模塊01集合、常用邏輯用語、不等式題型梳理題型梳理題型一Venn圖法解決集合運算問題題型二分類討論法解決元素與集合關(guān)系問題題型三根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍題型四一元二次型不等式恒成立問題題型五一元二次不等式能成立問題題型六基本不等式中“1”的妙用題型七利用基本不等式求參數(shù)范圍題型八作差法比較大小知識回顧知識回顧知識點01．集合(1)集合間的關(guān)系與運算A∪B＝A?B?A；A∩B＝B?B?A.(2)子集、真子集個數(shù)計算公式對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)集合運算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．知識點02．全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．(3)命題與其否定真假相反．知點識03．充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，命題p：x∈A，命題q：x∈B，若A?B，則p是q的充分條件(q是p的必要條件)；若AB，則p是q的充分不必要條件(q是p的必要不充分條件)；若A＝B，則p是q的充要條件．(3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題．知識點04．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷對應(yīng)方程Δ的符號)；三解(解對應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)．解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：(1)二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；(2)判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；(3)在有根的條件下，要比較兩根的大?。R點05．一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0)).(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0)).知識點06．分式不等式eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0≤0，,gx≠0)).知識點07．基本不等式(1)基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．基本不等式的變形：①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立；②≥ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．(2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．易錯提醒易錯提醒1．描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函數(shù)的定義域；{y|y＝lgx}——函數(shù)的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函數(shù)圖象上的點集．2．集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問題時，尤其要注意元素的互異性．3．空集是任何集合的子集．解題時勿漏?的情況．4．判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成．由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍，還可以從集合的角度來思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運算．5．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式時，易忽視對系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論．6．求解分式不等式時應(yīng)正確進(jìn)行同解變形，不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.7．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯解，如求函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y＝x＋eq\f(3,x)(x<0)的最值時應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解．題型方法題型方法【題型一】Venn圖法解決集合運算問題【例1】（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】交集的概念及運算、利用Venn圖求集合【分析】由集合的運算即可表示出陰影部分，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】，且，則，陰影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，則陰影部分表示的集合為.故選：D【舉一反三】1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知全集，若，則下列說法正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【知識點】交并補混合運算、利用Venn圖求集合【分析】依題意畫出Venn圖表示出集合間的基本關(guān)系，即可判斷出元素與集合間的關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，畫出Venn圖如下圖所示：由圖可知，且，即A正確；顯然，可得B錯誤，，C錯誤，，可知D錯誤.故選：A2．（2025·福建廈門·三模）已知全集為，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】交集的概念及運算、對數(shù)的運算【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運算，即可求解.【詳解】易知，又，所以，故選：C.3．（2025·廣東佛山·二模）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】A【知識點】交并補混合運算、利用Venn圖求集合【分析】根據(jù)集合的運算即可得到答案.【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，則或，故陰影部分所表示的集合為或者，故A正確.故選：A.4．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】利用Venn圖求集合【分析】利用韋恩圖法即可判斷.【詳解】如圖，對于A：，所以A錯誤；對于B：，所以B錯誤；對于D：，所以D錯誤，對于C：由圖觀察顯然，故C正確．故選：C5．（2025·吉林·二模）設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用Venn圖求集合、交并補混合運算【分析】先判斷表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，，而陰影部分表示的集合是，則圖中陰影部分表示的集合是，故B正確.故選：B【題型二】分類討論法解決元素與集合關(guān)系問題【例2】（2025·甘肅慶陽·二模）已知集合，且，則實數(shù)的值為．【答案】3【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)、集合元素互異性的應(yīng)用【分析】因為，則或，由此可解出，再代入集合驗證，需要滿足集合的互異性，由此可得答案.【詳解】因為，所以分為以下兩種情況：①或，當(dāng)時，集合滿足題意；當(dāng)時，集合，違反了集合的互異性，故舍去；②，此時集合，違反了集合的互異性，故舍去；綜上所述，.故答案為：3.【舉一反三】1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知集合若，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)或，結(jié)合集合中元素滿足互異性即可求解.【詳解】因為所以或，當(dāng)時，，此時，，故舍去：當(dāng)時，解得或（舍去），綜上．故選：B2．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合集合中元素的特性即可得答案.【詳解】①當(dāng)時，解得，此時，滿足題意，②當(dāng)時，解得，此時，滿足題意，故選：C.3．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、補集的概念及運算、分式不等式【分析】根據(jù)分式不等式求解集合A及，然后按照和分類討論，根據(jù)集合的關(guān)系列不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，所以或，所以或，所以，當(dāng)時，，解得，滿足；當(dāng)時，要使，則，解得，綜上，，即的取值范圍是.故選：D【題型三】根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍【例3】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根據(jù)集合間的關(guān)系得出參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C.【舉一反三】1．（多選）（2025·江西·模擬預(yù)測）已知集合，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則可以取3【答案】AC【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】把代入，求解判斷AB；利用集合的包含關(guān)系求解判斷CD.【詳解】對于AB，若，則任意實數(shù)均滿足，因此，A正確，B錯誤；對于CD，由，得，解得，C正確，D錯誤.故選：AC.2．（2025·河北·二模）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元一次不等式【分析】求出集合，根據(jù)，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，因為，則.故選：A.3．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)子集的關(guān)系即可求解.【詳解】由于，所以，故選：D【題型四】一元二次型不等式恒成立問題【例4】（2025·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）若不等式對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】先將原不等式變形，然后分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時直接判斷不等式是否恒成立，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組求解，最后綜合兩種情況得出的取值范圍.【詳解】原不等式等價于，當(dāng)時，對，不等式恒成立；當(dāng)時，則有，解得：綜上所述，實數(shù)的取值范圍是故答案為：.【舉一反三】1．（2025·浙江·三模）“”是“函數(shù)的值域為R”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點】充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】驗證充分性，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為R，即具有充分性；再驗證必要性，若函數(shù)的值域為R，則對于二次函數(shù)，其判別式非負(fù)，由此可解得，可得答案.【詳解】若，因為，所以函數(shù)的定義域為，故，所以函數(shù)的值域為R，即“”是“函數(shù)的值域為R”的充分條件；若函數(shù)的值域為R，則對于二次函數(shù)，其值域包含，即，解得或，即“”不是“函數(shù)的值域為R”的必要條件，綜上，“”是“函數(shù)的值域為R”的充分不必要條件，故選：A.2．（2025·江蘇宿遷·二模）設(shè)函數(shù)，其中．若對任意的恒成立，則．【答案】【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題、高次不等式【分析】令，求出方程、的根，假設(shè)，結(jié)合穿根法可得出，進(jìn)而得出，分析可知對任意的恒成立，可求出的值，由此可得出的值.【詳解】因為，則，令，可得或或，由于，則，，令，令可得或或，由于，則，由可得，若，取，，，當(dāng)時，，，此時，，當(dāng)時，由穿根法可知，，矛盾，所以，，即，則，所以，因為對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，則，解得，因此，.故答案為：.3.已知函數(shù)對任意實數(shù)、恒有，當(dāng)時，，且．(1)求證：為奇函數(shù)，并求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；(3)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2)減函數(shù)，理由見解析(3)【知識點】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）令，可求出的值，再令，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可證得結(jié)論成立，計算出的值，再由奇函數(shù)的定義可求得的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可得出結(jié)論；（3）將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出對任意的恒成立，利用二次不等式恒成立可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）取，則，解得．取，則，所以對任意恒成立，所以為奇函數(shù)．因為，所以．（2）是R上的減函數(shù)．理由：任取，則，則，所以，故是R上的減函數(shù)．（3）因為為奇函數(shù)，所以等價于，即．因為是R上的減函數(shù)，所以，即恒成立．①時，則，解得，不符合題意；②當(dāng)時，則，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．4.設(shè)函數(shù)(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式：.【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）轉(zhuǎn)化問題為恒成立，進(jìn)而結(jié)合二次不等式恒成立問題求解即可；（2）不等式化簡為，進(jìn)而根據(jù)含參一元二次不等式的解法，分類討論即可求解.【詳解】（1）對一切實數(shù)恒成立，等價于恒成立.當(dāng)時，不等式可化為，不滿足題意.當(dāng)，有，即，解得，所以的取值范圍是.（2）依題意，等價于，當(dāng)時，不等式可化為，所以不等式的解集為；當(dāng)時，不等式化為，此時，所以不等式的解集為當(dāng)時，不等式化為，當(dāng)時，，不等式的解集為；當(dāng)時，，不等式的解集為；當(dāng)時，，不等式的解集為；綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.【題型五】一元二次不等式能成立問題【例5】（2025·陜西咸陽·三模）已知，且：關(guān)于的不等式無解；：直線的斜率非負(fù)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、已知斜率求參數(shù)【分析】分別求出成立時的取值范圍，再判斷充分必要性.【詳解】對于：關(guān)于的不等式無解，則，即，對于：直線的斜率非負(fù)，即，得，所以，但，所以是的充分不必要條件.故選：A【舉一反三】1．已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值并直接寫出的單調(diào)性（無需說明理由）；(2)若存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減(2)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的含義可求得的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法可求得單調(diào)性；（2）根據(jù)單調(diào)性以及奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而得到不等式，求解即可.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為R，則，所以，即，此時，滿足，即為奇函數(shù)，，定義域為R，對，且，則，因為，所以，，，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減；（2）由，則，又因為為奇函數(shù)，所以，又因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，因為存在實數(shù)，使得，所以，解得，所以的取值范圍為.2．已知關(guān)于的不等式的解集為．(1)求實數(shù)的值；(2)，都有，求實數(shù)的取值范圍(3)若存在實數(shù)，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題【分析】（1）由題意可得是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可；（2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案；（3）結(jié)合（2）求出在上的最大值，即可得答案【詳解】（1）由題意可得是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，解得;（2）因為，所以，當(dāng)時，則的最小值為，所以，所以實數(shù)的取值范圍為；（3）由（2）可知當(dāng)時，則的最大值為，所以實數(shù)的取值范圍為.3．（1）設(shè)函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值為，最小值為，且，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知關(guān)于的方程在范圍內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）討論二次函數(shù)的對稱軸和所給區(qū)間的位置關(guān)系，即可確定函數(shù)的最值，由此可解不等式，即可得答案；（2）討論方程在范圍內(nèi)有一解還是兩解，由此可列出不等式組，即可得求得答案.【詳解】（1）∵，∴函數(shù)的對稱軸為，①當(dāng)時，即時，當(dāng)時，隨增大而增大，∴，，∴，解得，②當(dāng)時，即時，當(dāng)時，隨增大而減小，∴，，∴，解得，③當(dāng)時，即時，∴，，，解得，此時，④當(dāng)時，即時，，，，解得，此時，綜上，的取值范圍為．（2）原方程即為，設(shè)，當(dāng)時，．①若方程在上有一解，只需時，函數(shù)的取值為負(fù)即可．∴．解得：．②若方程在上有兩解，則，即，．綜上，的取值范圍為．【題型六】基本不等式中“1”的妙用【例6】（多選）（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】對于A，由基本不等式建立不等式，可得其正誤；對于B，由等量關(guān)系可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得其正誤；對于C，利用基本不等式隱藏“1”的妙用，可得其正誤；對于D，由等量關(guān)系可得函數(shù)解析式，利用基本不等式，可得其正誤.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，則，故A正確；對于B，由，則，由，則，所以，故B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，故C正確；對于D，由B易知，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，則，故D正確.故選：ACD.【舉一反三】1．（2025·河北·三模）已知，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．9【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】應(yīng)用常值代換結(jié)合基本不等式計算求出最小值.【詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號得出最小值4，故選：C.2．（多選）（2025·遼寧沈陽·三模）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，點M為內(nèi)一動點，且，則（

）A． B．C．a(chǎn)的最大值為2 D．的最小值為【答案】ABD【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、用定義求向量的數(shù)量積、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由數(shù)量積的定義即可判斷A，由三角形的面積公式即可判斷B，由余弦定理以及基本不等式即可判斷C，由基本不等式的常數(shù)代換，即可判斷D.【詳解】對于A，由可得，則，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，由余弦定理可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，因為，且，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，故D正確；故選：ABD.3．（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【知識點】對數(shù)的運算、基本不等式求和的最小值【分析】將變形得，代入再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】由題意，知，.由，得，兩邊同時除以，得.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故選：D.4．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知隨機變量，a、b是正實數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由隨機變量，且，得，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故答案為：5．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最小值為.【答案】【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、橢圓定義及辨析【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用基本不等式即可求得的最小值.【詳解】是橢圓的兩個焦點，點在上，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.6．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時，，則的最小值為.【答案】【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到與的關(guān)系，再將所求式子進(jìn)行變形，最后利用基本不等式求解最小值.【詳解】已知是奇函數(shù)，則.因為，所以.又因為在上單調(diào)遞增，所以，即.由可得.則.將展開可得：.因為，所以，.根據(jù)基本不等式，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.故答案為：.7．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求；(2)已知是邊上的點，，，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理角化邊，再結(jié)合余弦定理求解即可；（2）先根據(jù)面積公式列式得出，最后應(yīng)用基本不等式計算求解最小值即可.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）如圖：由，得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.【題型七】利用基本不等式求參數(shù)范圍【例7】（2025·四川·三模）若，，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令，結(jié)合基本不等式，求得函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】由，可得，因為，故只需，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.【舉一反三】1．（2025·山東·二模）若實數(shù)x，y，z滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】將換成用表示,從而將平方表示成，由,求出，進(jìn)而求出范圍.【詳解】因為,所以且,故且,所以,故,,所以,所以,故選：A．2．已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、基本不等式的恒成立問題【分析】將題干中的不等式變形為，令，令導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由可得出，即，結(jié)合基本不等式可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得，即.令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以在R上單調(diào)遞增，所以，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．若，，且，求的取值范圍．【答案】【知識點】基本不等式求積的最大值、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式的解法可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，令，則上式化為解得或（舍），∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴的取值范圍為．【題型八】作差法比較大小【例8】（多選）（2025·甘肅慶陽·模擬預(yù)測）已知非零實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【知識點】比較指數(shù)冪的大小、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、作差法比較代數(shù)式的大小、比較對數(shù)式的大小【分析】由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得.對于A，由作差法可判斷選項正誤；對于B，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項正誤；對于C，通過舉特例可判斷選項正誤；對于D，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項正誤.【詳解】由題意可得，對于函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，結(jié)合，可得.對于A，，故A正確；對于B，由不能判斷與1的大小，故B錯誤；對于C，取，此時C不成立，故C錯誤；對于D，因為，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得，故D正確.故選：AD.【舉一反三】1．（多選）（2025·安徽合肥·三模）已知實數(shù),滿足,,，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由已知條件判斷所給不等式是否正確、構(gòu)造函數(shù)法證明不等式【分析】通過對已知不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，進(jìn)而推導(dǎo)各選項的正確性.【詳解】對不等式進(jìn)行變形化簡得：，設(shè).求導(dǎo)得：.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，且函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即.對于選項A：因為，所以平方可得即.A正確.對于選項B：取反例，當(dāng)時，，滿足題意.而，所以B錯誤.對于選項C：取反例，當(dāng)時，計算選項C的左邊為，右邊，此時，C錯誤.對于選項D：令，求導(dǎo)得，可以看出該導(dǎo)數(shù)在上小于0.所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，所以.由前面可知，所以，所以選項D正確.故選：AD.2．（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小、由基本不等式證明不等關(guān)系【分析】利用作差法可判斷AB，利用不等式的性質(zhì)判斷C，根據(jù)作差法及基本不等式判斷D.【詳解】選項A：因為，所以，故A正確.選項B：因為，所以，，則，所以，故B錯誤.選項C：因為，所以，，所以，又，所以，故C正確.選項D：

，當(dāng)?shù)忍柍闪?，但是，故等號不成立，故D正確.故選：ACD3．（多選）（2025·山東臨沂·二模）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】對于A，可以用作差法判斷，對于BC，舉反例判斷即可，對于D，分三種情況討論即可判斷.【詳解】對于A，，因為，所以，即，所以，故A正確；對于B，取，此時，故B錯誤；對于C，取，則，故C錯誤，對于D，若，則顯然成立，若，則成立，若，則成立，綜上所述，只要，就一定有，故D正確.故選：AD.4．（多選）（2025·湖南郴州·三模）設(shè)正實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】對于A：設(shè)，整理可得得，結(jié)合運算求解；對于BD：利用基本不等式分析判斷；對于C：先證，即可得結(jié)果.【詳解】對于選項A：因為正實數(shù)滿足，設(shè)，則，因為，即，整理可得得，將其看為關(guān)于的一元二次方程，則，解得，即，故A正確；對于選項D：因為，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故D正確；對于選項B：因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，因為，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以，故C正確；故選：ACD.5．已知，若，判斷與的大小，并加以證明．【答案】大小見解析，證明見解析【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較代數(shù)式的大小、比較對數(shù)式的大小【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】依題意，，，由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，當(dāng)時，，當(dāng)時，.好題必刷好題必刷一、單選題1．（2025·北京朝陽·二模）已知集合，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】并集的概念及運算、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】首先，求解集合中關(guān)于的不等式，然后求解的并集.【詳解】對于集合，，化簡得，所以.所以集合.對于集合，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.所以集合.所以.故選：A.2．（2025·山西臨汾·三模）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】交并補混合運算【分析】根據(jù)補集、并集的定義計算可得.【詳解】因為全集，，，所以，則.故選：A3．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】交集的概念及運算、分式不等式【分析】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及運算可得結(jié)果.【詳解】.由，可得，所以.所以.故選：C.4．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）設(shè)，，若是的充分條件，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】根據(jù)充分條件在集合中的表示方法，判斷集合的包含關(guān)系即可.【詳解】由題意，得，因為是的充分條件，所以即，已知二次函數(shù)，開口向上，與軸交于，僅當(dāng)滿足．故選：D．5．（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，若集合，則的子集個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、求復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的相等【分析】方法一：利用代入法，由復(fù)數(shù)相等的條件得到關(guān)于實數(shù)的方程組求解，得到集合的元素；方法二：直接利用求根公式解方程得到集合的元素；方法三：利用判別式直接得到方程得根的個數(shù).最后根式集合的元素個數(shù)，利用集合的子集個數(shù)計算公式得到答案.【詳解】方法一：由，復(fù)數(shù)，，即，，解得，所以，所以集合，含有兩個元素，所以A的子集有個；方法二：，所以由求根公式得，所以集合，含有兩個元素，所以A的子集有個；方法三：因為，∴有且僅有2個虛數(shù)根，所以含有兩個元素，所以A的子集有個.故選：C.6．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】由平面向量的共線定理可得，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】因為三點共線，所以存在實數(shù)，使，即，又向量不共線，所以，整理，得，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即的最小值為4.故選：B．二、多選題7．（2025·河南·三模）已知，c為實數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、比較函數(shù)值的大小關(guān)系、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】由題意可得，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一判斷即可.【詳解】由題意可得，A項:由單調(diào)遞增，知，故選項A正確；B項:時選項B不正確；C項:由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∵，∴等號不成立，故選項C正確；D項:構(gòu)造函數(shù)，，∴單調(diào)遞增，又，得，故選項D不正確．故選:AC．8．（2025·河北張家口·三模）已知，，且，若，則（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．的取值范圍為【答案】BCD【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式判斷BC，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為根據(jù)定義域問題求值域，判斷AD.【詳解】A.由條件可知，，，則，故A錯誤；B.由題意可知，，則，當(dāng)時等號成立，則的最小值為，故B正確；C.，當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為，故C正確；D.，當(dāng)，均單調(diào)遞增，且時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時取得最大值5，且時，，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.9．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，則（

）A．的取值有個 B．C． D．所有子集的個數(shù)為【答案】BCD【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、交并補混合運算【分析】利用集合的包含關(guān)系結(jié)合集合元素的互異性可求出的值，可判斷A選項；利用交集的定義可判斷B選項；利用并集的定義可判斷C選項；利用集合的運算結(jié)合子集個數(shù)公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，，且，則或，且，，解得，故的取值只有個，故A錯誤；對于B選項，，，所以，故B正確；對于C選項，，，故C正確；對于D選項，，所以，，則，其的子集的個數(shù)為，故D正確．故選：BCD.三、填空題10．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，非空集合，若，則的取值范圍是．【答案】【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】結(jié)合題意確定集合非空，再轉(zhuǎn)化為集合包含問題，建立不等式組求解參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意得，又因為，所以，解得．故答案為：.11．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知集合，則．【答案】【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先求出集合A，再結(jié)合集合并集的概念求解即可.【詳解】由題意知，，所以．故答案為：12．（2025·山東·二模）已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的最小值為．【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【詳解】可以將不等式的左邊視為一元二次函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，保證該函數(shù)在內(nèi)的最小值大于等于0，就能滿足題意，此時可求出的取值范圍，進(jìn)而得出其最小值.根據(jù)已知條件，令對任意的成立.對函數(shù)求導(dǎo)得：.當(dāng)時，，即，此時，該函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時，該函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，即時，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時函數(shù)在內(nèi)的最小值為.解得：，因為，所以此時的范圍為：.若，即時，該函數(shù)在上的最小值為，符合題意.綜上所述