第第頁第01講集合1、元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或說明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．4、集合的運算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．5、高頻考點結(jié)論（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．高頻考點一：集合的基本概念例題1．下列說法正確的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集為{(-2，3)}C．集合與集合表示同一個集合D．方程組的解集是【答案】D【詳解】對于A，方程的解集是，故A錯誤；對于B，方程的解集為，故B錯誤；對于C，集合表示數(shù)集，集合表示點集，故不是同一集合，故C錯誤；對于D，由解得，故解集為{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正確.故選：D.例題2．下面關(guān)于集合的表示正確的是（

）①；②；③；④A．①B．②C．③D．④【答案】CD【詳解】根據(jù)集合元素的無序性和集合的表示，可得，所以①不正確；根據(jù)集合的表示方法，可得集合為點集，集合表示數(shù)集，所以，所以②不正確；根據(jù)集合的表示方法，可得集合，所以③正確；根據(jù)集合的表示方法，可得集合，所以，所以④是正確的.故選：CD.練透核心考點1．以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是A．中國古代四大發(fā)明B．周長為的三角形C．方程的實數(shù)解D．地球上的小河流【答案】D【詳解】地球上的小河流不確定，因此不能夠構(gòu)成集合，選D.2．下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【詳解】A.、都是點集，與是不同的點，則、是不同的集合，故錯誤；B.，，根據(jù)集合的無序性，集合，表示同一集合，故正確；C.，集合的元素表示點的集合，，表示直線的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故錯誤；D.集合M的元素是兩個數(shù)字2，3，，集合的元素是一個點，故錯誤；故選：B.高頻考點二：元素與集合的關(guān)系例題1．（多選）已知集合，且，則實數(shù)的取值不可以為（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】因為集合，且，則或，解得.當(dāng)時，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時，，合乎題意.綜上所述，.故選：ACD.例題2．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【詳解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，當(dāng)a＝0時，得，顯然不滿足題意，當(dāng)a>0時，原不等式可化為，若，則解得或，所以只需滿足，解得；若，則解得或，所以只需滿足，解得9<a≤25，當(dāng)a<0時，當(dāng)時，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合題意，綜上，實數(shù)a的取值范圍是．練透核心考點1．（多選）下列關(guān)系中表述正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【詳解】對A：寫法不對，應(yīng)為或，A錯誤；對B：是任何集合的子集，故成立，B正確；對C：是不含任何元素的集合，故，C錯誤；對D：是所有自然數(shù)組成的集合，故成立，D正確.故選：BD.2．已知關(guān)于x的不等式的解集是M，若且，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】若，則有，解得或，若，則有或，解得，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.高頻考點三：集合中元素的特性例題1．已知集合，集合，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為集合，集合，且，所以，所以若，不滿足元素互異性，則或，滿足互異性，所以.故選：C．例題2．設(shè)集合，，，則中的元素個數(shù)為______．【答案】4【詳解】因為集合中的元素，，，所以當(dāng)時，，2，3，此時，6，7．當(dāng)時，，2，3，此時，7，8．根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個元素．故答案為：4．練透核心考點1．已知集合，，且，則實數(shù)（

）A．B．1C．或1D．0【答案】A【詳解】解：∵集合，，，∴由集合元素的互異性及子集的概念可知，解得實數(shù)．故選：A．2．集合，若，則__________【答案】【詳解】解：因為，所以，若，則可得或2，當(dāng)時，，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時，，滿足題意;若，則，此時，不滿足互異性，舍去；綜上故答案為：高頻考點四：集合的表示方法例題1．集合用列舉法表示為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】.故選：C.例題2．下列集合與區(qū)間表示的集合相等的是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】區(qū)間表示的集合為，A.集合表示點集，只有一個元素，故A錯誤；B.，故B正確；C.，表示數(shù)集，其中只有2個元素，故C錯誤；D.，故D錯誤.故選：B練透核心考點1．設(shè)集合，，則集合（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題知，，，所以.故A，B，C錯誤.故選：D.3．用列舉法表示集合，______．【答案】【詳解】因為,所以且,即且,又因為,所以,對應(yīng)的,其中,所以只能取,故,故答案為:.高頻考點五：集合的基本關(guān)系例題1．已知集合，，則的子集個數(shù)（

）A．1B．2C．3D．4【答案】D【詳解】集合表示以為圓心，為半徑的圓上的所有點，集合表示直線上的所有點，因為直線經(jīng)過圓心，所以直線與圓相交，所以的元素個數(shù)有2個，則的子集個數(shù)為4個，故選：.例題2．已知集合，集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，故；（2）因為，所以，故要想，則，解得：，故實數(shù)的取值范圍是.練透核心考點1．已集合，若，則實數(shù)a的取值集合是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】，∴當(dāng)時，，滿足；當(dāng)時，若，則時，時，．的取值集合是．故選：C．2．已知集合，，．(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，則或，又因為，因此，.（2）解：當(dāng)時，，解得，合乎題意；當(dāng)時，，即當(dāng)，因為，，，則，解得.綜上所述，.高頻考點六：集合的運算例題1．已知集合滿足，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因為,所以，解得．故選:D例題2．已知集合，，.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以.（2）因為，所以，若，則，解得：，若，則，解得：，所以m的取值范圍為：.練透核心考點1．已知集合，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題意得，，則.故選：C2．已知集合.(1)求集合A；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由有，即，所以，解得，所以集合；（2）因為，所以，由（1）知，而，顯然，則有，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.高頻考點七：圖的應(yīng)用例題1．如圖，全值，集合，，則陰影部分表示的集合是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：解不等式得，故，解不等式得或，故或所以，所以陰影部分表示的集合是.故選：B例題2．年春節(jié)影市火爆依舊，《無名》、《滿江紅》、《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學(xué)生的觀影情況，隨機調(diào)查了名在校學(xué)生，其中看過《無名》或《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過《滿江紅》且看過《無名》的學(xué)生共有位，則該校高三年級看過《無名》的學(xué)生人數(shù)的估計值為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】以集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過《無名》的學(xué)生構(gòu)成的集合，集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過《滿江紅》的學(xué)生構(gòu)成的集合，如下圖所示：所以，調(diào)查的名在校學(xué)生看過《無名》的學(xué)生人數(shù)為，所以，該校高三年級看過《無名》的學(xué)生人數(shù)的估計值為，故選：C.練透核心考點1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由，得，則，所以.由，得，則，則圖中陰影部分表示的集合為.故選:B.2．某班有40名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為，，，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人，同時參加物理和化學(xué)小組的有人，則同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為

_______．【答案】4【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為，因為每名同學(xué)至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.故答案為：4第01講集合基礎(chǔ)鞏固練習(xí)1．若集合，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：因為，所以.故選：B2．設(shè)集合，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因為，所以，又，所以.故選：B.3．已知集合，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由，解得，所以，或，則，所以.故選：C.4．設(shè)，則（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意，所以，所以；故選：A.5．設(shè)集合，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】且.故.故選：C.6．集合的子集個數(shù)為（

）．A．4B．7C．8D．16【答案】C【詳解】因為，所以該集合的子集的個數(shù)為，故選：C．7．設(shè)全集，集合，M，N都是U的子集，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A．或B．C．或D．【答案】B【詳解】注意到或，或.又由圖可得陰影部分表示集合：且，則陰影部分集合為：.故選：B8．已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】的定義域為A，所以，所以或，①當(dāng)時，,滿足，所以符合題意；②當(dāng)時，，所以若，則有或，所以或（舍）③當(dāng)時，，所以若，則有或（舍），，綜上所述，，故選：B.二、填空題11．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】.【詳解】依題意可得所以，因為，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，又，所以，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：10．高一某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽.則該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是_