角尺按不同位置擺放，下列擺放方式中/a與一定互補(bǔ)的是（C）

4.如圖，直線力8與直線力上相交于點(diǎn)O,N/OC=90。，則NAOD的余角是NCOD-，ZAOD

的補(bǔ)角是NBOD,N/1OE

5.如圖，直線與8相交于點(diǎn)O,OEUB,OF±CD.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中相等的角：(除直角和平角外)

(2)請(qǐng)任選一對(duì)說(shuō)明理由.

解：(1)/AOC=NEOF=/BOD,

ZCOE=ZBOF,ZAOD=ZCOB,

ZAOF=ZDOE.

(2)選ZAOD=ZCO4.理由如下：

因?yàn)橹本€48與。。相交于點(diǎn)。所以/力。。+//。。=180。，/40。+/。08=180。.所以/力0。=

NCO8.(答案不唯一)

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)分層考查余角補(bǔ)角定義應(yīng)用、角度換算及幾何圖形中角的關(guān)系推導(dǎo)：既快速檢臉

學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)的掌握程度，及時(shí)反饋學(xué)習(xí)漏洞，又通過(guò)多樣化題目強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用余

角補(bǔ)角概念及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，鞏固課堂學(xué)習(xí)效果.

(五)課堂總結(jié)

本節(jié)課你有哪些收獲？還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

就說(shuō)這

），

（直角

90°

等于

的和

個(gè)角

果兩

1.如

余.

簡(jiǎn)稱互

角，

為余

角互

余兩個(gè)

念

,概

就說(shuō)

），

平角

°（

180

等于

的和

個(gè)角

果兩

角2.如

.

稱互補(bǔ)

，簡(jiǎn)

補(bǔ)角

互為

個(gè)角

和這兩

補(bǔ)Y

角

等.

角相

的余

角）

角（等

1.同

性質(zhì)

等.

角相

的補(bǔ)

角）

角（等

2.同

.