第第頁第03講基本不等式第二部分：知識點必背1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當且僅當時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當且僅當時，等號成立．②（）當且僅當時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；4、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.高頻考點一：基本不等式的內(nèi)容及辨析例題1．下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，當時，，A不正確；對于B，當時，，且，若，則，B不正確；對于C，，則，即C不正確；對于D，當時，由均值不等式得成立，當且僅當時取等號，則D正確.故選：D例題2．當時，函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【詳解】，，，當且僅當時等號成立，故選：A練透核心考點1．已知，則取得最小值時的值為（

）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【詳解】，則，當且僅當，即時等號成立.故選：A2．（多選）下列命題中正確的是（

）A．時，的最小值是2B．存在實數(shù)，使得不等式成立C．若，則D．若，且，則【答案】BCD【詳解】當時，，當且僅當時等號成立，故時，取不到最小值2，故A錯誤；當時，,故B正確；,故，故C正確；，，則,解得，當且僅當時等號成立，故D正確.故選:BCD.高頻考點二：利用基本不等式比較大小例題1．設正實數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A：由，則，僅當時等號成立，故，錯誤；B：由，僅當時等號成立，故，正確；C：由，僅當時等號成立，故，錯誤；D：由，僅當時等號成立，故，錯誤.故選：B練透核心考點1．（多選）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】由題設，，則(僅等號成立)，可得，由，即，則，A正確；由，即，B錯誤；由，C正確；由，當且僅當時等號成立，D錯誤；故選：AC高頻考點三：利用基本不等式求最值角度1：利用基本不等式求積最大值例題1．已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【詳解】因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當且，即時取等號，所以的最大值為.故選：C.例題2．已知，求的最大值.【答案】【詳解】因為，所以，則有，當且僅當，即時，取等號，故的最大值是.角度2：利用基本不等式求和最小值例題1．函數(shù)的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，由基本不等式可知，當且僅當，即時等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：A例題2．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以，所以的最小值為，故選：D角度3：二次與二次（一次）的商式的最值例題1．若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【詳解】因，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，有最大值.故選：A例題2．求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【詳解】（1）∵（當且僅當，即x=1時取等號）的最小值為3；（2）令，則，當且僅當即t=3時取等號y的最小值為10角度4：“1”的妙用求最值例題1．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B．17 C．20 D．25【答案】D【詳解】，，當且僅當，即時等號成立.故選：D.例題2．若存在正實數(shù)，使得等式和不等式都成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵為正實數(shù)，則，當且僅當，即時等號成立，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則，解得或，故實數(shù)的取值范圍為.故選：B.角度5：條件等式求最值例題1．設，為正實數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【詳解】解：因為，為正實數(shù)，且，令，，則，則，當且僅當，即，時取等號.故選：D．例題2．已知，，且，則的最小值為______.【答案】【詳解】由得：，又，，（當且僅當時取等號），，解得：（舍）或，當時，取得最小值.故答案為：.練透核心考點1．已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，故選：B2．函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【詳解】，當且僅當,即等號成立.故選：D.3．已知，，，則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【詳解】因為，，，則，當且僅當時，即時取等，所以的最小值為，故選：.4．若存在，使成立，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：依題意存在，使成立，即存在，使得，即，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，即的最大值為，所以，即；故答案為：5．若正實數(shù)、滿足，則的最小值為______.【答案】【詳解】因為正實數(shù)、滿足，所以.當且僅當，即，時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.6．設，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）法一：，當且僅當且時等號成立．∴ab的最大值為法二：，，當且僅當，即，時等號成立．∴ab的最大值為．（2），當且僅當時等號成立，∴的最小值為．高頻考點四：基本不等式的恒成立問題例題1．若兩個正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，當且僅當時等號成立.又，所以，解得或（舍去），所以，當且僅當時，取等號，所以的最小值為，則不等式恒成立，即為，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：A.例題2．已知不等式對任意正實數(shù)，恒成立，則正實數(shù)的最小值為______．【答案】9【詳解】因為，當且僅當，，時取等號，所以，整理得，解得，故正實數(shù)a的最小值為9．故答案為：9.練透核心考點1．已知且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，則且、均為正數(shù)，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，的最小值為，所以，，即，解得.故選：C.2．正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】正實數(shù)滿足，則，當且僅當，即且時，等號成立，則時，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.3．已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】可化為，則，當且僅當時等號成立，即的最小值為8，因為恒成立，所以，解得，則實數(shù)m的取值范圍是．故選：A．4．若正數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，，∴當且僅當，即時等號成立，解得，時等號成立，因為不等式恒成立，所以，即所以，實數(shù)的最大值為.故選：D．第03講基本不等式(精練（分層練習）1．已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】因為，所以所以，當且僅當，即時，等號成立．所以的最小值為.故選：D2．若，，且，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【詳解】因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值為9.故選:D.3．函數(shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．2【答案】C【詳解】因為，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以函數(shù)的最小值是.故選：C.4．設，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【詳解】，當且僅當時等號成立.故選：D5．若，且a≠b，則中的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，根據(jù)基本不等式可知，當且僅當時等號成立，因為，所以；同理，綜上所述，上述四個式子中最大值為.故選：A6．已知，則取得最小值時，（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】∵，則，∴，當且僅當，即當時，等號成立.故選：C.7．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【詳解】因為，所以，而，，當且僅當，即時，等號成立.故選：B8．已知，，若，則的最小值為______．【答案】【詳解】由得，則，所以，當且僅當，即，時，取得最