2024屆大題強化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（10）1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，，求；（2）點D在邊上，，若，，求a．變式：蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首．1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點D為邊BC上靠近B點的三等分點，，．（1）若，求三角形手巾的面積；（2）當(dāng)取最小值時，請幫設(shè)計師計算BD的長．2．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為等邊三角形，點M，N分別為AB，PC的中點．（1）證明：直線平面PAD；（2）當(dāng)二面角為120°時，求直線MN與平面PCD所成的角的正弦值．變式：在如圖所示的三棱錐中，分別是線段的中點，且.（1）證明：直線平面;（2）若二面角的大小為，求直線和平面所成角的余弦值.3．已知函數(shù)，，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求的最小值；（3）設(shè)，討論函數(shù)的零點個數(shù).變式：已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的零點個數(shù).4．已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進行下一輪試驗.（1）若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若規(guī)定試驗者乙至多可進行輪試驗（若第輪不成功，也停止試驗），記乙在第輪使得試驗成功的概率為，則乙能試驗成功的概率為，證明：.變式：某學(xué)校食堂每天中午為師生提供了冰糖雪梨湯和蘋果百合湯，其均有止咳潤肺的功效．某同學(xué)每天中午都會在兩種湯中選擇一種，已知他第一天選擇冰糖雪梨湯的概率為，若前一天選擇冰糖雪梨湯，則后一天繼續(xù)選擇冰糖雪梨湯的概率為，而前一天選擇蘋果百合湯，后一天繼續(xù)選擇蘋果百合湯的概率為，如此往復(fù)．（1）求該同學(xué)第二天中午選擇冰糖雪梨湯概率．（2）記該同學(xué)第天中午選擇冰糖雪梨湯的概率為，證明：為等比數(shù)列．（3）求從第1天到第10天中，該同學(xué)中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯概率的天數(shù)．5．已知橢圓：（，）的左、右焦點分別為、，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求異面直線和所成角的余弦值；②是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．變式：直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；（2）若點不在線族：的任意一條直線上，