第第頁第03講圓的方程第一部分：知識點必背知識點一：圓的定義和圓的方程1、圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心的坐標(biāo)為,半徑為,為圓上任意一點，可用集合表示為：2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3、圓的一般式方程對于方程（為常數(shù)），當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時，方程表示一個點③當(dāng)時，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.知識點二：點與圓的位置關(guān)系判斷點與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點在外②則點在上③則點在內(nèi)（2）代數(shù)法將點帶入：方程內(nèi)①點在外②點在上③點在內(nèi)知識點三：圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內(nèi)，則;高頻考點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例題1．已知圓的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，所以圓心為，直徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：C.例題2．求滿足下列條件的圓的方程，并畫出圖形：(1)經(jīng)過點和，圓心在軸上；(2)經(jīng)過直線與的交點，圓心為點；(3)經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上；【答案】(1)，圖形見解析；(2)，圖形見解析；(3)，圖形見解析；【詳解】（1）圓心在x軸上，設(shè)圓的方程為：，將點代入圓的方程，得，解得，所以圓的方程為：，其圖形如下：（2）圓心為點，設(shè)圓的方程為：，由，解得，即直線與直線的交點坐標(biāo)為，因為圓過交點，所以，解得，所以圓的方程為：，其圖形如下：（3）設(shè)圓的方程為：，圓心坐標(biāo)為，在直線上，所以①，又圓過點，所以②，③，聯(lián)立①②③，得，所以圓的方程為：，其圖形如下：練透核心考點1．圓心在直線上，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，線段的垂直平分線的方程為：，即，聯(lián)立，解得，即圓心坐標(biāo)為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.2．已知圓過點，，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將圓向上平移1個單位長度后得到圓，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因為直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為1．又易知線段的中點坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．因為圓心在直線上，所以圓心是直線與直線的交點．由，解得．所以圓心為，半徑．所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由（1），知圓的圓心坐標(biāo)為，將點向上平移1個單位長度后得到點，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．高頻考點二：二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系例題1．“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】解：由方程表示的圖形是圓，可得，即；由，得，顯然，所以“方程表示的圖形是圓”是“”的必要不充分條件．故選：B．例題2．若方程表示的曲線是一個圓，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】因為方程表示的曲線是一個圓，所以有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．練透核心考點1．已知方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】方程表示圓，，即，解得：，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．若方程表示圓，則的取值范圍是．【答案】【詳解】由方程表示圓，則滿足，整理得，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.高頻考點三：圓的一般方程例題1．經(jīng)過三點的圓的方程為．【答案】【詳解】設(shè)圓的方程為，則，∴圓的方程為：.故答案為：練透核心考點1．三個頂點的坐標(biāo)分別是，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為：，，由圓經(jīng)過三點，，解得：，則所求圓的一般方程為：，所以的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.故答案為：.高頻考點四：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程互化例題1．直線平分圓（），則（

）A．1B．-1C．3D．-3【答案】A【詳解】因為直線平分圓，化為，所以直線經(jīng)過該圓的圓心，則，即.故選：A.例題2．圓的圓心為坐標(biāo)為，半徑為.【答案】【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.故答案為：；練透核心考點1．圓的圓心坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】圓即，所以圓心坐標(biāo)為.故選：B2．圓的圓心坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】將配方得，所以圓心坐標(biāo)為，故選：D．高頻考點五：點與圓的位置關(guān)系例題1．若點在圓的外部，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點在圓的外部可知：，得.故.故選：C例題2．（多選）已知圓的方程為，以下各點在圓內(nèi)的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】，A選項正確.，B選項錯誤，，C選項正確.，D選項錯誤.故選：AC練透核心考點1．點與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點在圓上B．點在圓內(nèi)C．點在圓外D．不能確定【答案】C【詳解】因為，所以點在圓外．故選：C2．設(shè)為實數(shù)，若直線與圓相切，則點與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．不能確定【答案】A【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，所以點坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點在圓上，故選:A高頻考點六：與圓有關(guān)的軌跡問題例題1．已知BC是圓的動弦，且，則的中點的軌跡方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)BC的中點P的坐標(biāo)是，∵BC是圓的動弦，，且圓心，，即，化簡得，∴BC的中點的軌跡方程是，故選：C．例題2．已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)已知點，點在圓上運動，求線段中點的軌跡方程．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，由題意得，解得

所以圓的方程為.（2）設(shè)點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，由于點的坐標(biāo)為，點是線段的中點，所以，

于是

因為點在圓上運動，所以點的坐標(biāo)滿足圓的方程，即

所以，整理得所以，線段中點的軌跡方程.練透核心考點1．已知A為圓C：上一動點，點，若M為AB的中點，則點M的軌跡的方程為，【答案】【詳解】設(shè)，，則，，所以，，又點A在圓C上，所以，即的方程為．故答案為：.高頻考點七：與圓有關(guān)的幾何意義求最值例題1．已知點在圓上.(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.【答案】(1)最大值為－2＋，最小值為－2－(2)最大值為－1，最小值為－－1(3)最大值為＋1，最小值為－1【詳解】（1）可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.設(shè)過原點的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－∴的最大值為－2＋，最小值為－2－.（2）設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1.（3）＝，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(－1，2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(－1，2)的距離為，∴的最大值為＋1，最小值為－1.練透核心考點1．已知實數(shù)滿足.(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）表示圓上的點與點連線的斜率，設(shè)直線與圓相切，則圓心到直線的距離，解得：，，即的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，，，則，，，，，即的最大值為，最小值為.高頻考點八：利用圓的對稱性求最值例題1．已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A．B．C．D．2【答案】B【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：B.例題2．已知分別是軸和圓上的動點，點，則的最小值為（

）A．5B．4C．3D．2【答案】C【詳解】由，得，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2.如圖，作點關(guān)于軸對稱的點，當(dāng)四點共線時，取得最小值，且最小值為.故選：C練透核心考點1．已知圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的最小值是．【答案】2【詳解】圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，有，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.∴，即，所以時，的最小值為2.故答案為：2第03講圓的方程1．若方程表示的曲線為圓，則的取值范圍是（

）．A．B．或C．D．【答案】C【詳解】若方程表示的曲線為圓，則，即，解得：，故選:C．2．若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意得，圓心為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以直線過圓心，即，解得.故選：D3．已知圓與軸相切，則（

）A．B．C．2D．3【答案】C【詳解】圓的圓心為，半徑為.因為圓與軸相切，所以.故選：C4．圓心為且過原點的圓的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為圓心為且過原點，所以，所以圓的方程是.故選：A.5．已知圓的一條直徑的端點分別為，，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意可知，圓心為線段的中點，則圓心為，圓的半徑為，故所求圓的方程為.故選：D.6．若點不在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：因為點不在圓的外部，所以且，化簡得：解得：.故選：B.7．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（）A．1B．C．2D．3【答案】A【詳解】設(shè)，∵，∴，表示以為圓心，2為半徑的圓，∴，表示圓上的點到點的距離，∴的最小值為.故選：A.8．若圓（）被直線平分，則的最小值為．【答案】【詳解】由，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，因為圓被直線平分，所以圓心在直線上，因此有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號故答案為：9．已知，．(1)求線段的垂直平分線所在直線的方程；(2)若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點，求該圓的方程．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，，所以的中點為，斜率，所以線段的垂直平分線的斜率為，即所在的直線方程為，化簡得.（2）聯(lián)立解得，，即圓心為，所以圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.10．（1）圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過兩點，求圓C的方程；（2）圓C經(jīng)過三點，求圓C的方程．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）的中點為，因為，所以線段的中