2024屆大題強化訓練及變式訓練（14）1．為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．變式：某無人飛機研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機，在投放市場前對100架新能源無人飛機進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這100架新能源無人飛機單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無人飛機，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則）（3）該無人飛機研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計分析可知卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場前決定分別按卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機共抽取6架，然后再從這6架中隨機抽取3架進行綜合性能測試，記隨機變量是綜合性能測試的3架中卓越A型的架數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.2．如圖，在平面凸四邊形中，.（1）求；（2）若，，求.變式：如圖，平面四邊形中，對角線與相交于點，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長度.3．已知函數(shù)，（1）若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當時，求的極值點．變式：已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個極值點，求正數(shù)的取值范圍.4．已知橢圓的離心率為，左右兩頂點分別為，過點作斜率為的動直線與橢圓相交于兩點.當時，點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設點關于原點的對稱點為，設直線與直線相交于點，設直線的斜率為，試探究是否為定值，若為定值，求出定值并說明理由.變式：設異面直線與所成的角為，公垂線段為，且，、分別直線m、n上的動點，且，為線段中點，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼悼纱_定點的軌跡方程．（1）請根據(jù)自己建立的平面直角坐標系求出．（2）為的任意內(nèi)接三角形，點為的外心，若直線的斜率存在，分別為，，，，證明：為定值．5．若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足（，），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：1，2，3，8，49是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項為的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項和，，，試比較與的大小，并證明.變式：定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“－數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列滿足：，求證:數(shù)列為“－數(shù)列”；(