第3章導(dǎo)數(shù)與微分CONTENTS導(dǎo)數(shù)的概念3.1求導(dǎo)法則3.2高階導(dǎo)數(shù)3.3函數(shù)的微分3.4應(yīng)用示例3.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3.6魏爾斯特拉斯（Weierstrass）是德國數(shù)學(xué)家，1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費(fèi)爾德，1897年2月19日卒于柏林.魏爾斯特拉斯是一位海關(guān)官員之子，在青年時(shí)代已顯示出對(duì)語言和數(shù)學(xué)的才華.但是1834其父卻把他送到波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律與財(cái)政學(xué).由于事與愿違，他精神萎靡，把時(shí)間消磨在擊劍和飲酒之中，4年后未獲得學(xué)位返家.1839年為取得中學(xué)教師資格而進(jìn)入明斯特學(xué)院，并在數(shù)學(xué)家古德蔓指導(dǎo)下自修數(shù)學(xué).1841年通過考試獲得中學(xué)教師的職務(wù)，先后在蒙斯特、達(dá)赤克郎、布倫斯堡等中小城鎮(zhèn)的中學(xué)任教達(dá)15年之久.魏爾斯特拉斯酷愛數(shù)學(xué)，但白天有繁重的教學(xué)任務(wù)，只好利用晚上刻苦鉆研數(shù)學(xué).雖然他廢寢忘食地研究數(shù)學(xué)，寫出過不少數(shù)學(xué)論文，但由于只是一位中學(xué)教師而未受到科學(xué)界的重視，直到1854年他發(fā)表了《關(guān)于阿貝爾函數(shù)理論》的論文，成功地解決了橢圓積分的逆轉(zhuǎn)問題，才轟動(dòng)了數(shù)學(xué)界.柯尼斯堡大學(xué)也因此立即授予他名譽(yù)博士學(xué)位.1856年10月他被聘為柏林大學(xué)助理教授，1864年成為該校教授，這一職位一直保持到1897年他去世.此外，他還被選為法國科學(xué)院和柏林科學(xué)院院士.數(shù)學(xué)大師——卡爾·魏爾斯特拉斯閱讀與欣賞魏爾斯特拉斯是一位優(yōu)秀教師.他對(duì)花費(fèi)在初等數(shù)學(xué)上的歲月從不感到遺憾，他的杰出教學(xué)才能不僅表現(xiàn)在中學(xué)教學(xué)上，而且也表現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)上.他盡管已經(jīng)成名，但仍保留著早年的生活情趣——喜歡喝啤酒，經(jīng)常跟他的學(xué)生在一起聚會(huì)，無論是有才氣的學(xué)生還是一般的學(xué)生，他都樂于給他們以幫助和指導(dǎo).他德高望重，晚年備受人們的推崇.魏爾斯特拉斯的主要貢獻(xiàn)在函數(shù)論和分析學(xué)方面.在1854年發(fā)表的《關(guān)于阿貝爾函數(shù)理論》的論文中，解決了橢圓積分的逆轉(zhuǎn)問題，引起數(shù)學(xué)界的重視.1856年發(fā)表的《阿貝爾函數(shù)理論》進(jìn)一步解決了橢圓積分的雅可比逆轉(zhuǎn)問題.他還建立了橢圓函數(shù)新結(jié)構(gòu)的定理，一致收斂的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的解析性的定理，圓環(huán)上解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開定理（又稱洛朗定理），等等.他把嚴(yán)格的論證引進(jìn)分析學(xué)，建立了實(shí)數(shù)理論，引進(jìn)了現(xiàn)今分析學(xué)上通用的極限的ε-δ定義，為分析學(xué)的算術(shù)化做出了重要貢獻(xiàn).在變分法中，他給出了帶有參數(shù)的函數(shù)的變分結(jié)構(gòu)，研究了變分問題的間斷解.在微分幾何中，研究了測(cè)地線和最小曲面；在線性代數(shù)中，建立了初等因子理論，并用來簡化矩陣.魏爾斯特拉斯一生中培養(yǎng)了很多有成就的學(xué)生，其中著名的有C.B.柯瓦列夫斯卡婭、H.A.施瓦茲、I.L.富克斯、G.米塔-列夫勒等.數(shù)學(xué)大師——卡爾·魏爾斯特拉斯閱讀與欣賞3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1變化率問題

3.1.1變化率問題

例

3.1.1變化率問題

3.1.1變化率問題視頻示例——切線的斜率問題3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

2.單側(cè)導(dǎo)數(shù)利用單側(cè)極限給出函數(shù)在一點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義.3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

思考定理3.1

如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).由定理3.1知函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，但是連續(xù)卻不一定可導(dǎo).3.1.4函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

3.2求導(dǎo)法則

3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則推論3.1

（C為常數(shù)）.推論3.2推論3.3【例3-6】求

的導(dǎo)數(shù).

解

3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則為了便于查閱。我們將常數(shù)和基礎(chǔ)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式歸納如下：3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則視頻示例——復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

3.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.5參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3.2.5參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意：（1）運(yùn)用極限法則時(shí),必須注意只有各項(xiàng)極限都存在（對(duì)商,還要求分母的極限不為零）才能使用極限的四則運(yùn)算法則.（2）若所求極限呈現(xiàn)“0/0”“∞/∞”“∞－∞”等形式不能直接應(yīng)用極限法則,必須先對(duì)原式進(jìn)行恒等變形（約分、通分、有理化、變量代換、分子與分母同除以分子與分母的最高次冪）,然后再利用極限法則求極限.3.2.5參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.3高階導(dǎo)數(shù)3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念

3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念

3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念

3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念3.3.2二階導(dǎo)數(shù)的物理意義

3.3.2二階導(dǎo)數(shù)的物理意義3.4函數(shù)的微分3.4函數(shù)的微分

3.4函數(shù)的微分視頻示例——微分概念的引例3.4.1微分的概念

3.4.1微分的概念

3.4.1微分的概念3.4.1微分的概念

3.4.2微分的幾何意義視頻示例——微分的幾何意義3.4.3微分的運(yùn)算1.微分基本公式

3.4.3微分的運(yùn)算3.4.3微分的運(yùn)算

3.4.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

3.4.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用3.5應(yīng)用示例——

拐角問題在醫(yī)院的外科手術(shù)室，往往需要將病人安置在活動(dòng)病床上，沿走廊推到手術(shù)室或送到病房.然而有的醫(yī)院的病房較窄，病床必須沿過道推到直角拐角（見下圖）.我們想知道標(biāo)準(zhǔn)的病床能否順暢地推過拐角.通過計(jì)算求出病床可以順利通過的走廊的最小寬度.3.5.1問題提出

3.5.2解答思路

3.5.3解答過程3.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三使用MATLAB求

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.6.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.6.2實(shí)驗(yàn)過程1.相關(guān)命令MATLAB中有關(guān)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的命令說明如下表所示.3.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三命令說明diff（f,x）求函數(shù)表達(dá)式f對(duì)自變量x的一階導(dǎo)數(shù)diff（f,x,2）求函數(shù)表達(dá)式f對(duì)自變量x的二階導(dǎo)數(shù)diff（f,x,n）求函數(shù)表達(dá)式f對(duì)自變量x的n階導(dǎo)數(shù)

3.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三2.操作實(shí)例操作實(shí)例1求下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).（2）在命令行窗口中輸入：>>f=diff（exp（sin（x））/cos（log（x））,x）按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：f=（exp（sin（x））*cos（x））/cos（log（x））+（sin（log（x））*exp（sin（x）））/（x*cos（log（x））^2）即3.6