第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用CONTENTS洛必達(dá)法則4.1函數(shù)的單調(diào)性4.2函數(shù)的極值與最值4.3應(yīng)用示例4.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)4.5洛必達(dá)（Marquisdel'H?pital），又音譯為羅必塔（L'H?pital），法國數(shù)學(xué)家.1661年洛必達(dá)出生于法國的貴族家庭.1704年2月2日卒于巴黎.他曾受襲侯爵銜，并在軍隊(duì)中擔(dān)任騎兵軍官，后來因?yàn)橐暳Σ患讯顺鲕婈?duì)，轉(zhuǎn)向?qū)W術(shù)方面.他早年就顯露出數(shù)學(xué)才能，在他15歲時(shí)就解出帕斯卡的擺線難題，后又解出約翰·伯努利向歐洲挑戰(zhàn)的“最速降曲線問題”.他放棄了炮兵的職務(wù)，投入更多的時(shí)間在數(shù)學(xué)上，在瑞士數(shù)學(xué)家伯努利的門下學(xué)習(xí)微積分，并成為法國“新解析”的主要成員.洛必達(dá)的《無限小分析》（1696年）一書是微積分學(xué)方面最早的教科書，在十八世紀(jì)時(shí)為一模范著作，書中創(chuàng)造了一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限.洛必達(dá)簡介閱讀與欣賞1.主要貢獻(xiàn)洛必達(dá)的著作盛行于18世紀(jì)的圓錐曲線的研究.他最重要的著作是《闡明曲線的無窮小于分析》（1696年），這本書是世界上第一本系統(tǒng)的微積分學(xué)教科書，它由一組定義和公理出發(fā)，全面地闡述變量、無窮小量、切線、微分等概念，這對(duì)傳播新創(chuàng)建的微積分理論起了很大的作用.在書中第九章記載了約翰·伯努利在1694年7月22日告訴洛必達(dá)的一個(gè)著名定理:洛必達(dá)法則，就是求一個(gè)分式當(dāng)分子和分母都趨于零時(shí)的極限的法則.后人誤以為是他的發(fā)明，故“洛必達(dá)法則”之名沿用至今.洛必達(dá)還寫作過幾何、代數(shù)及力學(xué)方面的文章.他亦計(jì)劃寫作一本關(guān)于積分學(xué)的教科書，但由于他過早去世，這本積分學(xué)教科書未能完成.而遺留的手稿于1720年在巴黎出版，名為《圓錐曲線分析論》.洛必達(dá)簡介閱讀與欣賞2.人物形象洛必達(dá)是法國中世紀(jì)的王公貴族，他喜歡并且酷愛數(shù)學(xué)，后拜伯努利為師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).但洛必達(dá)法則并非洛必達(dá)本人研究.實(shí)際上，洛必達(dá)法則是洛必達(dá)的老師伯努利的學(xué)術(shù)論文，由于當(dāng)時(shí)伯努利境遇困頓，生活困難，而學(xué)生洛必達(dá)又是王公貴族，洛必達(dá)表示愿意用財(cái)物換取伯努利的學(xué)術(shù)論文，伯努利也欣然接受.此篇論文即為影響數(shù)學(xué)界的洛必達(dá)法則.在洛必達(dá)死后，伯努利宣稱洛必達(dá)法則是自己的研究成果，但歐洲的數(shù)學(xué)家并不認(rèn)可，他們認(rèn)為洛必達(dá)的行為是正常的物物交換，因此否認(rèn)了伯努利的說法.事實(shí)上，科研成果本來就可以買賣，洛必達(dá)也確實(shí)是個(gè)有天分的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者.洛必達(dá)花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力整理這些買來的和自己研究出來的成果，編著出世界上第一本微積分教科書，使數(shù)學(xué)廣為傳播.并且他在此書前言中向萊布尼茨和伯努利鄭重致謝，特別是約翰·伯努利.這是一個(gè)值得尊敬的學(xué)者和傳播者，他為這項(xiàng)事業(yè)貢獻(xiàn)了自己的一生.洛必達(dá)簡介閱讀與欣賞4.1洛必達(dá)法則4.1洛必達(dá)法則

4.1.3其他類型未定式

4.1.3其他類型未定式4.2函數(shù)的單調(diào)性

4.2.1函數(shù)單調(diào)性的判定方法

4.2.1函數(shù)單調(diào)性的判定方法

4.2.1函數(shù)單調(diào)性的判定方法

4.2.1函數(shù)單調(diào)性的判定方法視頻示例——函數(shù)單調(diào)性的判別方法

4.2.2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

4.2.2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用4.3函數(shù)的極值與最值4.3.1函數(shù)的極值

4.3.1函數(shù)的極值極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值，兩者不能混淆.注意視頻示例——函數(shù)極值的定義

4.3.2函數(shù)極值的判定及求法

注意

4.3.2函數(shù)極值的判定及求法

4.3.2函數(shù)極值的判定及求法

4.3.2函數(shù)極值的判定及求法

4.3.2函數(shù)極值的判定及求法

4.3.2函數(shù)極值的判定及求法函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)是極值點(diǎn)的什么條件？思考視頻示例——函數(shù)極值的判定在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，為了提高生產(chǎn)效率、降低成本、節(jié)約原材料等，往往需要研究相應(yīng)函數(shù)的最大值和最小值的問題．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值；使得函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)，統(tǒng)稱為函數(shù)的最值點(diǎn).4.3.3函數(shù)的最值

4.3.3函數(shù)的最值

4.3.3函數(shù)的最值

4.3.3函數(shù)的最值

4.3.3函數(shù)的最值思考:最大值和最小值是唯一的嗎？4.4應(yīng)用示例——

效率最值問題如左圖所示，某海濱浴場的岸邊可近似地看作一條直線，救生員在岸邊的A處，發(fā)現(xiàn)海中B處（∠BAD=45°）有人求救，救生員沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊A跑到離B最近的D處（BD=300米），然后游向B處，若救生員在岸邊的行進(jìn)速度為6米/秒，在海中行進(jìn)速度為2米/秒，試問：（1）救生員先沿岸邊A跑到離B最近的D處，然后游向B處，這種做法是否正確？（2）能否在AD上找到適當(dāng)?shù)囊稽c(diǎn)，使得救生員能在最短的時(shí)間內(nèi)營救B處的人？4.4.1問題提出

4.4.2解答過程在解決與實(shí)際問題有關(guān)的最值問題時(shí)，應(yīng)先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，并且要特別注意自變量的取值范圍，再利用求導(dǎo)法則求最值.提示4.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四使用MATLAB求函數(shù)的極值4.5.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求函數(shù)的極值.4.5.2實(shí)驗(yàn)過程1.相關(guān)命令MATLAB中求函數(shù)極值、最值的命令如下表所示.4.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四命令說明subs（diff（f,x,n）,k）［x1,f1］=fminbnd（f,a,b）4.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四

4.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四第二步：觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的兩個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)的位置，下面來求函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的極值，即函數(shù)在區(qū)間（-2,2）內(nèi)的極值.在命令行窗口中輸入：>>f=inline（-x^4+2*x^2,x）;

%定義函數(shù)f>>［x1,y1］=fminbnd（f,-0.5,0.5）%求函數(shù)f在［-0.5,0.5］

上的極小值點(diǎn)x1及極小值y1按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：x1=

0

y1=

04.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四繼續(xù)輸入：>>g=inline（x^4-2*x^2,x）;%定義函數(shù)g=-f>>［x2,y2］=fminbnd（g,-1.5,-0.5）,［x3,y3］=fminbnd（g,0.5,1.5）%求函數(shù)g在區(qū)間［-1.5,0.5］上的極小值點(diǎn)x2及極小值y2（等價(jià)于求f=-g在區(qū)間［